数学广角——鸽巢问题

第五单元数学广角——鸽巢问题单元要点分析一、单元教材分析：本教材专门安排“数学广角”这一单元，向学生渗透一些重要的数学思想方法。

和以往的义务教育教材相比，这部分内容是新增的内容。

本单元教材通过几个直观例子，借助实际操作，向学生介绍“鸽巢问题”，使学生在理解“鸽巢问题”这一数学方法的基础上，对一些简单的实际问题加以“模型化”，会用“鸽巢问题”加以解决。

在数学问题中，有一类与“存在性”有关的问题。

在这类问题中，只需要确定某个物体（或某个人）的存在就是可以了，并不需要指出是哪个物体（或人）。

这类问题依据的理论我们称之为“抽屉原理”。

“抽屉原理”最先是19世纪的德国数学家狄利克雷运用于解决数学问题的，所以又称“狄利克雷原理”，也称之为“鸽巢问题”。

“鸽巢问题”的理论本身并不复杂，甚至可以说是显而易见的。

但“鸽巢问题”的应用却是千变万化的，用它可以解决许多有趣的问题，并且常常能得到一些令人惊异的结论。

因此，“鸽巢问题”在数论、集合论、组合论中都得到了广泛的应用。

二、单元三维目标导向：1、知识与技能：（1）引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动，经历探究“鸽巢原理”的过程，初步了解“鸽巢原理”的含义，会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。

2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

3、情感态度与价值观：（1）体会数学与生活的紧密联系，体验学数学、用数学的乐趣。

（2）理解知识的产生过程，受到历史唯物注意的教育。

（3）感受数学在实际生活中的作用，培养刻苦钻研、探究新知的良好品质。

三、单元教学重难点重点：应用“鸽巢原理”解决实际问题。

引导学会把具体问题转化成“鸽巢问题”。

难点：理解“鸽巢原理”，找出”鸽巢问题“解决的窍门进行反复推理。

四、单元学情分析“鸽巢原理”的变式很多，在生活中运用广泛，学生在生活中常常遇到此类问题。

教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于“鸽巢原理”可以解决的范畴。

能不能将这个问题同“鸽巢原理”结合起来，是本次教学能否成功的关键。

所以，在教学中，应有意识地让学生理解“鸽巢原理”的“一般化模型”。

六年级的学生理解能力、学习能力和生活经验已达到能够掌握本章内容的程度。

教材选取的是学生熟悉的，易于理解的生活实例，将具体实际与数学原理结合起来，有助于提高学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

五、教法和学法1、让学生经历“数学证明”的过程。

可以鼓励、引导学生借助学具、实物操作或画草图的方式进行“说理”。

通过“说理”的方式理解“鸽巢原理”的过程是一种数学证明的雏形。

通过这样的方式，有助于提高学生的逻辑思维能力，为以后学习较严密的数学证明做准备。

2、有意识地培养学生的“模型”思想。

当我们面对一个具体的问题时，能否将这个具体问题和“鸽巢原理”联系起来，能否找到该问题中的具体情境与“鸽巢原理”的“一般化模型”之间的内在关系，找出该问题中什么是“待分的东西”，什么是“鸽巢”，是解决问题的关键。

教学时，要引导学生先判断某个问题是否属于用“鸽巢原理”可以解决的范畴；再思考如何寻找隐藏在其背后的“鸽巢问题”的一般模型。

这个过程是学生经历将具体问题“数学化”的过程，从纷繁复杂的现实素材中找出最本质的数学模型，是学生数学思维和能力的重要体现。

3、要适当把握教学要求。

“鸽巢原理”本身或许并不复杂，但它的应用广泛且灵活多变。

因此，用“鸽巢原理”解决实际问题时，经常会遇到一些困难。

例如，有时要找到实际问题与“鸽巢原理”之间的联系并不容易，即使找到了，也很难确定用什么作为“鸽巢”，要用几个“鸽巢”。

因此，教学时，不必过于要求学生“说理”的严密性，只要能结合具体问题，把大致意思说出来就可以了，鼓励学生借助实物操作等直观方式进行猜测、验证。

六、单元课时划分：本单元计划课时数：6课时鸽巢问题…………………………………………………1课时“鸽巢问题”的具体应用…………………………………1课时练习课……………………………………………………1课时单元测评…………………………………………………2课时试卷讲评…………………………………………………1课时第五单元数学广角——鸽巢问题第一课时课题：鸽巢问题教学内容：教材第68-70页例1、例2，及“做一做”的第1题，及第71页练习十三的1-2题。

教学目标：1、知识与技能：了解“鸽巢问题”的特点，理解“鸽巢原理”的含义。

使学生学会用此原理解决简单的实际问题。

2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。

教学重难点：重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。

难点：找出“鸽巢问题”解决的窍门进行反复推理。

教学准备：课件。

教学过程：一．情境导入二、探究新知1.教学例1.(课件出示例题1情境图）思考问题：把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有1个笔筒里至少有2支铅笔。

为什么呢？“总有”和“至少”是什么意思？学生通过操作发现规律→理解关键词的含义→探究证明→认识“鸽巢问题”的学习过程来解决问题。

(1)操作发现规律：通过吧4支铅笔放进3个笔筒中，可以发现：不管怎么放，总有1鸽笔筒里至少有2支铅笔。

(2)理解关键词的含义：“总有”和“至少”是指把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，一定有1个笔筒里的铅笔数大于或等于2支。

(3)探究证明。

方法一：用“枚举法”证明。

方法二：用“分解法”证明。

把4分解成3个数。

由图可知，把4分解成3个数，与枚举法相似，也有4中情况，每一种情况分得的3个数中，至少有1个数是不小于2的数。

方法三：用“假设法”证明。

通过以上几种方法证明都可以发现：把4只铅笔放进3个笔筒中，无论怎么放，总有1个笔筒里至少放进2只铅笔。

（4）认识“鸽巢问题”①像上面的问题就是“鸽巢问题”，也叫“抽屉问题”。

在这里，4支铅笔是要分放的物体，就相当于4只“鸽子”，“3个笔筒”就相当于3个“鸽巢”或“抽屉”，把此问题用“鸽巢问题”的语言描述就是把4只鸽子放进3个笼子，总有1个笼子里至少有2只鸽子。

这里的“总有”指的是“一定有”或“肯定有”的意思；而“至少”指的是最少，即在所有方法中，放的鸽子最多的那个“笼子”里鸽子“最少”的个数。

小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放进2支铅笔。

②如果放的铅笔数比笔筒的数量多2，那么总有1个笔筒至少放2支铅笔；如果放的铅笔比笔筒的数量多3，那么总有1个笔筒里至少放2只铅笔……小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总有1个笔筒里至少放2支铅笔。

（5）归纳总结：鸽巢原理（一）：如果把m个物体任意放进n个抽屉里（m>n，且n是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了放进了2个物体。

2、教学例2(课件出示例题2情境图）思考问题：（一）把7本书放进3个抽屉，不管怎么放，总有1个抽屉里至少有3本书。

为什么呢？（二）如果有8本书会怎样呢？10本书呢？学生通过“探究证明→得出结论”的学习过程来解决问题（一）。

（1）探究证明。

方法一：用数的分解法证明。

把7分解成3个数的和。

把7本书放进3个抽屉里，共有如下8种情况：由图可知，每种情况分得的3个数中，至少有1个数不小于3，也就是每种分法中最多那个数最小是3，即总有1个抽屉至少放进3本书。

方法二：用假设法证明。

把7本书平均分成3份，7÷3=2（本）......1（本），若每个抽屉放2本，则还剩1本。

如果把剩下的这1本书放进任意1个抽屉中，那么这个抽屉里就有3本书。

（2）得出结论。

通过以上两种方法都可以发现：7本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。

学生通过“假设分析法→归纳总结”的学习过程来解决问题（二）。

（1）用假设法分析。

①8÷3=2（本）......2（本），剩下2本，分别放进其中2个抽屉中，使其中2个抽屉都变成3本，因此把8本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进3本书。

②10÷3=3（本）......1（本），把10本书放进3个抽屉中，不管怎么放，总有1个抽屉里至少放进4本书。

（2）归纳总结：综合上面两种情况，要把a本书放进3个抽屉里，如果a÷3=b（本）......1（本）或a÷3=b（本） (2)（本），那么一定有1个抽屉里至少放进（b+1）本书。

鸽巢原理（二）：古国把多与kn个的物体任意分别放进n个空抽屉（k是正整数，n是非0的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k+1)个物体。

三、巩固练习1、完成教材第70页的“做一做”第1题。

学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。

2、完成教材第71页练习十三的1-2题。

学生独立思考解答问题，集体交流、纠正。

四、课堂总结第五单元数学广角——鸽巢问题第二课时课题：“鸽巢问题”的具体应用教学内容：教材第70-71页例3，及“做一做”的第2题，及第71页练习十三的3-4题。

教学目标：1、知识与技能：在了解简单的“鸽巢原理”的基础上，使学生学会用此原理解决简单的实际问题。

2、过程与方法：经历探究“鸽巢原理”的学习过程，体验观察、猜测、实验、推理等活动的学习方法，渗透数形结合的思想。

3、情感、态度和价值观：通过用“鸽巢问题”解决简单的实际问题，激发学生的学习兴趣，使学生感受数学的魅力。

教学重难点：重点：引导学生把具体问题转化成“鸽巢问题”。

难点：找出“鸽巢问题”中的“鸽巢”是什么，“鸽巢”有几个，在利用“鸽巢原理”进行反向推理。

教学准备：课件。

教学过程：二．情境导入三、探究新知1、教学例3（课件出示例3的情境图）.出示思考的问题：盒子里有同样大小的红球和篮球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，少要摸出几个球？学生通过“猜测验证→分析推理”的学习过程解决问题。

（1）猜测验证。

①猜测1：只摸2个球只要举出一个反例就可以推翻这种猜测。

就能保证这2个球验证如：这两个球正好是一红一蓝时就不能同色。

满足条件。

②猜测2：摸出5个球，把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为肯定有2个球是同验证5÷2=2...1，所以摸出5个球时，至少有3色的。

个球是同色的，因此摸出5个球是没必要的。

③猜测1：摸出3个球，把红、蓝两种颜色看作两个“鸽巢”，因为至少有2个球是同验证3÷2=1...1，所以摸出3个球时，至少有3色的。

2个是同色的。

综上所述，摸出3个球，至少有2个球是同色的。

（2）分析推理。

根据“鸽巢原理（一）”推断：要保证有一个抽屉至少有2个球，分的无图个数失少要比抽屉数多1。

现在把“颜色种数”看作“抽屉数”，结论就变成了“要保证摸出2个同色的球，摸出的球的个数至少要比颜色种数多1”。