四川省树德中学2014-2015学年高一下学期4月月考数学

高2014级第二期4月阶段性测试数学试题考试时间:120分钟 满分:150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）.1.sin15cos15︒︒的值等于 （ ）A. 12B. 14 C.23 2.在等差数列{a n }中，a 1+a 9=10，则a 5的值为 ( ) A. 5 B. 6 C . 8 D. 10 3.在△ABC 中，已知2sin A cos B =sin C ，那么△ABC 一定是 ( ) A.直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D.正三角形 4．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于 ( ) A.56B.65C.130D.305.已知函数2()(1cos2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是 （ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为2π的偶函数 6. 如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在点A 的同侧的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A ，B 两点 的距离为 （ ） A. 502B. 25 2C. 100 2D.1027.在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A ·tan B ，则C 等于 ( )A.2π3 B. π3C.π6D.π48.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于 ( ) A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°9.设｛a n ｝（n ∈N *）是等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错．误．的是（ ） A.d ＜0B.a 7＝0C.S 9＞S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值10.已知数列｛a n ｝满足a n +2+a n =2a n+1（n ∈N *），且a 5=2π，若函数2()sin 22cos 2x f x x =+，记()n n y f a =，则数列｛y n ｝的前9项和为 （ ） A.0 B.-9 C.9 D.111.已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin C[cos(A-B)+cosC]= 14 ，面积S 满足1≤S ≤2，记a ，b ，c分别为A ，B ，C 所对的边，则下列不等式一定成立的是 ( ) A ．bc (b ＋c ) ≤8 B ．bc (b ＋c )>8 C ．12≤abc ≤24 D ．6≤abc ≤1212.函数f (x2sin cos 1x x -02x π≤≤)的值域是 （ ）A ．[-2] B ．[-1,0] C ．]D ．]二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上).13.1tan151tan15+-= ____________. 14.设ABC ∆的三个内角为,,A B C，向量,sin )A B = m，(cos )B A =n ，若1cos()A B ⋅=++m n ，则C =____________.15. 数列{a n }满足21a 1＋221a 2＋…＋n 21a n ＝2n ＋5，则a n ＝ . 16.如图，A 是两条平行直线12,l l 之间的一个定点，且A 到12,l l 的距离分别为1,2AM AN ==，设ABC ∆的另两个顶点B,C 分别在12,l l 上运动，且AB AC <，cos cos AB ACABC ACB=∠∠，则以下结论正确的序号是____________. ①ABC ∆是直角三角形；②12AB AC+③min min min ()()()ABC AMB ACN MBCN S S S S ∆∆∆=++四边形;④设AM B ∆的周长为1y ，ACN ∆的周长为2y ，则12min ()10y y +=三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤).16．(本题满分10分) 已知函数()f x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R)．(1)求函数()f x 的最小正周期；(2)求使函数()f x 取得最大值时x 的集合．17.(本题满分10分)在等差数列{a n }中，a 3＝ｋ，a 9＝12.(1)当ｋ=6时,求数列{a n }的前n 项和为S n ;(2)若b n ＝n 2＋6a n 且对于任意n ∈N *，恒有b n ＋1>b n 成立，求实数k 的取值范围．18.(本题满分12分)树德中学高一数学兴趣班某同学探究发现：ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；在ABC ∆中有以下结论：①若2ab c >；则03C π<<；②若2a b c +>；则03C π<<；③若a ，b ，c 成等比数列（即b 2=ac ）, 则03B π<≤；④若a 2，b 2，c 2成等比数列，亦有03B π<≤；他留下了下面两个问题，请你完成：(I)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (II)若a 2，b 2，c 2成等差数列，求B 的取值范围．(参考公式：22(1),,2;(2),,x y R x y xy x y R x y +∈+≥∈+≥当且仅当x=y 时取等)19.(本题满分12分)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (3,1)，α ∈(0，π), β∈(0，π)， 22sin 2()4cos 2tan()310cos cos(2)2παααβπαα-+-=+-.(1)求tan(α—β)的值； (2)求tan β的值． (3)求2α－β的值．20. (本题满分12分)△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若二次函数满足()()f x f x -=，(0)f =－14，(1)f =34且(cos )2Bf ＝0. (1)求角B 的大小； (2)若△ABC 的面积为15 34，△ABC 的外接圆半径为7 33,求△ABC 的周长．21.(本题满分14分)已知△ABC 中，AC =;(1)若CD 是角C 的平分线,且CD=kBC ，求k 的取值范围； (2)在(1)的条件下,若ABC S ∆=1，当k 为何值时，AB 最短？ (3)如果AB=2，求三角形ABC 的面积的最大值。

高2014级第四期4月阶段性测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1—5： B A C D D ； 6—10： A B A C C ; 11—12： B B .二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 1314.23π； 15.114(1)2(2,)n n n a n n N ++=⎧=⎨≥∈⎩； 16.① ② ④； 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.解 (1)因为()f x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＝2[32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6]＋1＝2sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x －π6－π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，所以()f x 的最小正周期T ＝2π2＝π. …………5分(2)当()f x 取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，此时2x － π3＝2k π＋π2(k ∈Z)，即x ＝k π＋5π12 (k ∈Z)，所以所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z}．………………10分17.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则由已知，得1126,812a d a d +=⎧⎨+=⎩解得14,1a d =⎧⎨=⎩则a n ＝a 1＋(n-1)d ＝n+3.所以S n =(7)2n n +. ………………5分 (2)由b n ＋1>b n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝(12)9366k n k -+-’所以b n ＝n 2＋6 a n ＝n 2＋（12-k ）n ＋9k-36，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *， 所以122k -<32，即得k <15.………………10分18.解：(I)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．…………6分(II)∵a 2，b 2，c 2成等差数列，∴2b 2＝a 2+c 2.由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝222222a c a c ac++-（…………10分）=224a c ac +≥12，当且仅当a ＝c 时等号成立，∴cos B 的最小值为12.(也可转化为“对勾函数”做。

) ∴03B π<≤………12分19.解 (1)由已知tan α＝13.∵tan(α—β)＝ sin 2 π2－α ＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋4cos 2α10cos 2α－sin 2α＝2sin αcos α＋4cos 2α10cos 2α－2sin αcos α＝2cos α sin α＋2cos α 2cos α 5cos α－sin α ＝sin α＋2cos α5cos α－sin α＝tan α＋25－tan α＝12131253+=-.……3分 (2)tan β＝—tan[(α—β)－α]＝—tan()tan 1tan()tan αβααβα--+-＝11123117123-=-+∙………………7分 （3）∵tan α＝13>0，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝⎛⎭⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.……12分 (如果多个答案，没判断范围扣2分)20.解：(1)由已知易得2()f x x =－14，又(cos )2Bf ＝0，∴cos 2B 2＝14，即1＋cos B 2＝14，∴cos B ＝－12.又B ∈(0，π)，∴B ＝2π3.………………6分(2)∵△ABC 的外接圆半径为7 33，∴根据正弦定理b sin B ＝2R 得，b sin 2π3＝14 33，∴b ＝7.又S △ABC ＝12ac sin B ＝15 34，∴ac ＝15.在△ABC 中，根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－30cos 2π3＝49，a 2＋c 2＝34，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝64， ∴a ＋c ＝8，∴△ABC 的周长等于15.………………12分21.解：(1) 设BC ＝x，则AC ,ACD BCD α∠=∠=,则ABC S ∆.sin 2xα=1sin ()2kx x α,∴(0,),(0,42k k πα==∈∴∈-.(4分)(2)据余弦定理2222222cos23cos2AB x x x αα=+-=-,又ABC S ∆2sin 2α=1,2222222)2cos23cos2sin2AB x x xαααα-=+-=-==22(3(32sin cosαααα⎤++-⎣⎦=222(3(31)tan2sin cosααααα⎤++-⎡⎣⎦==⎢⎣⎦≥当且仅当=tanα=k===AB………………9分（3）设BC＝x，则AC，根据面积公式得ABCS∆=1sin2AB BC B⨯=，根据余弦定理得2222242cos24AB BC AC x xBAB BC x+-+-==⨯244xx-=，代入上式得ABCS∆==由三角形三边关系有22xx+>+>⎪⎩解得22x<<，故当212,x x==时ABCS∆=…14分。