【成才之路】2014高中数学 1-1-2 集合间的基本关系能力强化提升 新人教A版必修1

【成才之路】2014高中数学 1-1-2 集合间的基本关系能力强化
提升 新人教A 版必修1
一、选择题
1．对于集合A ，B ，“A ⊆B ”不成立的含义是( ) A ．B 是A 的子集
B ．A 中的元素都不是B 的元素
C ．A 中至少有一个元素不属于B
D ．B 中至少有一个元素不属于A [答案] C
[解析] “A ⊆B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C.
2．若集合M ＝{x |x ＜6}，a ＝35，则下列结论正确的是( ) A ．{a } M B ．a M C ．{a }∈M D ．a ∉M
[答案] A
[解析] ∵a ＝35＜36＝6， 即a ＜6，∴a ∈{x |x ＜6}， ∴a ∈M ，∴{a } M .
[点拨] 描述法表示集合时，大括号内的代表元素和竖线后的制约条件中的代表形式与所运用的符号无关，如集合A ＝{x |x ＞1}＝B {y |y ＞1}，但是集合M ＝{x |y ＝x 2
＋1，x ∈R }和
N ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }的意思就不一样了，前者和后者有本质的区别．
3．下列四个集合中，是空集的是( ) A ．{0}
B ．{x |x ＞8，且x ＜5}
C ．{x ∈N |x 2
－1＝0} D ．{x |x ＞4}
[答案] B
[解析] 选项A 、C 、D 都含有元素．而选项B 无元素，故选B.
4．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＜0，xy ＞0}，P ＝{(x ，y )|x ＜0，y ＜0}，则( ) A ．P M B ．M P C ．M ＝P D ．M P
[答案] C
[解析] 本题考查两集合之间的关系，由⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ＜0，xy ＞0得x ＜0，y ＜0，这与集合P 中
的元素(x，y)限定的条件相同，故M＝P.
5．设集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则集合A，B间的关系为( )
A．A＝B B．A B
C．B A D．以上都不对
[答案] A
[解析]A、B中的元素显然都是奇数，A、B都是有所有等数构成的集合．故A＝B.选A.
[探究] 若在此题的基础上演变为k∈N.又如何呢？答案选B你知道吗？
6．已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为( )
A．P＝{－3,0,1}
B．Q＝{－1,0,1,2}
C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}
D．S＝{x||x|≤3，x∈N}
[答案] D
[解析]先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M，且S M.故选D.
7．已知集合M＝{(x，y)|3x＋4y－12＜0，且x，y∈N*}，则集合M的真子集的个数是( ) A．4 B．6
C．7 D．8
[答案] C
[解析]因为M＝{(x，y)|3x＋4y－12＜0，且x，y∈N*}＝{(1,2)，(2,1)，(1,1)}，所以M的真子集有23－1＝7(个)．
8．(2012－2013瓮安一中高一期末试题)设P，Q是两个非空集合，定义P×Q＝{(a，b)|a ∈P，b∈Q}，若P＝{3,4,5}．Q＝{4,5,6,7}，则P×Q中元素的个数是( ) A．3 B．4
C．7 D．12
[答案] D
[解析]根据定义，集合P×Q是一个由有序数对(a，b)组成的集合，所以分别为(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，共12个．
二、填空题
9．设A ＝{正方形}，B ＝{平行四边形}，C ＝{四边形}，D ＝{矩形}，E ＝{多边形}，则A 、
B 、
C 、
D 、
E 之间的关系是________．
[答案] A D B C E
[解析] 由各种图形的定义可得．
10．用适当的符号填空．(∈，∉，⊆，⊇， ， ，＝)
a ________{
b ，a }；a ________{(a ，b )}；
{a ，b ，c }________{a ，b }；{2,4}________{2,3,4}； ∅________{a }．
[答案] ∈，∉， ， ，
11．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，定义集合A 、B 之间的运算“*”：A *B ＝{x |x ＝x 1＋
x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则集合A *B 中最大的元素是________，集合A *B 所有子集的个数是
________．
[答案] 5,16
[解析] 由已知A *B ＝{2,3,4,5}，∴A *B 中最大元素是5.∵A *B 中共有4个元素，∴其子集共有24
＝16.
12．已知集合A ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝k 4＋1
2
，k ∈Z }，则集合A 、B 满足的关
系是________(用⊆， ，＝， 连接A 、B 的关系)．
[答案] A B
[解析] 解法1：用列举法，令k ＝－2，－1,0,1,2…可得
A ＝{…－34，－14，14，34，54
…}， B ＝{…0，14，1
2
，34
，1…}，
∴A B .
解法2：集合A 的元素为：x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z )，集合B 的元素为：x ＝k 4＋12＝k ＋2
4
(k
∈Z )，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，∴A B .
[规律总结] 本题解法从分式的结构出发，运用整数的性质方便地获解．注意若k 是任意整数，则k ＋m (m 是一个整数)也是任意整数，而2k ＋1,2k －1均为任意奇数，2k 为任意偶数．
三、解答题
13．判断下列表示是否正确： (1)a ⊆{a }； (2){a }∈{a ，b }；
(3)∅ {－1,1}； (4){0,1}＝{(0,1)}；
(5){x |x ＝3n ，n ∈Z }＝{x |x ＝6n ，n ∈Z }．
[解析] (1)错误．a 是集合{a }的元素，应表示为a ∈{a }． (2)错误．集合{a }与{a ，b }之间的关系应用“ (⊆)”表示． (3)正确．空集是任何一个非空集合的真子集．
(4)错误．{0,1}是一个数集，含有两个元素0,1，{(0,1)}是一个以有序实数对(0,1)为元素的集合，所以{0,1}≠{(0,1)}．
(5)错误．集合{x |x ＝3n ，n ∈Z }中的元素表示所有能被3整除的数，或者说是3的倍数，而{x |x ＝6n ，n ∈Z }中的元素表示所有能被6整除的数，即是6的倍数，因此应有{x |x ＝6n ，
n ∈Z } {x |x ＝3n ，n ∈Z }．
14．若集合A ＝{x |x 2
＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B A ，求m 的值． [解析] ∵A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}，且B A . ∴(1)当B ＝∅时，方程mx ＋1＝0无解，故m ＝0； (2)当B ≠∅时，则B ＝{－1m
}．
若－1m ＝－3，则m ＝13；
若－1m ＝2，则m ＝－12.
综上知，m 的值为0，－12，13
.
15．已知A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋a <0}，当B ⊆A 时，求实数a 的取值范围． [解析] ∵A ＝{x |x <－1或x >2}，
B ＝{x |4x ＋a <0}＝{x |x <－a 4
}，
∵A ⊇B ，∴－a
4≤－1，即a ≥4，
所以a 的取值范围是a ≥4.
16．设集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}． (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集个数；
(3)当x ∈R 时，不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立，求实数m 的取值范围． [解析] (1)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A . 当m ＋1≤2m －1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，
只需⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ＋1≥－2，2m －1≤5，即2≤m ≤3.
综上，当B ⊆A 时，m 的取值范围是{m |m ≤3}． (2)当x ∈Z 时，A ＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}， ∴集合A 的非空真子集个数为28
－2＝254. (3)∵x ∈R ，且A ＝{x |－2≤x ≤5}，
B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，
又不存在元素x 使x ∈A 与x ∈B 同时成立， ∴当B ＝∅，即m ＋1>2m －1，得m <2时，符合题意； 当B ≠∅，即m ＋1≤2m －1，得m ≥2时，
⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ≥2，m ＋1>5，或⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ≥2，
2m －1<－2，解得m >4.
综上，所求m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．。