复变函数与积分变换课件3-3

复变函数与积分变换第3章

y
Z
C z n −1
zk
z0
把曲线C分割为n个小段. (如图)
o
z1 z2
zk −1
x
在每个小弧段 zk −1 zk ( k = 1,2,⋯ , n ) 上任取一点 ζ n ( k = 1, 2,⋯ , n ), 做和数
n
S n = ∑ f (ζ k )∆zk ,
k =1
其中， ∆zk = zk − zk −1
∫
C
f ( z )dz 存在，并且
n k =1
n k =1
∑ f (ζ k )∆zk = ∑ [u(ξ k ,ηk )∆xk − v(ξ k ,ηk )∆yk ]
n
+ i ∑ [v (ξ k ,η k )∆xk + u(ξ k ,η k )∆yk ]
k =1
∫C f ( z )dz = ∫C udx − vdy + i ∫
其中C是圆周: z − z0 = r ( r > 0) 的正向. 解积分路径的参数方程为
y
z
θ ⋅ z r
0
θ
z = z0 + re iθ
(0 ≤ θ ≤ 2π ),
o
x
∫C
2π 1 ire iθ dz = ∫ n+1 i ( n+1)θ dθ n+1 0 r ( z − z0 ) e i 2π − inθ = n ∫ e dθ , r 0
C
∫
C
zdz 积分值相同. 是否可以讨论积分与积分
路径的关系? 注意2 一般不能将函数f (z)在以α为起点, 以β 为终点的曲线C上的积分记成
∫
β
α
f ( z )dz , 因为

复变函数与积分变换(全套课件334P)

z 3 z 2 z 1 0根为i, 1, i
且z z z 1 ( z i)( z 1)( z i)
3 2
§1.2 复平面上的曲线和区域
一、复平面上的曲线方程平面曲线有直角坐标方程和参数方程
F ( x, y ) 0
x x(t ) 两种形式。 y y (t )
5 5 z 2 r2 cos i sin 6 6
3 1 r2 r2i 2 2
3 1 3 1 则z r1 2 r1i r2 2 r2i 2 2 2 2
例4
求方程
3 2
z z z 1 0 的根。并将
1 3 2 z 13 13 13
2 2
2 arg( z ) arctan 3
（3）
i 4i i i 4i i 1 3i,
10 25 10
| z | (1) 2 32 10 ,
(4)
arg( z ) arctan 3
17512ii????232357arg21argii????57re57imii???例2求下列复数的模与辐角例2求下列复数的模与辐角12i??3i231?34iii??25104ni?????????231解12231215argarctan63zz???????????1??22321131313z????????????????32arctanarg??z132133232323231iiiii??????????????23144102510iiiiiii????????103122????z3arctanarg???z3313argarctan3ii????模为141?z23arg??knz??23nkk????????满足的313cossin233niinnei????????????????3argarctan323ez????模为14例3求满足下列条件的复数z

复变函数与积分变换课件

复变函数的积分与积分变换
1
积分公式
复变函数的积分公式可以用于计算曲线下面积。
2
积分变换
积分变换是一种将函数映射到复平面的转换方法。
3
常见的积分变换
包括拉普拉斯变换和傅里叶变换等。
复变函数的解析性和调和函数
解析性
复变函数具有解析性，意味着它在某个区域内无穷次可微且无奇点。
调和函数
调和函数是一种具有平均值性质的函数，它满足拉普拉斯方程。
拉普拉斯变换与应用
定义应用
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，常用于解决常微分方程和偏微分方程。
拉普拉斯变换在信号处理、控制系统和电路分析等领域中具有重要的应用价值。
傅里叶变换与应用
傅里叶变换
傅里叶变换是一种将时域函数转换为频域函数的方法。
应用
傅里叶变换广泛应用于信号处理、音频处理和图像处理等领域。
数学表示
傅里叶变换可以用数学公式描述函数的频域特性。
积分变换的性质和逆变换
1 性质
积分变换具有线性性质、频率平移性质和尺度变换性质等。
2 逆变换
逆变换是将积分变换的结果转换回原始函数的过程。
复变函数与积分变换的综合应用
信号处理
复变函数与积分变换在信号滤波和频域分析中发挥重要作用。
控制系统
复变函数与积分变换可用于分析和设计具有复杂传递函数的控制系统。
电路分析
复变函数与积分变换可以帮助求解电路中的电压和电流等问题。
复变函数与积分变换课件
欢迎来到复变函数与积分变换的世界！在这个课件中，我们将深入探索复变函数的基本概念和性质，以及复变函数的积分公式和积分变换。
复变函数概念与性质

复变函数与积分变换全套精品课件

复变函数与积分变换
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§1.1 复数
1. 复数的概念
形如 z a ib 或 z a bi 的数称为复数。 i称为虚单位,即满足 i2 1 a和b为实数,分别称为复数z的实部和虚部,记作 a Re z, b Im z. •当且仅当虚部b=0时,z=a是实数； •当且仅当a=b=0时,z就是实数0； •当虚部b≠0时,z叫做虚数； •当实部a=0且虚部b≠0时,z=ib称为纯虚数. 全体复数的集合称为复数集,用C表示. 实数集R是复数集C的真子集.
Hale Waihona Puke 1 1 1) Re z ( z z ), Im z ( z z ). 2 2i z z 2)( z w) z w, zw z w, ( ) ( w 0). w w 3) zw z w . z 4) z . w w 5) z z .
复数的模和共轭复数的性质
乘法
z1 z2 ac ibc iad i 2bd (ac bd ) i(bc ad )
z zz
2
除法
z1 a ib (a ib)(c id ) ac bd bc ad 2 i 2 , z2 0 2 2 z2 c id (c id )(c id ) c d c d
4. 复数的三角表示和复数的方根
复平面C的不为零的点 z x iy 极坐标 (r, ) : x r cos , y r sin
r z,
是正实轴与从原点O到z的射线的夹角，称为复数z的幅角，记为 Argz
满足条件 π π 的幅角称为Argz的主值，记为 =argz，于是有=Argz=argz+2k, k=0,±1,±2,…. 复数的三角表示 z=r(cos+isin)

复变函数和积分变换 84页PPT文档

（2）第二次数学危机前面说过牛顿在确定 x3的导数时，前面部分假设 0 是非零的，而在论证的后一部分，又被取为零，偷换假设的错误是明显的。1734 年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家，或致一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础——无穷小的问题，提出了所谓“贝克莱悖论”。
中国古藉《易．系辞》中说：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契。」这些都是匹配计数法的反映。
（２）整数正整数，零与负整数构成整数系。
•零不仅表示「无」，更是表示空位的符号。 •中国古代用算筹计算数并进行运算时，空位不放算筹，虽无空位记号，但仍能为位值记数与四则运算创造良好的条件。 •印度－阿拉伯命数法中的零（zero）来自印度的（sunya ）字，其原意也是「空」或「空白」。
2、数学的内容
大致说来，数学分为初等数学与高等数学两大部分。
初等数学中主要包含两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。
初等数学基本上是常量的数学。
高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含： • 解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学。 • 线性代数：研究如何解线性方程组及有关的问题。 • 高等代数：研究方程式的求根问题。 • 微积分：研究变速运动及曲边形的求积问题。作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与偏微分方程。 • 概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理。等等
分数的使用导源于除法运算的需要。除法运算可看作求解方程px=q（p≠0 ），如果p， q是整数，则所给方程未必有整数解。为了使它恒有解，就有必要把整数系扩大成为有理数系。
（４）无理数
（５）实数

复变函数与积分变换第3章复变函数的积分

设曲线 C 的方程： z ( t ) x ( t ) i y ( t ) ( t [ a , b ] ）
C f( z ) d z C u d x v d y i C v d x u d y .
b
a{u[x(t),y(t)]x(t)v[x(t),y(t)]y(t)}dt
容易验证，右边两个线积分都与路线C 无关，
所以
的zd值z 无论
1 3 4i2 c
2
是C怎样的曲线都等于
例 3求证 lri m 0 |z|rz2z 31dz0.
例 4求 Cz1 idz的积分的一个绝对上界，其中 C
为从原点到 34i的直线段 .
区域包含于 D . 若 f(z)在区域 D 内解析，则
D
n
i) f(z)dz f(z)dz;
C
k1Ck
Ci
ii) f(z)dz0其中为 C 与 C k

围成的复合闭路 ,C 与 C k均取正方向
例 3.7计算2z1dz,其中 C是包含 0和 1的 Cz2z
定理 3 . 6设 f(z)在单连通区域 D 解析， F (z)为 f(z)的一个原函数，则对任意 z0,z1 D , 有
z1 z0
f(z)dzF(z1)F(z0)
例 8计算 bznd z,其中 n是正整数。 a
例9计算izcoszdz. 0
为f (z)沿曲线C的积分，记为
n
Cf(z)dz=ln→ i∞ mk=1f(ζ k)Δ zk
沿曲线 C 的负方向的积分记为 f( z ) d z C

第3章复变函数与积分变换

常用此式作积分估计。常用此式作积分估计。
结束
的直线段，例4：设C 为从原点到点3 + 4i 的直线段，试估计： 1 dz 模的一个上界。模的一个上界。积分 ∫C C的方程为的方程为z=(3+4i)t (0≤t ≤1)由估值不等式：由估值不等式：由估值不等式解：的方程为
z −i
∫
C
关和方向有。
特例： (1 特例： ) 若 C表示连接点 a , b的任一曲线 , 则
∫ dz = b − a
C
b2 − a 2 ∫Czdz = 2
( 2 ) 若 C表示闭曲线 , 则
∫ dz = 0, ∫ zdz = 0
C C
结束
3、积分存在的条件及其计算法
定理3.1.1（复变函数积分与实函数积分的关系）（复变函数积分与实函数积分的关系）定理沿有向曲线C可积的函数 f ( z ) = u( x , y ) + iv ( x , y ) 沿有向曲线可积的充要条件是充要条件是（4）式右端的两个对坐标的曲线积分）都存在
β
z′(t ) ≠ 0,α < t < β
= ∫ [u( x(t ), y(t )) + iv( x(t ), y(t ))] [ x′(t ) + iy′(t )]dt
β β α
= ∫ f (z(t ))z′(t )dt
α
结束
如果 C是由 C1 , C 2 ,L , C n 等光滑曲线段一次相互连接所组成的按段光滑曲线，那么定义：连接所组成的按段光滑曲线，那么定义：
C ֠ (1)若闭曲线
记作 f (z)dz ∫
C
b C a
(2)C : t ∈[a, b], f (z) = u(t ), 则 f (z)dz = ∫ u(t )dt ∫

第3章复变函数的积分.ppt

2
x 2
2
y 2
0
那么称(x, y) 为区域D内的调和函数.
定理任何在区域D内解析的函数，它的实部和虚部都是D内的调和函数.
共轭调和函数设 u(x, y)为区域D内给定的调和函数，我们把
使 u iv 在D内构成解析函数的调和函数
分记作 f (z)dz.
C
3.1.2 积分存在的条件及其计算方法
1) 当 f (z)是连续函数且 C 是光滑(或按段光滑)曲线时，积分是一定存在的。
2) C f (z)dz可以通过两个二元实变函数的
积分来计算。
设 C 由参数方程 z(t) x(t) iy(t), t 给出，
3.2 柯西—古萨（Cauchy—Goursat）基本定理
如果函数 f (z) 在单连通域 B 内处处解析，那末函数 f (z) 沿 B 内的任何一条封闭曲线
C 的积分值为零。即
c f zdz 0
3.3 基本定理的推广－复合闭路定理闭路变形原理
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值. 复合闭路定理
1 [( 2!
cos z
z
)''
]z
2
8i
3）f
(z)
在
C3 内有两个奇点
z1
0，z2
2
，故
I
cos z C1 (z 2)3
dz z
cos z dz C2 z (z 2)3
(8
16
2
)i
3.7 解析函数与调和函数的关系调和函数
如果二元实变函数(x, y) 在区域D内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程