2018年秋高中数学 课时分层作业11 定积分的简单应用 新人教A版选修2-2
高中数学人教课标版选修2-2《定积分的简单应用》课件
x 轴上、下方都有时，定积分等于曲边图形面积的代 数和，即等于x 轴上方曲边图形的面积减去 x 轴下方曲边图形的面积.
（2）当 f ( x ) 对应的曲线
微积分基本定理 （1）定理：一般地，如果 f ( x ) 是区间 [a, b] 上的连续函数，并且 F ( x) f ( x) ，那 么
b
知识回顾
问题探究
课堂结
随堂检测
探究一：定积分在几何中的应用
活动一：回顾整合，定积分的几何意义的深入研究
2．求由两条曲线 f ( x ) 和 g( x ) ，直线 x a, x b,(a b) ， 所围成平面图形的面积s，
主要有以下两种类型：
S [ f ( x ) g ( x )]d x f ( x) g ( x) 0 ，所以图中阴影部分面积为_______________. （1）图④中， a
点拨：1.由多条曲线围成的较为复杂的图形求面积，应根据交点将积分区间进行分 段，然后根据图像对各段求面积进而求出需要求的图形面积. y x 2.若积分变量选取 运算较为复杂，可以尝试选 为积分变量，同时注意更改 积分的上、下限.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
探究一：定积分在几何中的应用
活动二：探索利用定积分求平面图形的面积的方法. 例3．在曲线 y x
S 法一：选 作积分变量，由图可知：
2
S1 S2 ，
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y 2x ，在
3 2 2 16 S [ 2 x ( 2 x )]d x (2 2 x ) 所以 ，1 0 8 3 3 0 8 1 2 2 2 38 S 2 [4 x ( 2 x )]d x (4 x x ) 又， 2 2 3 2 3
2018版高中数学 第一章 导数及其应用 课时作业12 定积分在几何中的应用 新人教A版选修2-2
即S2＝ x2dx－t2(1－t)＝ t3－t2＋ .
所以阴影部分面积
S＝S1＋S2＝ t3－t2＋ (0≤t≤1)．
令S′(t)＝4t2－2t＝4t ＝0，
得t＝0或t＝ ，易知当t＝ 时，S最小，
所以最小值为S ＝ .
＝ [(x＋3)－(x2－2x＋3)]dx
＝ (－x2＋3x)dx
＝ ＝ .
10．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小．
解析：S1等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t围成的面积，
即S1＝t·t2－ x2dx＝ t3；
14．如图所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B，C运动到D，其中AB＝50 m，BC＝40 m，CD＝30 m，变力F＝ (F的单位：N，x的单位：m)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，求该物体由A运动到D变力F所做的功．(精确到1 J)
答案：0.36 J
7．由曲线y2＝x，y＝x2所围图形的面积S＝________.
解析：由 得交点的横坐标为x＝0及x＝1.
因此，所求图形的面积为
S＝S曲边梯形OABC－S曲边梯形OABD
＝ dx－ x2dx
＝ x － x3 ＝ － ＝ .
答案：
8．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，则汽车在1分钟内行驶的路程为________．
＝ －1(－2x2＋2x＋4)dx
＝ ＝9，故选B.
答案：B
5．一物体在力F(x)＝3x2－2x＋5(力的单位：N，位移单位：m)的作用下沿与力F(x)相同的方向由x＝5 m运动到x＝10 m，则F(x)做的功为()
高中数学定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用教案新课标人教A版选修2
第四节 定积分的概念、微积分基本定理及其简单应用一．复习要点： 1．定积分的实质如果在区间[,]a b 上函数连续且有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。
如果在区间[,]a b 上函数连续且有()0f x ，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a xb ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数。
如果在区间[,]a b 上函数连续且()f x 有正有负时，那么定积分()baf x dx ⎰表示介于,x a x b ==（a b ≠）之间x 轴之上、下相应的曲边梯形的面积代数和。
()baf x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 a b dx ba-=⎰1性质2⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质31212[()()]()()bbbaaaf x f x d x f x d xf x d x ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质4()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）3.微积分基本定理一般的，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰。
可以把()2()0aa af x dx f x dx -==⎰⎰()()F b F a -记作()|baF x ，即()()|()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰。
高二数学 课时作业 新人教A版选修2_1
高二数学课时作业新人教A版选修2_1课时作业1命题课时作业2四种命题间的相互关系课时作业3充分条件与必要条件课时作业4且或非课时作业5全称量词存在量词含有一个量词的命题的否定课时作业6曲线与方程求曲线的方程课时作业7椭圆及其标准方程课时作业8椭圆的简单几何性质课时作业9直线与椭圆的位置关系课时作业10双曲线及其标准方程课时作业11双曲线的简单几何性质课时作业12抛物线及其标准方程课时作业13抛物线的简单几何性质课时作业14空间向量及其加减运算空间向量的数乘运算课时作业15空间向量的数量积运算课时作业16空间向量的正交分解及其坐标表示课时作业17空间向量运算的坐标表示课时作业18空间向量与平行垂直关系课时作业19利用空间向量求角和距离课时作业1 命 题|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．下列语句不是命题的有( )①若a >b ,b >c ,则a >c ；②x >2；③3<4；④函数y ＝a x (a >0,且a ≠1)在R 上是增函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：①③是可以判断真假的陈述句,是命题；②④不能判断真假,不是命题． 答案：C2．(陕西高考)设z 是复数,则下列命题中的假命题是( )A ．若z 2≥0,则z 是实数B ．若z 2<0,则z 是虚数C ．若z 是虚数,则z 2≥0D ．若z 是纯虚数,则z 2<0解析：实数可以比较大小,而虚数不能比较大小,设z ＝a ＋b i(a ,b ∈R ),则z 2＝a 2－b 2＋2ab i,由z 2≥0,得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝0，a 2－b 2≥0，则b ＝0,故选项A 为真,同理选项B 为真；而选项C 为假,选项D 为真．答案：C3．已知a ,b 为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则a ⊥α,b ⊥β, 则下列命题中,假命题是( )A ．若a ∥b ,则α∥βB ．若α⊥β,则a ⊥bC ．若a ,b 相交,则α,β相交D ．若α,β相交,则a ,b 相交解析：由已知a ⊥α,b ⊥β,若α,β相交,a ,b 有可能异面．答案：D4．命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是( )A ．这个四边形的对角线互相平分B ．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直D．这个四边形是平行四边形解析：把命题改写成“若p,则q”的形式后可知C正确．故选C.答案：C5．已知下列命题：(1)已知平面向量a,b,若a·b＝0,则a⊥b；(2)已知平面向量a,b,若a∥b,则a＝λb(λ∈R)；(3)若两个平面同时垂直于一条直线,则这两个平面平行；(4)若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图完全相同,则该几何体是正方体．其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：对于(1),当a,b中有一个为零向量时,a⊥b不成立,故(1)是假命题；对于(2),当b＝0,a≠0时,a＝λb不成立,故(2)是假命题；(3)为真命题；对于(4),几何体还可以是球,故(4)为假命题．故选A.答案：A二、填空题(每小题5分,共15分)6．下列语句中是命题的有________(写出序号),其中是真命题的有________(写出序号)．①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边；④△ABC中,若∠A＝∠B,则sin A＝sin B；⑤求证方程x2＋x＋1＝0无实根．解析：①疑问句．没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断,不是命题；②是假命题,0既不是正数也不是负数；③是假命题,没有考虑在同一个三角形内；④是真命题；⑤祈使句,不是命题．答案：②③④④7．给出下面三个命题：①函数y＝tan x在第一象限是增函数；②奇函数的图象一定过原点；③若a>b>1,则0<log a b<1.其中是真命题的是________．(填序号)解析：①是假命题,反例：x＝2π＋π6和x＝π4,tan⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝33,tanπ4＝1,2π＋π6>π4,但tan⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π6<tanπ4.②是假命题,反例：y＝1x是奇函数,但其图象不过原点．③是真命题,由对数函数的图象及单调性可知是真命题．答案：③8．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题,则实数a的取值范围是________．解析：∵ax2－2ax－3>0不成立,∴ax2－2ax－3≤0恒成立．当a＝0时,－3≤0恒成立；当a≠0时,则有⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ＝4a2＋12a≤0，解得－3≤a<0.综上,－3≤a≤0.答案：[－3,0]三、解答题(每小题10分,共20分)9．判断下列语句是否为命题,并说明理由．(1)若平面四边形的边都相等,则它是菱形；(2)任何集合都是它自己的子集；(3)对顶角相等吗？(4)x>3.解析：(1)是陈述句,能判断真假,是命题．(2)是陈述句,能判断真假,是命题．(3)不是陈述句,不是命题．(4)是陈述句,但不能判断真假,不是命题．10．判断下列命题的真假：(1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N,则x3>x2成立；(3)若m>1,则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．解析：(1)假命题．反例：1≠4,5≠2,而1＋5＝4＋2.(2)假命题．反例：当x＝0时,x3>x2不成立．(3)真命题．因为m>1⇒Δ＝4－4m<0,所以方程x 2－2x ＋m ＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆,即任何三角形都有外接圆． |能力提升|(20分钟,40分)11．给出下列三个命题①若a ≥b >－1,则a 1＋a ≥b 1＋b； ②若正整数m 和n 满足m ≤n ,则 m (n －m )≤n 2； ③设P 1(x 1,y 1)为圆O 1：x 2＋y 2＝9上任一点,圆O 2以Q (a ,b )为圆心且半径为1,当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时,圆O 1与圆O 2相切．其中假命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：①因为a ≥b >－1,所以a ＋1≥b ＋1>0. 所以a 1＋a －b 1＋b ＝a －b (1＋a )(1＋b )≥0, 所以a 1＋a ≥b 1＋b.故①为真命题． ②因为正整数m ,n 满足m ≤n ,有m >0,n －m ≥0, 所以m (n －m )≤m ＋(n －m )2＝n 2. 故②为真命题．③的实质是点P 1(x 1,y 1)在⊙O 1上,又P 1(x 1,y 1)也在⊙O 2上,但两圆相交于点P 1并不能保证两圆相切．故③为假命题．答案：B12．命题“若x ∈R ,则x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立”是真命题,则实数a 的取值范围为________．解析：要使x 2＋(a －1)x ＋1≥0恒成立,则有Δ＝(a －1)2－4≤0,解得－1≤a ≤3.答案：[－1,3]13．判断下列命题的真假,并说明理由：(1)函数y ＝a x 是指数函数；(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2有唯一解．解析：(1)当a>0且a≠1时,函数y＝a x是指数函数,所以是假命题．(2)关于x的方程ax＋1＝x＋2即(a－1)x＝1,当a＝1时,方程无解；当a≠1时,方程有唯一解,所以是假命题．14．将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假．(1)6是12和18的公约数；(2)当a>－1时,方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；(3)平行四边形的对角线互相平分；(4)已知x,y为非零自然数,当y－x＝2时,y＝4,x＝2.解析：(1)若一个数是6,则它是12和18的公约数,是真命题．(2)若a>－1,则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根,是假命题．(3)若一个四边形是平行四边形,则它的对角线互相平分,是真命题．(4)已知x,y为非零自然数,若y－x＝2,则y＝4,x＝2,是假命题．课时作业2 四种命题四种命题间的相互关系|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．命题“若p,则綈q”的逆命题是( )A．若綈q,则p B．若綈p,则綈qC．若綈q,则綈p D．若p,则綈q解析：命题“若p,则綈q”中,p是条件,綈q是结论,将原命题的条件和结论互换即得逆命题“若綈q,则p”．答案：A2．命题“若|a|＝|b|,则a＝b”及其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )A．0 B．1C．2 D．4解析：原命题是假命题,则逆否命题也是假命题．逆命题：若a＝b,则|a|＝|b|,是真命题．因此否命题也是真命题．所以四个命题中真命题的个数为2.答案：C3．与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是( )A．能被3整除的整数,一定能被6整除B．不能被3整除的整数,一定不能被6整除C．不能被6整除的整数,一定不能被3整除D．不能被6整除的整数,能被3整除解析：即写命题“若一个整数能被6整除,则一定能被3整除”的逆否命题．答案：B4．若命题p的否命题为q,命题p的逆否命题为r,则q与r的关系是( )A．互逆命题 B．互否命题C．互为逆否命题 D．以上都不正确解析：设p为“若A,则B”,那么q为“若綈A,则綈B”,r为“若綈B,则綈A”．故q 与r为互逆命题．答案：A5．原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|＝|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A．真,假,真 B．假,假,真C．真,真,假 D．假,假,假解析：因为原命题为真,所以它的逆否命题为真；若|z1|＝|z2|,当z1＝1,z2＝－1时,这两个复数不是共轭复数,所以原命题的逆命题是假的,故否命题也是假的．故选B.答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等,则它不是正方形；②若一个四边形对角互补,则它内接于圆；③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补；⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等,则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．解析：命题③可改写为“若一个四边形是正方形,则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形,则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补,则它不内接于圆”,再依据四种命题间的关系便不难判断．答案：②和④,③和⑥①和⑥,②和⑤①和③,④和⑤7．给出以下命题：①“正多边形都相似”的逆命题；②“若m >0,则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．解析：①逆命题是“若两个多边形相似,则这两个多边形为正多边形”,是假命题． ②因为Δ＝1＋4m ,若m >0,则Δ>0,所以x 2＋x －m ＝0有实根,即原命题为真命题,所以逆否命题也为真命题．答案：②8．已知命题“若m －1<x <m ＋1,则1<x <2”的逆命题为真命题,则m 的取值范围是________．解析：由已知得,若1<x <2成立,则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2.答案：[1,2]三、解答题(每小题10分,共20分)9．写出命题“末位数字是偶数的整数能被2整除”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断真假．解析：因为原命题是：“若一个整数的末位数字是偶数,则它能被2整除”．所以逆命题：若一个整数能被2整除,则它的末位数字是偶数,真命题．否命题：若一个整数的末位数字不是偶数,则它不能被2整除,真命题．逆否命题：若一个整数不能被2整除,则它的末位数字不是偶数,真命题．10．写出命题：“若x －2＋(y ＋1)2＝0,则x ＝2且y ＝－1”的逆命题,否命题,逆否命题,并判断它们的真假．解析：逆命题：若x ＝2且y ＝－1,则x －2＋(y ＋1)2＝0,真命题； 否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0,则x ≠2或y ≠－1,因为逆命题为真,所以否命题为真；逆否命题：若x ≠2或y ≠－1, 则x －2＋(y ＋1)2≠0,显然原命题为真命题,所以逆否命题为真命题． |能力提升|(20分钟,40分)11．命题“设a ,b ,c ∈R ,若a >b ,则ac 2>bc 2”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有( )A ．0个B ．1个C．2个 D．4个解析：若c＝0,则ac2>bc2不成立,故原命题为假命题．由等价命题同真同假,知其逆否命题也为假命题．逆命题“设a,b,c∈R,若ac2>bc2,则a>b”为真命题,由等价命题同真同假,知原命题的否命题也为真命题,所以共有2个真命题,故选C.答案：C12．在原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________．解析：逆命题为“若A∩B≠A,则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B,则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A,则A∪B＝B”；全为真命题．答案：413．设M是一个命题,它的结论是q：x1,x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根,M的逆否命题的结论是綈p：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.(1)写出M；(2)写出M的逆命题、否命题、逆否命题．解析：(1)设命题M表述为：若p,则q,那么由题意知其中的结论q为：x1,x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．而条件p的否定形式綈p为：x1＋x2≠－2或x1x2≠－3,故綈p的否定形式即p为：x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.所以命题M为：若x1＋x2＝－2且x1x2＝－3,则x1,x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根．(2)M的逆命题为：若x1,x2是方程x2＋2x－3＝0的两个根,则x1＋x2＝－2且x1x2＝－3.逆否命题为：若x1,x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根,则x1＋x2≠－2或x1x2≠－3.否命题为：若x1＋x2≠－2或x1x2≠－3,则x1,x2不是方程x2＋2x－3＝0的两个根．14．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0,则a≠2b＋1.证明：“若a2－4b2－2a＋1≠0,则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1,则a2－4b2－2a＋1＝0”．因为a＝2b＋1,所以a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0, 所以命题“若a＝2b＋1,则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知,结论正确．课时作业3 充分条件与必要条件充要条件|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．设φ∈R,则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：φ＝0时,函数f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x是偶函数,而f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数时,φ＝π＋kπ(k∈Z)．故“φ＝0”是“函数f(x)＝cos(x＋φ)为偶函数”的充分不必要条件．答案：A2．设甲、乙、丙是三个命题,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件,那么( )A．丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件解析：因为甲是乙的必要条件,所以乙⇒甲．又因为丙是乙的充分条件,但不是乙的必要条件,所以丙⇒乙,但乙D⇒/丙,如图．综上,有丙⇒甲,但甲D⇒/丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件．答案：A3．已知：p：1x－2≥1.q：|x－a|<1,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( )A．(2,3] B．[2,3]C．(2,3) D．(－∞,3]解析：p ：1x －2≥1⇔2<x ≤3, q ：|x －a |<1⇔a －1<x <a ＋1,因为p 是q 的充分不必要条件,所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a －1≤2，a ＋1>3，解得2<a ≤3.故选A.答案：A4．已知直线a ,b 分别在两个不同的平面α,β内．则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若直线a ,b 相交,设交点为P ,则P ∈α,P ∈b . 又a ⊂α,b ⊂β,所以P ∈α,P ∈β,故α,β相交．反之,若α,β相交,则a ,b 可能相交,也可能异面或平行．故“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．答案：A5．设a ,b 都是非零向量,下列四个条件中,使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |解析：对于A,当a ＝－b 时,a |a |≠b |b |；对于B,注意当a ∥b 时,a |a |与b|b |可能不相等；对于C ,当a ＝2b 时,a |a |＝2b |2b |＝b |b |；对于D,当a ∥b ,且|a |＝|b |时,可能有a ＝－b ,此时a |a |≠b |b |.综上所述,使a |a |＝b|b |成立的充分条件是a ＝2b . 答案：C二、填空题(每小题5分,共15分)6．下列命题：①“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充要条件；②b 2－4ac <0是一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0解集为R 的充要条件；③“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充分不必要条件；④“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．其中真命题的序号为____________．解析：①x >2且y >3时,x ＋y >5成立,反之不一定,如x ＝0,y ＝6. 所以“x >2且y >3”是“x ＋y >5”的充分不必要条件；②不等式解集为R 的充要条件是a <0且b 2－4ac <0,故②为假命题； ③当a ＝2时,两直线平行,反之,若两直线平行,则a 1＝21,∴a ＝2.因此,“a ＝2”是“两直线平行”的充要条件；④lg x ＋lg y ＝lg(xy )＝0,∴xy ＝1且x >0,y >0.所以“lg x ＋lg y ＝0”成立,xy ＝1必成立,反之不然．因此“xy ＝1”是“lg x ＋lg y ＝0”的必要不充分条件．综上可知,真命题是④.答案：④7．已知p 是r 的充分条件而不是必要条件,s 是r 的必要条件,q 是r 的充分条件,q 是s 的必要条件．现有下列命题：①s 是q 的充要条件 ②p 是q 的充分条件而不是必要条件 ③r 是q 的必要条件而不是充分条件 ④r 是s 的充分条件而不是必要条件则正确命题序号是________．解析：由p 是r 的充分条件而不是必要条件,可得p ⇒r ,由s 是r 的必要条件可得r ⇒s ,由q 是r 的充分条件得q ⇒r ,由q 是s 的必要条件可得s ⇒q ,故可得推出关系如图所示：据此可判断命题①②正确．答案：①②8．条件p ：1－x <0,条件q ：x >a ,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围是________． 解析：p ：x >1,若p 是q 的充分不必要条件,则p ⇒q ,但q D ⇒/p ,也就是说,p 对应集合是q 对应集合的真子集,所以a <1.答案：(－∞,1)三、解答题(每小题10分,共20分)9．下列各题中,判断p 是q 的什么条件．(1)p ：|x |＝|y |,q ：x ＝y ；(2)p ：△ABC 是直角三角形,q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分,q ：四边形是矩形；(4)p ：圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,q ：c 2＝(a 2＋b 2)r 2.解析：(1)因为|x |＝|y |D x ＝y ,但x ＝y ⇒|x |＝|y |,所以p 是q 的必要条件,但不是充分条件．(2)因为△ABC 是直角三角形D⇒△ABC 是等腰三角形,△ABC 是等腰三角形D ⇒△ABC 是直角三角形, 所以p 既不是q 的充分条件,也不是q 的必要条件． (3)因为四边形的对角线互相平分D⇒四边形是矩形, 四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分,所以p 是q 的必要条件,但不是充分条件．(4)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,则圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ,即r ＝|c |a 2＋b 2, 所以c 2＝(a 2＋b 2)r 2；反过来,若c 2＝(a 2＋b 2)r 2,则|c |a 2＋b 2＝r 成立, 说明x 2＋y 2＝r 2的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ,即圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切,故p 是q 的充要条件．10．已知p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0(a >0),q ：实数x 满足x 2－6x ＋8>0,若p 是q 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围．解析：设A ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0,a >0}＝{x |a <x <3a ,a >0}, B ＝{x |x 2－6x ＋8>0}＝{x |x >4或x <2}．∵p 是q 的充分不必要条件,∴AB . 则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥4，a >0或⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ≤2，a >0，解得a ≥4或0<a ≤23. 故实数a 的取值范围是{a |a ≥4或0<a ≤23}． |能力提升|(20分钟,40分)11．不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要而不充分条件是( )A ．a <1B ．a <0C ．0<a <1D ．a ≤1解析：要使不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空,当a ＝0时,不等式为－2x ＋1<0,其解集为x >12；当a >0时,Δ＝4－4a >0,即0<a <1；当a <0时,满足不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空．所以不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的充要条件为a <1.所以不等式ax 2－2x ＋1<0的解集非空的一个必要而不充分条件应该比a <1的范围大． 故选D.答案：D12．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1,则a 的取值范围是________．解析：根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系,应有(－2,－1){x |(a ＋x )(1＋x )<0},故有a >2.答案：(2,＋∞)13．已知命题p ：对数log a (－2t 2＋7t －5)(a >0,且a ≠1)有意义,q ：关于实数t 的不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0.(1)若命题p 为真,求实数t 的取值范围；(2)若命题p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围．解析：(1)因为命题p 为真,则对数的真数－2t 2＋7t －5>0,解得1<t <52. 所以实数t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，52. (2)因为命题p 是q的充分条件,所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫t ⎪⎪⎪ 1<t <52是不等式t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)<0的解集的子集．因为方程t 2－(a ＋3)t ＋(a ＋2)＝0的两根为1和a ＋2,所以只需a ＋2≥52,解得a ≥12. 则实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 14．设x ,y ∈R ,求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明：充分性：如果xy ≥0,则有xy ＝0和xy >0两种情况,当xy ＝0时,不妨设x ＝0,得|x ＋y |＝|y |,|x |＋|y |＝|y |,所以等式成立．当xy >0,即x >0,y >0或x <0,y <0.又当x >0,y >0时,|x ＋y |＝x ＋y ,|x |＋|y |＝x ＋y ,所以等式成立．当x <0,y <0时,|x ＋y |＝－(x ＋y ),|x |＋|y |＝－x －y ＝－(x ＋y ),所以等式成立,总之,当xy ≥0时,|x ＋y |＝|x |＋|y |成立．必要性：若|x ＋y |＝|x |＋|y |且x ,y ∈R ,得|x ＋y |2＝(|x |＋|y |)2,即x 2＋2xy ＋y 2＝x 2＋y 2＋2|x |·|y |,所以|xy |＝xy ,所以xy ≥0.综上可知,“xy ≥0”是“等式|x ＋y |＝|x |＋|y |成立”的充要条件． 课时作业4 且(and) 或(or) 非(not)|基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．若命题“p 且q ”为假,且綈p 为假,则( )A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．p 假解析：綈p 为假,则p 为真,而p ∧q 为假,得q 为假．答案：B2．已知p ：|x －1|≥2,q ：x ∈Z ,若p ∧q ,綈q 同时为假命题,则满足条件的x 的集合为( )A ．{x |x ≤－1或x ≥3,x ∉Z }B ．{x |－1≤x ≤3,x ∉Z }C ．{x |x <－1或x ∈Z }D ．{x |－1<x <3,x ∈Z }解析：由p ∧q ,綈q 同时为假,可知p 假,q 真,由|x －1|≥2可得x ≥3或x ≤－1,而p为假q 为真,所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <3，x ∈Z ，即{x |－1<x <3,x ∈Z }．故选D .答案：D3．设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p ：若a ·b ＝0,b ·c ＝0,则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨(綈q )解析：对于命题p ：因为a ·b ＝0,b ·c ＝0,所以a ,b 与b ,c 的夹角都为90°,但a ,c 的夹角可以为0°或180°,故a ·c ≠0,所以命题p 是假命题；对于命题q ：a ∥b ,b ∥c 说明a ,b 与b ,c 都共线,可以得到a ,c 的方向相同或相反,故a ∥c ,所以命题q 是真命题．则p ∨q 是真命题,p ∧q 是假命题,綈p 是真命题,綈q 是假命题,所以(綈p )∧(綈q )是假命题,p ∨(綈q )是假命题,故选A.答案：A4．在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”,q 是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A ．(綈p )∨(綈q )B ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧(綈q )D ．p ∨q解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”是指“甲没降落在指定范围”或“乙没降落在指定范围”,应表示为(綈p )∨(綈q )．故选A.答案：A5．已知p ：函数y ＝sin 12x 的最小正周期是π,q ：函数y ＝tan x 的图象关于直线x ＝π2对称,则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真解析：很明显p 和q 均是假命题,所以綈q 为真,p ∧q 为假,p ∨q 为假,故选C.答案：C二、填空题(每小题5分,共15分)6．命题“若a <b ,则2a <2b ”的否命题是________,命题的否定是________．解析：命题“若p ,则q ”的否命题是“若綈p ,则綈q ”,命题的否定是“若p ,则綈q ”． 答案：若a ≥b ,则2a ≥2b 若a <b ,则2a ≥2b .7．已知命题p ：x ＝π是y ＝|sin x |的一条对称轴,q ：2π是y ＝|sin x |的最小正周期．下列命题：①p ∨q ；②p ∧q ；③綈p ；④綈q .其中真命题的序号是________．解析：因为y ＝|sin x |的周期为T ＝π,且对称轴为x ＝k π2(k ∈Z ),所以x＝π是y＝|sin x|的一条对称轴,故p真q假．所以p∨q为真,綈q为真,p∧q为假,綈p为假,故①④为真命题．答案：①④8．已知条件p：(x＋1)2>4,条件q：x>a,且綈p是綈q的充分不必要条件,则a的取值范围是________．解析：由綈p是綈q的充分不必要条件,可知綈p⇒綈q,但綈qD⇒/綈p. 由一个命题与它的逆否命题等价,可知q⇒p但pD⇒/q. 又p：x>1或x<－3,可知{x|x>a}{x|x<－3或x>1},所以a≥1.答案：[1,＋∞)三、解答题(每小题10分,共20分)9．指出下列命题是简单命题还是含逻辑联结词的命题,若是含逻辑联结词的命题,写出构成它的简单命题．(1)两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；(2)若x∈{x|x<1或x>2},则x是不等式(x－1)·(x－2)>0的解．解析：(1)“p且q”形式的命题,其中p：两个角是45°的三角形是等腰三角形,q：两个角是45°的三角形是直角三角形．(2)“p或q”形式的命题,其中p：若x∈{x|x<1},则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解,q：若x∈{x|x>2},则x是不等式(x－1)(x－2)>0的解．10．写出下列命题的p∨q,p∧q,綈p的形式,并判断其真假：(1)p：2是有理数；q：2是实数；(2)p：5不是15的约数；q：5是15的倍数；(3)p：空集是任何集合的子集；q：空集是任何集合的真子集．解析：(1)p∨q：2是有理数或2是实数,真命题；p∧q：2是有理数且2是实数,假命题；綈p：2不是有理数,真命题．(2)p∨q：5不是15的约数或5是15的倍数,假命题；p∧q：5不是15的约数且5是15的倍数,假命题；綈p：5是15的约数,真命题．(3)p∨q：空集是任何集合的子集或空集是任何集合的真子集,真命题；p∧q：空集是任何集合的子集且空集是任何集合的真子集,假命题；綈p：空集不是任何集合的子集；假命题．|能力提升|(20分钟,40分)11．已知p：x＋1>2,q：5x－6>x2,则綈p是綈q的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：设集合A ＝{x |x ＋1≤2}＝{x |x ≤1},B ＝{x |5x －6≤x 2}＝{x |x ≤2或x ≥3},由于A B ,所以綈p 是綈q 的充分不必要条件,故选A.答案：A12．已知命题p ：“任意x ∈[1,2],x 2－a ≥0”,命题q ：“存在x ∈R ,x 2＋(a －1)x ＋1<0”．若“p 或q ”为真命题,“p 且q ”为假命题,则实数a 的取值范围为________．解析：由已知得p 为真时,a ≤1,q 为真时,a <－1或a >3,因为p 或q 为真,p 且q 为假,所以p 与q 中一真一假,若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，－1≤a ≤3，可得－1≤a ≤1；若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，a <－1或a >3，可得a >3,综上可知,a ∈[－1,1]∪(3,＋∞)．答案：[－1,1]∪(3,＋∞)13．分别指出由下列各组命题构成的“p ∨q ”“p ∧q ”及“綈p ”形式,并判断真假．(1)p ：2n －1(n ∈Z )是奇数,q ：2n －1(n ∈Z )是偶数；(2)p ：a 2＋b 2<0(a ∈R ,b ∈R ),q ：a 2＋b 2≥0；(3)p ：集合中的元素是确定的,q ：集合中的元素是无序的．解析：(1)p ∨q ：2n －1(n ∈Z )是奇数或是偶数；(真) p ∧q ：2n －1(n ∈Z )既是奇数又是偶数；(假)綈p ：2n －1(n ∈Z )不是奇数．(假)(2)p ∨q ：a 2＋b 2<0(a ∈R ,b ∈R ),或a 2＋b 2≥0；(真) p ∧q ：a 2＋b 2<0(a ∈R ,b ∈R ),且a 2＋b 2≥0；(假)綈p ：a 2＋b 2≥0(a ∈R ,b ∈R )．(真)(3)p ∨q ：集合中的元素是确定的或是无序的；(真) p ∧q ：集合中的元素是确定的且是无序的；(真)綈p ：集合中的元素是不确定的．(假)14．命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立,q ：函数f (x )＝(3－2a )x是增函数,若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围．解析：设g (x )＝x 2＋2ax ＋4,由于关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立,所以函数g (x )的图象开口向上且与x 轴没有交点,故Δ＝4a 2－16<0,所以－2<a <2.又因为函数f (x )＝(3－2a )x 是增函数,所以3－2a >1,所以a <1.又由于p 或q 为真,p 且q 为假,可知p 和q 一真一假．(1)若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧ －2<a <2，a ≥1，所以1≤a <2.(2)若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤－2或a ≥2，a <1，所以a ≤－2.综上可知,所求实数a 的取值范围为(－∞,－2]∪[1,2)．课时作业5 全称量词 存在量词 含有一个量词的命题的否定 |基础巩固|(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1．命题“∃x 0∈R ,x 30－2x 0＋1＝0”的否定是( )A ．∃x 0∈R ,x 30－2x 0＋1≠0B ．不存在x ∈R ,x 3－2x ＋1≠0C ．∀x ∈R ,x 3－2x ＋1＝0D ．∀x ∈R ,x 3－2x ＋1≠0解析：特称命题的否定是全称命题,故排除A ；由命题的否定要否定结论,故排除C ；由存在量词“∃”应改为全称量词“∀”,故排除B.答案：D2．有下列四个命题：①∀x ∈R,2x 2－3x ＋4>0；②∀x ∈{1,－1,0},2x ＋1>0；③∃x 0∈N ,使x 20≤x 0；④∃x 0∈N *,使x 0为29的约数．其中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：对于①,这是全称命题,由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0,所以2x 2－3x ＋4>0恒成立,故①为真命题；对于②,这是全称命题,由于当x ＝－1时,2x ＋1>0不成立,故②为假命题；对于③,这是特称命题,当x 0＝0或x 0＝1时,有x 20≤x 0成立,故③为真命题；对于④,这是特称命题,当x 0＝1时,x 0为29的约数成立,所以④为真命题．答案：C3．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ,使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ,使1x>2 解析：A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中x ＝0时,x 2＝0,所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为3＋(－3)＝0,所以C 是假命题；D 中对于任一个负数x ,都有1x<0,所以D 是假命题． 答案：B4．已知命题p ：∀x ∈R,2x 2＋2x ＋12<0,命题q ：∃x 0∈R ,sin x 0－cos x 0＝2,则下列判断中正确的是( )A ．p 是真命题B ．q 是假命题C ．綈p 是假命题D ．綈q 是假命题解析：因为2x 2＋2x ＋12＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122≥0,所以p 是假命题． 又sin x 0－cos x 0＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x 0－π4≤2,故q 是真命题． 所以选D.答案：D5．若命题“∀x ∈(1,＋∞),x 2－(2＋a )x ＋2＋a ≥0”为真命题,则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞,－2]B ．(－∞,2]C ．[－2,2]∪(1,＋∞)D ．(－∞,－2]∪[2,＋∞)解析：抛物线y ＝x 2－(2＋a )x ＋2＋a 开口向上,对称轴为x ＝2＋a 2,且Δ＝[－(2＋a )]2－4(2＋a )＝a 2－4.根据题意得Δ＝a 2－4≤0或 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4>0，2＋a2<1，解得－2≤a ≤2或a <－2, 所以a ≤2.故选B. 答案：B二、填空题(每小题5分,共15分)6．四个命题：①∀x ∈R ,x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ,x 2＝2；③∃x ∈R ,x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．解析：①当x ＝1时,x 2－3x ＋2＝0,故①为假命题；②因为x ＝±2时,x 2＝2,而±2为无理数,故②为假命题；③因为x 2＋1>0(x ∈R )恒成立,故③为假命题；④原不等式可化为x 2－2x ＋1>0,即(x －1)2>0,当x ＝1时(x －1)2＝0,故④为假命题．答案：07．命题“∀x ∈R,3x 2－2x ＋1>0”的否定是________． 解析：“∀x ∈M ,p (x )”的否定为“∃x 0∈M ,綈p (x 0)”． ∴其否定为∃x 0∈R,3x 20－2x 0＋1≤0. 答案：∃x 0∈R,3x 20－2x 0＋1≤08．设命题p ：∀x ∈R ,x 2＋ax ＋2<0,若綈p 为真,则实数a 的取值范围是________． 解析：綈p ：∃x 0∈R ,x 20＋ax 0＋2≥0,因为綈p 为真,所对应抛物线开口向上,所以a ∈R . 答案：R三、解答题(每小题10分,共20分)9．判断下列语句是全称命题,还是特称命题． (1)0不能作除数；(2)有一个实数a ,a 不能取对数； (3)任何数的0次方都等于1吗？解析：(1)是命题,但既不是全称命题,也不是特称命题． (2)含有存在量词“有一个”,因此是特称命题．(3)不是命题．10．用“∀”“∃”写出下列命题的否定,并判断真假． (1)二次函数的图象是抛物线；(2)在直角坐标系中,直线是一次函数的图象； (3)有些四边形存在外接圆； (4)∃a ,b ∈R ,方程ax ＋b ＝0无解．解析：(1)∃f (x )∈{二次函数},f (x )的图象不是抛物线．它是假命题． (2)在直角坐标系中,∃l ∈{直线},l 不是一次函数的图象．它是真命题． (3)∀x ∈{四边形},x 不存在外接圆．它是假命题． (4)∀a ,b ∈R ,方程ax ＋b ＝0至少有一解．它是假命题．|能力提升|(20分钟,40分)11．(宁夏银川一中月考)命题p ：∀x ∈R ,ax 2＋ax ＋1≥0,若綈p 是真命题,则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞,0]∪[4,＋∞) D．(－∞,0)∪(4,＋∞)解析：当a ＝0时,不等式恒成立；当a ≠0时,要使不等式恒成立,则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4. 综上,0≤a ≤4,则命题p ：0≤a ≤4,则綈p ：a <0或a >4.答案：D12．已知函数f (x )为定义在(－∞,3]上的减函数,若f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )对任意x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是________．解析：由函数的单调性得3≥a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x 对任意x ∈R 均成立,即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3＋sin x ，a 2－a ≥sin x ＋cos 2x ＋1对任意x ∈R 均成立,然后转化为函数的最值问题,⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤(3＋sin x )min ，a 2－a ≥(sin x ＋cos 2x ＋1)max ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a 2－a ≥94，。
11-12学年高中数学 1.7 定积分的简单应用同步练习 新人教A版选修2-2
定积分的简单应用一、选择题1．如图所示，阴影部分的面积为( )A.⎠⎛a b f (x )d xB.⎠⎛a b g (x )d xC.⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d xD.⎠⎛ab [g (x )－f (x )]d x[答案] C[解析] 由题图易知，当x ∈[a ，b ]时，f (x )>g (x )，所以阴影部分的面积为⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .2．如图所示，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323D.353[答案] C[解析] S ＝⎠⎛1－3(3－x 2－2x )d x即F (x )＝3x －13x 3－x 2，则F (1)＝3－1－13＝53，F (－3)＝－9－9＋9＝－9.∴S ＝F (1)－F (－3)＝53＋9＝323.故应选C.3．由曲线y ＝x 2－1、直线x ＝0、x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图)是( ) A.⎠⎛02(x 2－1)d xB ．|⎠⎛02(x 2－1)d x |C.⎠⎛02|x 2－1|d xD.⎠⎛01(x 2－1)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x[答案] C[解析] y ＝|x 2－1|将x 轴下方阴影反折到x 轴上方，其定积分为正，故应选C.4．设f (x )在[a ，b ]上连续，则曲线f (x )与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0围成图形的面积为( ) A.⎠⎛a b f (x )d xB ．|⎠⎛ab f (x )d x |C.⎠⎛ab |f (x )|d xD ．以上都不对[答案] C[解析] 当f (x )在[a ，b ]上满足f (x )<0时，⎠⎛ab f (x )d x <0，排除A ；当阴影有在x 轴上方也有在x 轴下方时，⎠⎛ab f (x )d x 是两面积之差，排除B ；无论什么情况C 对，故应选C.5．曲线y ＝1－1681x 2与x 轴所围图形的面积是( )A ．4B ．3C ．2D.52[答案] B[解析] 曲线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，0故应选B.6．一物体以速度v ＝(3t 2＋2t )m/s 做直线运动，则它在t ＝0s 到t ＝3s 时间段内的位移是( )A ．31mB ．36mC ．38mD ．40m[答案] B[解析] S ＝⎠⎛03(3t 2＋2t )d t ＝(t 3＋t 2)| 30＝33＋32＝36(m)，故应选B.7．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( )A.112B.14 C.13D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x 3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410＝112.8．一物体在力F (x )＝4x －1(单位：N)的作用下，沿着与力F 相同的方向，从x ＝1运动到x ＝3处(单位：m)，则力F (x )所做的功为( )A ．8JB ．10JC ．12JD ．14J[答案] D[解析] 由变力做功公式有：W ＝⎠⎛13(4x －1)d x ＝(2x 2－x )| 31＝14(J)，故应选D.9．若某产品一天内的产量(单位：百件)是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a ＝36t，那么从3小时到6小时期间内的产量为( )A.12B ．3－32 2C ．6＋3 2D ．6－3 2[答案] D [解析] ⎠⎛3636tdt ＝66t | 63＝6－32，故应选D.10．过原点的直线l 与抛物线y ＝x 2－2ax (a >0)所围成的图形面积为92a 3，则直线l 的方程为( )A ．y ＝±axB ．y ＝axC ．y ＝－axD ．y ＝－5ax[答案] B[解析] 设直线l 的方程为y ＝kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx y ＝x 2－2ax 得交点坐标为(0,0)，(2a ＋k,2ak ＋k 2) 图形面积S ＝∫2a ＋k[kx －(x 2－2ax )]d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋2a 2x 2－x 33| 2a ＋k 0＝(k ＋2a )32－(2a ＋k )33＝(2a ＋k )36＝92a 3∴k ＝a ，∴l 的方程为y ＝ax ，故应选B. 二、填空题11．由曲线y 2＝2x ，y ＝x －4所围图形的面积是________． [答案] 18[解析] 如图，为了确定图形的范围，先求出这两条曲线交点的坐标，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x y ＝x －4得交点坐标为(2，－2)，(8,4)．因此所求图形的面积S ＝⎠⎛4－2(y ＋4－y 22)d y取F (y )＝12y 2＋4y －y 36，则F ′(y )＝y ＋4－y22，从而S ＝F (4)－F (－2)＝18.12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________．13．由两条曲线y ＝x 2，y ＝14x 2与直线y ＝1围成平面区域的面积是________．[答案] 43[解析] 如图，y ＝1与y ＝x 2交点A (1,1)，y ＝1与y ＝x 24交点B (2,1)，由对称性可知面积S ＝2(⎠⎛01x 2d x＋⎠⎛12d x －⎠⎛0214x 2d x )＝43.14．一变速运动物体的运动速度v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)a t(1≤t ≤2)b t (2≤t ≤e )则该物体在0≤t ≤e 时间段内运动的路程为(速度单位：m/s ，时间单位：s)______________________． [答案] 9－8ln2＋2ln2[解析] ∵0≤t ≤1时，v (t )＝2t ，∴v (1)＝2； 又1≤t ≤2时，v (t )＝a t， ∴v (1)＝a ＝2，v (2)＝a 2＝22＝4； 又2≤t ≤e 时，v (t )＝bt， ∴v (2)＝b2＝4，∴b ＝8.∴路程为S ＝⎠⎛012t d t ＋⎠⎛122td t ＋⎠⎛2e 8td t ＝9－8ln2＋2ln2 .三、解答题15．计算曲线y ＝x 2－2x ＋3与直线y ＝x ＋3所围图形的面积．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3y ＝x 2－2x ＋3解得x ＝0及x ＝3.从而所求图形的面积S ＝⎠⎛03(x ＋3)d x －⎠⎛03(x 2－2x ＋3)d x＝⎠⎛03[(x ＋3)－(x 2－2x ＋3)]d x＝⎠⎛03(－x 2＋3x )d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋32x 2| 30＝92.16．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)若直线x ＝－t (0＜t ＜1)把y ＝f (x )的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根． ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛0－t (x 2＋2x ＋1)d x ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | －t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x | 0－t 即－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t .∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0， ∴2(t －1)3＝－1，∴t ＝1－132.17．A 、B 两站相距7.2km ，一辆电车从A 站开往B 站，电车开出t s 后到达途中C 点，这一段速度为1.2t (m/s)，到C 点的速度达24m/s ，从C 点到B 站前的D 点以等速行驶，从D 点开始刹车，经t s 后，速度为(24－1.2t )m/s ，在B 点恰好停车，试求：(1)A 、C 间的距离； (2)B 、D 间的距离；(3)电车从A 站到B 站所需的时间． [解析] (1)设A 到C 经过t 1s ， 由1.2t ＝24得t 1＝20(s)，所以AC ＝∫2001.2t d t ＝0.6t 2| 200＝240(m)．(2)设从D →B 经过t 2s ， 由24－1.2t 2＝0得t 2＝20(s)， 所以DB ＝∫200(24－1.2t )d t ＝240(m)． (3)CD ＝7200－2×240＝6720(m)． 从C 到D 的时间为t 3＝672024＝280(s)．于是所求时间为20＋280＋20＝320(s)．18．在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：(1)切点A 的坐标； (2)过切点A 的切线方程．[解析] 如图所示，设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过A 点的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 20.令y ＝0得x ＝x 02，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，S ＝S 曲边△AOB －S △ABC . S 曲边△AOB ＝∫x 00x 2d x ＝13x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB | ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－x 02·x 20＝14x 30，即S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝112.所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.。
高中数学11双曲线的简单几何性质新人教A版选修2-1
课时分层作业(十一) 双曲线的简单几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 25＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )A ．31414B ．324C ．32D ．43C [由题意知a 2＋5＝9，解得a ＝2，故e ＝32.]2．已知双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则共有l ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条B [因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B ．]3．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则双曲线C 的焦距等于( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2C [由已知得e ＝c a ＝2，所以a ＝12c ，故b ＝c 2－a 2＝32c ，从而双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ＝±3x ，由焦点到渐近线的距离为3，得32c ＝3，解得c ＝2，故2c ＝4，故选C ．]4．若实数k 满足0<k <5，则曲线x 216－y 25－k ＝1与曲线x 216－k －y 25＝1的( )【导学号：46342101】A ．实半轴长相等B ．虚半轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等D [若0<k <5，则5－k >0,16－k >0，故方程x 216－y 25－k ＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为5－k ，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k4；同理方程x 216－k －y 25＝1也表示焦点在x 轴上的双曲线，实半轴的长为16－k ，虚半轴的长为5，焦距2c ＝221－k ，离心率e ＝21－k16－k.可知两曲线的焦距相等，故选D ．] 5．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b >a >0)的半焦距为c ，且直线l 过(a,0)和(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为3c4，则双曲线的离心率为( ) A ．233B ． 2C ． 3D ．2D [直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，原点到直线l 的距离d ＝ab a 2＋b 2＝abc＝34c 即ab ＝34c 2，所以a 2(c 2－a 2)＝316c 4. 整理得3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43又b >a >0，所以e 2＝1＋b 2a2>2，故e ＝2.]二、填空题6．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y ＝0垂直，则双曲线方程为________．x 24－y 2＝1 [由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝12a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4b 2＝1，故所求双曲线方程为x 24－y 2＝1.]7．若a >1，则双曲线x 2a2－y 2＝1的离心率的取值范围是________.【导学号：46342102】(1，2) [e 2＝1＋1a2，由a >1得1<e 2<2.所以1<e < 2.]8．若直线x ＝2与双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B ，且△AOB 的面积为8，则焦距为________．25 [双曲线的渐近线方程为y ＝±bx ，则A (2,2b )，B (2，－2b )，|AB |＝4b ，从而S △AOB＝12×4b ×2＝8. 解得b ＝2，所以c 2＝5，从而焦距为2 5.] 三、解答题9．双曲线与椭圆x 216＋y 264＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y ＝x ，求双曲线的标准方程和离心率．[解] 由椭圆x 216＋y 264＝1，知c 2＝64－16＝48，且焦点在y 轴上，∵双曲线的一条渐近线为y ＝x ，∴设双曲线方程为y 2a 2－x 2a2＝1.又c 2＝2a 2＝48，∴a 2＝24. ∴所求双曲线的方程为y 224－x 224＝1.由a 2＝24，c 2＝48，得e 2＝c 2a2＝2，又e >0，∴e ＝ 2.10．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2，其中O 为原点，求k 的取值范围.【导学号：46342103】[解] (1)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知得a ＝3，c ＝2.又因为a 2＋b 2＝c 2，所以b 2＝1， 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1中，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由直线l 与双曲线交于不同的两点得：⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)>0，即k 2≠13且k 2<1. ①设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， 则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k 2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2) ＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)·－91－3k 2＋2k ·62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1， 于是3k 2＋73k 2－1>2，解此不等式得13<k 2<3. ②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1. [能力提升练]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均与曲线C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )A ．355B ．62C ．32D ．55A [曲线C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为C (3,0)，半径r ＝2，双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，不妨取y ＝b ax ，即bx －ay ＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d ＝|3b |a 2＋b2＝2，即9b 2＝4(a 2＋b 2)，所以5b 2＝4a 2，b 2＝45a 2＝c 2－a 2，即95a 2＝c 2，所以e 2＝95，e ＝355，选A ．]2．设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ＋5y ＝0C ．5x ±4y ＝0D ．4x ±3y ＝0D [由题意可知|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，所以△PF 1F 2为等腰三角形，所以由F 2向直线PF 1作的垂线也是中线，因为F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长2a ，所以|PF 1|＝24c 2－4a2＝4b ，又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，两边平方可得4b 2－4ab ＋a2＝c 2＝a 2＋b 2，所以3b 2＝4ab ，所以4a ＝3b ，从而b a ＝43，所以该双曲线的渐近线方程为4x ±3y＝0，故选D ．]3．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过点F 作x轴的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________．±1 [不妨设点B 在第一象限，则A 1(－a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，A 2(a,0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，所以A 1B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ，b 2a ，A 2C →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a ，－b 2a .因为A 1B ⊥A 2C ，所以A 1B →·A 2C →＝0，所以c 2－a 2－b 4a 2＝0，整理得，b 2a 2＝1，即ba＝1，所以渐近线的斜率为±1.]4．已知直线l ：x －y ＋m ＝0与双曲线x 2－y 22＝1交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，则实数m 的值是________.【导学号：46342104】±1 [由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋m ＝0x 2－y 22＝1，消去y 得x 2－2mx －m 2－2＝0.则Δ＝4m 2＋4m 2＋8＝8m 2＋8>0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2m ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝4m ，所以线段AB 的中点坐标为(m,2m )．又点(m,2m )在圆x 2＋y 2＝5上，所以m 2＋(2m )2＝5，得m ＝±1.]5．直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点． (1)求线段AB 的长；(2)当a 为何值时，以AB 为直径的圆经过坐标原点？[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1，得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0.由题意可得3－a 2≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a 3－a 2，x 1x 2＝－23－a 2.(1)|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋a 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋a 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－a 22＋83－a 2＝2(1＋a 2)(6－a 2)|3－a 2|. (2)由题意知，OA ⊥OB ，则OA →·OB →＝0，即x1x2＋y1y2＝0，∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，∴(1＋a2)·－23－a2＋a·2a3－a2＋1＝0，解得a＝±1.经检验a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点.。
定积分的简单应用同步课时训练-高二数学人教A版选修2-2
1.7 定积分的简单应用—高二数学人教A 版2-2同步课时训练1.如图，由曲线21y x =-，直线0x =，2x =和x 轴围成的封闭图形的面积是( )A.1B.23C.43D.22.如图所示，在边长为1的正方形OABC 内任取一点，则该点恰好取自阴影部分的概率为( )A.114π2-B.16C.14D.112π-3.已知曲线2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其面积为( )A.1B.13C.22D.124.如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线()sin 0,π(())f x x x ∈=及直线((0,))πx a a =∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若该点落在阴影部分的概率为316，则a 的值为( )A.7π12B.2π3C.34πD.5π65.如图由曲线21y x =+，直线3x y +=以及两坐标轴的正半轴围成的图形的面积S =（ ）A.73B.83C.3D.1036.有曲线2y x =，直线2y x =-所围成的图形的面积为( ) A.43B.196C.236D.927.已知曲线2y x =和曲线y x =围成一个叶形图(如图中阴影部分),则其面积为( )A. 1B. 122 D. 138.已知函数2cos y x =，[]0,2x π∈和2y =的图像围成的一个封闭的平面图形的面积是（ ） A ．4πB ．2πC ．4D ．29.曲线e x y =，e x y -= 和直线1x =围成的图形面积是( ) A ．1e e --B ．1e e -+C ．1e e 2---D ．1e e 2-+-10.求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．120()s x x dx =-⎰ B ．120()s x x dx =-⎰C ．10() s y y dy =-⎰ D ． 1() s y y dy =-⎰11.由曲线2y x =，直线y x =及y 轴所围成的图形的面积为___________. 12.已知曲线2y x =与直线(0)y kx k =>所围成的曲边图形的面积为43，则k =_________13.由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为______ 14.已知函数()f x 为一次函数，若函数()f x 的图象过点(1,3)，且3021()2f x dx =⎰. (1)求函数()f x 的表达式；(2)若函数2()g x x =，求函数()f x 与()g x 的图象围成图形的面积15.已知函数32()1f x x x x =-++,求其在点(1,2)处的切线与函数2()g x x =围成的图形的面积.答案以及解析1.答案：D解析：由曲线21y x =-，直线0x =，2x =和x 轴围成的封闭图形的面积为：12223131000111281(1)d (1)d ()|()|21233333S x x x x x x x x =-+-=-+-=+--+=⎰⎰，故选D. 2.答案：B解析：阴影面积12231100111()()236s x x dx x x =-=-=⎰，正方形面积1s =， ∴所求的概率116s p s==，故选：B 3.答案：B解析：1323120211()()|333S x x dx x x ==-=⎰,故选B 4.答案：B解析：由题意知，阴影部分的面积为00sin ?d (cos )cos cos01cos aax x x a a =-=-+=-⎰，根据几何概型的概率计算公式知1cos 3816a a a-=⋅，即1cos 2a =-，而(0,π)a ∈，故2π3a =，故选B. 5.答案：D解析：如图所示，解方程组213y x x y ⎧=+⎨+=⎩，得12x y =⎧⎨=⎩或25x y =-⎧⎨=⎩.30()S f x dx ∴=⎰，其中21(01)()3(13)x x f x x x ⎧+≤≤=⎨-<≤⎩.()133213201011(3)332x x S x dx x dx x x ⎛⎫⎛⎫∴=++-=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 191110193332233⎛⎫⎛⎫=++---=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选D. 6.答案：D解析：联立方程组得22y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，解得曲线2y x =与直线2y x =-的交点坐标为：()()1,1,4,2-， 选择y 为积分变量，∴曲线2y x =和直线2y x =-所围成的图形的面积为()222321111811922242233232S y y dy y y y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+---+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰.7.答案：D解析：1323120211()()|333S x x dx x x ==-=⎰,故选D. 8.答案：A解析：画出函数[]2cos ,0,2πy x x =∈的图象与直线2y =围成的一个封闭的平面图形，如图所示，根据定积分的几何意义，可得封闭图形的面积为：22π00(22cos )(22sin )|(4π2sin 2π)(202sin 0)4πS x dx x x π=-=-=--⨯-=⎰.9.答案：D解析：曲线e ,e x x y y -==和直线1x =围成的图形面积， 就是()10e e x x dx --⎰()1102x xe e e e --=+=+-.故选：D 。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：1.7 定积分的简单应用1.7.1 Word版含答案
11 ∴12x30＝12，x0＝1.
∴切点为(1,1)，切线方程为 y＝2x－1.
1．在下面所给图形的面积 S 及相应表达式中，正确的有( )
a
8
∫ ∫ S＝ [f(x)－g(x)]dx S＝ (2 2x－2x＋8)dx
b
0
①
②
4
7
∫ ∫ S＝ f(x)dx－ f(x)dx
0
3
1
3
1
3
1
2
∫( ) ∫( ) ＝ x＋ x dx＋ 2－ x dx
3
3
0
1
23 1
1
( ) ( ) ＝ x ＋ x2 Error!＋ 2x－ x 13
＝ ＋6－ ×9－2＋ ＝ .
63
36
法二 若选积分变量为 y，则三个函数分别为
x＝y2，x＝2－y，x＝－3y.
形面积为 S，根据图形可得
2
2
∫ ∫ S＝ －3[(－x＋2)－(x2－4)]dx＝ －3(－x2－x＋6)dx
11
22 27 125
( ) ( ) ＝ － x3－ x2＋6x Error!＝ － － ＝ .
32
3
26
规律方法 不分割型图形面积的求解步骤：
(1)准确求出曲线的交点横坐标；
(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域；
c
b
∫ ∫ ∴阴影部分的面积 S＝ f(x)dx－ f(x)dx.
b
a
2．若 y＝f(x)与 y＝g(x)是[a，b]上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线 x＝a，x＝
b 所围成的平面区域的面积为( )
b
∫ A. [f(x)－g(x)]dx a
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课时分层作业(十一) 定积分的简单应用
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用S 表示图176中阴影部分的面积，则S 的值是( )
图176
D [在区间[a ，b ]上图形在x 轴下方，积分为负值， ∴S ＝
f (x )d x －f (x )d x .故选D.]
2．如图177，阴影部分的面积是( )
图177
A ．2 3
B ．2－ 3
C ．323
D ．353
C [S ＝
(3－x 2
－2x )d x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3x －13x 3－x 2| 1－3＝323.]
3．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
10，0≤x ≤2，
3x ＋4，x >2，
(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从
x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( )
A ．44 J
B ．46 J
C ．48 J
D ．50 J
B [W ＝
F (x )d x ＝10d x ＋ (3x ＋4)d x
＝10x | 20＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫32x 2＋4x | 4
2＝46(J)．]
4．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时速度v ＝40－10t 2
，则此物体达到最高时的高度为( )
【导学号：31062103】
A.160
3 m B.803 m C.403
m D.203
m A [v ＝0时物体达到最高， 此时40－10t 2
＝0，则t ＝2 s. 又∵v 0＝40 m/s ，∴t 0＝0 s. ∴h ＝
5．如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( )
A ．0.5 J
B ．1 J
C ．50 J
D ．100 J
A [由于弹簧所受的拉力F (x )与伸长量x 成正比，依题意，得F (x )＝x ，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为W ＝
F (x )d x ＝x d x ＝＝50(N·cm)＝0.5(J)．]
二、填空题
6．若两曲线y ＝x 2与y ＝cx 3
(c ＞0)围成图形的面积是23
，则c ＝________.
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝x
2
y ＝cx
3
得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0
y ＝0，
⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝1
c y ＝1c 2
.
由题意可知
[答案] 1
2
7．质点运动的速度是(18t －3t 2
)m/s ，质点在[0,8]时间段内所通过的路程为________.
【导学号：31062104】
[解析] 路程s ＝
(18t －3t 2)d t ＋
(3t 2－18t )d t
＝(9t 2
－t 3
) | 6
0＋(t 3
－9t 2
) | 8
6＝9×62
－63
＋83
－9×82
－63
＋9×62
＝152(m)． [答案] 152(m)
8．如图178，阴影部分是由曲线y ＝1x
，y 2
＝x 与直线x ＝2，y ＝0围成，则其面积为
________．
图178
[解析] S ＝⎠⎛01x d x ＋⎠⎛1
21
x
d x
＝23
x | 10＋ln x | 2
1
＝2
3＋ln 2. [答案] 2
3＋ln 2
三、解答题
9．已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx (a ，b ∈R )的图象如图179所示，它与直线y ＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为27
4
，求a 的值．
图179
[解] 由图知方程f (x )＝0有三个实根， 其中有两个相等的实根x 1＝x 2＝0， 于是b ＝0，
所以f (x )＝x 2
(x ＋a )． 有
[0－(x 3＋ax 2)]d x
＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 4
4＋ax 3
3| －a
0＝a 4
12，
所以a ＝±3. 又－a ＞0⇒a ＜0， 所以a ＝－3.
10．一点在直线上从时刻t ＝0(s)开始以速度v ＝t 2
－4t ＋3(m/s)运动，求： (1)此点在t ＝4 s 时的位置； (2)此点在t ＝4 s 时运动的路程.
【导学号：31062105】
[解] 因为位置决定于位移，所以它是v (t )在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负．
(1)在t ＝4 s 时，该点的位移为
即在t ＝4 s 时该点在距出发点4
3 m 处．
(2)∵v (t )＝t 2
－4t ＋3＝(t －1)(t －3)， ∴在区间[0,1]及[3,4]上，v (t )≥0，
在区间[1,3]上，v (t )≤0，∴该点在t ＝4 s 时的路程为
S ＝
(t 2－4t ＋3)d t ＋ (t 2－4t ＋3)d t ＝ (t 2－4t
＋3)d t －
(t 2－4t ＋3)d t ＋ (t 2－4t ＋3)d t ＝4(m)．
[能力提升练]
1.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图1710所示，则它与x 轴所围成的图形的面积为
( )
图1710
A.2π5
B.43
C.32
D.π2
B [由图可知f (x )＝－x 2＋1.∴f (x )与x 轴围成的图形的面积S ＝
(1－x 2
)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 3
3| 1－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13－⎝
⎛⎭⎪⎫－1＋13＝23＋23＝43.] 2．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋
25
1＋t
(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A ．1＋25ln 5
B ．8＋25ln 11
3
C ．4＋25ln 5
D ．4＋50ln 2
C [令v (t )＝0， 得t ＝4或t ＝－8
3(舍去)，
∴汽车行驶距离s ＝
＝7t | 40－32t 2| 40＋25ln(1＋t ) | 4
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.]
3．抛物线y ＝－x 2
＋4x －3与其在点A (1,0)和点B (3,0)处的切线所围成的面积为________．
[解析] 由y ′＝－2x ＋4，得在点A 、B 处切线的斜率分别为2和－
2，则两切线方程分别为y ＝2x －2和y ＝－2x ＋6.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝2x －2，y ＝－2x ＋6，
得C (2,2)．
∴S ＝S △ABC － (－x 2＋4x －3)d x
＝
＝2－43＝23.
[答案] 2
3
4．如图1711所示，一物体沿斜面在拉力F 的作用下由A 经B ，C 运动到D ，其中AB ＝50 m ，BC ＝40 m ，CD ＝30 m ，变力F ＝⎩⎪⎨⎪⎧
14
x ＋5，0≤x ≤90，
20，90<x ＜120，
(单位：N)，在AB 段运动
时F 与运动方向成30°角，在BC 段运动时F 与运动方向成45°角，在CD 段运动时F 与运动方向相同，则物体由A 运动到D 所做的功为________．(3≈1.732，2≈1.414，精确到1 J)
【导学号：31062106】
图1711
[解析] 在AB 段运动时F 在运动方向上的分力F 1＝F cos 30°，在BC 段运动时F 在运动方向上的分力F 2＝F cos 45°.
由变力做功公式得：
W ＝cos 45°d x ＋600
＝＋600
＝
1 125
4
3＋4502＋600≈1 723(J)． 所以物体由A 运动到D 变力F 所做的功为1 723 J. [答案] 1 723 J
5．已知S 1为直线x ＝0，y ＝4－t 2
及y ＝4－x 2
所围成图形的面积，S 2为直线x ＝2，y ＝4－t 2
及y ＝4－x 2
所围成图形的面积(t 为常数)．
图1712
(1)若t ＝2，求S 2；
(2)若t ∈(0,2)，求S 1＋S 2的最小值． [解] (1)当t ＝2时，
(2)当t ∈(0,2)时，S 1＝
[(4－x 2)－(4－t 2)]d x
＝.
S 2＝ [(4－t 2)－(4－x 2
)]d x
＝
.
所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－2t 2
＋83
.
S ′＝4t 2－4t ＝4t (t －1)，
令S ′＝0，得t ＝0(舍去)或t ＝1， 当0＜t ＜1时，S ′＜0，S 单调递减， 当1＜t ＜2时，S ′＞0，S 单调递增， 所以当t ＝1时，S min ＝2.。