用十字相乘法解一元二次方程(补)导学案汇编
十字相乘解一元二次方程方法
十字相乘解一元二次方程方法【原创版3篇】篇1 目录1.十字相乘法简介2.十字相乘法解一元二次方程的基本步骤3.示例：用十字相乘法解一元二次方程4.总结与拓展篇1正文【1.十字相乘法简介】十字相乘法是一种求解一元二次方程的简便方法，它是一种基于因式分解的解法。
这种方法之所以被称为“十字相乘”，是因为在分解因式的过程中，需要将常数项和一次项分别写在十字的两边，并通过交叉相乘得到二次项的系数。
【2.十字相乘法解一元二次方程的基本步骤】1) 确定一元二次方程的标准形式：ax + bx + c = 02) 计算判别式：Δ = b - 4ac3) 根据判别式的值判断方程的根的情况：- Δ > 0：方程有两个不相等的实根- Δ = 0：方程有两个相等的实根- Δ < 0：方程无实根4) 根据一元二次方程的求根公式，计算出方程的两个根：x1,2 = (-b ±√Δ) / (2a)5) 用十字相乘法分解因式：将根的形式代入原方程，得到一个关于 a、b、c 的因式分解式6) 根据因式分解式，得出方程的两个根【3.示例：用十字相乘法解一元二次方程】示例：求解方程 2x - 3x - 2 = 01) 确定方程的标准形式：2x - 3x - 2 = 0，a = 2, b = -3, c = -22) 计算判别式：Δ = (-3) - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 253) 根据判别式的值判断方程的根的情况：Δ > 0，方程有两个不相等的实根4) 根据求根公式，计算出方程的两个根：x1,2 = (3 ±√25) / (2* 2) = (3 ± 5) / 4，x1 = 1, x2 = -2/2 = -15) 用十字相乘法分解因式：将根的形式代入原方程，得到 2(x - 1)(x+ 2) = 06) 根据因式分解式，得出方程的两个根：x1 = 1, x2 = -2【4.总结与拓展】十字相乘法作为一种解一元二次方程的简便方法，在实际应用中具有较高的价值。
用十字相乘法解一元二次方程
2
(3)4x 31x 45 0
2
(4) 3x 22x பைடு நூலகம் 24 0
2
3、横向写出两因式
(x+2)和(x+3)
2、x2-x-12=0 1 3
解：x2-x-12=0
(x+3)(x-4)=0
1
-4
x+3=0
3 -4 =-1
X=-3
x-4=0
X=4
∴x1=-3, x2=4
3、x2-6x+8=0 解：x2-6x+8=0 (x-2)(x-4)=0
x-2=0 x=2 x-4=0 x=4 ∴x1=2, x2=4
十字相乘法
步骤：
1 二次项系数为1的情况：
将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘 积的形式，且p + q = 一次项系数。
分解结果为 （x +p）(x +q)=0 1 1
P
2 二次项系数不为1的情况： 将二次项系数分成两个数（式）a ,b的乘积 的形式，常数项分解成p ,q的乘积的形式， 且a q +b p = 一次项系数。
例题欣赏
例1
2
解下列方程
(1) x 3x 2 0
(2) x 3x 2 0
2
(3) x x 2 0
2
(4) x x 2 0
2
(5) x 4x 21 0
2
解下列方程:
(1) x 12x 27 0
2
(2) x x 56
2
(3) x 9x 20
2
解下列方程:
(1)r 15r 100
用十字相乘法解一元二次方程教案(初高中衔接1)
新授课补1 用十字相乘法解一元二次方程通过对例题的研究，初步掌握用十字相乘法解一元二次方程； 教学重点： 用十字相乘法解一元二次方程 教学难点： 十字相乘法解原理的理解。
一 体 化设 计：导入新课 十字相乘法原理研究 例题 练习、巩固 教学过程：一、复习准备：在初中,我们学习过用公式法解一元二次方程，但这种方法对解系数比较简单的一元二次方程显得比较麻烦，用十字相乘法解解一些系数比较简单的一元二次方程比较快，这节课就学习用十字相乘法解一元二次方程。
（二）探索新知二、讲授新课：1. 我们知道，2()()(),mx a nx b mnx na mb x ab ++=+++反过来， 2()()()mnx na mb x ab mx a nx b +++=++如果二次三项式2rx px q ++的①二项式系数r 恰好能分解成两个因数,m n 的乘积，②常数项q 恰好可以分解成两个因数,a b 的乘积， 而且③一次项系数p 又恰好是na mb +，那么22()()()rx px q mnx na mb x ab mx a nx b ++=+++=++2. 例如：2223221(1(1)22(1)2=(21)(2)x x x x x x +-=⨯+⨯-+⨯+-⨯-+上式不易记住，我们可以借助画十字交叉线来表示，212x x -⨯ 按照十字相乘，它们的和是43x x x -=，所以 2232(21)(2)x x x x +-=-+3. 对二次三项式2rx px q ++因式分解时22()()()rx px q mnx na mb x ab mx a nx b ++=+++=++借助画十字交叉线来表示，mxanx b ⨯这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到na mb +，如果它正好等于2rx px q ++的一次项系数p ，那么2()()rx px q mx a nx b ++=++，这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．2. 例题：例1 用十字相乘法解一元二次方程：(1) 25240x x +-= (2) 212520x x --=必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例2 用十字相乘法解一元二次方程：（1）2(2)20x a x a +++=（2）2(21)20ax a x -++= 0a ≠三、练习与作业1. 2230x x +-=2. 219600x x ++=3. 2450x x --=4. 22150x x --=5. 220x x +-= 6 2524x x +-=07 25410x x --= 8 229350x x --=9. 2610x x --= 10 261130x x -+=11. 241130x x +-= 12 2141760x x --=13 26120x x --= 14. 2182150x x -+=15. 26750x x -++= 16 236240x x --=17. 23642100x x -+= 18 2623200x x ++=19. 2(1)0x a x a -++= 20. 223(2)0x x m m +-+-=。
十字相乘法导学案
学具使用 多媒体课件
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前 20 分钟）
1、阅读课本 P 121 页，思考下列问题：
（1） x2 (a b)x ab (x a)(x b) 你能理解吗？
（2）课本 P121 页最下面 4 道题你能独立解答吗？
10. a 2 n a (_____) (____ ____)2 ． m
B． (2x 2 y)2 13(x y) 20 D． 2(x y)2 9(x y) 20
二、填空题
6. x2 3x 10 __________． 7. m2 5m 6 (m＋a)(m＋b)．a＝__________，b＝__________． 8. 2x2 5x 3 (x－3)(__________)． 9. x2 ____ 2 y2 (x－y)(__________)．
（1）二次项系数是
；
（2）常数项是两个数的
；
（3）一次项系数是常数项的两个因数的
。
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
十字相乘法的依据和具体内容:
利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(x＋a)(x＋b)竖
式乘法法则．
（二）例题讲解
例 1.因式分解 x2 + 6x ― 7
步骤：1.竖分二次项与常数项； 2.交叉相乘，积相加； 3.检验确定，横写因式
A．ab
B．a＋b C．－ab
D．－(a＋b)
2.如果 x2 (a b) x 5b x2 x 30 ，则 b 为 ( )
A．5 B．－6 C．－5 D．6
2.2(补)十字相乘法一元二次方程
x x 2 0
2
拓展训练
2、用配方法证明：关于x的方程
（m² -12m +37）x ² +3mx+1=0，
无论m取何值，此方程都是一元二次方程
2
用因式分解法下列方程:
(1) 3x 10 x 3 0
2
(2) 3x 11x 4 0
2
解一元二次方程的方法
①因式分解法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）
②直接开平方法 （ (x+m)2=k k≥0 ） ③公式法
(先化方程为一般式）
④配方法
（二次项系数为1，而一次项系数为偶数）
(3) 2x 5x -1
2
(4) x 2x 99
2
（5）(x-1)(x+1)=x
（6）x (2x+5)=2 (2x+5) （8）3(x-2)2－9=0
（7）(2x－1)2=4(x+3)2
共同归纳
解一元二次方程恰当方法的选择 开平方法解一元二次方程
2
① x =a
2
② m x+n
(
) =b
2
t 4t 5
2
9(2m 3) 4(2m 5) 0
2 2
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法.
例3. 解方程 ① (2m+3)2=2(4m+7)
② 2(x-2)2+5(x-2)-3=0
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没
有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号 并整理为一般形式再选取合理的方法。 变1： 2(x-2)2+5(2-x)-3=0 变2： 2(2-x)2+5(2-x)-3=0 再变为： 2(x-2)2+5x-13=0
新版九年级数学专题教案：十字相乘法解一元二次方程
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校： 北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出
－3
⑵ 3x2＋8x－3＝0
竖分 3 － 1
叉乘
横写 1
3
对于某些一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，可以尝试运用十字相乘法
解一元二次方程，关键是对ax2+bx+c进行因式分解。
因式分解的操作要点为：竖分、叉乘、横写。
比如形如x2+(a+b)x+ab＝0的方程，可以将其变形为(x+a)(x+b)=0后
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她
一元二次方程复习导学案
一元二次方程复习导学案【考点透视】1、了解一元二次方程的有关概念，并能化一般形式和寻求各项的系数。
2、灵活运用适当的方法解一元二次方程（特别注意配方法和十字相乘法）。
3、能用b 2-4ac 求一元二次方程中字母的取值和判断方程解的情况4、理解一元二次方程根与系数的关系，并能灵活运用解决问题（特别是求值问题的式子变形及等量代换）。
5、能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，解决实际问题，并检验结果是否合理。
一元二次方程是中考命题的热点和重点，其中对方程概念和基础知识的考查，多以选择题、填空题的形式出现，而解答题多考查方程知识的综合应用，一元二次方程在实际问题中的应用，也是必考内容。
【课前热身】1、将方程1)1)(32(=+-x x 化为一般形式后为 ，其中a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ，ac b 42-＝ 。
2、把方程0622=-+x x 配方得：（x + ）2＝ 。
3、若关于x 的方程02)3(72=+---x xm m 是一元二次方程，则m ＝ 。
4、若关于x 的方程x 2＋mx －6=0有一个根是2，则m 的值为 。
5、关于x 的方程(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根，则a 满足 （ ）A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠56、若a 、b 是方程0201122=-+x x 的两个不相等的实数根，则b a a ++32的值是（ ）A ．-2011； B.2009; C.2010; D20117、已知x 1，x 2是方程2560x x --=的两个根，则代数式2212x x +的值是（ ）A. 37B. 26C. 13D. 108、某商品原价200元，连续两次降价x 后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A. 200(1+x)2=148B. 200(1－x)2=148C. 200(1－2x)=148D. 200(1－x 2)=1489、已知关于x 的方程2x －px ＋q ＝0的两个根是1和－2，则p ＝ ，q ＝ 。
一元二次方程十字相乘法例题过程
一、引言一元二次方程是数学中常见的类型之一，解一元二次方程的方法有很多种，其中十字相乘法是一种常用的解题方法。
这种方法简单直观，适合初学者掌握。
下面我们将通过一些例题来演示一元二次方程十字相乘法的解题过程。
二、十字相乘法概述十字相乘法是解一元二次方程的一种常用方法，它的基本思想是将一元二次方程化简为两个一次方程的乘积，然后通过求解这两个一次方程来得到一元二次方程的解。
使用十字相乘法的关键是要找到适当的两个一次方程使其乘积等于一元二次方程。
下面我们将通过例题来详细演示十字相乘法的具体操作过程。
三、例题一题目：解一元二次方程x^2 + 5x + 6 = 0解答：1. 首先写出一元二次方程的标准形式：x^2 + 5x + 6 = 02. 找到适当的两个一次方程使其乘积等于一元二次方程：x^2 + 3x + 2x + 6 = 03. 将一元二次方程的中间项拆分为两个一次方程的和：x(x + 3) +2(x + 3) = 04. 将上式进行分组：(x + 3)(x + 2) = 05. 通过分解得到的两个一次方程求解得到：x + 3 = 0 或 x + 2 = 06. 得到方程的解：x = -3 或 x = -2四、例题二题目：解一元二次方程x^2 - 9x + 20 = 0解答：1. 首先写出一元二次方程的标准形式：x^2 - 9x + 20 = 02. 找到适当的两个一次方程使其乘积等于一元二次方程：x^2 - 4x - 5x + 20 = 03. 将一元二次方程的中间项拆分为两个一次方程的和：x(x - 4) - 5(x - 4) = 04. 将上式进行分组：(x - 4)(x - 5) = 05. 通过分解得到的两个一次方程求解得到：x - 4 = 0 或 x - 5 = 06. 得到方程的解：x = 4 或 x = 5五、例题三题目：解一元二次方程2x^2 + 7x - 15 = 0解答：1. 首先写出一元二次方程的标准形式：2x^2 + 7x - 15 = 02. 找到适当的两个一次方程使其乘积等于一元二次方程：2x^2 + 10x - 3x - 15 = 03. 将一元二次方程的中间项拆分为两个一次方程的和：2x(x + 5) - 3(x + 5) = 04. 将上式进行分组：(2x - 3)(x + 5) = 05. 通过分解得到的两个一次方程求解得到：2x - 3 = 0 或 x + 5 = 06. 得到方程的解：x = 3/2 或 x = -5六、总结通过以上例题的演示，我们可以清晰地了解到一元二次方程十字相乘法的解题过程。
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九年级数学导学案
课题 2.4.2用十字相乘法解
一元二次方程（补）课型新授课时2
2
教师
教学目标1．理解什么是十字相乘法，会用十字相乘法分解因式。
2．在分解因式的基础上进行解一元二次方程。
重点用十字相乘法解一元二次方程
难点用十字相乘法解一元二次方程
教法合作探究
学法合作交流时间2009年9月24日
二、讲授新课
我们知道2
2356
x x x x，反过来，就得到
二次三项式256
x x的因式分解形式，即
25623
x x x x，其中常数项6分解成2,3两个
因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即
6=2×3，且2+3=5。
一般地，由多项式乘法，
2
x a x b x a b x ab，反过来，就得到
2
x a b x ab x a x b
这就是说，对于二次三项式2x px q，如果能够把常
数项q分解成两个因数a、b的积，并且a+b等于一次项的
系数p，那么它就可以分解因式，即
22
x px q x a b x ab x a x b。
运用这个公
式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式。
学习困惑记
录
把2x px q 分解因式时：
如果常数项q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。
如果常数项q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p 的符号相同。
对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系
由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2ax bx c 进行因式分解。
我们知道，
11
22212122112212122112a x c a x c a a x
a c x a c x c c a a x
a c a c x c c 反过来，就得到
212122112
1122
a a x a c a c x c c a x c a x c 我们发现，二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1a ，2a ，1c ，2c 排列如下：
1
a 1c 2a 2
c 这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a 2c +2a 1c ，如果它
们正好等于2ax
bx c 的一次项系数b ，那么2ax bx c 就
可以分解成1122a x c a x c ，其中1a ，1c 位于上图的上一行，2a ，2c 位于下一行。
像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法。
一般地我们也可以用这种方法进行解一元二次方程。
例1 （1）232
x x=0 （1）2421
x x=0
三、应用深化1、解方程
(1) 2
273
x x=0 (2) 2
675
x x=0
(3) 0
3
5
22x
x(4)2
2157
x x=0
随时纠错。