广东省高二上学期期末数学试卷
广东高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若集合，集合，则图中阴影部分表示（ ）{}1,2,3,4,5A =()(){}230B x x x =+-<A ．B ． {}3,4,5{}1,2,3C ．D ．{}1,4,5{}1,2【答案】A【分析】，阴影部分表示，计算得到答案. {}23B x x =-<<U A B ⋂ð【详解】，或. ()(){}{}23023B x x x x x =+-<=-<<{U 2B x x =≤-ð}3x ≥阴影部分表示. {}U 3,4,5A B = ð故选：A 2．复数的虚部为（ ） 2i1i+A B ．1 C D ．i 【答案】B【分析】利用复数的除法运算法则对原式化简成的形式，即可的虚部 i a b +【详解】因为()()()()()2i 1i 2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i 2--===-=+++-所以虚部为1.故选：B3．经过点，且斜率为的直线方程是（ ） (1,2)2A ． B ．C ．D ．20x y -=20x y +=210x y -+=230x y +-=【答案】A【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得. (1,2)2()221y x -=-20x y -=故选：A4．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（ ）A ．B ．C ．D ．1847162383116【答案】C【分析】分析数列特征，求前5项的和.【详解】由题意可知，数列前2项都是1，从第二项开始，构成公比为的等比数列，所以前5项12和为：. 11123112488++++=故选：C5．双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>0x =CA B C ．2 D【答案】C【分析】根据渐近线得到. a b =【详解】因为的一条渐近线方程为，所以 C 0x -=a b =所以的离心率.C 2e ==故选：C6．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时141312射击目标，则目标被击中的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．342345710【答案】A【分析】根据目标被击中的概率等于1减去甲､乙､丙三人都没有击中目标的概率求解即可. 【详解】因为目标被击中的概率等于1减去甲､乙､丙三人都没有击中目标的概率， 所以目标被击中的概率是，111311114324⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：.A7．如图所示，在正方体中，分别是的中点，有下列结论：①1111ABCD A B C D -,E F 11,AB BC ；②平面；③与所成角为；④平面，其中正确1EF BB ⊥EF ⊥11BCC B EF 1C D 45 //EF 1111D C B A 的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【分析】利用线面垂直可得线线垂直即可判断①；利用线面垂直可判断②；利用异面直线的夹角可判断③；利用线面平行的判定定理可判断④.【详解】连接，则交于，又因为为中点，1A B 1A B 1AB E F 1BC得，由平面，平面, 11//EF A C 1B B ⊥1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得，得，故①正确；111B B A C ⊥1B B EF ⊥由平面，得平面，1111//,EF A C A C ⊥11BDD B EF ⊥11BDD B 而平面与平面不平行，所以平面错误， 11BDD B 11BCC B EF ⊥11BCC B 故②错误；因为与所成角就是，连接, EF 1C D 11A C D ∠1A D 则为等边三角形，11AC D A所以，故③错误； 1160AC D ∠=由分别是的中点，得，,E F 11,AB BC 11//EF A C 平面，平面，EF ⊄1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得平面， //EF 1111D C B A 故④正确； 故选:B.8．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱()0e KtS t S =和度（单位：%）随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参()S t t 0S K 数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为70．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间060S =至少还需要（取，，，）（ ） ln6 1.79=ln7 1.95=ln12 2.48=ln19 2.94=A ．1.525小时 B ．1.675小时 C ．1.725小时 D ．1.875小时【答案】D【分析】根据已知条件列方程或不等式，化简求得正确答案. 【详解】由题意知：，，，， 60e 70K =60e 95Kt ≥70ln ln 7ln 660K ==-95ln ln19ln1260Kt ≥=-则，则给氧时间至少还需要小时.ln19ln12 2.94 2.482.875ln 7ln 6 1.95 1.79t --≥==-- 1.875故选：D二、多选题9．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于()sin2f x x =4π()y g x =说法错误的是（ ）()g x A ．最大值为，图象关于直线对称12x π=B ．在上单调递减，为奇函数04π⎛⎫⎪⎝⎭，C ．在上单调递增，为偶函数388ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．周期是，图象关于点对称 π308π⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】BCD【分析】由题意化简得，为偶函数，可以判断选项B ，结合余弦函数的性质判断()cos 2g x x =()g x 选项A ，由于，，则不具有单调性，判断选项C ，388x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3244x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x，判断选项D. 308g π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，()sin2f x x =4π得到函数的图象，()sin 2cos 22y g x x x π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭关于，显然它是偶函数，周期为，故B 不正确； ()g x 22ππ=由于当时，，为最小值，故的图象关于直线对称，2x π=()1g x =-()g x 2x π=结合余弦函数的性质可得，的最大值为，故A 正确；()g x 1由于当时，，不具有单调性，故C 错误；388x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3244x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x由于当时，，故的图象不关于点对称，故D 不正确． 38x π=()0g x =≠()g x 308π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：BCD ．10．已知空间三点，设.则下列结论正确的是（ ）(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---,a AB b AC ==A ．若，且，则3c = //C c B (2,1,2)c =-B ．和的夹角的余弦值a bC ．若与互相垂直，则的值为2；ka b +2ka b - k D ．若与轴垂直，则，应满足()()λμ++-a b a b z λμ0λμ-=【答案】BD【分析】利用空间向量的基本定理及坐标表示判断即可. 【详解】依题意，，，(1,1,0)a = (1,0,2)b =- (2,1,2)BC =--对于A ，因为，所以，又，//C c B(2,,2)c BC λλλλ==-- 3c = 3=解得，所以或，A 不正确；1λ=±(2,1,2)c =- (2,1,2)c =--对于B ，，B 正确；cos ,a b a b a b⋅<>===对于C ，因与互相垂直，则， ka b + 2ka b - ()()2222222100ka b ka b k a ka b b k k +⋅-=-⋅-=+-= 解得或，C 不正确；2k =52k =-对于D ，因为，轴的一个方向向量()()()()()0,1,22,1,22,,22a b a b λμλμμλμλμ++-=+-=+-z ，(0,0,1)n =依题意，即，D 正确； ((0,0,12,,22)220)μλμλμλμ=+-⋅-=0λμ-=故选：BD11．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） {}n a 13a =111n na a +=-{}n a n n S A ． B ． 232a =31312n n S S +-=-C ． D ．121n n n a a a ++=-1922S =【答案】CD【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即2a 3a 4a {}n a 3可判断A 、B 、D ，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 2n a +12n n n a a a ++【详解】解：因为，， 13a =111n na a +=-所以，故A 错误； 221121133a a =-=-=，，所以数列是以为周期的周期数列， 3211111223a a =-=-=-4131111312a a a =-=-==-{}n a 3所以，故B 错误； 3133113n n n a S S a ++=-==因为，， 1111n n n na a a a +=-=-2111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++-==-=----=--所以，故C 正确； 121111n n n n n n n a a a a a a a ++-⋅--=⋅=-，故D 正确；()()191231819123192166332232S a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++=+++=⨯+-+= ⎪⎝⎭ 故选：CD12．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则2:4C x y =,F O ()00,M x y C 5MF =（ ）A ．的坐标为B ．F ()1,004y =C ．D ．以为直径的圆与轴相切OM =MF x 【答案】BCD【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A 选项；利用抛物线的定义可求得的值，F 0y 可判断B 选项；先根据抛物线的方程求的值，再利用平面内两点间的距离公式可判断C 选项；0x 求出的中点坐标，进而可得该点到y 轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断D 选项. MF 【详解】对于抛物线，可得，且焦点在y 轴正半轴上，则点错误； 2:4C x y =2,12pp ==()0,1,A F 由拋物线的定义可得，可得正确；015MF y =+=04,B y =由可知，，可得，C 正确；04y =2016x =04,x OM =±==∵的中点坐标为，则点到y 轴的距离，MF 52,2⎛⎫± ⎪⎝⎭52,2⎛⎫± ⎪⎝⎭5122d MF ==∴以为直径的圆与轴相切，D 正确. MF x 故选：BCD.三、填空题13．设等差数列的前项和为整数，若，则公差________. {}n a n ,n S n 132,12a S ==d =【答案】2【分析】根据等差数列的前项和公式求解即可. n 【详解】因为是等差数列, {}n a 所以， 31132333122S a d a d ⨯=+=+=又因为，所以. 12a =2d =故答案为:.214．已知直线被圆截得的弦长为2，则____ :l y x =()()()222:310C x y r r -+-=>r =【分析】由题意，利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，则其圆心为，()()22231x y r -+-=()3,1圆心到直线的距离，弦长的一半为1，d r ==15．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何?”其意为:“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 ____________钱．（所得结果四舍五入，保留整数） 【答案】17【分析】利用分层抽样找到丙所带钱数占三人所带钱总数的比例即可. 【详解】依照钱的多少按比例出钱，则丙应出:钱.18056100=1617560+350+180109⨯≈故答案为：1716．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角-P ABC O PA PB PC ==ABC A 形，若点分别是的中点，，则球的半径为___________. ,E F ,PA AB 90CEF ∠=︒O【分析】先判断得三棱锥为正三棱锥，从而利用线面垂直的判定定理依次证得平面-P ABC AC ⊥，平面，结合勾股定理证得正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，由此将三PBG PB ⊥PAC -P ABC棱锥补形为正方体，利用的半径.-P ABC 2R O 【详解】由，是边长为2的正三角形，得三棱锥为正三棱锥， PA PB PC ==ABC A -P ABC 则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于， P O BO AC G 则，又，，平面， AC BG ⊥PO AC ⊥PO BG O = ,PO BG ⊂PBG 所以平面，又平面，则， AC ⊥PBG PB ⊂PBG PB AC ⊥因为分别是的中点，所以， ,E F ,PA AB //EF PB 又，即，所以，90CEF ∠=︒EF CE ⊥PB CE ⊥又，平面，所以平面， AC CE C = ,AC CE ⊂PAC PB ⊥PAC 又平面，所以，,PA PC ⊂PAC ,PB PA PB PC ⊥⊥易知在中，，所以，则， Rt PAB A 222PA PB AB +=222PA PC AC +=PA PC ⊥又，所以，2AB =2222PA PB PC ===所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，-P ABC 将三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， -P ABC其直径，则球的半径．2R =O R =.四、解答题17．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图所示的频率分布直方图.[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,,90,100(1)求图中的值；m (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) 0.030m =(2)71【分析】(1)根据小矩形面积之和为1可计算得的值.(2)平均值为每组数据中的中点値乘以频率再m 相加即可.【详解】（1）由， ()100.0100.0150.0150.0250.0051m ⨯+++++=得.0.030m =（2）样本平均数， 450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71.18．已知公差不为0的等差数列的前项和为，、、成等差数列，且、、{}n a n n S 2S 4S 55S +2a 7a 成等比数列．22a (1)求的通项公式； {}n a (2)若，数列的前项和为，证明：． 11n n n b a a +={}n b n n T 16n T <【答案】(1) 21n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）公式法列方程组解决即可；（2）运用裂项相消解决即可. 【详解】（1）由题知，设的公差为，由题意得，{}n a d 42527222250S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩即，解得，11121112(46)(2)(510)5(6)()(21)0a d a d a d a d a d a d d +=++++⎧⎪+=++⎨⎪≠⎩132a d =⎧⎨=⎩所以， 1(1)3(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=+所以的通项公式为. {}n a 21n a n =+（2）证明：由（1）得，21n a n =+所以， 111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭所以．1111111111123557212323236n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭19．在中，设角所对的边长分别为，且． ABC A ,,A B C ,,a b c 22cos c b a C =-(1)求角；A (2)若的面积的值． ABC A S =c =sin sin B C 【答案】(1)3A π=(2) 1sin sin 2B C =【分析】（1）由正弦定理边化角，或余弦定理角化边解决即可；（2）根据题意与面积公式求得 ，结合余弦定理得，由正弦定理得c =b =3a =，即可解决. 2sin a R A=()22sin sin bc R C B =【详解】（1）解法一：因为，22cos c b a C =-由正弦定理得：sin 2sin 2sin cos C B A C =-所以()sin 2sin 2sin cos 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin C A C A C A C A C A C A C =+-=+-=因为，sin 0C ≠所以，即 2cos 1A =1cos 2A =因为， 0πA <<所以． π3A =解法二：因为，22cos c b a C =-由余弦定理得： 222222a b c c b a ab+-=-⋅整理得，即222bc b c a =+-222a b c bc =+-又由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-所以，即 2cos 1A =1cos 2A =因为， 0πA <<所以． π3A =（2）由（1）得， π3A =因为的面积， ABC A S =所以 11πsin sin 223bc A bc ==所以， 6bc =由于 c =所以，b =又由余弦定理：，2222cos 12369a b c bc A =+-=+-=所以．3a =所以 2sin a R A==所以由正弦定理得，()22sin sin 12sin sin 6bc R C B C B ===所以． 1sin sin 2B C =20．已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2． 2222:1(0)x y C a b a b+=>>)F (1)求椭圆的标准方程； C (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若B C ():1l y x m m =+≠C M N ，求直线的方程． BM BN ⊥l 【答案】(1) 2214x y +=(2) 35y x =-【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程；,,a b c （2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数.0BM BN ⋅= m【详解】（1）由题意得，，， c =2a b=222a b c =+，，2a ∴=1b =椭圆的标准方程为． ∴C 2214x y +=（2）依题意，知，设，．()0,1B ()11,M x y ()22,N x y 联立消去，可得． 2244y x m x y =+⎧⎨+=⎩y 2258440x mx m ++-=，即， ()2Δ1650m ∴=->m <<1m ≠，． 1285m x x -+=212445m x x -=，．BM BN ⊥ 0BM BN ∴⋅= ，()()()()211221212,1,121(1)0BM BN x x m x x m x x m x x m ⋅=+-⋅+-=+-++-= ， ()2244821(1)055m m m m --∴⨯+-+-=整理，得，25230m m --=解得或（舍去）． 35m =-1m =直线的方程为． ∴l 35y x =-21．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所ABCD AB 在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点． 23πG A DF(1)求此几何体的体积；(2)设是上的一点，且，求的大小； P A CEAP BE ⊥CBP ∠(3)当，时，求二面角的大小．3AB =2AD =E AG C --【答案】(1) 83π(2)30CBP ∠= (3)．60【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大BE ⊥ABP CBP ∠小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大E AG C --小.【详解】（1）此几何体的体积； 2182233V ππ=⋅⋅=（2）因为，，，平面，，AP BE ⊥AB BE ⊥AB AP ⊂ABP AB AP A =I 所以平面， 又平面， 所以，BE ⊥ABP BP ⊂ABP BE BP ⊥又，因此120EBC ∠= 30CBP ∠= （3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，B ,,BE BP BA ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -故，，，(2,0,3)AE =- AG = (2,0,3)CG =设是平面的一个法向量．111(,,)m x y z = AEG 由，得，取，则， 00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩12z=113,x y ==得平面的一个法向量．AEG (3,m =设是平面的一个法向量．222(,,)n x y z = ACG 由，得，取，则， 00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22z =-113,x y ==得平面的一个法向量．ACG (3,2)n =- 所以． 1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ 因此二面角的大小为．E AG C --60 22．已知函数．()()21，f x x g x x ==-(1)若，使，求实数b 的范围；R x ∃∈()()f x b g x <⋅(2)设，且在上单调递增，求实数m 的范围．()()()21F x f x mg x m m =-+--()F x []0,1【答案】(1)()()04,∪,-∞+∞(2))102,∪,⎡⎤⎡-+∞⎣⎦⎣【分析】对于（1），，， R x ∃∈()()20R，f x b g x x x bx b <⋅⇔∃∈-+<即函数在x 轴下方有图像，据此可得答案；2y x bx b =-+对于（2），，分两种情况讨论得答案.()221F x x mx m =-+-00，∆≤∆>【详解】（1）由，，得. R x ∃∈()()f x b g x <⋅20R ，x x bx b ∃∈-+<则函数在x 轴下方有图像，2y x bx b =-+故，解得或，()240b b ∆=-->0b <4b >故实数b 的范围是； ()()04,∪,-∞+∞（2）由题设得， ()222251124m F x x mx m x m ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭得对称轴方程为，， 2m x =()2224154m m m ∆=--=-由于在上单调递增，则有：()F x []0,1①当即≤m 时，时，在上单调递增， 0∆≤x ∈R ()F x ,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭则， 012,,m ⎡⎫⎡⎤⊆+∞⇒⎪⎢⎣⎦⎣⎭02m m ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩0m ≤≤②当Δ＞0即的解为：m <m >()0F x =，则. 12x x ==0>12x x <当时，可知在上单调递增. x ∈R ()Fx )122,，,m x x ⎡⎤⎡+∞⎢⎥⎣⎣⎦i 若，则， m >02m >>[]1120,1,02m mx m ⎧≥⎪⎡⎤⊆⇒⎢⎥⎣⎦⎪>⎪⎩解得；2m ≥ii 若，m <0m <-<则，解得. [][)200,1,x m ∞⊆+⇒⎪<⎪⎩1m -≤<综上所述，实数m 的范围是.)102,∪,⎡⎤⎡-+∞⎣⎦⎣。
2020-2021学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 20 页2020-2021学年广东省高二上学期期末数学试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．已知命题P ：∃x 0≥1，x 02+x 0+1≤0，则命题P 的否定为（ ）A ．∃x ≥1，x 2+x +1＞0B ．∀x ≥1，x 2+x +1≤0C ．∀x ＜1，x 2+x +1＞0D ．∀x ≥1，x 2+x +1＞02．过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ） A ．√5+12B ．√102C ．√17+14D ．√2243．已知数列{a n }满足a n +1﹣2a n ＝0，且a 1+a 3+a 5＝21，那么a 3+a 5+a 7＝（ ） A ．212B ．33C ．42D ．844．△ABC 中，a cosA=b cosB=c cosC，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．准线方程为y ＝2的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝16yB ．x 2＝8yC ．x 2＝﹣16yD ．x 2＝﹣8y6．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是双曲线x 23p−y 2p=1的一个焦点，则p ＝（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167．设a ＞0，b ＞0，则“b ＞a ”是“椭圆x 2a +y 2b =1的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线C ：y 2a −x 2b =1(a ＞b ＞0)的一条渐近线与直线3x ﹣2y ﹣5＝0垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．√133B ．√132C ．√153 D ．√1529．在△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD +∠C =π2，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形。
广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为（ ） (3,1)A -()0,2B AB A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒135︒【答案】D【分析】设直线的倾斜角为，求出直线的斜率即得解. α【详解】设直线的倾斜角为， α由题得直线的斜率为， 21tan 13k α+===--因为， 0180α≤< 所以. 135α= 故选：D.2．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面l ()2,2,4v =--- α()1,1,2n =l 的位置关系是（ ）αA ．垂直 B ．平行C ．相交但不垂直D ．平行或线在面内【答案】A【分析】根据得到与共线，即可得到直线与平面垂直.2n υ=-υ n l α【详解】因为，所以与共线，直线与平面垂直.2n υ=-υ n l α故选：A.3．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（ ） A ．6 B ．10 C ．12 D ．14【答案】C【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列通项公式联立方程组解出即可. n 【详解】设等差数列的首项为，公差为，由条件可知， {}n a 1a 0d > 51545120,2S a d ⨯=+=，()345123a a a a a ++=+即，()()113332a d a d +=+即，1122420a d a d +=⎧⎨-=⎩解得，112,6a d ==所以最小一份的口罩个数为12个， 故选：C ．4．双曲线的一条渐近线方程为（ ）2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>CA B ． 0y -=0x =C D ．0y -=0x =【答案】B【分析】根据离心率计算公式，即可容易求得结果.【详解】因为的离心率为，所以C e =b a =所以渐近线方程为. 0x =故选：B.5．在各棱长均相等的直三棱柱中，点M 在上，点N 在AC 上且111ABC A B C -1BB 12BM MB =，则异面直线与NB 所成角的正切值为（ ）2AN NC =1A MA B C D【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法求异面直线所成角即可. 【详解】设棱长为3，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ()10,0,3A 3,22M ⎫⎪⎪⎭3,02B ⎫⎪⎪⎭()0,2,0N ∴，．设异面直线与BN 所成角为，13,12A M ⎫=-⎪⎪⎭1,02BN ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭ 1A M θ则∴∴异面直线与BN所成角的正切值为11cos A M BN A M BN θ⋅===⋅tanθ=1A M故选：B ．6．圆截直线：所得的弦长最短为（ ） 22(1)4x y -+=l (2)1y k x =-+A B ．1C D ．【答案】D【分析】先判断得点在圆C 内部，再结合图像与弦长公式得到当时，弦长取得最小值，M CM l ⊥由此得解.【详解】因为直线：恒过定点，又， l (2)1y k x =-+(2,1)M22(21)14-+<所以点在圆C ：内部，M 22(1)4x y -+=因为圆C ：的圆心为，半径，22(1)4x y -+=(1,0)C 2r =因为弦长为最大时，弦长最短，AB ==dAB 所以当时，最大，则弦长最短， CM l ⊥d CM =AB=所以.min AB =故选：D..7．双曲线方程，，为其左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点A 和22221x y a b-=1F 2F 2F 点B ，以为直径的圆恰好经过A 点，且，则该双曲线的离心率为（ ） 1BF 134AF AB =A B C D【答案】C【分析】由几何关系及双曲线的定义列方程即可求得离心率. 【详解】如图：由题可知，由， 190BAF ∠=︒134AF AB =可设，则， 13AF x =4AB x =15BF x =设，则 2AF y =24BF x y =-因为A 、B 都在双曲线上， 所以 12122AF AF BF BF a -=-=即 ()3542x y x x y a -=--=解得，x y a ==又， 122F F c ===所以， c x =则离心率．c e a ==故选：C ．8．数列满足：，，记数列的前项和为，若恒成{}n a 12a =()*1111n nn aa +-=∈N {}1n n a a +⋅n n S n S m <立，则实数的取值范围是（ ） m A ． B ．C ．D ．[1,)+∞3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[2,)+∞5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】由条件求出数列的通项公式，再求数列的前项和为及其范围，再由条件{}n a {}1n n a a +⋅n n S 恒成立求的取值范围.n S m <m 【详解】因为，，所以数列为首项为，公差为1的等差数列，所()*1111n nn a a +-=∈N 12a =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12以，所以， ()11211122n n n a -=+-⨯=()()1411221212121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭所以数列的前项和为，{}1n n a a +⋅n 1111121223352121n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，又，所以，12121n S n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=N n *∈2n S <因为恒成立，所以， n S m <2m ≥故实数的取值范围是， m [2,)+∞故选：C.二、多选题9．已知空间向量，则下列结论正确的是（ ）()()2,1,1,3,4,5a b =--=A ．B ()2//a b a +C ．D ．在上的投影数量为()54a a b ⊥+a b 【答案】BD【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影即可解决.【详解】由题得，而，故A 不正确； ()()21,2,7,2,1,1a b a +=-=--127211-≠≠--因为B 正确；|||a b ==因为，故C 错； ()()()542,1,12,11,25100a a b ⋅+=--=≠A因为在上的投影数量为D 正确； a b cos ,a b a a b b ⋅=== 故选：BD.10．已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（ ） 224x y +=l lA ．B ．C ．D ．10x y -+=70x y -+=0x y -+==1x -【答案】BCD【分析】将圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，转化为圆心到直线的距离，224x y +=l l 1d =根据圆心到直线距离公式计算即可.【详解】由题知，圆，圆心为，半径为， 224x y +=(0,0)O 2r =因为圆上有且仅有三个点到直线的距离为1， 224x y +=l 所以圆心到直线的距离，l 1d =对于A ，圆心为到直线的距离A 错误； (0,0)O 10x y -+=d ==对于B ，圆心为到直线的距离，故B 正确；(0,0)O 70x y -+=1d对于C ，圆心为到直线的距离，故C 正确；(0,0)O 0x y -=1d 对于D ，圆心为到直线的距离，故D 正确； (0,0)O =1x -0(1)1d =--=故选：BCD11．如图，已知正方体的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，的中点，以下1111ABCD A B C D -11B C 说法正确的是（ ）A ．三棱锥的体积为1B ．平面EFGC EFG -1A C ⊥C ．平面EFGD ．平面EGF 与平面ABCD11//A D 【答案】AB【分析】根据锥体体积公式求得三棱锥的体积.建立空间直角坐标系，利用向量法判断C EFG -BCD 选项的正确性.【详解】A 选项，，111132211121241122222CEF S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=A 所以，A 选项正确.132132C EFG G CEF V V --==⨯⨯=建立如图所示空间直角坐标系，，()()()()()()112,0,2,0,2,0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,2A C D E F G ,()()()()1112,2,2,2,0,0,1,1,0,0,2,2A C A D EF EG =--=-==，所以， 110,0AC EG AC EF ⋅=⋅= 11,A C EG A C EF ⊥⊥由于平面，所以平面，B 选项正确.,,EG EF E EG EF ⋂=⊂FEG 1A C ⊥EFG 平面的一个法向量为，EFG ()12,2,2A C =--，所以与平面不平行，C 选项错误. 11140A D AC ⋅=≠ 11A D EFG 平面的法向量为，ABCD ()0,0,1n =设平面于平面的夹角为，EFG ABCD θ则，D 选项错误. cosθ=故选：AB12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前n 项和为，则{}n a n S （ ） A ． B ． 10814a a -=10127a =C ． D ．共有72项10640S ={}n a 【答案】BCD【分析】先求得数列的通项公式，进而求得的值判断选项A ；求得{}n a 1413(72)n a n n =-≤108a a -的值判断选项B ；求得的值判断选项C ；求得的项数判断选项D.10a 10S {}n a 【详解】将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按 从小到大的顺序排成一列，构成首项为1末项为995公差为14的等差数列 则数列的通项公式为 {}n a 114(1)1413(72)n a n n n =+-=-≤则数列共有72项.故选项D 判断正确；{}n a .故选项A 判断错误； 10821428a a -=⨯=.故选项B 判断正确； 10141013127a =⨯-=.故选项C 判断正确.10110(1127)6402S =⨯⨯+=故选：BCD三、填空题13．若直线：与：平行，则的值为_____________． 2l 330kx y ++=1l (4)10x k y +-+=k 【答案】1【分析】根据两直线平行的条件列出方程，解之并进行检验，排除重合的情况即可求解. 【详解】由已知得，，即，解得或． ()1340k k ⨯--=2430k k -+=1k =3k =当时，，，显然两直线平行；1k =1:310++=l x y 2:330l x y ++=当时，，化简后，显然两直线重合，舍去． 3k =1:10l x y ++=2:10l x y ++=所以． 1k =故答案为：.114．经过原点的平面的一个法向量为，点坐标为，则点到平面的距离为α(3,1,2)n =A (0,1,0)A α______.【分析】使用空间向量法求点到平面的距离,点到平面的距离可视为在上的投影A αOA (3,1,2)n =大小.【详解】设坐标原点为,则,点到平面的距离可视为在上的投影大小, O (0,1,0)OA = A αOA (3,1,2)n =故d =15．已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线和它到轴的距离:4380l x y -+=P 24y x =P l y 之和的最小值为______ 【答案】75【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上的点到y 轴的距离转化为其到抛物线的焦点的距离减1，从而将其转化为求抛物线的焦点到直线的距离减1，从而求得结果.4380x y -+=【详解】， ()()127111155F l PA PB PH PB PF PB d ≥→+=-+=+--=-=故答案是：. 75【点睛】该题考查的是有关抛物线上的点到两条定直线的距离之和的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，利用抛物线的定义将距离转化为抛物线上的点到焦点的距离和到定直线的距离之和的最小值问题，属于简单题目.16．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列{}n a {}n b {}n a 与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第{}n b {}n c {}n c {}n b ______项.【答案】28【分析】根据给定的条件，求出数列，的通项公式，再推导出数列的通项即可计算作{}n a {}n b {}n c 答.【详解】依题意，数列，的通项公式分别为，令，{}n a {}n b 31,53n n a n b n =-=-,,N k m a b k m *=∈即有，则，因此，即，有3153k m -=-522233m m k m -+==-23,N m p p *+=∈32,N m p p *=-∈，32p p c b -=于是得数列的通项为，，由得：， {}n c 325(32)31513n n c b n n -==--=-10137c =53137n -=28n =所以数列的第10项是数列的第28项. {}n c {}n b 故答案为：28四、解答题17．在等差数列中，． {}n a 162712,16a a a a +=+=(1)求等差数列的通项公式；{}n a (2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． {}2n n a b +{}n b n n S 【答案】(1)； 21n a n =-(2). 2221n n --【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）设数列的通项公式为，由等比数列公式求出可得， {}2n n a b +n c n c n b 再由分组求和得解.【详解】（1）设等差数列的公差为，{}n a d 由题知，则，解得 16271216a a a a +=⎧⎨+=⎩1125122716a d a d +=⎧⎨+=⎩11,2.a d =⎧⎨=⎩．()12121n a n n ∴=+-=-（2）设数列的通项公式为，{}2n n a b +n c 则，122n n n n c a b -=+=，()122221n n n n b c a n -∴=-=--则 ()()11242213521n n S n -=++++-++++- ． ()2121122221122nn n n n +--=-⋅=---18．已知点，圆. (),1P t t --()22:34C x y -+=(1)判断点与圆的位置关系，并说明理由；P C (2)当时，经过点的直线与圆相切，求直线的方程.5t =P n C n 【答案】(1)点在圆外，理由见解析；P C (2)或.5x =4320x y +-=【分析】（1）求出与半径比较，即可得出；PC r （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件；当直线的斜率存在时，设直n n 5x =n 线的方程为，根据圆心到直线的距离列出方程，求解即可得到的值，进而n ()65y k x +=-d r =k 解出切线方程.【详解】（1）点在圆外.P C 由已知得，圆心，半径.()3,0C 2r =， ==2r ≥>=所以，点在圆外.P C （2）当时，点.5t =()5,6P -①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为2等于半径，所n n 5x =()3,0C 以直线是圆的切线；5x =②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，n n ()65y k x +=-560kx y k ---=圆心到直线的距离，解得， ()3,0C n 2d 43k =-所以直线的方程为，即. n ()4653y x +=--4320x y +-=综上，直线方程为或.n 5x =4320x y +-=19．如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为P ABCD -PA ABCD ABCD 24PA =E 侧棱的中点.PC(1)求四棱锥的体积；E ABCD -V (2)求直线与平面所成角的大小.BE PCD θ【答案】(1)； 83(2) 【分析】（1）利用锥体的体积公式即得；（2）利用坐标法，根据线面角的向量求法即得.【详解】（1）在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为2，，为P ABCD -PA ABCD ABCD 4PA =E 侧棱的中，PC 所以，点到平面为高， E ABCD 122h PA ==又因为，4ABCD S =正方形所以，四棱锥的体积； E ABCD -11842333ABCD V S h =⋅=⨯⨯=正方形（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，A则，，，，，()2,0,0B ()2,2,0C ()0,0,4P ()1,1,2E ()0,2,0D 所以，，，()1,1,2BE =- ()0,2,4DP =- ()2,0,0DC =u u u r设平面的法向量，则， PCD (),,n x y z = 24020n DP y z n DC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩取，得，2y =()0,2,1n =因为直线与平面所成角为，BE PCD θ，sin BE n BE n θ⋅∴===⋅θ∴=因此，直线与平面所成角为.BE PCD 20．已知数列的前n 项和为，，且．{}n a n S 11a =()*121,2n n S S n n -=+∈≥N (1)求的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和．n n b na ={}n b n T 【答案】(1)12n n a -=(2)(1)21n n T n =-⨯+【分析】（1）根据作差可得，再求出，即可得到，从而得到是11n n n a S S ++=-12n n a a +=2a 212a a ={}n a 以为首项，为公比的等比数列，即可得到其通项公式；12（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；12n n b n -=⋅【详解】（1）解：因为①， ()*121,2n n S S n n -=+∈≥N 所以②，121n n S S +=+②①得即，-()112121n n n n S S S S +---=++12n n a a +=所以，3542342a a a a a a ===⋯=又当时，，又，所以，所以， 2n =2121S S =+11a =22a =212a a =所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，*12(N )n na n a +=∈{}n a 12所以．12n n a -=（2）解：由（1）可得，12n n n b na n -==⋅所以， 012321112223242(1)()22n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯则12341212223242(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯两式相减得， 012311222222221(1)212n n nn n n T n n n ---=++++⋯+-⨯=-⨯=---⨯-所以， (1)21n n T n =-⨯+21．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，平面平面P ABCD -PAD ⊥,,ABCD AD BC AD CD ⊥∥，且的中点分别是．请用空间向量知识解答下列224,,AD BC CD PA PD AD AB =====,O G 问题：(1)求证：平面；OG ⊥POC (2)求二面角的余弦值．D PG O --【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）先证明两两相互垂直，再建立空间直角坐标系，向量法证明,,OB OD OP ，再由线面垂直的判定定理得证；,OG OC OG OP ⊥⊥（2）利用向量法求出二面角的余弦值即可.【详解】（1）连接，由，知四边形是平行四边形，OB //OD BC =OD BC OBCD 又，所以，AD CD ⊥OB AD ⊥因为，是的中点，所以，PA PD =O AD PO AD ⊥又平面平面，是两平面交线，平面，PAD ⊥ABCD AD PO ⊂PAD 所以平面，PO ⊥ABCD 因为平面，所以，OB ⊂ABCD PO OB ⊥即两两相互垂直，,,OB OD OP 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的∴O ,,OB OD OP ,,x y z 空间直角坐标系，，2OP ∴===则．()()()()()0,0,0,1,1,0,2,2,0,0,0,2,0,2,0O G C P D -，()()()1,1,0,2,2,0,0,0,2OG OC OP ∴=-== ， ()()()()1,1,02,2,00,1,1,00,0,20OG OC OG OP ⋅=-⋅=⋅=-⋅= ，,OG OC OG OP ∴⊥⊥又，平面，OC OP O = ,OC OP ⊂POC 平面．OG ∴⊥POC （2）由（1）知，又平面，平面， OG OC ⊥PO ⊥ABCD OC ⊂ABCD 所以，由，平面，PO OC ⊥OG PO O = ,OG OP ⊂OPG 所以平面，OC ⊥OPG 故平面的一个法向量为，OPG ()2,2,0m = 因为．()()1,3,0,1,1,2DG PG =-=-- 设平面的一个法向量为，DPG (),,n x y z = 则即取，解得 0,0,n DG n PG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 30,20,x y x y z -=⎧⎨--=⎩1y =3,1,1.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩故平面的法向量为，DPG ()3,1,1n = 设二面角的大小为，由图可知为锐角，D PG O --θθ．cos cos ,m n m n m nθ⋅∴==== 故二面角D PG O --22．已知双曲线：的焦距为4，且过点 Γ2222=1(0,0)a x y ab b ->>P ⎛ ⎝(1)求双曲线的方程；Γ(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线ΓF 12,k k 1l 2l 1l Γ,A B 交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与2l Γ,C D ,M N AB CD 121k k -⋅=OMN A FMN △的面积之比.【答案】(1) 2213x y -=(2)3【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从24c=P ⎛ ⎝222c a b =+22,a b 而可求出双曲线方程，（2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数1l 1(2)y k x =+1122(,),(,)A x y B x y 的关系，结合中点坐标公式可表示点的坐标，再利用表示出点的坐标，再表示出直M 121k k -⋅=N 线的方程，可求得直线过定点，从而可求得答案.MN MN (3,0)E -【详解】（1）由题意得，得，24c ==2c 所以，224a b +=因为点在双曲线上，P ⎛ ⎝所以， 22413=1a b -解得，223,1a b ==所以双曲线方程为， 2213x y -=（2），设直线方程为，， (2,0)F -1l 1(2)y k x =+1122(,),(,)A x y B x y 由，得 122=(+2)=13y k x x y -⎧⎪⎨⎪⎩2222111(13)121230k x k x k ----=则， 22111212221112123,1313k k x x x x k k --+==--所以， 2121216213x x k k +=-所以的中点， AB 211221162,1313k k M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭因为，121k k -⋅=所以用代换，得， 11k -1k 1221126,33k N k k ⎛⎫- ⎪--⎝⎭当，即时，直线的方程为，过点， 212211661313k k k =--11k =±MN 3x =-(3,0)E -当时，， 11k ≠±112211122112211221332663(1)133MNk k k k k k k k k k ----==-----直线的方程为， MN 2111222111226133(1)13k k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪---⎝⎭令，得， =0y 221122113(1)631313k k x k k -=+=---所以直线也过定点， MN (3,0)E -所以 12312N M OMNFMN M N y y OE OE S S FE y y FE -===-A A。
广东省高二上学期数学期末考试试卷
广东省高二上学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 9 题；共 18 分)1. （2 分） 圆的圆心坐标是（ ）A . (2，3)B . (－2，3)C . (－2，－3)D . (2，－3)2. （2 分） (2019 高二上·温州期末) 直线 A.的倾斜角是（ ）B.C.D.3. （2 分） 若向量 、 的坐标满足，， 则 · 等于（ ）A.5B . -5C.7D . -14. （2 分） 已知 m≠0，直线 ax+3my+2a=0 在 y 轴上的截距为 2，则直线的斜率为（ ）A.1第 1 页 共 16 页B.-C.D.2 5. （2 分） 设甲：函数 那么甲是乙的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件的值域为 ， 乙：函数有四个单调区间，6. （2 分） (2018 高三上·寿光期末) 若 ， 满足约束条件 （）A. B. C. D. 7. （2 分） (2018 高二上·黑龙江期中) 对于平面 和不重合的两条直线，则的最大值为，下列选项中正确的是（ ）A . 如果，，共面，那么B . 如果， 与 相交，那么是异面直线C . 如果，，是异面直线，那么D . 如果，，那么第 2 页 共 16 页8. （2 分） 双曲线右支上一点到直线的距离，则（）A. B. C. 或 D. 或9. （2 分） (2019 高二下·哈尔滨月考) 已知 围是（ ）A.，且，则的取值范B. C. D.二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)10. （1 分） (2018 高二上·苏州月考) 若椭圆的离心率为 ，则 =________.11. （1 分） (2020 高三上·松原月考) 若命题“ 的范围________．，使得”为假命题，则实数12.（1 分）(2018 高二上·鼓楼期中) 若圆 x2+y2＝4 与圆 x2+y2﹣16x+m＝0 相外切，则实数 m 的值是________．13. （1 分） (2020·甘肃模拟) 已知四边形为矩形,, 为 的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为 ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①平面，且的长度为定值 ；②三棱锥的最大体积为；第 3 页 共 16 页③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为________．（写出所有正确结论的序号）14. （1 分） (2018·吕梁模拟) 已知双曲线 ：支上一动点，的内切圆的圆心为 ，半径的左右焦点分别为 ， ， 为 右，则的取值范围为________．15.（1 分）(2019 高二下·上海月考) 在北纬 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于 （ 为地球半径），则这两地间的球面距离为________ .三、 解答题 (共 4 题；共 20 分)16. （5 分） (2016 高三上·平阳期中) 设函数 f（x）= • ，其中向量 =（2cosx，1）， =（cosx， sin2x），x∈R． （1） 求 f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2） 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知 f（A）=2，b=1，△ABC 的面积为 ，求 的值．17.（5 分）(2020 高二下·东阳期中) 在四棱锥中，平面，，，.（1） 证明：平面；（2） 若二面角的大小为，求 的值.18. （5 分） (2019 高二下·雅安月考) 已知函数.（1） 求这个函数的图象在处的切线方程；（2） 若过点的直线 与这个函数图象相切，求 的方程.19. （5 分） (2019 高一下·泰州月考) 在平面直角坐标系C 与 x 轴交于 M，N 两点，设直线 l 的方程为．中，圆 的方程为，且圆第 4 页 共 16 页（1） 当直线 l 与圆 C 相切时，求直线 l 的方程； （2） 已知直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点．（ⅰ）若，求实数 的取值范围；（ⅱ）直线与直线是否存在常数 a，使得相交于点 P，直线，直线，直线的斜率分别为 ， ， ，恒成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．第 5 页 共 16 页一、 单选题 (共 9 题；共 18 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：解析： 答案：4-1、 考点：第 6 页 共 16 页解析：答案：5-1、 考点： 解析： 答案：6-1、 考点： 解析：第 7 页 共 16 页答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点： 解析：第 8 页 共 16 页答案：9-1、 考点：解析：二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)答案：10-1、 考点： 解析：答案：11-1、 考点： 解析：第 9 页 共 16 页答案：12-1、 考点：解析： 答案：13-1、 考点： 解析：第 10 页 共 16 页答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共20分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：。
广东高二上学期期末数学试题(解析版
一、单选题1．若向量，，则（ ） ()1,1,0a =()1,0,2b =- 3a b +=A B ．4C ．5D【答案】D【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可.【详解】解析：由题意，得， ()32,3,2a b +=3a b ∴+==故选：D.2．在等比数列中，，则（ ） {}n a 23341,2a a a a +=+=45a a +=A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】A【分析】根据求出，再根据可得答案. 3423()a a q a a +=+q 4534()a a q a a +=+【详解】设等比数列的公比为，q 由，可得q ＝2，所以. 3423()a a q a a +=+4534()4a a q a a +=+=故选：A.3．双曲线的渐近线方程是（ ）22149x y -=A ． B ． C ．D ．23y x =±49y x =±94y x =±32y x =±【答案】D【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】由双曲线得， ，即 ，22149x y -=224,9a b ==2,3a b ==所以双曲线的渐近线方程是，22149x y -=32b y x x a =±=±故选：D ．【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线的渐近线方程22221x y a b-=是；双曲线的渐近线方程是．b y x a =±22221y x a b-=a y x b =±4．圆关于直线对称的圆的方程为（ ） 22:68240C x y x y ++-+=y x =A ．B ． ()()22431x y -++=()()224349x y -+-=C ．D ．()()22431x y ++-=()()224349x y +++=【答案】A【分析】求出所求圆的圆心坐标与半径，即可得出所求圆的标准方程.【详解】圆的标准方程为，该圆圆心为，半径为，C ()()22341x y ++-=()3,4-1故所求圆的圆心坐标为，半径为， ()4,3-1因此，所求圆的方程为. ()()22431x y -++=故选 ：A.5．在数列{}中，=2，，（ ） n a 1a 11n n n a a a +=-2022a =A ．2 B ．1C ．D ．－112【答案】D【分析】结合递推公式可求得数列是周期为3的周期数列，然后利用递推数列求出第3项即可{}n a 求解.【详解】由题意，， 111n na a +=-故，， 211111n n n a a a ++=-=-3211n n n a a a ++=-=故数列是周期为3的周期数列， {}n a 从而， 2022673333a a a ⨯+==由知，，， 12a =211112a a =-=32111a a =-=-故. 202231a a ==-故选：D.6．如图，在平行六面体中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在上，且ABCD A B C D -''''BC '，则下列向量中与相等的向量是（ ）2BM MC '=OMA ．B ．172263AB AD -++AA '111263AB AD ++AA ' C ．D ． 151263AB AD -++ AA ' 112263AB AD ++ AA ' 【答案】D【分析】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果. 【详解】因为平行六面体中，点M 在上，且ABCD A B C D -''''BC '2BM MC '=故可得 OM 1223OB BM DB =+=+ 'BC()1223AB AD =-+ 'AD()1223AB AD -+ '()AD AA + 112263AB AD =++'AA 故选：D.7．直线与曲线m 的取值范围是（ ）． :l y x m =-+x =A ．B ． 2,⎡-⎣(2⎤--⎦C ．D ．(2⎤-⎦2,⎡⎣【答案】D【分析】把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合得答案．【详解】由，得， x =224(0)x y x +=…如图，当直线与相切时， :l y x m =-+224(0)x y x +=…m =当直线过点（0,2）时，有两个交点:l y x m =-+若直线与曲线有两个公共点，∴:l y x m =-+x =则实数的取值范围是．m 2,⎡⎣故选：．D 8．已知椭圆经过点，当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，()222210x y a b a b +=>>()3,1其标准方程为（ ）A ．B ．221124x y +=22611515x y +=C ．D ．22711616x y +=221182x y +=【答案】A【分析】把点代入椭圆方程得，写出椭圆顶点坐标，计算四边形周长讨论它取最小()3,122911a b+=值时的条件即得解. 【详解】依题意得，椭圆的四个顶点为，顺次连接这四个点所得四边形为菱22911a b+=(,0),(0)a b ±±形，其周长为，当且仅当，即16==≥=22229b a a b=时取“=”，223a b =由得a 2=12，b 2=4，所求标准方程为.22229113a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩221124x y +=故选：A【点睛】给定两个正数和(两个正数倒数和)为定值，求这两个正数倒数和(两个正数和)的最值问题，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.二、多选题9．已知是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ） ,m n ,αβA ．若，则//,m n n α⊂//m αB ．若，则 //,//,m m n αβαβ⋂=//m n C ．若，则 ,,//m m n ααβ⊥⊥//n βD ．若，则 ,,m n m n αβ⊥⊥⊥αβ⊥【答案】BD【解析】根据空间中直线、平面的位置关系逐项进行分析判断，由此确定出正确的选项.【详解】A ．若，此时可能平行或异面，故A 错误；//,m n n α⊂,m αB ．根据“若一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线”，可知B 正确； C ．若，此时或，故C 错误；,,//m m n ααβ⊥⊥n β⊂//n βD ．选取上的方向向量，则为的一个法向量，又，所以，可知D 正,m n ,a b ,a b ,αβa b ⊥αβ⊥确， 故选：BD.【点睛】方法点睛：判断符号语言描述的空间中位置关系的命题的真假： （1）利用定理、定义、公理等直接判断； （2）作出简单图示，利用图示进行说明；（3）将规则几何体作为模型，取其中的部分位置关系进行分析. 10．下列关于抛物线的说法正确的是（ ） 210y x =A ．焦点在x 轴上B ．焦点到准线的距离等于10C ．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于72D ．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 ()2,1【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义和性质逐项进项检验即可.【详解】抛物线的焦点在x 轴上，，正确，错误； 210y x =5p =A B 设是上的一点，则，所以正确； ()01,M y 210y x =5711222p MF =+=+=C 由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作210y x =5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭52y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以正确. ()2,12k =-D 故选：.ACD 11．圆：和圆：的交点为A ，B ，则有（ ） 1O 2220x y x +-=2O 22280x y x y ++-=A ．公共弦所在直线方程为 AB 20x y +=B ．线段中垂线方程为 AB 220x y +-=C ．公共弦 ABD ．P 为圆上一动点，则P 到直线 1O AB 1【答案】BD【分析】根据圆与圆的位置关系，两圆的方程作出得出公共弦所在直线方程，判断选项； A 利用公共弦的中垂线过圆心即可求出线段的中垂线方程，判断选项；利用垂径定理和点到直AB B 线的距离公式可判断选项；利用点到直线的距离即可判断选项.C D 【详解】对于，由圆：与圆：的交点为A ，B ， A 1O 2220x y x +-=2O 22280x y x y ++-=两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故错误； 480x y -=AB 20x y -=A 对于，圆：的圆心为，， B 1O 2220x y x +-=()1,012AB k =则线段中垂线斜率为－2，AB 即线段中垂线方程为：，整理可得，故正确； AB 02(1)y x -=-⨯-220x y +-=B对于，圆：，圆心到的距离为，半径C 1O 2220x y x +-=()11,0O 20x y -=d ==，所以不正确； 1r =AB ==C对于，P 为圆上一动点，圆心到的距离为，即P 到直线D 1O ()11,0O 20x y -=d =1r =，故正确. AB 1D 故选：BD.12．对于数列，定义为的“优值”.现已知数列的“优值”{}n a 112022n na a a H n -+++= {}n a {}n a ，记数列的前n 项和为，则下列说法正确的是（ ） 102n H +={}20n a -n S A ． B ．C ．D ．的最小值为－6222n a n =+219n S n n =-89S S =n S 【答案】AC【分析】由题可得，进而可得判断A ，再由等差数列求和公式求出1112222n n n a a a n -+++⋅⋅⋅+=⋅n a 判断B ，由分析数列的项的符号变化情况判断C ，求出判断D.n S 200n a -≤{}20n a -9S 【详解】由题意知，，则①，11120222n n n a a a H n-+++⋅⋅⋅+==1112222n n n a a a n -+++⋅⋅⋅+=⋅当时，，1n =111214a +=⨯=当时，②，2n ≥212122(1)2n n n a a a n --++⋅⋅⋅+=-⋅①－②得，，1122(1)2n n n n a n n -+=⋅--⋅解得，当时也成立， ()21n a n =+1n =∴，A 正确；22n a n =+121220202020n n n S a a a a a a n =-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-21222222202(12)220n n n n n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+-=++⋅⋅⋅++-，B 错误；2(1)1817n n n n n =+-=-∵，当时，即，且， 20218n a n -=-200n a -≤9n ≤9200a -=故当或9时，的前n 项和取最小值， 8n ={}20n a -n S 最小值为，C 正确，D 错误. 899(160)722S S ⨯-+===-故选：AC.三、填空题13．已知，，若，则________. ()1,,3a x = ()2,4,b y =- a bA x y +=【答案】8-【分析】根据空间共线向量的坐标表示计算即可得出结果.【详解】因为，所以.所以，，解得，所以.a bA b a λ= 243x y λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩226x y λ=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩8x y +=-故答案为：8-14．已知直线与，若，则实数a 的值为______． 1:230l ax y +-=()2:3140l x a y +-+=12l l ⊥【答案】2-【分析】由可得，从而可求出实数a 的值 12l l ⊥32(1)0a a +-=【详解】因为直线与，且， 1:230l ax y +-=()2:3140l x a y +-+=12l l ⊥所以，解得， 32(1)0a a +-=2a =-故答案为：2-15．若是等差数列的前项和，且，则______． n S {}n a n 105113S S =105a a =【答案】2【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可.n【详解】设等差数列的公差为，由，得，化简{}n a d 105113S S =111095*********a d a d ⨯⨯⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得，所以． 1a d =1015199244a a d d d a a d d d++===++故答案为：216．，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且1(4,0)F -2(4,0)F 22:1(0)4x y C m m -=>M C ，则的面积为_____.1260F MF ∠= 12FMF △【答案】【分析】根据双曲线方程及焦点直接求出，设，，根据双曲线定义和余弦定m 11MF m =2MF n =理解焦点三角形，列出两个方程，解得，利用面积公式可求得答案。
广东高二上学期期末数学试题(解析版)
高二数学试题全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.过点且平行于直线的直线方程为（） ()1,3P -230x y -+=A. B. 210x y +-=250x y +-=C. D.250x y +-=270x y -+=2.已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（） {}n a 21a +1a 4a {}n a A.1B. C.2D.2-1-3.棱长为1的正四面体中，则等于（）ABCD AD BC ⋅A.0B. C. D.121414-4.已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（）C ()1,0(C A. B. 22123x y +=22143x y +=C. D. 22132x y +=22134x y +=5.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（）()2,1,3a =- axOy A. B. C. D.()0,2,1()0,1,3-()2,1,0()2,0,3-6.直线与圆交于两点，则当弦最短时:210l mx y m +--=22:(2)4C x y +-=,A B AB 直线的方程为（）l A. B. 430x y -+=2430x y --=C. D.2410x y ++=2430x y -+=7.已知直线的方程是的方程是，则下列图形中，1l 2,y ax b l =+()0,y bx a ab a b =-≠≠正确的是（）A. B.C. D.8.在数列中，若（为常数），则称为“等方差数{}n a 221,n n a a p --=*2,,n n N p ≥∈{}n a 列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；{}n a {}2n a ②不是等方差数列；{}(1)n-③若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列； {}n a {}kn a *,k k ∈N ④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. {}n a 其中正确命题序号为（）A.①③B.②④C.①③D.①④二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知数列的前项和为，则下列说法不正确的是（）{}n a n 2,5n n S S n n =-A.为等差数列B.{}n a 0n a >C.最小值为 D.为单调递增数列 n S 254-{}n a 10.已知空间中，则下列结论正确的有（） ()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-A. B.与共线的单位向量是 AB AC ⊥ AB()1,1,0C. D.平面的一个法向量是BC =ABC ()1,2,5-11.已知曲线，则下列判断正确的是（）22:1x y C a b-=A.若，则是圆，其半径为0a b =->C aB.若，则是双曲线，其渐近线方程为 0ab >C y =C.若，则是椭圆，其焦点在轴上 0a b -<<C xD.若，则是两条直线1a b ==C 12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直()0,2F 径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于y G O A 点，则（）BA.椭圆的长轴长为B.的周长为AFG A 4+C.线段长度的取值范围是AB 4,2⎡+⎣D.面积的最大值是ABF A 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的焦点坐标为__________.28y x =14.已知双曲线经过点，则离心率为__________.22:1y C x m-=)215.已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一224x y +=l 条直线方程__________.（写出一个正确答案即可）l 16.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方xOy ()000,,P x y z (),,n a b c =α程为，过点且方向向量为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z 的直线的方程为，阅读上面材料，并解()(),,0n u v w uvw =≠ l 000x x y y z z u v w---==决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与α10x y z -++=l 20x y -+=的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.210x z -+=l α四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列满足.{}n a *111,2,n n a a a n n +==+∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和.2n n b a n =-{}n b n n S 18.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点.1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,DD BD BB（1）求证：；EF CF ⊥（2）求与所成角的余弦值. EF CG 19.（本小题满分12分）已知为平面内的一个动点，且满足()()1,0,1,0,A B C -AC =（1）求点的轨迹方程；C （2）若直线，求直线被曲线截得的线段长度. :10l x y +-=l C 20.（本小题满分12分）已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中2:2C y px =()2,2,P A B ､C O 为原点.O （1）求抛物线的方程；C （2）若，求面积的最小值. OA OB ⊥AOB A 21.（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，ABCDEF ABCD //EF AC 1EF =60ABC ∠=︒，平面，，是的中点.CE ⊥ABCD CE ==2CD G DE（1）求证：平面平面；ACG //BEF （2）求直线与平面所成的角的正弦值. AD ABF 22.（本小题满分12分）已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条2222:1(0)x y C a b a b -=>>()2,0,F O C 渐近线的夹角为.3π（1）求双曲线的方程；C （2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定F l C ,P Q x M MP MQ ⋅值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.M惠州市2022-2023学年第一学期期末质量检测高二数学参考答案与评分细则一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCABCDAA1.【解析】设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得()203x y c c -+=≠()1,3P -，所以所求的直线方程为.160c --+=7c ∴=270x y -+=2.【解析】设等差数列的公差为.由已知条件，得，即{}n a d ()14221a a a +=+，解得.()()111321a a d a d ++=++2d =3.【解析】由题意以作为基底，， ,,AB AC AD BC AC AB =-则()0AD BC AD AC AB AD AC AD AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=4.【解析】椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然x 22221(0)x ya b a b+=>>，故椭圆方程为.1,c b ==2224a b c =+=22143x y +=5.【解析】由题意可知，向量在坐标平面上的投影向量是.axOy ()2,1,06.【解析】由，则令，解得()210,2110mx y m x m y +--=-+-=21010x y -=⎧⎨-=⎩121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩故直线过定点，由，则圆心，半径，当l 1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭22(2)4x y +-=()0,2C 2r =时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，AB CP ⊥AB CP 12212CP k -==-l 12AB k =故直线为，则.l 11122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2430x y -+=7.【解析】逐一判定即可.对于A ，由的图象知，由的图象知，故A 正确； 1l 0,0a b <>2l 0,0a b <>对于B ，由的图象知，由的图象知，矛盾，故B 错误； 1l 0,0a b <>2l 0,0a b <<对于，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误； C 1l 0,0a b ><2l 0,0a b <>C 对于D ，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误.1l 0,0a b >>2l 0,0a b <<D 8.【解析】①是等方差数列，（为常数）得到为首项是，公{}n a 221n n a a p --=p {}2n a 21a 差为的等差数列；故①正确 p ②数列中，，所以是等方差数列；{}(1)n-222211(1)(1)0n n nn aa --⎡⎤⎡⎤-=---=⎣⎦⎣⎦{}(1)n -故②不正确③数列中的项列举出来是数列中的项列举：{}n a 122,,..,,..,k k a a a a ⋯⋯⋯{}2kn a23,,k k k a a a ⋯⋯ ()()222222121221k k k k k k a a a a a a p +++--=-=⋯=-=()()()222222121221k k k k k k a a a a a a kp +++-∴-+-+⋯+-=，即数列是等方差数列，故③正确；()221kn k n a a kp +∴-={}kn a ④数列是等差数列，数列是等方差数列，{}n a ()112.n n a a d n -∴-=≥ {}n a ，当时，为常数()22122n n a a d n -∴-=≥()121,n n a a d d -∴+=∴10d ≠12122n d d a d =+列；当，数列为常数列.则该数列必为常数列，故④正确.10d ={}n a {}n a 正确命题的是①③④，故A 正确.∴二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 全部正确选项BCACDBCBC9.【解析】对于A ，当时，，2n ≥()2215(1)5126n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦时满足上式，所以，所以1n =114a S ==-*26,n a n n N =-∈，()()1216262n n a a n n +-=+---=所以为等差数列，故正确；{}n a A 对于B ，由上述过程可知，故B 错误； *12326,N ,40,20,0n a n n a a a =-∈=-<=-<=对于C ，因为，对称轴为，又因为，所以当或325n S n n =-52.52n ==*N n ∈2n =时，最小值为，故错误；n S 6-C 对于D ，由上述过程可知的公差等于2，所以为单调递增数列，故D 正确.{}n a {}n a 10.【解析】对于，故正确；()()A,2,1,01,2,1220AB AC ⋅=⋅-=-+= ,A AB AC ⊥对于不是单位向量，且与不共线，错误； (),1,1,0B ()1,1,0()2,1,0AB =B对于正确；(),3,1,1,C BC AC AB BC C =-=-∴=对于，设，则，D ()1,2,5m =- ()()1,2,52,1,0220m AB ⋅=-⋅=-=，所以，又()()1,2,53,1,13250m BC ⋅=-⋅-=--+= ,m AB m BC ⊥⊥AB BC B⋂=，所以平面的一个法向量是正确.ABC ()1,2,5,D -11.【解析】对于，若时，转化为A 0a b =->22:1x y C a b-=22x y a +=，故错误；A 对于，若，当是焦点在轴上的双曲线，当是焦点B 0ab >0,0,ab C >>x 0,0,a b C <<在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是y 220x y a b-=y =C的渐近线，B 正确；对于，若转化为，由于可知，C 220,:1x y a b C a b -<<-=22:1x y C a b+=-0a b >->C是焦点在轴上的椭圆，故C 正确；x 对于，若转化为，是双曲线不是两条直线，故DD 221,:1x y ab C a b==-=221x y -=错误.12.【解析】对于，由题知，椭圆中，得，则A 2b c ==a ==2a =，故错误；A 对于，由定义知，的周长正B 2AF AG a AFG +==A 4L FGB =+=+确；对于，由性质知C,2AB OB OA OA =+=+2OA ≤≤42AB C ≤≤+正确；对于，设所在直线方程为，联立可得， D AB y kx =22148y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩A x =联立可得，则224y kx x y =⎧⎨+=⎩B x =显然，当1122ABF AOF OBF A B S S S OF x OF x=+=+=+A A A 20k ≥2k 增大时，是减小，所以当时，有最大值4，故D 错误. y=0k=ABF S A 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ()2,014.（写出一个即可） 1103450,x y x y x y =±=±++=++= ､､､【注】若答案形式为：，则系数必须满足： 0Ax By C ++=222A B C +=若答案形式为：，则系数必须满足： y kx b =+221k b +=13.【解析】对比标准方程可得焦点坐标为()2,014.【解析】双曲线经过点，所以，解得，所以双22:1y C x m-=)2421m-=4m =曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，2214y x -=x1,2,a b c ===率为.e =15.【解析】数形结合可知，只要是半径的垂直平分线，均满足题意要求， 设直线为，则由题可知圆心到直线的距离为，0AxBy C ++=()0,01,1d ==所以222A B C +=16.【解析】因为平面的方程为，故其法向量可取为， α10x y z -++=()1,1,1p =-平面的法向量可取为，平面的法向量可取为20x y -+=()1,1,0m =-210x z -+=，()2,0,1n =-直线是两个平面与的交线，设其方向向量为，则l 20x y -+=210x z -+=(),,s t q μ=，令，则，故设直线与平面所成的角为020m s t n s q μμ⋅=-=⎧⎨⋅=-=⎩1s =()1,1,2μ=l α，,0,2πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则sin |cos ,|||p p p μθμμ⋅=〈〉=== ‖四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分，第一小问5分，第二小问5分.） 【解析】（1）当时，*2,n n N ≥∈()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+2(1)2(2)211n a n n ∴=-+-++⋅+()()21211n n ⎡⎤=-+-+++⎣⎦ ()()111212n n ⎡⎤-+-⎣⎦=⋅+因为也满足上式，1n =()2*1n a n n n N ∴=-+∈（2），则2221n n b a n n n n =-=-+-1n b n =-+所以是以0为首项，为公差的等差数列 {}n b 1-故()()101S 22n n b b n n n +⋅-+⋅==21122n S n n ∴=-+18.（本小题满分12分，第一小问7分，第二小问5分.）【解法一】（1）以为坐标原点，为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系D DAX()()()0,0,1,1,1,0,0,2,0E F C 则所以 ()1,1,1EF =-()1,1,0CF =-因为1100EF CF ⋅=-+=所以 EF CF ⊥ 即EF CF ⊥（2）由（1）知，()2,2,1G 则()2,0,1CG =所以 cos ,EF CG EF CG EF CG⋅=⋅==所以与EF CG 【解法二】由题意得：在中有：，Rt EDFA 11,2ED DF BD====EF ∴==在中有：R EDC AA 1,2,ED DC EC ==∴==在正方形中， ABCD 12CF AC ==在中有： ∴EFC A 222EF FC CE +=所以有：EF CF ⊥（2）连接，取的中点，连接，11,A E A F 1A A H ,HG HD 四边形为平行四边形∴1,A HDE HDCG1,HD A E HD CG ∴∥∥1A E CG ∴∥在Rt 中有：，11A D EA 1A E ==在Rt 中有：，1AAF A 1A F ==在中有：∴1A EFA 2221111cos 2A E EF A F A EF A E EF ∠+-===⋅所以与EF CG 19.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.） 【解析】（1）由题意可设点的坐标为，由C (),xy AC==整理得点的轨迹方程为. C 22610x y x +-+=（2）由（1）可知，曲线 22:(3)8C xy -+=则圆心坐标为， ()3,0半径为则圆心到直线的距离:10l x y +-=d=所以弦的长度==直线被曲线截得的线段长度为l C 20.（本小题满分12分，第一小问3分，第二小问9分.） 【解析】（1）由抛物线经过点知，2:2C y px =()2,2P 44p =解得，1p =则抛物线的方程为；C 22y x =（2）【解法一】由题知，直线不与轴垂直，设直线，AB y :AB x ty a =+由消去，得， 22x ty a y x=+⎧⎨=⎩x 2220y ty a --=，设，2Δ480t a =+>()()1122,,,A x y B x y 则，12122,2y y t y y a +==-因为，所以即，所以 OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=22121204y y y y +=解得（舍去）或，120y y =124y y =-所以即，24a -=-2a =所以直线，所以直线过定点，:2AB x ty =+AB ()2,012122АОВS y y =⨯⨯-==A4≥=当且仅当或时，等号成立，122,2y y ==-122,2y y =-=所以面积的最小值为4.AOB A 【注：面积也可以用的方式来计算 AOB A 12AOB S OA OB =⨯⨯A 【解法二】由题意知直线，直线的斜率均存在，且不为0 OA OB 不妨设直线方程为，代入由可得 OA y kx =2y OA OB ⊥()22,2B k k -22OA k =OB =12AOB S OA OB ==A4≥=当且仅当时等号成立1k =±所以面积的最小值为4 AOB A 【解法三】当直线斜率不存在时，则为等腰直角三角形，此时， AB AOB A 4AOB S =A 当直线斜率存在时，设直线，AB :AB y kx b =+由消去，得， 22y kx b y x=+⎧⎨=⎩y ()222210k x kb x b +-+=()()1122Δ840,,,,,kb A x y B x y =-+>设则， ()212122221,kb b x x x x k k -+=-=因为，所以即，OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=所以 ()()22121210kb x x k x x b ++++=解得（舍去）或，0b =2b k =-所以直线，所以直线过定点，():2AB y k x =-AB ()2,0()()121212222AOB S y y k x k x =⨯⨯-=---=A 4=>综上：面积的最小值为4.AOB A 21.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）（1）证明：连接交于，则是的中点，BD AC O O BD 连接，是的中点，，OG G DE //OG BE ∴平面，平面，BE ⊂ BEF OG ⊄BEF 平面；//OG ∴BEF 又，平面，平面，//EF AC AC ⊄BEF EF ⊂BEF 平面，//AC BEF 又与相交于点，平面，AC OG O ,AC OG ⊂ACG 所以平面平面.//ACG BEF （2）【解法一】解：连接，因为四边形是菱形，所以， OF ABCD AC BD ⊥又，，所以为等边三角形，所以，又， 60ABC ∠=︒=2CD ABC A =2AC 1EF =所以且，所以四边形为平行四边形，所以， EF OC =//EF OC OCEF //OF CE 因为平面，所以平面，CE ⊥ABCD OF ⊥ABCD 如图，以为坐标原点，分别以､､为､､轴建立空间直角坐标系， O OC OD OF x y z 则，，，，()1,0,0A-()0,B()D(F ，，，AD =(1,AB = AF = 设面的法向量为，ABF =(,,)m a b c 依题意有，则， m AB m AF ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩==0==0m AB a m AF a ⋅-⋅⎧⎪⎨⎪⎩令，，则，a =1b =1c =-1)m =-所以cos ,AD mAD m AD m ⋅<>==⋅ 所以直线与面AD ABF【解法二】连接，因为四边形是菱形，所以，OF ABCD AC BD ⊥所以为等边三角形，所以，又，ABC A 2AC =1EF =所以且，所以四边形为平行四边形，所以， EF OC =EF OC ∥OCEF OF CE ∥因为平面，所以平面，CE ⊥ABCD OF ⊥ABCD在Rt 中，， FOB A BF==在Rt 中，FOA A 2AF ==又在中，由等腰三角形易计算得 ABF A 2,AB =∴ABF S =A 设为点到平面的距离d D ABF 11,33D ABF F ABD ABF ABD V V S d S FO --=⋅=⋅A A 即有计算得： d =设直线与平面所成的夹角为，则 AD ABF θsin d DA θ===所以直线与面AD ABF 22.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）【解析】（1）双曲线的渐近线为， 22221x y a b -=b y x a =±又，结合已知条件可知渐近线的的倾斜角为 0,01b a b a >><<b y x a =,6π则. b a =a =，得 2=1a b ==所以双曲线的方程是. C 2213x y -=（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，l x l 2x ty =+代入，得，即. 2213x y -=22(2)33ty y +-=()223410t y ty -++=设点，则. ()()1122,,,P x y Q x y 12122241,33t y y y y t t +=-=--设点，则 (),0M m ()()()()1212121222MP MQ x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+()()()22121212(2)t y y t m y y m =++-++- ()()22223312113m t m m t ---+=-令，得， ()223121133m m m -+=-53m =此时. 2239MP MQ m ⋅=-=- 当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点. l x ,P Q ()),P Q 对于点. 5552,0,,0·,03339M MP MQ ⎛⎫⎛⎫⎫⋅=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ 所以存在定点，使为定值.5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭2239MP MQ m ⋅=-=-。
2022-2023学年广东省广州市第五中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省广州市第五中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线方程20x y m -+=的一个方向向量d 可以是（ ） A ．(2,1)- B ．(2,1) C ．(1,2)- D ．(1,2)【答案】D【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量. 【详解】解：依题意，2,1为直线的一个法向量，∴方向向量为()1,2， 故选：D .2．双曲线的一个焦点与抛物线224x y =的焦点重合，它的一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2215418y x -=B ．2215418x y -=C ．221279y x -=D ．221927x y -=【答案】C【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，求解即可． 【详解】解：抛物线224x y =的焦点：(0,6)，可得6c =，且双曲线的焦点坐标在y 轴上， 因为双曲线的渐近线的倾斜角为60︒，所以ab=223a b ，又22236c a b =+=，所以227a =，29b =， 所求双曲线方程为：221279y x -=．故选：C ．3．平面α的一个法向量()2,0,1n =，点()1,2,1A -在α内，则点()1,2,3P 到平面α的距离为（ ）A ．BCD 【答案】C【分析】由点到平面距离的向量法计算． 【详解】(2,0,2)PA =--，cos ,5n PA n PA n PA⋅-<>===所以点()1,2,3P 到平面α的距离为cos ,d PA n PA =<>==故选：C ．4．设x ，y ∈R ，向量(),1,1a x =，(1,,1)b y =，(2,4,2)c =-且a b ⊥，//b c ，则||a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据a b ⊥，//b c ，解得x ，y ，然后由空间向量的模公式求解.【详解】因为向量(),1,1a x =，(1,,1)b y =，(2,4,2)c =-且由a b ⊥得10x y ++=，由//b c ，得124y=- 解得2,1y x =-=，所以向量()1,1,1a =，(1,2,1)b =-， 所以()2,1,2a b +=-，所以(2||23a b +=+ 故选：C5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+【答案】A【分析】计算得出569a a =，利用对数的运算性质结合等比数列的性质可求得结果. 【详解】564756218a a a a a a +==，所以，569a a =， 故()()553132310312103563log log log log log log 910a a a a a a a a +++====．故选：A ．6．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是 （ ） A ．22320x y x +++= B ．22320x y x +-+= C ．22320x y y +++= D ．22320x y y +-+=【答案】B【分析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可.【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故 3232202A A A A x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22()(231)2x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+= 故选B【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.7．如图已知矩形,1,3ABCD AB BC ==，沿对角线AC 将ABC 折起，当二面角B AC D --的余弦值为13-时，则B 与D 之间距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．102【答案】C【分析】过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，在矩形,1,3ABCD AB BC ==2AC ∴=， ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC BE ∴⋅=⋅3BE DF ∴==， 则12AE CF ==，即211EF =-=，平面ABC 与平面ACD 所成角的余弦值为13-，cos EB ∴<,13FD >=-，BD BE EF FD =++，∴2222233()22212cos 44BD BE EF FD BE EF FD BE EF FD BE EF FD EB FD EB =++=+++⋅+⋅+⋅=++-⋅<，51512()32322FD >=--=+=， 则3BD =，即B 与D 故选：C ．8．12F F ､是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠∠==，若1235MF MF MN λ+=，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．89B ．56C ．23D ．78【答案】D【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定1||MF 与2||MF 的关系，再利用椭圆定义结合余弦定理求解作答.【详解】由1235MF MF MN λ+=得，以13MF 、25MF 为一组邻边的平行四边形的以点M 为起点的对角线对应的向量与MN 共线，由1260F MN F MN ∠=∠=︒知，MN 平分12F MF ∠， 因此这个平行四边形是菱形，有123|5|||MF MF =， 又12|||2|MF MF a =+，于是得1253|,|4||4MF a MF a ==，令椭圆E 的半焦距为c ，在12F MF △中，12120F MF ∠=，由余弦定理得：22212121212||||||2||||cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠，即22225353494()()444416c a a a a a =++⋅=，则有2224964c e a ==，解得78e =，所以椭圆E 的离心率为78.故选：D二、多选题9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，713S S =，则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 是递减数列 B ．120a >C ．200S <D ．n S 最小时，10n =【答案】BD【分析】根据等差数列的性质首项10a <可得：公差0d >且11100a a =->即可判断等差数列{}n a 是递增数列，进而求解.【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且713S S =，所以137891011121310113()0S S a a a a a a a a -=+++++=+=，则有0111a a =-，因为10a <，所以公差0d >，且11100a a =->，所以等差数列{}n a 是递增数列，故选项A 错误； 12110a a >>，故选项B 正确；因为12010112020()20()022a a a a S ++===，故选项C 错误； 由11100a a =->可知：等差数列{}n a 的前10项均为负值，所以n S 最小时，10n =，故选项D 正确， 故选：BD .10．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（ ）A ．PA =B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【答案】BCD【分析】求出OP ，由勾股定理求解PA ，即可判断选项A ；利用PO 为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项B ；利用AB OP ⊥，求出直线AB 的斜率，即可判断选项C ；求出直线PO 和AB 的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，即可判断选项D .【详解】对于A ，由题意可得：OP =2PA ==，故选项A 错误；对于B ，由题意知，PB OB ⊥，则PO 为所求圆的直径，所以线段PO 的中点为112（，），则所求圆的方程为2215(1)()24x y -+-=，化为一般方程为222x y x y +=+，故选项B 正确；对于C ，由题意，其中一个切点的坐标为0,1（），不妨设为点B ，则AB OP ⊥，又12OP k =，所以2AB k =-，所以直线AB 的方程为21y x =-+，故选项C 正确； 对于D ，因为AB OP ⊥，且直线OP 的方程为12y x =，直线AB 的方程为21y x =-+，联立方程组2112y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两条直线的交点坐标为21(,)55D，则BD =PD =故PBD △的面积为1425=，所以PAB 的面积为85，故选项D 正确，故选：BCD .11．已知()0,πα∈，曲线22:sin cos 1C x y αα+=，下列说法正确的有（ ） A ．当π4α=时，曲线C 表示一个圆 B ．当π2α=时，曲线C 表示两条平行的直线 C ．当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在x 轴的双曲线D ．当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在y 轴的椭圆【答案】ABC【分析】根据曲线方程的特点，结合圆、直线、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可． 【详解】对于A ，当π4α=时，曲线22sin cos 1x y αα+=表示圆22x y +=，所以A 正确； 对于B ，当π2α=时，曲线C 表示两条平行的直线1x =±，所以B 正确． 对于C ，当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线22:sin cos 1C x y αα-=表示焦点在x 轴的双曲线，所以C 正确．对于D ，当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin cos 1αα<<<，曲线C 表示焦点在x 轴的椭圆，所以D 不正确．故选：ABC ．12．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1AB 上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面BCM ⊥平面1A AMB ．三棱锥1B MBC -体积最大值为16C ．当M 为1AB 中点时，直线1BD 与直线CM 2D ．直线CM 与1A D 所成的角不可能是4π 【答案】ABC【分析】利用面面垂直的判定知A 正确；利用11B MB C C BB M V V --=，可知三棱锥1B MB C -体积最大时，1BB MS最大，由此可计算确定B 正确；以1D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可知C 正确； 在C 中的空间直角坐标系中，假设()101AM AB λλ=≤≤，得到()1,,1M λλ-，假设所成角可以为4π，利用异面直线所成角的向量求法构造方程可求得λ的值，知D 错误. 【详解】对于A ，BC AB ⊥，1BC BB ⊥，1AB BB B ，1,AB BB ⊂平面1AA M ，BC ∴⊥平面1AA M ，又BC ⊂平面BCM ，∴平面BCM ⊥平面1A AM ，A 正确；对于B ，11111133B MBC C BB M BB MBB MV V SBC S--==⋅=，M 为1AB 上动点，∴当M 与A 重合时，1BB MS取得最大值为11122AB BB ⋅=， ()1max111326B MB CV -∴=⨯=，B 正确； 对于C ，以1D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，当M 为1AB 中点时，111,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，又()11,1,0B ，()0,1,1C ，()0,0,1D ，()11,1,1B D ∴=--，111,,22CM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1112cos ,632B D CM B D CM B D CM⋅∴<>===⋅⨯，∴当M 为1AB 中点时，直线1B D 与直线CM 所成的角的余弦值为23，C 正确；对于D ，如C 中所建立的空间直角坐标系，设()1,,M y z ，()101AM AB λλ=≤≤， 又()1,0,1A ，()10,1,1AB ∴=-，()0,,1AM y z =-，()()0,,10,,y z λλ∴-=-， 则y λ=，1z λ=-，()1,,1M λλ∴-，()1,1,CM λλ∴=--，又()11,0,1A D =-， ()112211cos ,112CM A D CM A D CM A Dλλλ⋅--∴<>==⋅+-+⨯若直线CM 与1A D 所成的角为4π()2212112λλλ--=+-+⨯， 解得：23λ=[]0,1λ∈，∴当23λ=()123AM AB =-时，直线CM 与1A D 所成的角为4π，D 错误. 故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查立体几何中的动点问题的求解，对于CD 选项中的异面直线所成角，可利用异面直线所成角的向量求法确定结论是否成立，易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成余弦值求解错误.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为______．【答案】20224045【分析】由1n n n a S S -=-求得21n a n =-，再由裂项相消法即可求出.【详解】因为2n S n =，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n n a S S n n ---==--=，满足11a =， 所以21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为1111111120221233557404340454045⎛⎫-+-+-++-=⎪⎝⎭. 故答案为：20224045. 14．设点A 的坐标为(，点P 在抛物线28y x =上移动，P 到直线2x =-的距离为d ，则d PA +的最小值为__________. 【答案】4【解析】根据抛物线的定义可知，当,,A P F 三点共线时， d PA +取得最小值，由此求得这个最小值.【详解】抛物线的焦点为()2,0，根据抛物线的定义可知，PF d =，所以当,,A P F 三点共线时， d PA +取得最小值，最小值为4AF =. 故答案为：4【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15．设P 是椭圆22:12x M y +=上的任一点，EF 为圆22:0N x y y +-=的任一条直径，则PE PF ⋅的最大值为__________． 【答案】94【分析】设点(),P x y ，则2222x y =-且11y -≤≤，计算得出21924⎛⎫=-++ ⎪⎝⋅⎭y PE PF ，利用二次函数的基本性质可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】圆2211:24⎛⎫+-= ⎪⎝⎭N x y 的圆心为10,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径长为12，设点(),P x y ，则2222x y =-且11y -≤≤， PE PN NE =+，PF PN NF PN NE =+=-，所以()()22221124⎛⎫=+⋅-=-=-+- ⎪⎭⋅⎝PN NE PN N P E PN NE y E PF x222211192222424⎛⎫⎛⎫=-+--=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y y y y y ，所以，当12y =-时，PE PF ⋅取得最大值，即()max94⋅=PE PF. 故答案为：94.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．16．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元.（取111.27.5=，121.29=）【答案】40000【分析】设一月月底小王手中有现款为111000a =元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，根据题意可知1 1.21000n n a a +=-，整理得出()15000 1.25000n n a a +-=-，所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，求得1250000a =元，减去成本得到结果. 【详解】设一月月底小王手中有现款为1(120%)10000100011000a =+⨯-=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，则1 1.21000n n a a +=-，即()15000 1.25000n n a a +-=-，所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，111250006000 1.2a -=⨯，即11126000 1.2500050000a =⨯+=元.年利润为500001000040000-=元. 故答案为：40000.【点睛】该题考查的是有关数列应用的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，属于简单题目.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos b A c =． （1）求B 的大小；（2）若2c a b +=，求ABC 的面积．【答案】（1）6π； （2【分析】（1sin cos A A B =，求得cos B 即可求解；（2）由余弦定理可得2233a b a -+=，结合2a b +=，求得1a b ==，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为cos b A c =，由正弦定理可得sin cos sin B A A C =， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin cos A A B =，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以cos B = 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）因为6B π=，c由余弦定理可得22cosB =，整理得2233a b a -+=， 又2a b +=，解得1a b ==，所以111sin 1222ABCSac B ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18．已知数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈(1)证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)令(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T【答案】(1)证明见解析，21nn a =-(2)1(1)2 2.n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案；（2）根据错位相减法求和即可.【详解】（1）解：数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈112(1)n n a a ++=+，∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 11222n n n a -∴+=⋅=，即21n n a =-；∴21n n a =- （2）解：(1)2n n n b n a n =+=⋅，231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，2311112(21)22222222221n nn n n n n T n n n ++++-∴-=++++-⋅=-⋅=--⋅-，1(1)2 2.n n T n +∴=-⋅+19．如图，三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都相等，1160A AB A AC ∠=∠=︒，点M 为ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点N ，连接1A M ．设AB a =，AC b =，1A A c =．(1)用a ，b ，c 表示1AM ； (2)证明：1A M AB ⊥． 【答案】(1)11133A M a b c =++(2)证明见解析【分析】（1）根据空间向量的运算求得正确答案.（2）通过计算10AM AB ⋅=来证得1A M AB ⊥. 【详解】（1）因为ABC 为正三角形，点M 为ABC 的重心，所以N 为BC 的中点， 所以1122AN AB AC =+，23AM AN =， 所以11112111133333A M A A AM A A AN A A AB AC a b c =+=+=++=++． （2）设三棱柱的棱长为m ，则2222111111111033333322A M AB a b c a a a b c a m m m ⎛⎫⋅=++⋅=+⋅+⋅=+⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以1A M AB ⊥．20．已知点()2,0P ，圆C ：226440x y x y +-++=.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为42l 的方程；(2)设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，这样的实数a 是否存在，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)3460x y +-=或2x = (2)不存在，理由见解析【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；（2）过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则圆心在直线2l 上，由此可得直线2l 的斜率，然后由垂直求得a ，由直线与圆相交求得a 的范围，比较可得． 【详解】（1）∵点()2,0P ，直线l 过点P ，∴设直线l 的斜率为k （k 存在），则方程为()02y k x -=-. 又题C 的圆心为()3,2-，半径3r =，由弦长为42，故弦心距1d =，由232211k k k +-=+，解得34k =-.所以直线方程为()324y x =--，即3460x y +-=. 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件. 故l 的方程为3460x y +-=或2x =.（2）把直线10ax y -+=，即1y ax =+.代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()2216190a x a x ++-+=.由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即720a ->，解得0a <.设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在2l 上. 所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =. 由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB .21．如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝4，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将△ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．(1)证明：平面POB ⊥平面ABCE ；(2)若PB 6=PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155，若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析 (2)存在；1PQQB=【分析】（1）根据面面垂直判定定理将问题转化为证明AE ⊥平面POB ，然后结合已知可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面角列方程可解.【详解】（1）连接BE ，在等腰梯形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝4，E 为CD 中点， ∴四边形ABED 为菱形，∴BD ⊥AE ，∴OB ⊥AE ，OD ⊥AE ，即OB ⊥AE ，OP ⊥AE ，且OB ∩OP ＝O ， OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，∴AE ⊥平面POB ， 又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ．（2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，∴AD ＝DE ＝2， 在等腰梯形ABCD 中AE ＝BC ＝2，∴△P AE 正三角形， ∴3OP =3OB = ∵6PB = ∴OP 2+OB 2＝PB 2， ∴OP ⊥OB ，由（1）可知OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，以O 为原点，OE OB OP ，，分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，则 (003P ，，，A （﹣1，0，0），()03B ，，，()23C ，，，E （1，0，0）， ∴()(033233PB PC =-=，，，，，，()200AE =，，， 设()01PQ PB λλ=＜＜，()1333AQ AP PQ AP PB λλλ=+=+=，，， 设平面AEQ 的一个法向量为n =（x ，y ，z ），则00n AE n AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()203330x x y z λλ=⎧⎪⎨++-=⎪⎩取x ＝0，y ＝1，得1z λλ=-，∴n =(0，1，1λλ-)，设直线PC 与平面AEQ 所成角为02πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，则15sin cos ,5PC n PC n PC nθ⋅===，即23315151011λλλλ+⋅-=⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭，化简得：4λ2﹣4λ+1＝0，解得12λ=， ∴存在点Q 为PB 的中点，即1PQQB =时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为6，离心率为23，长轴的左，右顶点分别为A ，B ．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点()0,3D -的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，直线AM ，AN 分别交y 轴于点S 、T ，记DS DO λ=，DT DO μ=（O 为坐标原点），当直线l 的倾斜角θ为锐角时，求λμ+的取值范围． 【答案】(1)22195x y += (2)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得22,a b ，进而得椭圆方程；（2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S 、T 的坐标，再根据,DS DO DT DO λμ==确定λμ， 的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果.【详解】（1）由题意可得：2222623a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩解得：222954a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程：22195x y+= （2）当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设()()1122,,M x y N x y ，， 设直线():3,0l y kx k =->，由223195y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，从而22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>，又0k >，得23k >， 所以1212225436,9595k x x x x k k +==++， 又直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，令0x =， 解得1133y y x =+，所以点S 为1130,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭； 直线AN 的方程是：()2233y y x x =++，同理点T 为2230,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭· 所以()1212330,3,0,3,0,333y y DS DT DO x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为,DS DO DT DO λμ==，所以12123333,3333y y x x λμ+=+=++， 所以()()()12121212121212122311833222333339kx x k x x y y kx kx x x x x x x x x λμ+-+---+=++=++=++++++++()222223654231181019595223654921399595k k k k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪+++⎝⎭=+=-⨯+++⎛⎫+⨯+ ⎪++⎝⎭()()2110101229911k k k +=-⨯+=-⨯+++． ∵23k >，∴4,23λμ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 综上，所以λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭．。
广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自已的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄波，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知空间向量，则（）()()2,1,2,1,2,1a b =-=-2a b -=AB.C.D.()4,2,4-()2,1,2-()3,0,3()1,2,1-【答案】C 【解析】【分析】利用空间向量坐标的线性运算法则得到答案.【详解】.()()()24,2,41,2,13,0,3a b -=---=故选：C2. 直线的倾斜角为（） :10l x y -+=A. B.C.D.30 45 60 135 【答案】B 【解析】【分析】根据直线斜率计算即可. tan k α=【详解】由题知，直线，斜率为1， :1l y x =+设倾斜角为， α[)0,πα∈所以，解得，tan 1α=45α=︒所以直线的倾斜角为，:10l x y -+=45故选：B3. 数列、、、、的通项公式可以为（） 2020L A. B. ()11nn a =-+()1221n n a +=-⨯-C. D.()2cos 1πn a n =-()1π2cos2nn a -=【答案】D 【解析】【分析】利用逐项检验法可得出原数列的一个通项公式.【详解】对于A 选项，若，则数列为：、、、、，A 不满()11nn a =-+{}n a 0202L 足；对于B 选项，若，则数列为：、、、、，B 不满足；()1221n n a +=-⨯-{}n a 0404L 对于C 选项，若，则数列为：、、、、，C 不满()2cos 1πn a n =-{}n a 22-22-L 足；对于D 选项，若，则数列为：、、、、，D 满足.()1π2cos 2n n a -={}n a 2020L 故选：D.4. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（） l ()2,4M 240x y -+=l A. B. 210x y -+=210x y --=C. D.220x y -+=280x y +-=【答案】D 【解析】【分析】根据垂直关系设出直线的方程，代入，求出答案. l ()2,4M 【详解】设直线的方程为，l 20x y C ++=将代入中，，故， ()2,4M 20x y C ++=440C ++=8C =-故直线的方程为. l 280x y +-=故选：D5. 已知矩形为平面外一点，且平面，分别为,ABCD P ABCD PA ⊥ABCD ,M N 上的点，，则,PC PD 2,,PM MC PN ND NM xAB y AD z AP ===++x y z ++=（）A. B.C. 1D.23-2356【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案. 211,,366x y z ===-【详解】因为，2,PM MC PN ND ==所以121122232233PM DP PC AP N AD AC A M NP P +=+=-+-=，12112212112362336366AD AC AP AD AB AD AP AB AD AP =-+-=-++-=+-故，故. 211,,366x y z ===-23x y z ++=故选：B6. 已知空间直角坐标系中的点，，，则点P 到直线AB 的距()1,1,1P ()1,0,1A ()0,1,0B 离为（） A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求. 【详解】，0，，，1，，，(1A 1)(0B 0)()1,1,1P ，，， ∴(1,1,1)AB =-- (0,1,0)AP =||1AP = 在上的投影为AP AB ||AP AB AB ⋅==则点到直线. PAB ==故选：D ．7. 如图，在梭长为1的正方体中，分别为的中1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,DD BD BB 点，则与所成的角的余弦值为（）EFCGA.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.【详解】以D 作坐标原点，分别以DA ，DC ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空1DD 间直角坐标系， 则， ()11110,0,,,,0,0,1,0,1,1,2222E F C G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1111,,,1,0,2222EF CG ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设与所成的角的大小为，EF CG θ则.cos cos ,EF θ=故选：C8. 已知椭圆C 1：+y 2=1（m ＞1）与双曲线C 2：–y 2=1（n ＞0）的焦点重合，e 1，e 222x m 22x n分别为C 1，C 2的离心率，则 A. m ＞n 且e 1e 2＞1 B. m ＞n 且e 1e 2＜1C. m ＜n 且e 1e 2＞1D. m ＜n且e 1e 2＜1 【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意知，即，由于m ＞1，n ＞0，可得2211m n -=+222m n =+m ＞n ，又= ，故22212222222111111()(1(1)(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++42422112n n n n ++>+．故选A ．121e e >【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注1C 222c a b =-2C 意．否则很容易出现错误． 222c a b =+二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知公差为的等差数列中，其前项和为，且，则（） d {}n a n n S 2740,12a S a ==+A.B.1d =2n a n =-C. D.41012a a a +=23n S n n =-【答案】ABC 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前项和的性质，列方程求出公差，即可得数列通项,n 验证各选项是否正确.【详解】公差为的等差数列中，其前项和为，且， d {}n a n n S 20a =则，解得，所以，A 选项正确；744127S a a =+=4222a a d ==+1d =，B 选项正确； ()222n a a n d n =+-=-，C 选项正确；410122810a a a +=+==，，D 选项错误. 11a =-()21322n n n a a n nS +-==故选：ABC10. 圆和圆的交点为，则下列结论正221:20x y x O +-=222:280O x y x y ++-=,A B 确的是（） A. 圆的半径为4 B. 直线的方程为 2O AB 20x y -=C. D. 线段的垂直平分线方程为AB =AB220x y ++=【答案】BC 【解析】【分析】根据圆的方程分别求解两圆圆心与半径，即可判断A ；根据圆与圆相交的相交弦所在直线方程及相交弦长公式，即可判断B ，C ；利用圆与圆相交的对称关系即可求线段的垂直平分线方程，从而判断D .AB 【详解】解：圆，即，则圆心，半径为221:20x y x O +-=()2211x y -+=()11,0O ，圆，即，则圆心，半11r =222:280O x y x y ++-=()()221417x y ++-=()21,4O -径为A 不正确；2r =由于圆和圆的交点为，则直线的221:20x y x O +-=222:280O x y x y ++-=,A B AB 方程满足，整理得：， ()()22222280x y x x y x y +--++-=20x y -=所以圆心到直线的距离()11,0O AB 1d，故B 正确，C 正确； AB ===由圆与圆相交于可知直线即线段的垂直平分线，所以，,A B 12O O AB 1204211O O k -==-+则直线的方程为：，即，故D 不正确. 12O O ()021y x -=--220x y +-=故选：BC.11. 如图，三棱柱是各条棱长均等于1的正三棱柱，分别为111ABC A B C -,,,D E F G 的中点，下列结论正确的是（）1111,,,CC CB AC A BA. //GF DEB.1GF B C ⊥C. 异面直线与所成角为GF 1AA π3D. 直线与平面 DE 1A BC 【答案】ABD 【解析】【分析】连接,可得，又，从而可判断A ；由，1BC 1//FG BC 1//DE BC 11BC B C ⊥可判断B ；由，，可得直线与所成角即为与1//FG BC //GF DE 11//AA CC GF 1AA DE 所成角，根据棱柱的结构特征可判断C ；以为原点，为轴，为轴，过1CC A AC y 1AA z 作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为A 11ACC A x 1A BC，设直线与平面所成角为，根据即可判断)n =DE 1A BC θsin cos ,n DE θ=D.【详解】连接,1BC因为分别为的中点，所以. ,F G 111,A C A B 1//FG BC 因为分别为的中点，所以. ,D E 1,CC CB 1//DE BC 所以，故A 正确；//GF DE 因为，，所以，故B 正确；11BC B C ⊥1//FG BC 1GF B C ⊥因为，，所以直线与所成角即为与所成角. //GF DE 11//AA CC GF 1AA DE 1CC 因为平面，平面，所以，即. 1CC ⊥ABC CE ⊂ABC 1CC ⊥CE CD ⊥CE 因为三棱柱是各条棱长均等于1的正三棱柱， 111ABC A B C -所以，所以，即异面直线与所成角为，故C 错误； CE CD =π4CDE ∠=GF 1AA π4以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所A AC y 1AA z A 11ACC A x 示的空间直角坐标系，则,()()11130,0,1,,0,0,1,0,0,1,,,0224A B C D E ⎫⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭所以.()11111,1,0,1,1,,242A B A C DE ⎫⎫=-=-=--⎪⎪⎪⎪⎭⎭设平面的一个法向量为,1A BC (),,n x y z =则, 111020n A B x y z nA C y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩ 令，可得，故.3y=3x z ==)n =设直线与平面所成角为，DE 1A BC θ则D 正确. sin cos ,n θ==故选:ABD.12. 已知双曲线的左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，直线22:13x C y -=12,A A 12,F F与双曲线相交于两点，则下列说法正确的是（） y x C ,P Q A. 双曲线 B. 双曲线的渐近线为 C C y =C. 直线的斜率之积为 D. 12,PA PA 13123cos 5F PF ∠=【答案】ACD 【解析】【分析】求出、、的值，可判断AB 选项；根据斜率公式及点在双曲线上即可判断a b c C 选项；根据双曲线的定义及余弦定理判断D 选项【详解】在双曲线中，，.22:13x C y -=a =1b =2c ==对于A 选项，双曲线的离心率为，A正确； C c e a ===对于B 选项，双曲线的渐近线方程为，B 错误；C b y x x a =±=对于C 选项，设，，，(),P x y ()1A )2A 则， 122222113333PA PA x y k k x x -⋅====--即直线的斜率之积为，C 正确； 12,PA PA 13对于D 选项：不妨点P 在第一象限，联立，消y 得，解得，2213x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩26x=x =所以，则，P 1PF ==，2PF ==所以，在中， 125PF PF ⋅=12F PF △由余弦定理得222221212121212121212()2cos 22PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+⋅-∠==⋅⋅，故D 正确；1212121221622311255PF PF PF PF PF PF +⋅-=-=-=⋅⋅故选：ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，且，则__________.()()2,1,5,1,3,a b m =-=- a b ⊥b = 【解析】【分析】根据空间向量垂直得到方程，求出，进而求出模长. 1m =【详解】因为，所以，解得：，a b ⊥213150m -⨯-⨯+=1m =故.b ==14. 已知的三个顶点分别为，则外接圆的标准方AOB A ()()()4,0,0,0,0,4A O B AOB A 程为__________.【答案】 22(2)(2)8x y -+-=【解析】【分析】设出圆的标准方程，待定系数法求解即可.【详解】设的外接圆标准方程为，AOB A 222()()x a y b r -+-=将代入得：，()()()4,0,0,0,0,4A O B ()()()()()()222222222400004a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得：，故圆的标准方程为.22a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22(2)(2)8x y -+-=故答案为： 22(2)(2)8x y -+-=15. 已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、π3l ()2:20C y px p =>F C P Q 两点（点在第一象限），若，则__________. P 4PF =QF =【答案】##43113【解析】【分析】设点、，则，将直线的方程与抛物线的方程联立，()11,P x y ()22,Q x y 12x x >l 求出、，利用抛物线的定义可求得的值，再利用抛物线的定义可求得的值. 1x 2x p QF 【详解】易知点，设点、， ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭()11,P x y ()22,Q x y 因为直线的倾斜角为，且点在第一象限，则， l π3P 12x x >联立可得，解得，， 222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩22122030x px p -+=132p x =26p x =由抛物线的定义可得，可得， 32422p pPF p =+==2p =因此，. 246233p p p QF =+==故答案为：. 4316. 螺旋线是一类美妙的曲线，用下面的方法可画出如图所示的螺旋线：先作边长为1的正，分别记射线，为；以为圆心､为半径作的劣弧交ABC A AC ,BA CB 123,,l l l C CB 1BC 于点；以为圆心､为半径作的劣弧交于点；以为圆心､为半径作1l 1C A 1AC 11C A 2l 1A B 1BA 的劣弧交于点；依此规律，得到一系列劣弧所形成的螺旋线.劣弧长，劣11A B 3l 1B 1BC 1a弧长，劣弧长构成数列.记为数列的前项和，则11C A 2a 11A B 3,a {}n a n S {}n a n n S =__________.【答案】 ()2π3n n +【解析】【分析】根据题意得到为公差的等差数列，从而利用等差数列求和公式求出{}n a 2π3d =答案.【详解】由题意得：，且，12π3a =2π2π33n n a n =⋅=故， ()121π2π2π333n n n n a a ++-=-=故为公差的等差数列， {}n a 2π3d =所以. ()()()2112π2π2π323332πn S n n n n n n n n --⎡⎤+⨯=+=⎢⎥⎦=+⎣故答案为：()2π3n n +四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列的前项和为，且，. {}n a n n S 728S =15120S =（1）求等差数列的首项和公差； {}n a 1a d （2）求证数列是等差数列，并求出其前项和. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1），11a =1d =（2）证明见解析， 234n n nT +=【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式可得出关于、的方程组，即可解得这两个量的1a d 值；（2）求出的表达式，可求得数列的表达式，利用等差数列的定义可证得数列n S n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再利用等差数列的求和公式可求得. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 【小问1详解】解：由题意可得，解得.711517672821514151202S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩11a d ==【小问2详解】证明：由（1）可知，所以，故. 11a d ==()()11122n n n dn n S na ++==-12n S n n +=当时，；当时，， 1n =111S =2n ≥1111222n n S S n n n n -+-=-=-因此数列是等差数列，首项为，公差为. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112所以等差数列的前项和. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()211131224n n n S n n T n -+=⋅+⋅=18. 在中，角的对边分别是，满足. ABC A ,,A B C ,,a b c ()2cos cos cos a B b C c B =+（1）求；B （2）若，求的面积. 2,4b a c =+=ABC A 【答案】（1） π3B =（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理将化为，结合()2cos cos cos a B b C c B =+sin =2cos sin A B A 角度关系即可得角的大小；B （2）结合余弦定理与平方公式可求得的值，再根据面积公式求解的面积即可. ac ABC A 【小问1详解】解：在中，因为，由正弦定理得: ABC A ()2cos cos cos a B b C c B =+sin sin sin a b cA B C==.()()sin 2cos sin cos sin cos 2cos sin =2cos sin A B B C C B B B C B A =+=+， 1sin 0,cos 2A B ≠∴=又. ()π0,π,3B B ∈∴= 【小问2详解】解：由（1）可知，在中，根据余弦定理可得：π3B =ABC A 222cos 2a c b B ac+-=，即， 221422a c ac+-=224,a c ac +=+2()34a c ac ∴+=+又，联立可得， 4a c +=1634,4ac ac =+∴=因此的面积ABC A 11sin 422ABC S ac B ==⨯=A 19. 如图，在正方体中，分别是的中点.1111ABCD A B C D -,E F 111,A B B D（1）求证：平面； //EF 1ACD （2）求证：平面平面. 1ACD ⊥11D B BD 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）连接，证明E 是中点，再利用三角形中位线定理及线面平行的判定1AB 1AB 推理作答.（2）利用线面垂直的性质及判定证明平面，再利用面面垂直的判定作答. AC ⊥11D B BD 【小问1详解】在正方体中, 连接，如图，1111ABCD A B C D -1AB因为为的中点，则是的中点，而是的中点， E 1A B E 1AB F 11B D 则有，又平面平面， 1//EF AD EF ⊄11,ACD AD Ì1ACD 所以平面 //EF 1ACD 【小问2详解】在正方体中，平面，四边形是正方形， 1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD ABCD 因此，又，于是平面，而 平1,AC BD AC DD ⊥⊥1BD DD D = AC ⊥11D B BD AC ⊂面，1ACD 所以平面平面.1ACD ⊥11D B BD 20. 已知直线与圆相交于，两点． :(0)l y kx k =≠22:230C x y x +--=A B（1）若；||AB =k （2）在轴上是否存在点，使得当变化时，总有直线、的斜率之和为0，若x M k MA MB 存在，求出点的坐标：若不存在，说明理由． M 【答案】（1）；（2）存在. 1±()3,0M -【解析】【分析】（1）由题得到，即得2）C AB =设，，存在点满足题意，即，把韦达定理代入11(,)A x y 22(,)B x y (,0)M m 0AM BM k k +=方程化简即得解.【详解】（1）因为圆，所以圆心坐标为，半径为2， 22:(1)4C x y -+=(1,0)C因为到， ||AB =C AB=解得．1k =±（2）设，，11(,)A x y 22(,)B x y 则得，因为， 22,230,y kx x y x =⎧⎨+--=⎩22(1)230k x x +--=24121()0k ∆=++>所以，， 12221x x k +=+12231x x k=-+设存在点满足题意，即， (,0)M m 0AM BM k k +=所以，121212120AM BM y y kx kx k k x m x m x m x m+=+=+=----因为，所以， 0k ≠12211212()(2())0x x m x x m x x m x x -+-=-+=所以，解得． 2262011mk k--=++3m =-所以存在点符合题意．(3,0)M -【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆的探究性问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.21. 如图，在四棱锥中，，，平面C ABED -22AB AC DE ===60BAC ∠= AD ⊥，，三棱锥ABC DE AB ∥E BCD -（1）求的长度；AD （2）已知是线段上的动点，问是否存在点，使得平面与平面夹角的F BC F BED EDF？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. F 【答案】（1）2（2）存在，点为的中点 F BC 【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据已知得出，，得AB O ,OE OC OC AB ⊥AD OC ⊥出平面，则，即可根据等体积法列式得出答案；OC ⊥ABED AD ED ⊥（2）根据已知得出平面，即可以为轴正方向，建立空间OE ⊥ABC ,,OB OC OE,,x y z直角坐标系，得出各点坐标，设，得出O xyz -()01BF BC λλ=≤≤，设平面的一个法向量为，根()()1,0,0,1,2ED EF λ=-=-- EDF ()1,,n x y z =据平面的法向量的求法列式求得，根据垂直得出是平()10,n =()20,1,0OC n OC== 面的一个法向量，即可根据二面角的向量求法列式解出答案. BED 【小问1详解】取的中点，连接，AB O ,OE OC， 2,60AB AC BAC ∠=== .OC AB ∴⊥又平面，AD ⊥ ABC .AD OC ∴⊥又， AD AB A AD AB ABD ⋂=⊂ ，，平面平面.OC ∴⊥ABED 又平面，AD ⊥ ,//ABC DE AB ，AD ED ∴⊥于是11111133232E BCD C BED BED V V S OC ED AD OC AD --==⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=A ，.2AD ∴=【小问2详解】，,DE OA DE OA =∥ 四边形为平行四边形∴DEOA .//DA EO ∴又平面，DA ⊥ ABC 平面，OE ∴⊥ABC以为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.∴,,OB OC OE,,x y z O xyz-，.()()()0,0,2,1,0,2,1,0,0E D B ∴-()C 由题意设，故，()01BF BC λλ=≤≤()1,0F λ-因此. ()()1,0,0,1,2ED EF λ=-=-- 设平面的一个法向量为，EDF ()1,,n x y z =则由得，1100ED n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()0120x x y z λ-=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令，则是平面的一个法向量.2y=()10,n =EDF 平面，OC ⊥ ABED 是平面的一个法向量.()20,1,0OCn OC∴== BED 设平面与平面的夹角为，BED EDF θ则12cos cos ,n n θ===，又，于是， 214λ∴=01λ≤≤12λ=因此点为的中点时，平面与平面. F BC BED EDF 22. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且.过右焦点2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 124F F =的直线与交于两点，的周长为2F l C ,A B 1ABF A （1）求椭圆的标准方程；C（2）过原点作一条垂直于的直线交于两点，求的取值范围.O l 11,l l C ,P Q AB PQ【答案】（1）22184x y +=（2）12⎡⎢⎣【解析】【分析】（1）根据题意求得即可解决；（2）分直线斜率不存2,2a b c ===AB 在，斜率存在两种情况，斜率存在时设，直()()()()11223344,,,,,,,Ax y B x y P x y Q x y 线，直线，联立椭圆方程求得，:2ABx ty =+:PQ y tx =-AB =，得令，则不PQ =ABPQ=()222u t u =+≥22,t u =-妨设，即可解决.()ABf u PQ==【小问1详解】由，得，1224F F c ==2c =又的周长为，1ABF A 4a =，2222,844a c b a c ∴===-=-=椭圆的标准方程为.∴C 22184x y +=【小问2详解】 设，()()()()11223344,,,,,,,Ax y B x y P x y Q x y当直线的斜率为0时，得；AB 4,AB AB PQ PQ===当直线的斜率不为0时，设直线，直线， AB :2AB x ty =+:PQ y tx =-联立直线和椭圆的方程，并消去整理得AB C x ，()222440ty ty ++-=.()222Δ1644232320t t t =+⋅+=+>由根与系数的关系得， 12122244,22t y y y y t t +=-=-++所以.AB ==联立直线和椭圆的方程，并消去整理得PQ C y ，由根与系数的关系得，()221280t x+-=3434280,12x x x x t +==-+PQ==所以.ABPQ=令，则()222u t u =+≥22,t u =-不妨设()AB f u PQ====， 2u ≥ ， 110,2u ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦， ()12f u ∴≤<12AB PQ∴≤<综上可得，的取值范围为. ABPQ 12⎡⎢⎣。
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2020-2021学年广东省高二上学期期末数学试卷解析版
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知命题P ：∃x 0≥1，x 02
+x 0+1≤0，则命题P 的否定为（ ）
A ．∃x ≥1，x 2+x +1＞0
B ．∀x ≥1，x 2+x +1≤0
C ．∀x ＜1，x 2+x +1＞0
D ．∀x ≥1，x 2+x +1＞0
【解答】解：因为命题P ：∃x 0≥1，x 02
+x 0+1≤0，则命题P 的否定：∀x ≥1，x 2+x +1
＞0． 故选：D ． 2．过双曲线
x 2a −
y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，
若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ） A ．
√5+1
2
B ．
√10
2
C ．
√17+1
4 D ．
√22
4 【解答】解：不妨设A （c ，y 0），代入双曲线x 2a 2
−y 2b 2
=1，可得y 0＝±
b 2a
．
∵线段AB 的长度恰等于焦距， ∴
2b 2a
=2c ，
∴c 2﹣a 2＝ac ， ∴e 2﹣e ﹣1＝0， ∵e ＞1， ∴e =
√5+1
2
．
故选：A ．
3．已知数列{a n }满足a n +1﹣2a n ＝0，且a 1+a 3+a 5＝21，那么a 3+a 5+a 7＝（ ） A ．
212
B ．33
C ．42
D ．84
【解答】解：数列{a n }满足a n +1﹣2a n ＝0，所以数列是等比数列，公比为2， a 1+a 3+a 5＝21，那么a 3+a 5+a 7＝（a 1+a 3+a 5）×22＝21×4＝84． 故选：D ． 4．△ABC 中，
a cosA
=
b cosB
=
c cosC
，则△ABC 一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形。