高考数学第八章 平面解析几何 55 直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业
平面解析几何：圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
>0⇔相交 (2)代数法：―Δ―― ＝判―b―别2―－―式―4―a→c ＝0⇔相切
<0⇔相离
弦长 l 2 2.弦长问题 几何法 r 2 d 2
d
r
P150例2:弦长问题
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交 点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－ 1)
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代 数 法
联立直线方程和圆的方程，消元转化为关于x的 一元二次方程，由根与系数的关系即可求得弦长
3.切线问题
P150例3:切线问题
M(x0,y0)
M(x0,y0)
(x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2
y y0 k(x x0 ) kx y kx0 y0 0
汇报人：木哈哈哈
位置关系
的关系
组的解的情况
外离 外切
_d_>_r_1_＋__r_2 _ _d_＝__r_1_＋__r_2 _
无解 一组实数解
相交 内切 内含
|r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2|(r1≠r2) __0_≤__d_<_|r_1_－__r2_|(_r_1_≠__r2_)_
两组不同的实数解 一组实数解 无解
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案20180509
第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点2 圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2，d＝|O1O2|)[必会结论]1．关注一个直角三角形当直线与圆相交时，由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形．2．圆心在过切点且垂直于切线的直线上．3．两圆相交时公共弦的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D1－D2)x ＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.4．两圆相切时，切点与两圆心三点共线．5．两圆不同的位置关系与对应公切线的条数(1)两圆外离时，有4条公切线；(2)两圆外切时，有3条公切线；(3)两圆相交时，有2条公切线；(4)两圆内切时，有1条公切线；(5)两圆内含时，没有公切线．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )(2)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.( )(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(5)“m＝0”是“直线x＋y－m＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2相切”的充分不必要条件．( )答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2．[课本改编]直线l ：x －y ＋1＝0与圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交且过圆心D ．相交但不过圆心答案 D解析 圆的方程化为(x －2)2＋(y －1)2＝4，圆心为(2,1)，半径为2，圆心到直线l 的距离为|2－1＋1|2＝2<2，所以直线l 与圆相交．又圆心不在直线l 上，所以直线不过圆心．故选D.3．在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A ．3 3B ．2 3 C. 3 D ．1 答案 B解析 圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝|0＋0－5|32＋42＝1，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＝22－12＝3，所以|AB |＝2 3.4．[课本改编]圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为 ( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x ＋3y －4＝0C ．x －2y ＋4＝0D ．x －3y ＋2＝0答案 D解析 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心坐标为(2,0)，半径为2，点P 在圆上，由题可知切线的斜率存在，设切线方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y －k ＋3＝0，∴|2k －k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝33.∴切线方程为y －3＝33(x －1)，即x －3y ＋2＝0. 5．[2018·重庆模拟]圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 答案 B解析 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2，故两圆的圆心距d ＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<d <r 1＋r 2，故两圆相交．6．[2018·温州十校联考]对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能答案 C解析 直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2<3，点A 在圆内，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．故选C.板块二 典例探究·考向突破考向直线与圆的位置关系例1 [2018·豫南九校联考]直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案 A解析 解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，则Δ＝4m 4－4(1＋m 2)(m 2－5)＝16m 2＋20>0， 所以直线l 与圆C 相交．故选A.解法二：因为圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交．选A.解法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆C 相交．故选A.触类旁通判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交，＝0⇔相切，<0⇔相离.(2)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d <r ⇔相交，d ＝r ⇔相切，d >r ⇔相离．【变式训练1】 [2018·深圳模拟]已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 答案 B解析 因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2>1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2<1.故选B.考向直线与圆的综合问题命题角度1 圆的切线问题 例2 已知点P (2＋1,2－2)，点M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 解 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， 所以点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k ＝－1k PC＝1.所以过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝1×[x －(2＋1)]，即x －y ＋1－22＝0.(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.所以切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.因为|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，所以过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.触类旁通圆的切线有关的结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点为A ，B ，则过A 、B 两点的直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(4)过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)外一点P (x 0，y 0)引圆的切线，切点为T ，则切线长为|PT |＝x 20＋y 20＋Dy 0＋Ey 0＋F .(5)过圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)外一点P (x 0，y 0)作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(6)若圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，则过圆外一点P (x 0，y 0)的切线长d ＝(x 0－a )2＋(y 0－b )2－r 2.【变式训练2】 [2015·广东高考]平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( )A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析 设与直线2x ＋y ＋1＝0平行的直线方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠1)，因为直线2x ＋y＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，即点(0,0)到直线2x ＋y ＋m ＝0的距离为5，所以|m |5＝5，|m |＝5.故所求直线的方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.命题角度2 圆的弦长问题例3 过点(－4,0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A ，B 两点，若|AB |＝8，则直线l 的方程为( )A ．5x ＋12y ＋20＝0B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0C ．5x －12y ＋20＝0D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0 答案 B解析 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25， 由|AB |＝8知，圆心(－1,2)到直线l 的距离d ＝3.当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k ＝0. 则有|3k －2|k 2＋1＝3，∴k ＝－512.此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0. 命题角度3 圆中的最值问题 斜率型最值例4 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，则y x的最大值为________，最小值为________．答案3 － 3解析 原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3，表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆.y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设y x＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值或最小值(如图)，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.所以y x的最大值为3，最小值为－ 3. 截距型最值例5 [2018·郑州模拟]已知实数x ，y 满足x 2＋y 2＝4(y ≥0)，则m ＝3x ＋y 的取值范围是( )A ．(－23，4)B ．[－23，4]C ．[－4,4]D ．[－4,23]答案 B解析 由于y ≥0，所以x 2＋y 2＝4(y ≥0)为上半圆.3x ＋y －m ＝0是直线(如图)，且斜率为－3，在y 轴上截距为m ，又当直线过点(－2,0)时，m ＝－23，所以⎩⎨⎧m ≥－23，d ≤r ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－23，|－m |2≤2，解得m ∈[－23，4]，选B. 触类旁通直线与圆综合问题的解题策略(1)用几何法求圆的弦长：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＝r 2－d 2.(2)求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系，若点在圆内，无解；若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．(3)对于圆的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值． 【变式训练3】 [2015·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．答案 (x －1)2＋y 2＝2解析 解法一：设A (1,0)，由mx －y －2m －1＝0，得m (x －2)－(y ＋1)＝0，则直线过定点P (2，－1)，即该方程表示所有过定点P 的直线系方程．当直线与AP 垂直时，所求圆的半径最大．此时，半径为|AP |＝(2－1)2＋(－1－0)2＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.解法二：设圆的半径为r ，根据直线与圆相切的关系得r ＝|m ＋1|1＋m2＝m 2＋2m ＋1m 2＋1＝1＋2mm 2＋1， 当m <0时，1＋2m m 2＋1<1，故1＋2mm 2＋1无最大值； 当m ＝0时，r ＝1；当m >0时，m 2＋1≥2m (当且仅当m ＝1时取等号)． 所以r ≤1＋1＝2，即r max ＝2， 故半径最大的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.考向两圆的位置关系例6 (1)[2016·山东高考]已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 答案 B解析 由题意知圆M 的圆心为(0，a )，半径R ＝a ，因为圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，所以圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2＝a 2－2(a >0)，解得a ＝2，又知圆N 的圆心为(1,1)，半径r ＝1，所以|MN |＝2，则R －r <2<R ＋r ，所以两圆的位置关系为相交，故选B.(2)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦的长为23，则a ＝________. 答案 1解析 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线方程为(x 2＋y 2＋2ay －6)－(x 2＋y 2)＝0－4⇒y ＝1a ，又a >0，结合图形，利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形，可知1a＝ 22－(3)2＝1⇒a ＝1.触类旁通如何处理两圆的位置关系判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2、y 2项得到．【变式训练4】 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝( )A ．－5B ．－5或2C ．－6D ．8答案 B解析对于圆C1与圆C2的方程，配方得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，则圆C1的圆心C1(m，－2)，半径r1＝3，圆C2的圆心C2(－1，m)，半径r2＝2.如果圆C1与圆C2相外切，那么有|C1C2|＝r1＋r2，即(m＋1)2＋(m＋2)2＝5，则m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，所以当m＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2相外切．核心规律切线、弦长的求解方法(1)求圆的切线方程可用待定系数法，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关系式求出切线的斜率即可．(2)几何方法求弦长，利用弦心距，即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．满分策略1.过圆外一定点作圆的切线，有两条，若在某种条件下只求出一个结果，则要想到还有斜率不存在的情况．2.在两个圆相交的情况下，两个圆的方程相减后得到的直线方程才是公共弦所在的直线方程.板块三启智培优·破译高考数学思想系列 8——数形结合思想在圆中的妙用[2018·江西模拟]过点(2，0)引直线l与曲线y＝1－x2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于( )A.33B．－33C．±33D．－ 3解题视点如果等式、代数式的结构中蕴含着明显的几何特征，就要考虑数形结合法求解，解答本题时首先要看到曲线y＝1－x2表示的是以原点为圆心，1为半径的半个圆，作出图形，结合三角形面积公式，确定面积最大时直线l的斜率．解析由y＝1－x2得x2＋y2＝1(y≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S△AOB取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin45°＝22.设此时直线l 的斜率为k ，则方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有22＝|0－0－2k |k 2＋1，解得k ＝±33，由图可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－33. 答案 B答题启示 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石，二者在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下可以互相转化，而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中，可以先根据题意，作出草图，然后参照图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征，得出结论.跟踪训练[2018·湖北模拟]若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[1－22，1＋22]B ．[1－2，3]C ．[－1,1＋22]D ．[1－22，3]答案 D解析 ∵y ＝3－4x －x 2，∴1≤y ≤3， ∴(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)，即曲线y ＝3－4x －x 2表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆．直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，表示两曲线至少有一个公共点．符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切的两直线之间．当直线y ＝x ＋b 过点(0,3)时，b ＝3；当直线y ＝x ＋b 与圆y ＝3－4x －x 2相切时，由点到直线的距离公式，得2＝|2－3＋b |2，∴|b －1|＝2 2.结合图形知b ＝1－2 2.∴1－22≤b ≤3，故选D.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·福建漳州八校联考]已知点P (a ，b )(ab ≠0)是圆x 2＋y 2＝r 2内的一点，直线m 是以P 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为ax ＋by ＝r 2，那么( )A ．m ∥l ，且l 与圆相交B ．m ⊥l ，且l 与圆相切C ．m ∥l ，且l 与圆相离D ．m ⊥l ，且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P (a ，b )(ab ≠0)在圆内，∴a 2＋b 2<r 2.因圆x 2＋y 2＝r 2的圆心为O (0,0)，故由题意得OP ⊥m ，又k OP ＝b a ，∴k m ＝－a b ，∵直线l 的斜率为k l ＝－a b＝k m ，圆心O 到直线l的距离d ＝r 2a 2＋b 2>r 2r＝r ，∴m ∥l ，l 与圆相离．故选C. 2．已知过点P (2,2)的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．－12B ．1C ．2 D.12答案 C解析 圆心为C (1,0)，由于P (2,2)在圆(x －1)2＋y 2＝5上，∴P 为切点，CP 与过点P 的切线垂直．∴k CP ＝2－02－1＝2.又过点P 的切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，∴a ＝k CP ＝2，选C.3．[2018·湖北武汉调研]圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 B解析 圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线的方程为x －y ＋2＝0，它与两坐标轴分别交于(－2,0)，(0,2)，所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为12×2×2＝2.故选B.4．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 答案 B解析 由圆的方程x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0可得，圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a .圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为d ＝|－1＋1＋2|2＝ 2.由r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫422，得2－a ＝2＋4，所以a ＝－4.5．[2018·安徽模拟]若过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3答案 D解析 设直线l 的方程为y ＋1＝k (x ＋3)， 即kx －y ＋3k －1＝0.由d ＝|3k －1|k 2＋1≤1, 得0≤k ≤3，所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.6．圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0与圆C 2：x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 D解析 圆C 1：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4，∴圆心C 1(－1，－1)，半径r 1＝2；圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，∴圆心C 2(2,1)，半径r 2＝1.∴两圆心的距离d ＝(－1－2)2＋(－1－1)2＝13，r 1＋r 2＝3，∴d >r 1＋r 2，∴两圆外离，∴两圆有4条公切线．7．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( ) A.7 B ．2 2 C ．3 D. 2 答案 A解析 如图，在Rt △PAB 中，要使切线PB 最小，只需圆心与直线y ＝x ＋1上的点的距离取得相应最小值即可，易知其最小值为圆心到直线的距离，即|AP |min ＝42＝22，故|BP |min＝ (22)2－12＝7.8．[2018·太原质检]过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于B (2,1)，则圆C 的方程为________．答案 (x －3)2＋y 2＝2解析 设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，由题意知：点(a ，b )既在直线y －1＝－(x －2)上，又在AB 的垂直平分线上，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －3＝0，得圆心坐标为(3,0)，r ＝|AC |＝(4－3)2＋12＝2，所以圆C 的方程为(x －3)2＋y 2＝2.9．[2016·全国卷Ⅰ]设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．答案 4π解析 圆C 的方程可化为x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，可得圆心的坐标为C (0，a )，半径r ＝a 2＋2，所以圆心到直线x －y ＋2a ＝0的距离为|－a ＋2a |2＝|a |2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(3)2＝(a 2＋2)2，解得a 2＝2，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π.10．[2018·沈阳质检]过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．答案 x ＋y －3＝0解析 依题意得知，当∠ACB 最小时，圆心C 到直线l 的距离达到最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为1，因此所求的直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.[B 级 知能提升]1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －1)2＝1和两点A (－t,0)，B (t,0)，(t >0)，若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则t 的取值范围是( )A ．(0,2]B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[1,3] 答案 D解析 由题意可知，若使圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，即圆C 与以原点O 为圆心，半径为t 的圆有交点，即|OC |－1≤t ≤|OC |＋1，即1≤t ≤3，∴t 的取值范围为[1,3]，故选D.2．[2017·河南洛阳二模]已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 的方程为x ＋y ＝2，过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ，则|PA |的最小值为( )A.12 B ．1 C.2－1 D ．2－ 2 答案 D解析 解法一：由题意可知，直线PA 与坐标轴平行或重合，不妨设直线PA 与y 轴平行或重合，设P (cos α，sin α)，则A (cos α，2－cos α)，∴|PA |＝|2－cos α－sin α|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，∴|PA |的最小值为2－ 2.故选D. 解法二：由题意可知圆心(0,0)到直线x ＋y ＝2的距离d ＝22＝2，∴圆C 上一点到直线x ＋y ＝2的距离的最小值为2－1.由题意可得|PA |min ＝2(2－1)＝2－ 2.故选D.3．[2017·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________．答案 [－52，1]解析 解法一：因为点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上， 所以设P 点坐标为(x ，±50－x 2)(－52≤x ≤52)．因为A (－12,0)，B (0,6)，所以PA →＝(－12－x ，－50－x 2)或PA →＝(－12－x ，50－x 2)，PB →＝(－x ，6－50－x 2)或PB →＝(－x,6＋50－x 2)．因为PA →·PB →≤20，先取P (x, 50－x 2)进行计算，所以(－12－x )(－x )＋(－50－x 2)(6－50－x 2)≤20，即2x ＋5≤ 50－x 2. 当2x ＋5≤0，即x ≤－52时，上式恒成立；当2x ＋5≥0，即x ≥－52时，(2x ＋5)2≤50－x 2，解得－5≤x ≤1，故x ≤1.同理可得P (x ，－50－x 2)时，x ≤－5. 又－52≤x ≤52，所以－52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[－52，1]．解法二：设P (x ，y )，则PA →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x ，6－y )．∵PA →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )(6－y )≤20， 即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点， ∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0，∴点P 在EDF ︵上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1.又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]．4．[2017·全国卷Ⅲ]已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程． 解 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x 可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1，所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4. 故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )， 圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP →＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0， 即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0. 由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4.所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12.当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854， 圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.5．[2015·全国卷Ⅰ]已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1， 解得4－73<k <4＋73，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.。
高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理
与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2 3，则|CD|＝____4____.
解析 由题意可知直线l过定点(－3， 3 )，该定点在圆 x2＋y2＝12上，不妨设点A(－3， 3 )，由于|AB|＝2 3 ，r＝ 2 3 ，所以圆心到直线AB的距离为d ＝ 2 32－ 32 ＝3，又由点到直 线的距离公式可得d＝|3mm－2＋13|，所以 |3mm－122/＋11/201321|＝3，
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解析
代数法，几何法．
由
mx－y＋1－m＝0， x2＋y－12＝5
消去y，整理得(1＋
m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
则Δ＝4m4－4(1＋m2)(m2－5)＝16m2＋20＞0，所以直线
l与圆C相交．故选A. 12/11/2021
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方法技巧 判断直线与圆的位置关系的常见方法
又|OD|＝|3×0－45×0＋5|＝1， ∴r＝2|OD|＝2.
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经典(jīngdiǎn)题型冲关
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题型1 直线与圆的位置关系
典例 (2017·豫南九校联考)直线l：mx－y＋1－m＝0
与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
第8章 平面 解析几何 (píngmiàn)
8．4 直线与圆、圆与圆的位置(wèi zhi)关系
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基础知识过关(guò〃guān)
12/11/2021
高中 平面解析几何 直线与圆、圆与圆位置关系 练习 含答案
1．已知圆C 与直线x －y ＝0及直线x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为________________．2．直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R )与圆x 2＋y 2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是________．3．圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，过点P (2，－1)作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是________．4．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系是________．5．已知P ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，Q ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝2}，那么P ∩Q ＝________.6．M (x 0，y 0)为圆x 2＋y 2＝a 2(a >0)内异于圆心的一点，则直线x ·x 0＋y ·y 0＝a 2与该圆的位置关系为________．7．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为________． 8．圆C 1：x 2＋y 2＝16与C 2：(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直，则r ＝________.9．能够把圆O ：x 2＋y 2＝9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f (x )称为圆O 的“亲和函数”，下列函数不是圆O 的“亲和函数”的是________．①f (x )＝4x 3＋x 2；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝e x ＋e －x 2；④f (x )＝tan x 5. 10．已知圆C 的方程为x 2＋y 2－2y －3＝0，过点P (－1,2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若使AB 最小，则直线l 的方程是________________．11．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线l ：x ＋y ＋1＝0的距离为2的点有________个．12．已知P 是直线3x ＋4y －10＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为________．13．在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l上，若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________．14．已知P (2,0)为圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2my ＋m 2－7＝0(m >0)内一点，过点P 的直线AB 交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 面积的最大值为4，则正实数m 的取值范围为________．答案解析1．(x －1)2＋(y ＋1)2＝22.相交3．1023解析 因为圆的方程为(x －1)2＋y 2＝25，所以圆心坐标为C (1,0)，半径r ＝5，因为点P (2，－1)是该圆内一点，所以经过点P 的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．因为|PC |＝2，所以与PC 垂直的弦长为225－2＝223.因此所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023. 4．相交解析 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径r 2＝2.故两圆的圆心距|O 1O 2|＝5，而r 2－r 1＝1，r 1＋r 2＝3，则有r 2－r 1<|O 1O 2|<r 1＋r 2，故两圆相交．5．{(1,1)}解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2，x ＋y ＝2，得x ＝y ＝1. 6．相离解析 ∵点M 在圆内，∴x 20＋y 20<a 2(a >0)． 圆心到直线的距离d ＝a 2x 20＋y 20>a ，即d >r ，故直线与圆相离． 7．9解析 ∵圆C 1：(x ＋2a )2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1只有一条公切线，∴两圆内切，|C 1C 2|＝2－1＝1，即4a 2＋b 2＝1.1a 2＋1b 2＝(4a 2＋b 2)(1a 2＋1b 2)＝5＋b 2a 2＋4a 2b2≥9， 当且仅当b 2＝2a 2，即a 2＝16，b 2＝13时取等号． 8．3解析 设其中一个交点为P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝16，(x 0－4)2＋(y 0＋3)3＝r 2 可得r 2＝41－8x 0＋6y 0，∵两切线互相垂直，∴过交点的两半径也互相垂直，即y 0x 0·y 0＋3x 0－4＝－1， ∴3y 0－4x 0＝－16，∴r 2＝41－8x 0＋6y 0＝41＋2(3y 0－4x 0)＝41－32＝9，∴r ＝3.9．③解析 若函数f (x )是圆O 的“亲和函数”，则函数的图象经过圆心且关于圆心对称．圆O ：x 2＋y 2＝9的圆心为坐标原点，①中f (x )＝4x 3＋x 2，②中f (x )＝ln 5－x 5＋x ， ④中f (x )＝tan x 5的图象均过圆心O (0,0)， 在③中，f (x )＝e x ＋e －x2的图象不过圆心，不满足要求． 10．x －y ＋3＝0解析 易知点P 在圆的内部，根据圆的性质，若使AB 最小，则AB ⊥CP ，因为圆心C (0，1)，所以k CP ＝2－1－1－0＝－1，k l ＝1， 因此直线l 的方程为y －2＝x ＋1，即x －y ＋3＝0.11．3解析 圆的方程化为标准方程为：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8.圆心为(－1，－2)，圆的半径为22，圆心到直线l 的距离为|－1－2＋1|12＋12＝22＝ 2.因此和l 平行的圆的直径的两端点及与l 平行的圆的切线的切点到l 的距离都为 2.12．2 2解析 圆的标准方程为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，其圆心C (1，－2)，半径为1，且直线与圆相离，如图所示，四边形P ACB 的面积等于2S △P AC ，而S △P AC ＝12P A ·AC ＝12P A ＝12PC 2－1，又 PC min ＝|3－8－10|5＝3，所以(S △P AC )min ＝129－1＝2，故四边形P ACB 面积的最小值为2 2.13．[0，125]解析 设点M (x ，y )，由MA ＝2MO ，知x 2＋(y －3)2＝2x 2＋y 2.化简，得x 2＋(y ＋1)2＝4，∴点M 的轨迹为以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又∵点M 在圆C 上，∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切，∴1≤CD ≤3.∵圆C 的圆心在直线y ＝2x －4上，∴设C (a,2a －4)，∴CD ＝a 2＋(2a －3)2，∴1≤a 2＋(2a －3)2≤3，解得0≤a ≤125.14．[3，7)解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋m )2＝8，则圆心坐标为(1，－m)，半径r＝22，S△ABC＝12r2sin∠ACB＝4sin∠ACB，当∠ACB＝90°时，△ABC的面积取得最大值4，此时△ABC为等腰直角三角形，AB＝2r＝4，则点C到直线AB的距离等于2，故2≤PC＜22，即2≤1＋m2＜22，所以4≤1＋m2＜8，即3≤m2＜7，因为m＞0，所以3≤m＜7.。
高中 平面解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点+例题
辅导讲义――直线和圆、圆与圆的位置关系圆的切线方程设法：（1）过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为200r y y x x =+.（2）过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--. （3）过圆222r y x =+外一点),(00y x P 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为200r y y x x =+.（4）过圆222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.[例]经过点M （2，-1）作圆522=+y x 的切线，则切线方程为_________________. 2x-y-5=0[巩固] 过点P （3，1）作曲线C ：0222=-+x y x 的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为____________. 2x+y-3=01．若两圆的半径分别为r 1，r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：位置 关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1，r 2 的关系d >r 1＋r 2 d ＝r 1＋r 2 |r 1－r 2|< d < r 1＋r 2d ＝|r 1－r 2|d <|r 1－r 2|两圆的公共点个数0个 1个 2个 1个 0个2．两圆的共切线：（1）当两圆内含时，没有公切线； （2）当两圆内切时有一条公切线； （3）当两圆相交时，有两条外公切线；知识模块4圆与圆的位置关系 精典例题透析知识模块3切线及弦所在直线的方程设法∴切线方程为2x ＋y ±52＝0； ③∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)， 即3x ＋y －11＝0.[巩固] (2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为 (x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋(y －3)2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋(2a －3)2≤3. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.题型三：直线与圆相交的问题[例]已知直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8，求k 的值．设直线kx －y ＋6＝0被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为AB ，其中点为C ，则△OCB 为直角三角形．因为圆的半径为|OB |＝5，半弦长为|AB |2＝|BC |＝4，所以圆心到直线kx －y ＋6＝0的距离为3，由点到直线的距离公式得6k 2＋1＝3，解之得k ＝±3.[巩固] 求直线x －3y ＋23＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长．如图，设直线x －3y ＋23＝0与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，则OM ⊥AB (O 为坐标原点)，所以OM ＝|0－0＋23|12＋(－3)2＝3，所以AB ＝2AM ＝2OA 2－OM 2＝222－(3)2＝2.圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.3．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切，则ab 的最大值为___________. 圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R )．化为：(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a,0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，∵圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0 (a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0 (b ∈R )内切，∴a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2. ∴ab 的最大值为2.4．(2013·山东)过点P (3,1)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为____________.解析 如图所示：由题意知：AB ⊥PC ，k PC ＝12，∴k AB ＝－2， ∴直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.5．已知直线y ＝kx ＋b 与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当b ＝1＋k 2时，OA →·OB →等于___________.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入x 2＋y 2＝1得(1＋k 2)x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0，故x 1＋x 2＝－2kb 1＋k 2，x 1x 2＝b 2－11＋k 2， 从而·＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2－1－2k 2b 21＋k 2＋b 2＝2b 21＋k 2－1＝1. 6．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是______________．由y ＝3－4x －x 2，得(x －2)2＋(y －3)2＝4(1≤y ≤3)．∴曲线y ＝3－4x －x 2是半圆，如图中实线所示．当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，|2－3＋b |2＝2.∴b ＝1±2 2. 由图可知b ＝1－2 2.∴b 的取值范围是[]1－22，3.7．(2014·上海)已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →＋AO→＝0，则m 的取值范围为________．曲线C ：x ＝－4－y 2，是以原点为圆心，2为半径的圆，并且x P ∈[－2,0]，对于点A (m,0)，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得＋＝0，（1）求矩形ABCD 的外接圆的方程；（2）已知直线l ：(1－2k )x ＋(1＋k )y －5＋4k ＝0(k ∈R )，求证：直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交，并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程．(1)∵l AB ：x －3y －6＝0且AD ⊥AB ，点(－1,1)在边AD 所在的直线上，∴AD 所在直线的方程是y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，得A (0，－2)． ∴|AP |＝4＋4＝22， ∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x －2)2＋y 2＝8.(2)直线l 的方程可化为k (－2x ＋y ＋4)＋x ＋y －5＝0，l 可看作是过直线－2x ＋y ＋4＝0和x ＋y －5＝0的交点(3,2)的直线系，即l 恒过定点Q (3,2)，由(3－2)2＋22＝5<8知点Q 在圆P 内，∴l 与圆P 恒相交．设l 与圆P 的交点为M ，N ，则|MN |＝28－d 2(d 为P 到l 的距离)，设PQ 与l 的夹角为θ，则d ＝|PQ |·sin θ＝5sin θ，当θ＝90°时，d 最大，|MN |最短．此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数，即－12， 故l 的方程为y －2＝－12(x －3)，即x ＋2y －7＝0.11．若直线l ：y ＝kx ＋1 (k <0)与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－2y ＋3＝0相切，则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是_________. 因为圆C 的标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以|－2k －1＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝±1，因为k <0，所以k ＝－1，所以直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22<3，所以直线l 与圆D 相交． 12．设曲线C 的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线上的点到直线l 的距离为71010的点的个数为____________.B解析 由(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，得圆心坐标为(2，－1)，半径r ＝3，圆心到直线l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋(－3)2＝710＝71010. 能力提升训练要使曲线上的点到直线l 的距离为71010， 此时对应的点在直径上，故有两个点．13．(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于____________.∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时， △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan ∠OPH ＝－33)． 14．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43. 故k 的最大值是43. 15．(2014·重庆)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离为|a ＋a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝|BC |＝2，所以(|a ＋a －2|a 2＋1)2＋12＝22，解得a ＝4±15.。
2024版高考数学大一轮第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系
（5） 如果直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切.( )
√
2.（教材例题改编）圆 与圆 的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解：两圆圆心分别为 ， ，半径分别为2和3，圆心距 .因为 ，所以两圆相交.故选B.
√
3.已知圆 截直线 所得的弦长为4, 则实数 的值是( )
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1） “ ”是“直线 与圆 相交”的必要不充分条件.( )
×
（2） 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )
×
（3） 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( )
√
学科素养·直曲联立中的数学运算
典例 已知圆 ，直线
（1） 求证：对 ，直线 与圆 总有两个不同交点；
解：（证法一）圆 的圆心为 ，半径为 .所以圆心 到直线 的距离 ，所以直线 与圆 相交，即直线 与圆 总有两个不同交点.（证法二）因为直线 过定点 （ , ），而点 在圆 内，所以直线 与圆 相交，即直线 与圆 总有两个不同交点.
√
√
【点拨】已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想转化为直线与圆的位置关系问题，由此建立方程或不等式（组）求解.
变式2 若对圆 上任意一点 ， 的取值与 ， 无关， 则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：依题意, 表示 到两条平行直线 和 的距离之和，因其取值与 , 无关，故两条平行直线 和 在圆 的两侧，画出图象如图所示，故圆心
【点拨】求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条.
2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】
由|A2B|2＝r2－d2，得|AB|2＝10，即|AB|＝ 10.
6.已知直线y＝kx＋b(k＞0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－4)2＋y2＝1均相切，则k＝ ___3_3______，b＝__－__2_3_3____. 解析 如图，直线分别与两个半径相等的圆相切，由对称性可知，直线与x轴 的交点为A(2，0).
由AB＝2，BM＝1，∠AMB＝90°，得∠MAB＝30°，
可得直线的斜率 k＝tan 30°＝ 33， 直线方程为 y＝ 33(x－2)＝ 33x－233，因此 b＝－233.
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
1.已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.( × ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( × ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( × )
(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，
2.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法：运用弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB| ＝2 r2－d2. (2)代数法：设直线 y＝kx＋m 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 相交于点 M，N，将 直线方程代入圆的方程中，消去 y，得关于 x 的一元二次方程，求出 xM＋xN 和 xM·xN，则|MN|＝ 1＋k2· （xM＋xN）2－4xM·xN.
高中数学第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
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考点一 直线与圆的位置关系
2 又圆 x ＋y ＝4 的圆心到直线 x－y＋2＝0 的距离为 ＝ 2.由 2 勾股定理得弦长的一半为 4－2＝ 2，所以，所求弦长为 2 2.
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易错通关
已知弦长求解直线方程时，易忽视斜率k不存在的情形．
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第八章 平面解析几何 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
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1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能 根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题． 3．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
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3 解析：依题意得，直线l的方程是y＝tan 150° (x－1)＝－ (x－ 3 |－3－1| 1)，即x＋ 3 y－1＝0，圆心(－3,0)到直线l的距离d＝ 3＋1 ＝2，因此该直线与圆相切．
答案：B
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[小题纠偏] 已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25截 得的弦长为8，则直线l的方程是_______________________．
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课时作业55 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．± 5 B ．±5 C ．3D ．±3解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，因为直线与圆相切，所以有|a |5＝5，即a ＝±5.答案：B2．直线x ＋2y －5＋5＝0被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．4 6解析：依题意，圆的圆心为(1，2)，半径r ＝5，圆心到直线的距离d ＝|1＋4－5＋5|5＝1，所以结合图形可知弦长的一半为r 2－d 2＝2，故弦长为4.答案：C3．已知直线l 经过点M (2，3)，当圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9截l 所得弦长最长时，直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．3x ＋4y －18＝0C ．y ＋3＝0D ．x －2＝0解析：∵圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9截l 所得弦长最长，∴直线l 经过圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝9的圆心(2，－3)．又直线l 经过点M (2，3)，∴直线l 的方程为x －2＝0.答案：D4．若圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋m ＝0(m <3)的一条弦AB 的中点为P (0，1)，则垂直于AB 的直径所在直线的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y －1＝0D ．x ＋y ＋1＝0解析：由圆的方程得该圆圆心为C (－1，2)，则CP ⊥AB ，且直线CP 的斜率为－1，故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y －1＝－x ，即x ＋y －1＝0.答案：B5．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33C ．±33D ．－ 3解析：由y ＝1－x 2得x 2＋y 2＝1(y ≥0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为1的半圆，如图所示．故S △AOB ＝12|OA |·|OB |·sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB ＝1，即OA ⊥OB 时，S△AOB取得最大值，此时点O 到直线l 的距离d ＝|OA |·sin45°＝22.设此时直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －2)，即kx －y －2k ＝0，则有22＝|0－0－2k |k 2＋1，解得k ＝±33，由图可知直线l 的倾斜角为钝角，故取k ＝－33. 答案：B6．两圆相交于(1，3)和(m ，－1)两点，两圆圆心都在直线x －y ＋c ＝0上，且m ，c 均为实数，则m ＋c ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：根据两圆相交的性质可知，点(1，3)和(m ，－1)的中点⎝⎛⎭⎪⎫1＋m 2，1在直线x －y ＋c ＝0上，且过两点的直线与x －y ＋c ＝0垂直，故有⎩⎪⎨⎪⎧1＋m2－1＋c ＝0，3－（－1）1－m ×1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，c ＝－2，∴m ＋c ＝3.答案：D 二、填空题7．已知圆C 过点(1，0)，且圆心在x 轴的正半轴上，直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a ，0)，则由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3，0)．因为圆心(3，0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝08．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a >0)的公共弦长为23，则a ＝________． 解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为y ＝1a，如图，由已知|AC |＝3，|OA |＝2，有|OC |＝1a＝1，∴a ＝1.答案：19．圆心在曲线y ＝－3x(x >0)上，且与直线3x －4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程是________．解析：因为圆心在曲线y ＝－3x(x >0)上，所以设圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－3a (a >0)，则半径r＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a ＋12a ＋332＋（－4）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a ＋12a ＋35，圆的面积最小即为半径r 最小．因为a >0，所以由基本不等式得3a ＋12a≥12，当且仅当a ＝2时等号成立，此时r 取得最小值3，故圆的面积最小时，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－32，半径为3，所以圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝9.答案：(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝9三、解答题10．已知点P (2＋1，2－2)，点M (3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． 解：由题意得圆心C (1，2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0. 又点C (1，2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，即此时满足题意， 所以直线x ＝3是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝（3－1）2＋（1－2）2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.11．已知圆C ：x 2＋y 2－6x －4y ＋4＝0，直线l 1被圆所截得的弦的中点为P (5，3)． (1)求直线l 1的方程；(2)若直线l 2：x ＋y ＋b ＝0与圆C 相交，求b 的取值范围；(3)是否存在常数b ，使得直线l 2被圆C 所截得的弦的中点落在直线l 1上？若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由．解：(1)圆C 的方程化标准方程为：(x －3)2＋(y －2)2＝9，于是圆心C (3，2)，半径r ＝3.若设直线l 1的斜率为k 则：k ＝－1k PC ＝－112＝－2.所以直线l 1的方程为：y －3＝－2(x －5)， 即2x ＋y －13＝0.(2)因为圆的半径r ＝3，所以要使直线l 2与圆C 相交， 则须有：|3＋2＋b |2<3，所以|b ＋5|<32，于是b 的取值范围是： －32－5<b <32－5.(3)设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0，y 0)， 则直线l 2与CM 垂直，于是有：y 0－2x 0－3＝1， 整理可得：x 0－y 0－1＝0. 又因为点M (x 0，y 0)在直线l 2上， 所以x 0＋y 0＋b ＝0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0－1＝0，x 0＋y 0＋b ＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝1－b2，y 0＝－1＋b2， 代入直线l 1的方程得：1－b －1＋b2－13＝0，于是b ＝－253∈(－32－5，32－5)，故存在满足条件的常数b .1．(2016·河北唐山一模)已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点M (t ，2)，若C 上存在两点A ，B 满足MA ―→＝AB ―→，则t 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．[－3，3]C ．[－5，5] D ．[－5，5]解析：如图，设A (x ，y )，∵MA ―→＝AB ―→，∴A 为MB 的中点，∴点B 的坐标为(2x －t ，2y－2)．∵A ，B 均在圆C ：x 2＋y 2＝1上，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，（2x －t ）2＋（2y －2）2＝1， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，⎝⎛⎭⎪⎫x －t 22＋（y －1）2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122.由题意得，方程组有解，即等价于以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，1为圆心，12为半径的圆与圆C 有交点．∴1－12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22＋12≤1＋12⇒－5≤t ≤5，即实数t 的取值范围是[－5，5]．答案：C2．(2016·甘肃兰州双基)已知AC ，BD 为圆O ：x 2＋y 2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M (1，2)，则四边形ABCD 面积的最大值为( )A ．5B ．10C ．15D ．20解析：如图，作OP ⊥AC 于点P ，OQ ⊥BD 于点Q ，则OP 2＋OQ 2＝OM 2＝3，于是AC 2＋BD 2＝4(4－OP 2)＋4(4－OQ 2)＝20.又AC 2＋BD 2≥2AC ·BD ，则AC ·BD ≤10，所以S 四边形ABCD ＝12AC ·BD ≤12×10＝5，当且仅当AC ＝BD ＝10时等号成立．故四边形ABCD 面积的最大值为5.答案：A3．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：由mx －y －2m －1＝0可得m (x －2)＝y ＋1，则知该直线过定点P (2，－1)，那么所有的圆中，半径最大的圆的半径为r ＝|PC |＝（1－2）2＋（0＋1）2＝2，故所求的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝24．已知圆心为C 的圆，满足下列条件：圆心C 位于x 轴正半轴上，与直线3x －4y ＋7＝0相切，且被y 轴截得的弦长为23，圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程；(2)设过点M (0，3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ，B ，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ，使得直线OD 与MC 恰好平行？如果存在，求出l 的方程；如果不存在，请说明理由．解：(1)设圆C ：(x －a )2＋y 2＝R 2(a >0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a ＋7|32＋42＝R a 2＋3＝R，解得a ＝1或a ＝138，又∵S ＝πR 2<13，∴a ＝1， ∴圆的方程为(x －1)2＋y 2＝4.(2)当斜率不存在时，直线l 为：x ＝0，不满足题意． 当斜率存在时，设直线l ：y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 又∵l 与圆C 相交于不同的两点，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3（x －1）2＋y 2＝4，消去y 得： (1＋k 2)x 2＋(6k －2)x ＋6＝0， ∴Δ＝(6k －2)2－24(1＋k 2) ＝12k 2－24k －20>0， 解得k <1－263或k >1＋263.x 1＋x 2＝－6k －21＋k2，y 1＋y 2 ＝k (x 1＋x 2)＋6＝2k ＋61＋k2，OD ―→＝OA ―→＋OB ―→＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，MC ―→＝(1，－3)，假设OD ―→∥MC ―→，则－3(x 1＋x 2)＝y 1＋y 2， ∴3×6k －21＋k 2＝2k ＋61＋k2，解得k ＝34∉(－∞，1－263)∪(1＋263，＋∞)，假设不成立，∴不存在这样的直线l .。