【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第1课时 函数的单调性与导数课件 新人教A版选修1-1
成才之路高一数学人教B必修课后强化作业： 第课时函数的单调性的应用
第二章 2.1.3 第2课时一、选择题1．已知函数f (x )＝3x ，则在下面区间内f (x )不是递减函数( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(1，＋∞) [答案] C[解析] f (x )＝3x 在(0，＋∞)上和(－∞，0)上都是减函数，故A 、B 、D 正确，但在(0，＋∞)∪(－∞，0)上不是减函数．2．已知函数f (x )＝x 2－4x ，x ∈[1,5]，则函数f (x )的值域是( ) A ．[－4，＋∞) B ．[－3,5] C ．[－4,5] D ．(－4,5][答案] C[解析] ∵f (x )＝x 2－4x ＝(x －2)2－4，∴函数f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝2，又∵x ∈[1,5]， 故当x ＝2时，f (x )取最小值－4， 当x ＝5时，f (x )取大值5，故选C.3．在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x 2－1 C ．y ＝2x 2＋3x D ．y ＝2x －1[答案] D[解析] 函数y ＝3x －2在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝3x 2－1的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝0，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝2x 2＋3x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－34，故在(0，＋∞)上是增函数；函数y ＝2x－1在(0，＋∞)上为减函数，故选D.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6(1≤x ≤2)x ＋7(－1≤x ≤1)，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对[答案] A[解析] 函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，∴函数f (x )的最大值为f (2)＝10，最小值为f (－1)＝6.5．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)．若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)<f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定 [答案] C[解析] f (x 1)－f (x 2)＝ax 21＋2ax 1＋4－ax 22－2ax 2－4＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2a (x 1－x 2)∵a >0，x 1<x 2，x 1＋x 2＝0， ∴f (x 1)－f (x 2)＝2a (x 1－x 2)<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．6．已知函数f (x )在其定义域R 上单调递增，则满足f (2x －2)<f (2)的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)[答案] D[解析] ∵函数f (x )在其定义域R 上单调递增， ∴2x －2<2，∴x <2，故选D. 二、填空题7．函数y ＝－ax 在(0，＋∞)上是减函数，则y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上的单调性为________．[答案] 单调递减[解析] ∵函数y ＝－ax在(0，＋∞)上是减函数，∴a <0.又函数y ＝－2x 2＋ax 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x ＝a4<0，∴函数y ＝－2x 2＋ax 在(0，＋∞)上单调递减．8．函数y ＝|x －3|＋2的递增区间为________，递减区间为________． [答案] [3，＋∞) (－∞，3][解析] y ＝|x －3|＋2＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1(x ≥3)5－x (x <3)，其图象如图所示，由图象知，其递增区间为[3，＋∞)，递减区间为(－∞，3]． 三、解答题9．用函数单调性的定义证明：f (x )＝x ＋ax ＋b (a >b >0)在(－b ，＋∞)上是减函数．[解析] 设x 1、x 2∈(－b ，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0. Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋a x 2＋b －x 1＋ax 1＋b＝(x 2－x 1)(b －a )(x 2＋b )(x 1＋b )， 由x 1、x 2∈(－b ，＋∞)得x 1>－b ，x 2>－b ， ∴x 1＋b >0，x 2＋b >0， 又a >b >0，∴b －a <0， 又x 2－x 1>0，∴Δy <0.∴f (x )＝x ＋ax ＋b(a >b >0)在(－b ，＋∞)上是减函数.一、选择题1．函数y ＝|x |在(－∞，a ]上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．a ≥0 C ．a <0D ．a ≤0[解析] 如图所示：∴函数y ＝|x |的单调减区间为(－∞，0]， 要使y ＝|x |在(－∞，a ]上是减函数，则有a ≤0.2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定[答案] D[解析] 根据函数单调性的定义，所取两个自变量必须在同一单调区间内，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而x 1，x 2分别在两个单调增区间，故f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定，选D.3．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有ΔyΔx >0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝－3x ＋1C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x ＋1x[答案] C[解析] Δy Δx >0⇔f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0⇔f (x )在(0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝2x 及f (x )＝－3x ＋1在(0，＋∞)上均为减函数，故A ，B 错误；f (x )＝x ＋1x 在(0,1)上递减，在[1，＋∞)上递增，故D 错误；f (x )＝x 2＋4x ＋3＝x 2＋4x ＋4－1＝(x ＋2)2－1，所以f (x )在[－2，＋∞)上递增，故选C.4．函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则有( ) A ．f (1)≥25 B ．f (1)＝25 C ．f (1)≤25D ．f (1)>25[解析] ∵f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝m8，由f (x )在区间[－2，＋∞)上为增函数，∴m8≤－2，即m ≤－16.又f (1)＝4－m ＋5＝9－m ≥25.二、填空题5．已知函数y ＝ax 和y ＝bx 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是__________函数．[答案] 增[解析] ∵y ＝ax 和y ＝bx 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b >0，结合二次函数图象可得，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在(－∞，0)上是增函数．6．设函数f (x )满足；对任意的x 1，x 2∈R ，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则f (－3)与f (－π)的大小关系是________．[答案] f (－3)>f (－π)[解析] (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，可得函数为增函数． ∵－3>－π，∴f (－3)>f (－π)． 三、解答题7．已知f (x )是定义在[－2,1]上的增函数，若f (t －1)<f (1－3t )，求t 的取值范围． [解析] ∵函数f (x )是定义在[－2,1]上的增函数，且f (t －1)<f (1－3t )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤t －1≤1－2≤1－3t ≤1t －1<1－3t，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤20≤t ≤1t <12，即0≤t <12.故t 的取值范围为0≤t <12.8．已知函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )，且当x >2时， f (x )为增函数，试比较f (1)、f (4)、f (－2)的大小．[解析] ∵x ∈R ，都有f (2＋x )＝f (2－x )， ∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又x >2时，f (x )为增函数，∴x <2时，f (x )为减函数，则在x 轴上距离对称轴x ＝2越远的数，其函数值越大，∴f (－2)>f (4)>f (1)．9．已知函数f (x )对任意x 、y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )是R 上的单调递减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最小值．[解析] (1)证明：设x 1和x 2是任意的两个实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0，∵x >0时，f (x )<0，∴f (x 2－x 1)<0，又∵x 2＝(x 2－x 1)＋x 1，∴f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)， ∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)<0，∴f (x 2)<f (x 1)． ∴f (x )是R 上的单调递减函数． (2)解：由(1)可知f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上的最小值为f (3)． 而f (3)＝f (1)＋f (2)＝3f (1)＝3×⎝⎛⎭⎫－23＝－2. ∴函数f (x )在[－3,3]上的最小值是－2.。
函数的单调性ppt课件
利用函数的单调性求最值 [思路分析] (1)结合函数f(x)的图像分析f(x)的单调性，从而确定其最大值； 利用函数增加、减少的定义判断f(x)在[2,6]上的单调性，再求最值．
[规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的步骤： 判断：先判断函数的单调性． 求值：利用单调性代入自变量的值求得最值． 明确利用单调性求最大值、最小值易出错的几点： 写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标． 求最值忘记求定义域． 求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断单调性而直接将两端点值代入．
添加标题
下列命题正确的是( )
[答案] D
PART 1
利用定义证明或判断函数的单调性
结论：根据差的符号，得出单调性的结论．
定号：判断上式的符号，若不能确定，则分区间讨论；
作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分解、通分、ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方、分母(分子)有理化等方法变形；
取值：在给定区间上任取两个值x1，x2，且x1<x2；
在定义域的某个子集上是增加的或是减少的
增函数
减函数
单调函数
3．函数的单调性 如果函数_________________________________，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为________或________，统称为________．
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，且函数图像的对称轴为直线x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3. [答案] a＝－3 [规律总结] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子集．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．
【成才之路】2014-2015学年高中数学 1.3.2 奇偶性 第1课时 函数的奇偶性课件 新人教A版必修1
[分析] (1) 定义域关于原点对称 得到a，b所满足 → fx关于y轴对称 的关系，进而求值
(2)利用奇偶性质求值． (3)利用奇偶性确定 m 的值，再求单调区间．
[解析] (1)因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 a－1 1 ＝－2a，解得 a＝3. 1 2 又函数 f(x)＝3x ＋bx＋b＋1 为二次函数，结合偶函数图象 的特点，易得 b＝0.
2．了解奇函数和偶函数图象的对称性．
●温故知新 旧知再现 1 ．轴对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一条 直线 的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该直线 _____
对称轴 ． 成轴对称图形，这条直线称作该轴对称图形的________
2 ．中心对称图形：如果一个图形上的任意一点关于某一 ____ 点 的对称点仍是这个图形上的点，就称该图形关于该点成中 心对称图形，这个点称作该中心对称图形的 __________． 对称中心 (－a，b) ，关于原 3．点P(a、b)关于y轴的对称点为P′__________ (－a，－b ) 点的对称点P″__________ ．
1 2 2x ＋1，x＞0 (4)f(x)＝ －1x2－1，x＜0 2
.
[分析] → 定义域关于原点对称 利用函数奇偶性 — 的定义进行判断 → 研究f－x与 → 分段函数需分 段来研究 fx的关系
[解析]
(1)函数f(x)＝x＋1的定义域为实数集R，关于原点
对称．
＝ －f(x)＝－x3. „可类推出：f(－x) ____
新知导学
1．偶函数和奇函数 偶函数 定 义 奇函数 f(－x)＝_____ －f(x) 函数f(x)叫做奇函数 图象关于_____ 原点 对称
【成才之路】2015-2016学年高中数学人教B版选修1-1课件 第3章 3.3 第1课时 利用导数判断函数的单调性
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1-2
3x2－1 由 f′(x)<0，即 x <0， 3 得 0<x< 3 ， 3 ∴f(x)的减区间为(0， 3 )， 3 ∴函数 f(x)＝3x －2lnx 的单调增区间为( 3 ，＋∞)，减区
2
3 间为(0， 3 ).
即a≥3x2，因为x∈(－1,1)，故a≥3.
第三章
3.3
第1课时
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1-2
四
构造函数证明不等式
若证明不等式 f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以转化为证明 f(x) －g(x)>0，如果[f(x)－g(x)]′>0，说明 F(x)＝f(x)－g(x)在(a，b) 上是增函数．若 F(x)＝f(x)－g(x)是增函数，F(a)≥0，当 x∈(a， b)时，F(x)＝f(x)－g(x)>F(a)≥0，即 f(x)>g(x)．
第三章
3.3
第1课时
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1-2
一
利用导数判断函数的单调性的法则
设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果 f(x)在 x 的某个开 区间内总有 f′(x)>0，则 f(x)在这个区间上是增函数；如果 f(x) 在 x 的某个开区间总有 f′(x)<0， 则 f(x)在这个区间上是减函数．
1-2
二 判断可导函数单调性的一般步骤
第一步，确定函数f(x)的定义域． 第二步，求f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出它在定义域 内的一切实根． 第三步，把函数 f(x) 在间断点 ( 即 f(x) 的无定义点 ) 的横坐标
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3．1．2一、选择题1．下列说法正确的是()A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1B．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的[答案] B2．从A、B、C、D、E、F共6名同学中选出4人参加数学竞赛．事件P为“A没被选中”，则基本事件总数和事件P中包含等可能的基本事件个数分别为() A．30,5B．15,5C．15,4 D．14,5[答案] B[解析]用一一列举的方法，数出基本事件组成的集合Ω和事件P中所含的基本事件．Ω＝{(A，B，C，D)，(A，B，C，E)，(A，B，C，F)，(A，C，D，E)，(A，C，D，F)，(A，C，E，F)，(A，B，D，E)，(A，B，D，F)，(A，B，E，F)，(A，D，E，F)，(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}共15个等可能的基本事件．事件P＝{(B，C，D，E)，(B，C，D，F)，(B，C，E，F)，(B，D，E，F)，(C，D，E，F)}共5个基本事件．3．抛掷一个骰子观察点数，若“出现2点”这个事件发生，则下列事件一定发生的是()A．“出现奇数点”B．“出现偶数点”C．“点数大于3”D．“点数是3的倍数”[答案] B[解析]出现偶数点由基本事件“出现2点”，“出现4点”，“出现6点”组成．4．从A、B、C三个同学中选2名代表，A被选中的概率为()A ．1 B.23 C.12D.13[答案] B[解析] 基本事件组成的集合为Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )}其中每个基本事件都是等可能出现的，含A 的基本事件有两个，∴A 被选中的概率为23.5．在1、2、3、4四个数中，可重复选取两个数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是( )A.23B.12C.14D.18[答案] C[解析] 可重复选取两个数共有4×4＝16种选法，其中一个数是另一个数的2倍的有：(1,2)，(2,1)，(2,4)，(4,2)共4种，∴所求概率为P ＝416＝14. 6．从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概率为1的是( )A ．三个都是正品B ．三个都是次品C ．三个中至少有一个是正品D ．三个中至少有一个是次品 [答案] C[解析] 16个同类产品中，只有2件次品，抽取三件产品，A 是随机事件，B 是不可能事件，C 是必然事件，D 是随机事件，又必然事件的概率为1，∴选C.7．每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是14，我每道题都选第一个选项，则一定有3道题选择结果正确”这句话( )A ．正确B ．错误C ．不一定D ．无法解释[答案] B8．抛掷两颗均匀骰子，出现“点数之和为3”的概率是( )A.13B.16 C.118 D.136[答案] C[解析] 掷一颗骰子有6种结果，抛掷2颗骰子共有36种结果．其中点数之和为3，包含(1,2)，(2,1)两种，∴概率为236＝118.二、填空题9．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，如下表所示：(1)(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？________. [答案] (1)0.75 0.8 0.8 0.85 0.83 0.8 0.76；(2)0.8.[解析] 频率是在试验中事件发生的次数与试验次数的比值，由此得进球频率依次是68，810，1215，1720，2530，3240，3850，即0.75,0.8,0.8,0.85,0.83,0.8,0.76. (2)概率是频率的稳定值，这位运动员投篮一次，进球的概率约是0.8. 10．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件： (1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；(2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大；(3)如果a >b ，那么b <a ；(4)某人购买福利彩票中奖．其中________是随机事件；________是不可能事件，________是必然事件． [答案] (1)与(4)；(2)；(3)11．同时掷3枚均匀硬币，恰好有两枚正面向上的概率为________．[答案] 38[解析] 基本事件构成集合Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，恰好有两枚正面向上的基本事件有3个，每一个基本事件发生的机会均等，∴概率为38.12．思考下列随机事件发生的可能性大小填空：(1)一枚均匀硬币落地时，“正面向上”为事件A ，“反面向上”为事件B ，A 与B 发生的可能性为________．(2)3黄1红共4个大小相同、均匀的乒乓球放在一个不透明的盒子中任取一球，记“取到黄球”为事件A ，“取到红球”为事件B ，A 与B 发生的可能性________．(3)有大小相同、均匀的红、黄、黑三个球，任意摸出两球，记“摸到一红一黄两个球”为事件A ，“摸到一黄一黑两个球”为事件B ，则A 与B 发生的可能性________．(4)一袋中有大小相同的两个红球和一个白球，任意摸出两个球，记“摸出一个红球和一个白球”为事件A ，“摸出两个红球”为事件B ，则A 与B 发生的可能性________．[答案] (1)P (A )＝P (B ) (2)P (A )>P (B ) (3)P (A )＝P (B ) (4)P (A )>P (B ) 三、解答题13．你能用生活中的实例说明小概率事件也可能发生吗？[解析] 小概率事件是指发生的可能性非常小的事件，但并不是说小概率事件就一定不发生了．如我们平日所接触的“30选7”、“35选7”的福利彩票一等奖的中出，它的概率都是几百万分之一，但它也发生了，也有得一等奖的幸运者．14．某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：(1)(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？[解析] 利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率．(1)射中次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是81100＝0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792，0.82,0.82，0.793，0.794,0.807；(2)击中飞碟的频率稳定在0.81，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.15．(1)某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，现有患这种疾病的病人10人前来就诊，前9人都未治愈，那么第10人就一定能治愈吗？(2)某人掷一枚均匀硬币，已连续5次正面向上，他认为第6次抛掷出现反面向上的概率大于12，这种理解正确吗？[解析] (1)如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是10%指随着试验次数的增加，大约有10%的人能够治愈．对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前9个病人没有治愈，对第10个人来说，其结果仍然是随机的，即有可能治愈，也有可能没有治愈．(2)不正确．抛掷一枚硬币，作为一次试验，其结果是随机的，大量试验又呈现一定规律性，即“正面向上”和“反面向上”的可能性都是12，连续5次正面向上这种结果是可能的，对下一次试验来说，其结果仍然是随机的，其出现反面向上的可能性仍是12，不会大于12.16．P (x ，y )是坐标平面内的一点，其中x ，y 分别取1,2,3,4中的两个不同的值． (1)写出P 点坐标的所有可能情形；(2)其中“点P 落在圆x 2＋y 2＝9内”包含哪几个基本事件．[解析] (1)P 点坐标所有可能情形构成集合Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}．(2)事件“点P 落在圆x 2＋y 2＝9内”包含以下2个基本事件：(1,2)，(2,1)． 17．现有甲、乙、丙三个儿童玩石头、剪刀、布的猜拳游戏，观察其出拳情况． (1)写出该试验的所有基本事件；(2)事件“三人不分胜负”包含的基本事件．[解析] 以(J ，S ，B )表示三人中甲出剪刀，乙出石头，丙出布，则(1)Ω＝{(J ，J ，J )，(J ，J ，S )，(J ，S ，J )，(S ，J ，J )，(J ，J ，B )，(J ，B ，J )，(B ，J ，J )，(J ，S ，S )，(S ，J ，S )，(S ，S ，J )，(J ，B ，B )，(B ，J ，B )，(B ，B ，J )，(S ，S ，S )，(S ，S ，B )，(S ，B ，S )，(B ，S ，S )，(B ，B ，S )，(B ，S ，B )，(S ，B ，B )，(B ，B ，B )，(J ，S ，B )，(J ，B ，S )，(S ，J ，B )，(S ，B ，J )，(B ，J ，S )，(B ，S ，J )}．(2)事件“三人不分胜负”包含(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(B，J，S)，(B，S，J)，(S，J，B)，(S，B，J)共9个基本事件．[点评]对于(J，S，B)甲胜丙，丙胜乙，乙胜甲也视作不分胜负．。
【成才之路】高二数学 1、3-3-1函数的单调性与导数同步练习 新人教A版选修1-1
3.3.1函数的单调性与导数一、选择题1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的一个充分条件是( )A ．b 2－4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0C ．b ＝0，c ＞0D ．b 2－3ac ＞0[答案] C2．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间是( )A ．(0，12)B ．(0，24)C ．(12，＋∞) D ．(－12，0)及(0，12)[答案] C[解析] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝4x －1x ，令f ′(x )>0，得x >12，∴函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增．3．(2009·广东文，8)函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是() A ．(－∞，2) B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)[答案] D[解析] 考查导数的简单应用．f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，故选D.4．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0和⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π[答案] A[解析] y ′＝x cos x ，当－π<x <－π2时，cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，当－π2<x <0时，cos x >0，∴y ′＝x cos x <0. 当0<x <π2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0. 5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )A ．a ≤0B ．a <1C ．a <2D ．a ≤13 [答案] A[解析] f ′(x )＝3ax 2－1≤0恒成立，即a ≤0.6．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] f ′(x )＝－3x 2＋a ≤0，∴a ≤3x 2.∴a ≤3.7．设f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )<0是f (x )在(a ，b )上单调递减的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A8．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( )A ．b ≤2B ．b ＜2C ．b ≥2D ．b ＞2[答案] A[解析] 函数y ＝x 2－2bx ＋6的对称轴为x ＝b ，要使函数在(2,8)内是增函数，应有b ≤2成立．9．(2009·湖南文，7)若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )[答案] A[解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义．∵导函数f ′(x )是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，故选A.[点评] B 图中切线斜率逐渐减小，C 图中f ′(x )为常数，D 图中切线斜率先增大后减小．10．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )[答案] D[解析] 函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y ＝f ′(x )在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A 、C ，原函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上先增，再减，最后再增，其导函数y ＝f ′(x )在区间(0，＋∞)上函数值先正，再负，再正，排除B ，故选D.二、填空题11．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为________．[答案] (－∞，－13)，(1，＋∞)[解析] ∵y ′＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)，∴由y ′>0得，x >1或x <－13. 12．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．[答案] [3，＋∞)[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax ≤0在区间(0,2)内恒成立，即a ≥32x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3. 13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是________．[答案] m ≥13[解析] 因为f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1在R 上单调，所以f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m ，由题意可知f (x )在R 上只能递增，∴Δ＝4－12m ≤0.∴m ≥13. 14．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围________． [答案] a >0[解析] y ′＝－4x 2＋a ，若y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则方程－4x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a >0.三、解答题15．讨论函数f (x )＝bx x 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性． [解析] ∵f (x )＝bxx 2－1(－1<x <1，b ≠0) ∴f ′(x )＝(bx )′(x 2－1)－bx (x 2－1)′(x 2－1)2 ＝bx 2－b －2bx 2(x 2－1)2＝－b (1＋x 2)(x 2－1)2 ∵－1<x <1，∴1－x 2>0，(x 2－1)2>0，①当b >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递减．②当b <0时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递增．16．已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10，点P (x ，y )在该曲线上移动，在P 点处的切线设为l .(1)求证：此函数在R 上单调递增；(2)求l 的斜率的范围．[解析] (1)证明：y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x 2＋2x ＋1)＋3＝3(x ＋1)2＋3>0恒成立，∴此函数在R 上递增．(2)解：由(1)知f ′(x )＝3(x ＋1)2＋3≥3，∴l 的斜率的范围是k ≥3.17．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．[解析] f (x )＝a ·b ＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t∵函数f (x )在(－1,1)上是增函数∴f ′(x )≥0对x ∈(－1,1)恒成立∴－3x 2＋2x ＋t ≥0在(－1,1)上恒成立即t ≥3x 2－2x 在(－1,1)上恒成立令g (x )＝3x 2－2，x ∈(－1,1)∴g (x )∈(－13，5) 故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立，只需t ≥5即：所求t 的取值范围为：t ≥518．设函数f (x )＝(ax 2－bx )e x(e 为自然对数的底数)的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，且点A 的横坐标为1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．[解析] (1)f ′(x )＝(2ax －b )e x ＋(ax 2－bx )·e x＝[ax 2＋(2a －b )x －b ]e x ，由于f (x )的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，点A 的横坐标为1，则A (1，－e )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝－e f ′(1)＝－e 即⎩⎪⎨⎪⎧ (a －b )e ＝－e (3a －2b )e ＝－e ，解得a ＝1，b ＝2.(2)由a ＝1，b ＝2得f (x )＝(x 2－2x )e x，定义域为(－∞，＋∞)． f ′(x )＝(x 2－2)e x ＝(x －2)(x ＋2)e x ，令f ′(x )>0，解得x <－2或x > 2.令f ′(x )<0，解得－2<x < 2.故函数f (x )在区间(－∞，－2)和(2，＋∞)上分别单调递增，在区间(－2，2)上单调递减．。
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.3 第3课时 函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修1-1
(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点； (2) 计算函数 f(x) 在极值点和端点的函数值，其中最大的一
个为最大值，最小的一个为最小值．
2 ．正确理解“在闭区间 [a ， b] 上连续的函数 f(x) 必有最 值．” (1)给定的区间必须是闭区间， f(x)在开区间上虽然连续但不 1 能保证有最大值或最小值． 如 f(x)＝x， x∈(0,1)， f(x)在区间(0,1) 连续，但没有最大值和最小值(如图)．
当 x 变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如表： x g′(x) g( x ) 2 (－∞，3) ＋ 2 3 0 68 27－m 2 (3，4) － 4 0 －16－ m (4，＋∞) ＋
2 68 则函数 g(x)的极大值为 g(3)＝27－m， 极小值为 g(4)＝－16 －m.
1 ∴由 y＝f(x)的图象与 y＝3f′(x)＋5x＋m 的图象有三个不 同交点， 2 68 g ＝ －m>0 得 3 27 ， g4＝－16－m<0 68 解得－16<m<27.
2
当 x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f ′(x) f ( x) －2 －1 (－1,0) ＋ 0 0 1 4 (0，3) － 4 3 0 5 －27 4 (3，2) ＋ 1 2
故 f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
[ 方法规律总结 ] (小)值步骤如下：
1. 求可导函数 y ＝ f(x) 在 [a ， b] 上的最大
f ′2＝0， ∴ f2＝c－16， 12a＋b＝0， 即 8a＋2b＋c＝c－16. a＝1， 解得 b＝－12.
12a＋b＝0， 化简得 4a＋b＝－8.
(2)由(1)知f(x)＝x3－12x＋c，f ′(x)＝3x2－12， 令f ′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝2， 当x∈(－∞，－2)时，f ′(x)>0，f(x)在(－∞，－2)上为增函 数，
【成才之路】14-2015学年高中数学 2.2.2 对数函数及其性质 第2课时 对数函数性质的应用课件 新人教A版必修1
对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求 解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求f(x)的定义域；
(3)求u的取值范围；
(4)利用y＝logau的单调性求解．
【思维拓展】 讨论．
(1) 若对数函数的底数是含字母的代数式
(或单独一个字母 )，要考虑其单调性，就必须对底数进行分类
当0＜a＜1时，函数y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，
又3.1＜5.2，所以loga3.1＞loga5.2.
1 1 ③因为 0＞log0.23＞log0.24，所以log 3＜log 4，即 log30.2 0.2 0.2 ＜log40.2. ④因为函数 y＝log3x 是增函数， 且 π＞3， 所以 log3π＞log33 ＝1. 同理，1＝logππ＞logπ3，所以 log3π＞logπ3.
(0，＋∞) R 增函数
(0，＋∞) R
减函数 图象过点(1,0)，即loga1＝0.
x∈(0,1)⇒y∈________； x∈(0,1)⇒y∈________； (－∞，0) (0，＋∞) 函数值 x∈[1，＋∞) x∈[1，＋∞) 特点 ⇒y∈__________ ⇒y∈__________ (－∞，0] [0，＋∞)
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝log1 (3＋2x－x2)．
2
[解析] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R. ∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2.
∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设 u＝3＋2x－x2， 则 u＝－(x－1)2＋4≤4. ∵u>0，∴0<u≤4. 又 y＝log1 u 在(0，＋∞)上是减函数，
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∴函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数． 又f(1)＝1－ln1＝1＞0， 即f(x)＞0对x∈(1，＋∞)恒成立， ∴x－lnx＞0，即x＞lnx (x＞1)．
1 令 f′(x)>0，得 x>2 或 x<2， 1 令 f′(x)<0，得2<x<2， 1 ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，(2，＋∞)，单调 1 递减区间为(2，2)．
[辨析] 错解的原因是忽视了函数的定义域而导致错误.
[正解] 由已知得 x>0，故函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)． a 2 ∵f′(x)＝a＋x2－x ， 4 a ∴f′(2)＝a＋4－1＝0，∴a＝5. 4 4 2 2 ∴f′(x)＝5＋5x2－x ＝5x2(2x2－5x＋2)，
(2)函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， b b f ′(x)＝(x＋x )′＝1－x2， 1 令 f ′(x)＞0，则x2(x＋ b)(x－ b)＞0， ∴x＞ b，或 x＜－ b. ∴函数的单调递增区间为(－∞，－ b)和( b，＋∞)． 1 令 f ′(x)＜0，则x2(x＋ b)(x－ b)＜0， ∴－ b＜x＜ b，且 x≠0. ∴函数的单调递减区间为(－ b，0)和(0， b)．
∴a≤0.
当a＝0时，y＝－1不是减函数， ∴a≠0. 故a的取值范围是(0，＋∞)．
典例探究学案
用导数求函数的单调区间
求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x3－3x＋1； b (2)f(x)＝x＋x(b＞0)．
[解析] (1)函数 f(x)的定义域为 R， f ′(x)＝3x2－3，令 f ′(x)＞0，则 3x2－3＞0. 即 3(x＋1)(x－1)＞0，解得 x＞1 或 x＜－1. ∴函数 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)， 令 f ′(x)＜0，则 3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1. ∴函数 f(x)的单调递减区间为(－1,1)．
多项式函数的单调区间.
重点：利用求导的方法判断函数的单调性．
难点：探索发现函数的导数与单调性的关系.
函数的单调性与导函数正负的关系
新知导学
负 1． 观察函数 y＝x2 的图象， x<0 时， 切线的斜率都取______ 正 值，函数 值，函数单调递减；x>0 时，切线的斜率都取______
单调递增． 再观察函数 y＝ x的图象，除原点外每一点的切线斜率都
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章
圆锥曲线与方程
第三章
3.3 导数在研究函数中的应用
第1课时 函数的单调性与导数
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
自主预习学案
结合实例，借助几何直观图探索并了解函数的单调性与导 数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的
又因为f(x)在(6，＋∞)上单调递增，所以f ′(x)≥0在(6，＋∞)
上恒成立， 所以 a≤x ＋ 1 ，因为 x ＋ 1>7 ，所以 a≤7 时，f ′(x)≥0 在 (6 ，＋ ∞)上恒成立． 综上知5≤a≤7.
பைடு நூலகம்
[ 方法规律总结 ]
1. 已知函数 f(x) 在某区间 A 上单调求参数
的值或取值范围时，一般转化为在区间A上f ′(x)≥0(f(x)单调递增 时)或f ′(x)≤0(f(x)在区间A上单调递减时)恒成立求解，有时也用 数形结合方法求解．
2．若函数 y＝x3＋x2＋mx＋1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是( 1 A．(3，＋∞) 1 C．[3，＋∞)
[答案] C
) 1 B．(－∞，3] 1 D．(－∞，3)
[解析] y′＝3x2＋2x＋m， 由条件知 y′≥0 在 R 上恒成立， 1 ∴Δ＝4－12m≤0，∴m≥3.
3．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上( A．是增函数 B．是减函数 C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增
)
D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增
[答案] A [解析] f ′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．
4．若在区间(a，b)内有f ′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a，b)内 有( ) A．f(x)＞0 C．f(x)＝0 B．f(x)＜0 D．不能确定
[方法规律总结 ]
构造函数，利用导数确定函数单调性，
把证明不等式的问题转化为用单调性比较函数值大小的问题， 实现了复杂问题简单化．构造法是用导数研究函数中常用到的 基本方法．
已知：x＞0，求证：x＞sinx. [解析] 设f(x)＝x－sinx (x＞0)，
f ′(x)＝1－cosx≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，
新知导学 3 ．如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么 快 ，其图象比较________ 陡峭 ． 这个函数在这个范围内变化较_____
牛刀小试 1．函数y＝x3＋x的单调递增区间为( A．(0，＋∞) C．(1，＋∞) B．(－∞，1) D．(－∞，＋∞) )
[答案] D
[解析] ∵y′＝3x2＋1>0恒成立， ∴函数y＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数，故选D.
∴函数f(x)＝x－sinx在(0，＋∞)上是单调增函数， 又f(0)＝0，∴f(x)＞0对x∈(0，＋∞)恒成立， ∴x＞sinx (x＞0).
研究函数一定要注意函数的定义域 a 设函数 f(x)＝ax－x －2lnx， 且 f′(2)＝0， 求函数 f(x)的单调区间．
a 2 [错解] ∵f′(x)＝a＋x2－x ， 4 a ∴f′(2)＝a＋4－1＝0，∴a＝5. 4 4 2 2 ∴f′(x)＝5＋5x2－x ＝5x2(2x2－5x＋2)，
由题意得3ax2＋6x－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立． 1 当 a＝0 时，6x－1≤0，x≤6不满足题意，∴a≠0.
当 a≠0
a<0 时，由题意得 Δ＝36＋12a≤0
，
∴a≤－3. 综上可知，实数 a 的取值范围是 a≤－3.
转化思想的应用——构造法证明不等式
已知 x＞1，求证：x＞lnx.
1 3 1 2 若函数 f(x)＝3x －2ax ＋(a－1)x＋1 在区间(1,4) 内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求 a 的取值范围．
[解析] 解法一：(数形结合) 如 图 所 示 ， f ′(x) ＝ (x － 1)[x － (a － 1)] ． ∵ 在 (1,4) 内 f ′(x)≤0，在(6，＋∞)内 f ′(x)≥0，且 f ′(x)＝0 有一根为 1， ∴另一根在[4,6]上．
(2014·三亚市一中月考)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间 是( ) A．(－∞，2) C．(1,4) [答案] D [解析] ∵f(x)＝(x－3)ex， ∴f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex， B．(0,3) D．(2，＋∞)
由f ′(x)>0得x>2，∴选D.
已知函数的单调性，确定参数的取值范围
[方法规律总结] 1.函数的单调区间是定义域的子集， 利用 导数的符号判断函数的单调性和求函数的单调区间，必须先考 虑函数的定义域，写函数的单调区间时，一定要注意函数的不 连续点和不可导点． 2．利用导数求函数 f(x)的单调区间的一般步骤为： (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f ′(x)； (3)在函数 f(x)的定义域内解不等式 f ′(x)>0 和 f ′(x)<0； (4)根据(3)的结果确定函数 f(x)的单调区间．
(2) 如果在区间 (a ， b) 内， f ′(x)<0 ，则 f(x) 在此区间内单调
递减 __________ ．
函数的变化快慢与导数的关系
思维导航 2．上面我们已经知道 f ′(x)的符号反映 f(x)的增减情况， 那么能否用导数解释 f(x)变化的快慢呢？ 3．在同一坐标系中画出函数 y＝2x，y＝3x，y＝ x，y＝x2， y＝x3 的图象，观察 x>0 时，函数增长的快慢，与各函数的导数 值的大小作对比，你发现了什么？
[答案] A
[解析] ∵在区间(a，b)内有f ′(x)>0，且f(a)≥0， ∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，且f(x)>f(a)≥0.
5 ．函数 y ＝ ax3 － 1 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上是减函数，则 a 的取值 范围是________． [答案] (0，＋∞) [解析] ∵y′＝3ax2≤0恒成立，
f ∴ f
′4≤0 35－a≤0 ，即 ，∴5≤a≤7. ′6≥0 57－a≥0
解法二：(转化为不等式恒成立的问题)
f ′(x) ＝ x2 － ax ＋ a － 1. 因为 f(x) 在 (1,4) 内单调递减，所以 f ′(x)≤0在(1,4)上恒成立．即a(x－1)≥x2－1在(1,4)上恒成立，所以 a≥x ＋1，因为 2<x ＋1<5 ，所以当 a≥5 时，f ′(x)≤0 在 (1,4) 上恒成 立，
正 值，函数单调递增． 取______
思维导航 1．结合高台跳水运动和函数 y＝3x，y＝x2，y＝x3，y＝ x， 1 y＝x 的单调性与导函数值正负的关系，你能得出什么结论？
新知导学 2．设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导， (1) 如果在区间 (a ， b) 内， f ′(x)>0 ，则 f(x) 在此区间单调 递增 __________ ；
1 令 f′(x)>0，得 0<x<2或 x>2， 1 令 f′(x)<0，得2<x<2， 1 ∴函数 f(x)的单调递增区间为(0，2)，(2，＋∞)，单调递减 1 区间为(2，2)．