2018年秋九年级数学下册 第1章 解直角三角形 1.3 解直角三角形(3)练习 (新版)浙教版

1.3解直角三角形(3)
(见A本57页)
A 练就好基础基础达标
1．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100 m到B地，再从B地向正南方向走200 m 到C地，此时王英同学离A地( D)
A．150 m B．503m C．100 m D．1003m
2．如图所示，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD ＝60°，又测得AC＝100 m，则B点到河岸AD的距离为( B)
A．100 m B．50 3 m C.2003
3
m D．50 m
2题图
第3题图
3．苏州中考如图所示，长4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°.为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为( B) A．2 3 m B．2 6 m C．(23－2) m D．(26－2) m
4．西宁中考如图所示，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC. 若∠B＝56°，∠C＝45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为__60__ m．(sin 56°≈0.8，tan 56°≈1.5)
第4题图
5题图
5．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC.若BD＝8，AC
＝6，∠BOC＝120°，则四边形ABCD的面积为结果保留根号)．
第6题图
6．益阳中考如图所示，小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．旗杆PA 的高度与拉绳PB的长度相等．小明将PB拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C为水平
线)，测角仪B′D的高度为1 m，则旗杆PA的高度为__1
1－sin α
__ m.
第7题图
7．绍兴中考如图所示，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60 m到达C 点，测得点B在点C的北偏东60°方向．
(1)求∠CBA的度数；
(2)求出这段河的宽．(结果精确到1 m，备用数据：2≈1.41，3≈1.73)
第7题答图
解：(1)由题意，得∠BAD＝45°，
∠BCA＝30°，
∴∠CBA＝∠BAD－∠BCA＝15°.
(2)如图，作BD⊥CA交CA的延长线于D，设BD＝x，
∵∠BCA＝30°，∴CD＝
BD
tan 30°
＝3x，
∵∠BAD＝45°，∴AD＝BD＝x，则3x－x＝60，解得x＝60
3－1
≈82，
即这段河的宽约为82 m.
第8题图
8．2017·乌鲁木齐中考一艘渔船位于港口A北偏东60°方向，距离港口20海里的B 处，它沿北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发20分钟到达C处，求救援艇的航行速度．(sin 37°≈0.6，cos 37°≈0.8，3≈1.732，结果取整数)
第8题答图
解：作辅助线如图所示：
BD ⊥AD ，BE ⊥CE ，CF ⊥AF ，
由题意知，∠FAB ＝60°，∠CBE ＝37°，
∴∠BAD ＝30°，
∵AB ＝20海里，
∴BD ＝10海里，
在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2
＝103≈17.32(海里)，
在Rt △BCE 中，sin37°＝CE BC
， ∴CE ＝BC·sin37°≈0.6×10＝6(海里)，
∵cos37°＝EB BC
，∴EB ＝BC·cos37°≈0.8×10＝8(海里)， EF ＝AD ＝17.32海里，∴FC ＝EF －CE ＝11.32(海里)，
AF ＝ED ＝EB ＋BD ＝18(海里)，
在Rt △AFC 中，
AC ＝AF 2＋FC 2＝182＋11.322≈21.26(海里)，
21．26÷2060
＝64(海里/小时)． 答：救援艇的航行速度大约是64海里/小时．
B 更上一层楼 能力提升
9．扬州中考若锐角△ABC 内接于⊙O，点D 在⊙O 外(与点C 在AB 同侧)，有下列三个结论：①sin ∠C>sin ∠D ；②cos ∠C>cos ∠D ；③tan ∠C>tan ∠D.正确的结论为( D )
A ．①②
B ．②③
C ．①②③
D ．①③
第10题图
10．如图所示，一渔船上的渔民在A 处看见灯塔M 在北偏东60°方向，这艘渔船以28 km/h 的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处看见灯塔M 在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是( A )
A ．7 2 km
B ．14 2 km
C ．7 km
D ．14 km
第11题图
11．2017·苏州中考如图所示，在一笔直的沿湖道路l 上有A ，B 两个游船码头，观光岛屿C 在码头Α北偏东60°的方向，在码头B 北偏西45°的方向，AC ＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C 乘船沿CA 回到码头A 或沿CB 回到码头B.设开往码头A ，B 的游船速度分别
为v 1，v 2，若回到A ，B 所用时间相等，则v 1v 2＝2
结果保留根号)． C 开拓新思路 拓展创新
12．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的
中点，连结PA ，PB ，PC.
(1)如图(a)，若∠BPC＝60°，求证：AC ＝3AP ；
(2)如图(b)，若sin ∠BPC ＝2425
，求tan ∠PAB 的值．
图(a) 图(b)
第12题图
解：(1)证明：∵∠BAC＝∠BPC＝60°.
又∵AB＝AC ，∴△ABC 为等边三角形，
∴∠ACB ＝60°，∵点P 是AB ︵的中点，∴∠ACP ＝30°，
又∵∠APC＝∠ABC ＝60°，∴AC ＝3AP.
第12题答图
(2)如图，连结AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG⊥AC 于点G ，连结OC. ∵AB ＝AC ，∴AF ⊥BC ，BF ＝CF.
又∵点P 是AB ︵的中点，∴∠ACP ＝∠PCB，
∴EG ＝EF.
∵∠BPC ＝∠BAC，又∵∠BAC＝∠FOC，
∴∠BPC ＝∠FOC，
∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425
. 设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，
∴OF ＝7a ，AF ＝32a.
在Rt △AFC 中，AC 2＝AF 2＋FC 2，∴AC ＝40a.
在Rt △AGE 和Rt △AFC 中，sin ∠FAC ＝EG AE ＝FC AC
， ∴EG 32a －EG ＝24a 40a
，∴EG ＝12a. ∴tan ∠PAB ＝tan ∠PCB ＝EF CF ＝12a 24a ＝12
. 13．如图所示的晾衣架，支架主视图的基本图形是菱形，其示意图如图(b)所示．晾衣架伸缩时，点G 在射线DP 上滑动，∠CED 的大小也随之发生变化．已知每个菱形边长均等于20 cm ，且AH ＝DE ＝EG ＝20 cm.
(1)当∠CED＝60°时，求C ，D 两点间的距离；
(2)当∠CED 由60°变为120°时，点A 向左移动了多少 cm ？(结果精确到0.1 cm)
(3)设DG ＝x ，当∠CED 的变化范围为60°～ 120°(包括端点值)时，求x 的取值范围．(结果精确到0.1 cm ，参考数据：3≈1.732)
图(a) 图(b)
第13题图
解：(1)如图(a)，连结CD ，
13题答图(a)
13题答图(b)
∵每个菱形的边长都是20 cm, 且DE ＝20 cm ，
∴CE ＝DE ，
∵∠CED ＝60°，∴△CED 是等边三角形，
∴CD ＝20 cm, ∴C ，D 两点之间的距离是20 cm.
(2)如图(b)，
作EM⊥CD 于点M, 在△CED 中，CE ＝DE, ∠CED ＝120°， ∴∠ECD ＝30°，∴EM ＝12
CE ＝10 cm ， ∴CM ＝10 3 cm ，∴CD ＝20 3 cm ，
∴点C 向左移动了(203－20) cm ，
∴点A 向左移动了(203－20)×3≈43.9(cm)．
(3)如图(a)，当∠CED＝60°时， ∵ED ＝EG, ∠CGD ＝30°，
在Rt △CGD 中，cos 30°＝DG CG ，∵CG ＝40 cm ， ∴DG ＝203≈34.6(cm)．
如答图(b)，当∠CED＝120°时， ∠CGD ＝60°，
∴DG ＝12
CG ＝20 cm ，∴20 cm ≤x ≤34.6 cm.。