《初等数论》(12)考试要求
小学数学考试大纲
一、考试性质和要求《招聘小学数学教师考试大纲》是专门针对小学选拔合格数学教师的考试大纲。
主要是为教师命题和数学教育专科以上学历毕业就业的学生备考提供依据，此考纲既可作为招聘小学数学特岗教师的指导用书，还可作为招聘小学数学教师考试的指导用书。
《大纲》主要考查应试者大学专科小学数学教育专业应具备盼数学基础知识和基本能力，同时，考查担任小学数学教师必备的基础知识和基本技能。
1.知识要求，依次为了解、理解和掌握、灵活和综合运用三个层次(1)了解：要求对所列知识的含义及其背景有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，并能(或会)在有关的问题中识别它。
(2)理解和掌握：要求对所列知识内容有较深刻的理论认识，能够解释、举例或变形、推断，并能利用知识解决有关(3)灵活和综合运用：要求系统地掌握知识的内在联系，能运用所列知识分析和解决较为复杂的或综合性的问题。
2．能力要求能力包括思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新能力。
(1)思维能力：会对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括；会用类比、归纳和演绎进行推理；能合乎逻辑地、准确地进行表述。
(2)运算能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理；能根据问题的条件和目标，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。
(3)空问想象能力：根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合与变换；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。
(4)实践能力：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；能应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述和说明。
(5)创新能力：能选择有效的方法和手段，对新颖的信息、情境进行分析，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出新问题，找到解决问题的办法，创造性地解决问题。
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《初等数论》教学大纲一、课程基本信息课程编号：2102210课程中文名称：初等数论课程英文名称：elementary number theory课程类型：任意选修课总学时：36 理论学时：36 实验学时：课外学时：学分： 2适用专业：数学与应用数学（师范）先修课程：开课院系：数学与信息学院二、课程性质和任务初等数论是研究整数性质的一门学科，它是高等师范院校数学与应用数学专业的一门基础课。
本课程的任务是使学生系统地掌握初等数论的基本理论和方法，具有将初等数论中的思想方法和技巧用于解决中学数教学中遇到的问题的能力。
三、课程教学目标在学完本课程之后，学生能够：（1（熟练地掌握整数的整除理论、同余理论以及不定方程的基本理论（2（对数有更深刻的认识（3（能够解决中学数学尤其是中学数学竞赛中关于数论的常见问题（4（了解公开密钥-RSA体制的工作原理和初步的密码知识。
四、理论教学环节和基本要求（一）整数的整除性理论 1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。
2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。
3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。
4、掌握解决中学数学中关于整除问题的常用方法（二）不定方程1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。
2、了解多元一次不定方程有解的条件，掌握解简单的多元一次不定方程的方法。
3、了解不定方程的整数解的形式，掌握求形如的整数解的方法。
4、掌握解决中学数学中关于不定方程问题的常用方法（三）一元同余理论1、理解整数同余的概念及同余的基本性质，熟练掌握整数具有素因子的条件，会利用同余简单验证整数乘积运算的结果。
2、理解剩余系、完全剩余系的概念，熟练掌握判断剩余系的方法，理解欧拉函数的定义及性质。
初等数论考试题及答案
初等数论考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪个数是质数？A. 23B. 45C. 68D. 89答案：A2. 两个连续的自然数的乘积一定是：A. 偶数B. 奇数C. 质数D. 合数答案：A3. 求下列哪个数的因数个数最多？A. 12B. 18C. 24D. 30答案：C4. 一个数如果被6整除，那么它一定能被：A. 2整除B. 3整除C. 2和3同时整除D. 以上都不是答案：C5. 以下哪个数是完全数？A. 6B. 28C. 496D. 8128答案：A6. 一个数的最小素因子是2，那么这个数一定是：A. 偶数B. 奇数C. 质数D. 合数答案：A7. 求下列哪个数的各位数字之和最大？A. 123B. 456C. 789D. 135答案：C8. 一个数的各位数字之和是9，那么这个数除以9的余数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A9. 一个数的各位数字之和是3的倍数，那么这个数一定是：A. 3的倍数B. 9的倍数C. 27的倍数D. 不一定是3的倍数答案：A10. 一个数的各位数字之和是5的倍数，那么这个数一定是：A. 5的倍数B. 25的倍数C. 125的倍数D. 不一定是5的倍数答案：D二、填空题（每题4分，共20分）1. 一个数如果只有1和它本身两个因数，那么这个数叫做__质数__。
2. 如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做__互质数__。
3. 一个数如果除了1和它本身外，还有其他因数，那么这个数叫做__合数__。
4. 一个数如果能够被2整除，那么这个数叫做__偶数__。
5. 一个数如果能够被3整除，那么这个数的各位数字之和也一定能被3整除。
三、解答题（每题10分，共50分）1. 证明：如果一个数n能被4整除，那么2n也能被4整除。
证明：设n能被4整除，则存在整数k使得n=4k。
则2n=2×4k=8k，显然8k能被4整除，因此2n也能被4整除。
2. 证明：如果一个数n能被9整除，那么它的各位数字之和也能被9整除。
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案
福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案本复习题页码标注所用教材为：教材名称单价作者版本出版社初等数论14.20闵嗣鹤，严士健第三版高等教育出版社复习题及参考答案一一、填空(40%)1、求所有正约数的和等于15的最小正数为考核知识点：约数，参见P14-192、若b1,b2,L L,b11是模11的一个完全剩余系，则8b1+1,8b2+1,L L,8b11+1也是模11的剩余系.考核知识点：完全剩余系，参见P54-573．模13的互素剩余系为考核知识点：互素剩余系，参见P584.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为考核知识点：倍数，参见P11-13p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者5、如果考核知识点：整除，参见P1-4a,b的公倍数是它们最小公倍数的.6、提示:要证明原式成立，只须证明 3 a + a +1，或者 3 a + a 成立即可。
四、（10％）设 p 是不小于 5 的素数，试证明 p ≡ 1(mod 24)考核知识点：最小公倍数，参见 P11-137、如果 a , b 是两个正整数,则存在 整数q , r ,使 a = bq + r , 0 ≤ r p b .考核知识点：整除，参见 P1-48、如果 3 n ， 5 n ，则 15（ ） n .考核知识点：整除，参见 P1-4二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里 n 是任意整数。
考核知识点：整除的性质，参见 P9-12提示： i)若 则ii)若 则iii)若 则又三、(10%)假定 a 是任意整数，求证 a 2+ a + 1 ≡ 0(mod 3 ) 或a 2+ a ≡ 0(mod 3 )考核知识点：二次同余式，参见 P882 22 考核知识点：同余的性质，参见 P48-52提示： 且 是不小于 5 的素数． 又 且 是不小于 5 的素数．⎩14 x ≡ 2(mod 8)⎪⎩ x ≡ 3(mod 8) ⎪⎩如果 n = x + y , 所以 x , y 只能与 0,1 同余,所以 x + y ≡ 0,1, 2(mod 4)只能是奇数且即 即五、(15%)解同余式组 ⎧5 x ≡ 1(mod 7) ⎨考核知识点：同余式，参见 P74-75 提示∵ (14，8)=2 且 2 | 2∴ 14x≡2(mod8) 有且仅有二个解 解 7x≡1(mod4) ⇒ x≡3 (mod4) ∴ 6x≡10(mod8)的解为x≡3，3+4(mod8)⎧⎪x ≡ 3(mod 7) 原同余式组等价于 ⎨ ⎧⎪x ≡ 3(mod 7)或 ⎨x ≡ 7 (mod 8)分别解出两个解即可。
初等数论教学大纲
初等数论教学大纲一、课程简介初等数论是数学中的重要分支之一，研究的是自然数的性质与关系。
本课程旨在培养学生的数论思维能力和逻辑思维能力，提高他们的问题解决能力和数学推理能力。
二、教学目标1. 掌握初等数论的基本概念，如素数、合数、互质等。
2. 熟悉常见数论问题的解决方法，如质因数分解、最大公因数与最小公倍数的求法等。
3. 理解和运用模运算的概念和性质，解决相关数论问题。
4. 掌握费马小定理和欧拉定理的应用，解决与其相关的数论问题。
5. 培养学生的数论证明能力，培养其逻辑思维和数学推理能力。
三、教学内容1. 自然数的性质与关系- 质数与合数- 整除性与约数- 互质关系与最大公因数2. 质因数与分解定理- 质因数分解- 最大公因数与最小公倍数 - 公因数与公倍数3. 模运算- 同余等价关系- 同余方程- 中国剩余定理4. 费马小定理与欧拉定理- 费马小定理的证明与应用 - 欧拉函数的定义与性质- 欧拉定理的证明与应用5. 整数的奇妙性质- 数字根与数位- 数字平方舞蹈- 数字阶梯问题- 尼科彻斯定理四、教学方法1. 讲述法：结合实例，详细解释数论概念和原理，引导学生理解与掌握。
2. 分组讨论：将学生分成小组，互相讨论和解决数论问题，促进合作学习和思维碰撞。
3. 课堂练习：布置一些基础练习题和拓展题，提高学生的问题解决能力和应用能力。
4. 数论证明：鼓励学生进行数论定理的证明，培养其逻辑思维和数学推理能力。
五、评估方式1. 平时成绩：包括课堂表现、作业完成情况等。
2. 期中考试：针对课程的基础知识进行测试。
3. 期末考试：综合考察学生对数论概念、原理和问题解决方法的理解与应用能力。
六、教材与参考书主教材：《初等数论》辅助教材：《数论引论》、《数论简史》七、教学进度安排根据教学计划，完成课程内容的讲解和练习，及时反馈学生学习情况，根据实际情况进行调整。
八、教学辅助手段使用黑板、白板等教学工具进行讲解和演示，辅助教学工具包括投影仪、计算器等。
《初等数论》教学大纲2
《初等数论》教学大纲课程编码：1511102902课程名称：初等数论学时/学分：32/2先修课程：《数学分析》、《高等代数》适用专业：数学与应用数学专业开设教研室：代数与几何教研室一、课程性质与任务1．课程性质：初等数论是数学与应用数学专业的一门专业选修课。
本课程是研究整数性质和方程（组）整数解的一门学科，也是一个古老的数学分支。
初等数论与中学数学教育有着密切的联系，并给现代数学提供理论基础。
初等数论在计算技术、通信技术等技术学科中也得到了广泛的应用。
数论中的一些问题，貌似简单，实则不易，解决起来灵活而富有技巧，是培养数学思维能力的重要内容，是中学数学竞赛题的丰富源泉之一，是数学教育工作者必备的基础知识。
2．课程任务：本课程开设的目的在于通过这门课的学习，使学生熟悉和掌握关于整数的整除性、不定方程、同余式及简单连分数等数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为从事中学数学教学，指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础。
二、课程教学基本要求初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。
通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。
1. 有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
2. 本课程开设在第5学期，总学时32，其中课堂讲授32学时，课堂实践0学时。
教学环节以课堂讲授为主，研制电子教案和多媒体幻灯片以及CAI课件，在教学方法和手段上采用现代教育技术。
3. 成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。
《初等数论》课程大纲
2.平时测验两次：30%。主要用于考车学生平时的学习情况；
3.期末考试：50%。4.
*教材或参考资料(Textbooks& Other Materials)
教材：
1.初等数论（第 3 版）,闵嗣鹤，严士健著，高等教育出版社，2003
暂无
*课程简介（Description）
本课程是针对数学系一年级本科生开设的专业选修课程，目的是使学生对整数这一数学中最基本而又无比重要的对象有进一步深入和感性的认识。
每个人从小就认识了整数。可是，也许我们没有意料到的是，关于整数至今还有很多人类没有能够了解的神秘之处。本课程从古希腊时期的欧几里得所整理的整数的基本理论开始，系统介绍整数的初步理论，包括整除的基本概念，同余的基本概念，同余式的基本概念，具有重要应用的中国剩余定理，简单不定方程的求解办法，二次互反律和原根等等数论中最基本的基础知识。
Everyone knows integers since his childhood times. However, perhaps most of us do
not realize that we know very poor on integers and even there are deep connections between integers and theoretical physics! The set of integers with “+” and “*” is an important class of rings, which have very good algebraic structures. Hence the extensive study of integers will provide students a useful example for his subsequent study on mathematics, especially on Algebra, Number Theory and related topics
《初等数论》课程标准
《初等数论》课程标准1.课程说明《初等数论》课程标准课程编码〔14060051〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月12日〕审核〔专业指导委员会〕审核日期〔〕批准〔二级学院（部）院长〕批准日期〔〕（1）课程性质：本门课程是小学教育专业的核心课程，是专业选修课程。
（2）课程任务：本课程主要针对小学教育专业数学方向学生开设，主要任务是培养学生在小学数学教师，教育培训机构数学辅导员等岗位所必需的理性思维能力和创新实践能力，要求学生掌握熟练应用理论知识解决实际问题、课堂教学中动手操作等方面的基本技能。
（3）课程衔接：在课程设置上，前导课程有《大学数学》，后续课程有《概率论》、《数学实践》。
2.学习目标通过对本课程的学习，提高的数学素养与数学能力。
通过引领的项目活动，使学生成为具备从事小学教育职业的高素质劳动者和小学教育专业的高级技术人才，同时培养学生敬业爱岗思想、团结协作精神。
在数论学习过程中，能熟练使用数论的基本概念、公式、定理、法则以及其它基础知识。
能熟练应用初等数论的数学方法与数学思想。
能熟练运用数论中的逻辑推理、演绎等方法。
同时要求有独立研究学习，查阅资料，重视交流等能力。
会熟练使用数论知识解决相关的初等数学问题。
3.课程设计按照“以能力为本位，以职业实践为主线，以项目课程为主体的模块化专业课程体系”的总体设计要求，以工作任务模块为中心构建的教学项目课程体系。
彻底打破学科课程的设计思路，紧紧围绕项目任务完成的需要来选择和组织课程内容，突出工作任务与知识的联系，让学生在职业实践活动的基础上掌握知识，增强课程内容与职业岗位能力要求的相关性，提高学生的就业能力。
项目一数的整除性参考学时26项目二同余参考学时14项目三数论函数参考学时8项目四不定方程参考学时64.教学设计项目一数的整除性学习目标能够熟练使用奇偶分析法，质因数分解定理。
会正确使用求最大公约数方法及裴蜀恒等式。
能用所学知识解决相关习题。
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11级《初等数论》考试要求（12年6月）
掌握整除的各种概念；能熟练运用带余除法、和、差、积的整除性定理、余数的整除性
定理及奇偶性分析等解决实际问题。
掌握最大公约数、最小公倍数的性质和互质数的性质，能熟练用辗转相除法求最大公约
数和最小公倍数及其它们的应用。
掌握素数与合数的定义和性质；理解素数的个数及其的分布情况，掌握素数的判别方法。
掌握算术基本定理和整数的标准分解式；能熟练计算已知整数的约数的个数与所有约数
之和。
掌握二元及多元不定方程有整数解的特征及其它们的解法；能熟练解二元和多元不定方
程（组）及其它们的应用。
会解一些特殊的非一次型不定方程；理解勾股数的概念、费马问题、无限递降法。掌握
基本勾股数的求法。
掌握同余的概念和性质、常用整数整除的判别法；能熟练用数的整除特征解应用题。
理解一次同余式概念和一次同余式解的存在性定理以及一次同余式解的个数；熟练掌握
一次同余式的解法①用辗转相除法②系数消去法和不定方程的同余式解法。
理解一次同余式组及孙子定理（中国剩余定理）；熟练掌握一次同余式组的解法及其它
们的应用。
10级本科《初等数论》 练习题
一、填充题：（每题2分,共20分）
1．把140分成3个素数之和，则这三个数的积的最大值是 9514 。
2．分母是12，分数值小于1的最简正分数有 4 ，它们的和是 2 。
3．一个数为12的一组基本勾股数是 5，12，13
4．一个数除以3和11的余数分别为2和1，则这个数除以33的余数是 23 。
5．若自然数N的约数有9个，则N的最小值是 36 。
6．同时能被2，3，5整除的形如8a3b的一个四位数是 8130，8430，8730 。
7．(2000!)2的末尾有 998 零。
8． 313159被7除余数是 6 。
9．若x≡4(mod7),y≡2(mod7)，则对模7，与(x+y)同余的整数是 6+7t,t∈Z 。
10．同余式组x≡9（mod 15），x≡2（mod 6）的解是 无解 。
二、计算题：（每题6 分，共 30 分）
1．求286，242，594的最大公约数。（22）
2．求不定方程组44324275zyxzyx的整数解。（24tzZttytx）
3．求方程10005249zyx的整数解。(vzZvuuvyuvx31000,35200081560000)
4．求方程03552732yxxyx的正整数解。（1，17），（2，3）
5．解联立同余式组：)2()7(mod223)1()7(mod432yxyx，[x≡0(mod7)，y≡6(mod7)]
三、应用题：（每题8 分，共 24 分）
1．有两个容器，一个容量是7升，一个容量是5升，如何利用这两个容器从一桶油中倒出
6升油来？（3，2）
2．甲、乙、丙三齿轮，相互齿吻合，它们的齿轮齿数分别为72，84，60，问三齿轮初始位
置转动到下一个和初始位置一致时，三个齿轮分别转了多少圈？（35，30，42）
(提示：三个数的最小公倍数就表示共要转的齿数，[72，84，60]=2520)
3．七数余一，八数余一，九数余三，问本数。（57）
四．证明题:（第1，2题，每题8分，第3题10分，共 26 分）
1．如果)(|)(pqmnpm，那么 )(|)(npmqpm。
2．求证：求证：若12298)(nnnf，则Nnnf),(|37
3．如果两个数互质，那么其中一个数和某数的积与另一个数的最大公约数，等于某数与另
一个数的最大公约数。
已知：
求证：
证明：。