04椭圆的几何性质(1)
椭圆的简单几何性质(一)
椭圆的简单几何性质（一）【内容分析】1、本节教材的地位和作用本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，遵循学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
对于学生来说，是首次利用曲线方程研究曲线的性质，因此教学中教师要注意引导、点拨。
根据教学大纲的安排，本节内容分4个课时进行教学，本节内容的课时分配作如下设计：第一课时，椭圆的范围、对称性、顶点坐标、离心率、椭圆的画法；第二课时，椭圆的第二定义、椭圆的准线方程；第三课时，焦半径公式与椭圆的标准方程；第四课时，椭圆的参数方程及应用2、教学重点：椭圆的简单几何性质及其探究过程；3、教学难点：利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法．【教学目标】（1）知识和技能目标：通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质，掌握标准方程中的几何意义，并能正确作出图形。
（2）能力和方法目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力（3）情感和价值目标：通过数与形的辨证统一，对学生进行辩证唯物主义教育，通过对椭圆对称美的感受，激发学生对美好事物的追求。
【教学方法】借助多媒体辅助手段，创设问题情境，引导学生观察、分析、猜测、论证，组织讨论，合作交流，启发学生积极思维，不断探索后汇报研究成果，得到结论后总结，及时进行反馈应用和反思式总结。
【学法指导】本课是在学生学习了椭圆的定义、标准方程的基础上，根据方程研究曲线的性质。
按照学生的认知特点，改变了教材中原有安排顺序，引导学生从观察课前预习所作的图形入手，从分析对称开始，循序渐进进行探究。
对于学生来说，利用曲线方程研究曲线性质这是第一次，因此教学中教师要注意引导、点拨。
【教学过程】y 变B教学反思：1、将教学科研融入教学中，改变学生的学习方式研究体验式创新教学法是我校的一个科研课题。
本节课就是以这一理论为指导，借助多媒体手段创设问题情境，指导学生研究式学习和体验式学习（兴趣是前提）。
椭圆的简单几何性质(1)
学习新课
2．对称性 ．
x y ＞ ＞ ． + 2 = 1 (a＞b＞0)． 2 a b
2 2
在椭圆的标准方程里， 换成－ ， 在椭圆的标准方程里，把x换成－x，或 换成 换成－ 同时换成－ 、－ 、－y时 把y换成－y，或把 、y同时换成－x、－ 时， 换成 ，或把x、 同时换成 方程有变化吗？这说明什么？ 方程有变化吗？这说明什么？ y y 椭圆关于y轴 椭圆关于 轴、x轴、原点 轴都是对称的． 都是对称的． 坐标轴是椭圆的对称轴． 坐标轴是椭圆的对称轴． F1 O 原点是椭圆的对称中心． 原点是椭圆的对称中心． 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心． 椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
A1 y B2 b F1 O c F2 B1 A2 x
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝ ＝ ＝|B2F2|＝ ＝
方法小结：
由椭圆的范围、对称性和顶点， 由椭圆的范围、对称性和顶点， 范围 再进行描点画图， 再进行描点画图，只须描出较少的 点，就可以得到较正确的图形. 就可以得到较正确的图形 引申：焦点在 轴呢 轴呢? 引申：焦点在y轴呢
课外作业 1、课本 P42 A组 第5题 、 组 题 2、(选做 椭圆 5a + 4a2+1 =1的焦点 、 选做)椭圆 =1的焦点 选做 在x轴上，求它的离心率的取值范围. 轴上，求它的离心率的取值范围.
2 x 2 y
学习新课
3 变3 求长轴的长等于10，离心率等于 的椭圆的标准方程; 5
求经过点P(4,1)，且长轴长是短轴长的 变4 求经过点 ， 2倍的椭圆的标准方程 倍的椭圆的标准方程. 倍的椭圆的标准方程
在以F 为焦点的椭圆上 椭圆上， 变5 点M在以 1、F2为焦点的椭圆上，且 在以 |MF1|与 |MF2|的等差中项为 1F2|，求此椭圆 的等差中项为|F 与 的等差中项为 ， 的离心率. 的离心率
4、椭圆的性质(一)---基本概念
a ，椭圆就越 2）e 越接近 0，b就越接近于（？） （？） 圆
椭圆方程变为圆的方程
3）特例：e =0，则 a = b，则 c=0，两个焦点重合，
• 椭圆的简单几何性质（完成学案的表格） 焦点 的位 置 图形 标准 方程 范围 顶点
x2 y2 a2＋b2＝1(a＞b＞0)
－a≤x≤a，－b≤y≤b
{1}基本量：a、b、c、e、
请考虑：基本量之间、 基本点之间、基本线 之间以及它们相互之 间的关系（位置、数 量之间的关系）
{2}基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） {3}基本线：对称轴、准线（共四条线）
椭圆几何性质的探索
x y 1( a b 0) 2 2 a b
（1）椭圆的顶点 (0, b ) B2
A1 ( a , 0)
( c , 0)
o
y
2
2
上顶点
( c , 0)
F1
(0, b) B1
F2
(2 a , 0) A
x
（2）椭圆的长轴长，短轴长，焦距
(0, b ) B2
2 2
a=5 b=4
c=3
o
练习1. 已知椭圆方程为x2+4y2=16
它的长轴长是：
焦距是：
8
。短轴是：
.离心率等于：
4
3 2
。
。
4 3
焦点坐标是： (2 3, 0)
2) 。顶点坐是：(4, 0) (0, 。
x2 y2 其标准方程是 1 16 4
a4 b2
则c a b 2 3
椭圆的性质 （第一课时）
复习
2 2 2 c =a -b
F1
2
P
椭圆的简单几何性质1有答案
C.(0，±13)D.(0，± )
(2)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍，那么这个椭圆的离心率为()
A. B.
C. D.
【自主解答】(1)由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝ ＝ ，故焦点坐标为(0，± ).
(2)设长轴长为2a，短轴长为2b，由题意可知a＝2b，则c＝ ＝ ＝ b，所以离心率为e＝ ＝ ＝ .
B.(－6,0)，(6,0)
C.(－ ，0)，( ，0)
D.(0，－ )，(0, )
【解析】椭圆的标准方程为x2＋ ＝1，焦点在y轴上，其长轴的端点坐标为(0，± ).
【答案】D
(2)已知椭圆 ＋ ＝1的一个顶点为(0,5)，试求椭圆的长轴长，短轴长，焦点坐标，离心率及其余的顶点.
【解】∵(0,5)是椭圆 ＋ ＝1的顶点，
(2)焦点在y轴上，c＝6，e＝ ；
(3)短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3；
(4)离心率为 ，经过点(2,0).
【精彩点拨】本题考查椭圆方程的求法.根据题中所给条件，结合椭圆的几何性质定位(即确定焦点位置)、定量(即确定长轴和短轴的长)，若没有指明焦点位置，要分焦点在x轴上、y轴上进行讨论.
【答案】
5.求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，若其离心率为 ，焦距为8；
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为 .
【解】(1)由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝ ＝ ＝ ，∴a＝8，
从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是 ＋ ＝1.
【自主解答】(1)由a＝4，e＝ ＝ 知，c＝2，b2＝16－4＝12.
2020年高考数学(理)之解析几何高频考点04 椭圆及其性质附解析
解析几何04 椭圆及其性质一、具体目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．能处理与椭圆有关的问题.二、知识概述：1. 椭圆方程的第一定义：一个动点到两个定点的距离为一个常数（大于两定点之间的距离）则动点的轨迹就是椭圆.几何表示：()121222PF PF a a F F +=>.当()121222PF PF a a F F +=<无轨迹；当()121222=PF PF a a F F +=，以12,F F 为端点的线段.⑴①椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在x 轴上：()222210x y a b a b +=>>.中心在原点，焦点在轴上：()222210y x a b a b+=>>.②一般方程：()2210,0Ax By A B +=>>.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于02πθ<<）.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长. ③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：()01c e e a=<<.⑦焦点半径：i. 设为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，为左、右焦点，则 y 12222=+b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x θ),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2221,2b a c c F F -==c a x 2±=c a y 2±=),(00y x P 21,F F 【考点讲解】⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设为椭圆()222210x y a b b a+=>>上的一点，为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：()210000a PF e x a ex x c ⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭()220000a PF e x ex a x c ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率是，方程是大于0的参数，0a b >>的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.（6）椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A (－a,0)，A (a,0) A (0，－a )，A (0，a ) ),(00y x P 21,F F →)sin ,cos (θθb a N ),(2222a b c a b d -=),(2ab c )(22b a c a c e -==tt b y a x (2222=+ace =12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb a PF PF 221=+2cot 2θ⋅b ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF1.【2019年高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n nn +-⋅⋅⋅=，解得2n =． 22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得【真题分析】223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【答案】B2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质.因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y pp +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ． 【答案】D3.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质.椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．2 D ．3【解析】本题主要考查椭圆的方程及离心率.由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率2e ==，故选C ． 【答案】C5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F∠=︒，则C的离心率为（）A．312-B．23-C．312-D．31-【解析】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质.在12F PF△中，122190,60F PF PF F∠=∠=︒o，设2PF m=，则12122,c F F m PF===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m=+=，则212c cea a====，故选D．【答案】D6.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为3的直线上，12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为（）A．23B．12C．13D．14【解析】因为12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，所以212||2||PF F F c==，由AP的斜率为6可得2tan6PAF∠=，所以2sin PAF∠=，2cos PAF∠=，由正弦定理得2222sinsinPF PAFAF APF∠=∠，所以2225sin()3ca c PAF==+-∠，所以4a c=，14e=，故选D．【答案】D7.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A，B是椭圆C：2213x ym+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．(0,1][9,)+∞U B．[9,)+∞U C．(0,1][4,)+∞U D．[4,)+∞U【解析】本题考查的是以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题时要利用条件确定ba,的关系，要借助题设条件ο120=∠AMB 转化为360tan =≥οba，简化求解过程. 当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60a b ≥=o≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab≥=o≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 【答案】A8.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用.方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==9.【2019年高考全国Ⅲ卷】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【答案】(10.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【解析】本题主要考查利用椭圆的性质来求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题， （1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，① 222x y c +=，② 22221x y a b+=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥当4b =，a ≥存在满足条件的点P ．所以4b =，a的取值范围为)+∞． 【答案】（11；（2）4b =，a的取值范围为)+∞.11.【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =.所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-.代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t . 因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.12．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 【解析】主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识. （1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =2,b =1c =． 所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P py k x k -=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-．由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而5k =±．所以，直线PB的斜率为5或5-． 【答案】（1）22154x y +=；（2）230或230-． 13.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【解析】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题.（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =． 记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k-+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i ）得2||21PQ u k =+，221||uk k PG +=，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．1.【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23 D ．59【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==，故选B ． 【答案】B2.【2017年高考全国Ⅲ】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，【模拟考场】直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ． 【答案】A3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 【解析】 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.【答案】 A4.【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=， 所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值． 【答案】55.【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m ++===，所以2e =．1 26.【2016北京理】已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N . 求证：BM AN ⋅为定值.【分析】（I）根据离心率为2，即2=c a ，△OAB 的面积为1，即121=ab ，椭圆中222c b a +=列方程组进行求解；（II ）根据已知条件分别求出BM AN ,的值，求其乘积为定值.【解析】（I ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （II ）由（I ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N .所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.7.已知点M 是圆心为E的圆(2216x y ++=上的动点，点)F，线段MF 的垂直平分线交EM于点P .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）矩形ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切，设矩形ABCD 的面积为S ，求S 的取值范围.【分析】1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设AB 的方程为1y k x m =+， CD 的方程为1y k x m =-，直线AB 与CD 间的距离为1d =，直线BC 与AD 间的距离为2d =，S =S 的范围.【解析】（1)依题PM PF =，所以4PE PF PE PM ME +=+== (为定值)，EF =>所以点P 的轨迹是以,E F为焦点的椭圆，其中24,2a c ==所以P 点轨迹C 的方程是2214x y += (2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得8S =；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设AB 的方程为1y k x m =+， BC 的方程为2y k x n =+，则CD 的方程为1y k x m =-， AD 的方程为2y k x n =-，其中121k k ⋅=-，直线AB 与CD 间的距离为1d ==，同理直线BC 与AD 间的距离为2d ==()12*S d d =⋅=L2222211111{ 21044x y k x k mx m y k x m+=⎛⎫⇒+++-= ⎪⎝⎭=+，因为直线AB 与椭圆相切，所以221410k m ∆=+-=，所以2141m k =+，同理2241n k =+，所以 S ===44==212112k k +≥ (当且仅当11k =±时，不等式取等号），所以4S <≤810S <≤， 由①②可知， 810S ≤≤.【答案】(1) 2214x y +=;(2) 810S ≤≤.。
用椭圆的简单几何性质(1)
练习2：
x2 y2 1. 若点P（x，y）在椭圆 25 9 1
上，则点P（x，y）横坐标x的取值范围 上的点有 （1）P（-2，4） （2）P（-4，2） （3） P（-2，-4） （4）P（2，-4）
？
x2 y2 2.若点P（2，4）在椭圆 2 2 1(a b 0) 上，下列是椭圆 a b
已知椭圆方程为6x2+y2=6
2 。短轴是：_____
。
它的长轴长是：2 6
焦距是：
2 5
焦点坐标是： (0, 5 )
外切矩形的面积等于：
(0, 。顶点坐标是： 6) (1, 0) 。
30 .离心率等于：___________。 6
4 6
。
x2 y2 其标准方程是 1 1 6
a 6 b 1 则c a2 b2 5
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2=b2+c2 a
一、范围：
观察:椭圆
x2 y2 1, 2 1得： -a≤x≤a, 2 a b
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
x
二、椭圆的对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的 动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是： 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
x y 2 1(a b 0) 2 a 2 b 2 y x 2 1(a b 0) 2 a b
2.2.2椭圆的简单几何性质(1)
研一研· 问题探究、课堂更高效
2.2.2
问题 5 比较下列椭圆的形状， 哪一个更圆， 哪一个更扁？ 为什么？
2 2 x y 4x2＋9y2＝36 与 ＋ ＝1 25 20 2 2 x y 答案 将椭圆方程 4x2＋9y2＝36 化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1，
则 a2＝9，b2＝4，所以 a＝3，c＝ a2－b2＝ 5，故离心 5 x 2 y2 率 e＝ 3 ；椭圆25＋20＝1 中，a2＝25，b2＝20，则 a＝5， 5 2 2 c＝ a －b ＝ 5，故离心率 e＝ 5 .
解
x y 把椭圆的方程化为标准方程 9 ＋ 4 ＝1.
可知此椭圆的焦点在 x 轴上，且长半轴长 a＝3， 短半轴长 b＝2；又得半焦距 c＝ a2－b2＝ 9－4＝ 5 因此，椭圆的长轴长 2a＝6，短轴长 2b＝4；两个焦点 的坐标分别是(－ 5，0)，( 5，0)；四个顶点的坐标分 5 c 别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)；离心率 e＝a＝ 3 .
研一研· 问题探究、课堂更高效
b c 问题 4(1)a或b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？ c (2)你能运用三角函数的知识解释，为什么 e＝a越大，椭 c 圆越扁？e＝a越小，椭圆越圆吗？ a2－c2 b 2 答案 (1)都能．由a＝ 2 ＝ 1－e (0<e<1)可知， a
b 当 e 越趋近于 1 时，a越趋近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋 b 近于 0 时，a越趋近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a ＝b 时，c＝0，两焦点重合，图形变为圆。 c (2)如图，在 Rt△ BF2O 中，cos∠ BF2O＝ ， a c c 越大，∠BF2O 越小，椭圆越扁； 越小， a a
由于前一个椭圆的离心率较大， 因此前一个椭圆更扁， 后 一个椭圆更圆．
文档：椭圆的几何性质
椭圆的简单几何性质1、范围：-a≤x≤a,-b≤y≤b,即椭圆位于直线x=±a,y=±b 所围成的矩形里.2、对称性：椭圆关于x 轴、y 轴及原点都是对称的，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心.3、顶点：在椭圆的标准方程里，令x =0得y =±b ,所以得到：（0,b ）、（0,-b ）是椭圆与y 轴的两个交点，同理令y =0，得x =±a ，可得（a ,0）、(-a ,0)是椭圆与x 轴的两个交点.因为x 轴、y 轴是椭圆的对称轴，所以，椭圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫做椭圆的顶点，即椭圆与它的对称轴的交点叫做椭圆的顶点.线段A 1A 2、B 1B 2分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别是2a 和2b ,其中a 和b 分别叫椭圆的长半轴长和短半轴长.4、离心率：椭圆的焦距与长轴长的比aca c =22=e ,叫做椭圆的离心率.0＜e ＜1，e 越接近于1，则c 就越接近于a ,从而b =22c a -越小，椭圆就越扁，反之，e 越接近于0，则c 就越接近于0，从而b 就越接近于a ，椭圆就越接近于圆. 5、列表整理椭圆的简单几何性质曲线 椭圆定义平面内与两个定点F 1、F 2的距离的和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的轨迹标准方程)0(12222>>=+b a by a x )0(12222>>=+b a bx a y 图形顶点坐标 （±a ,0）(0,±b )(±b ,0),(0,±a )对称轴x 轴长轴长2a y 轴短轴长2bx 轴短轴长2b y 轴长轴长2a6、椭圆草图的画法①以椭圆的长轴长、短轴长为邻边画矩形.②由矩形的四边中点即可得椭圆的四个顶点.③用光滑曲线将四个顶点连成一个椭圆.在画图时应注意图形的对称性及顶点附近的平滑性。
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x
y o 1.掌握椭圆的简单几何性质；
2.感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法；
3.能运用椭圆的方程和几何性质处理一些简单的实际问题.
教学重点:掌握椭圆的简单几何性质. 感受运用方程研究曲线几何性质的思想方法
教学难点:椭圆离心率与椭圆关系
教学过程：
一、复习回顾
1．椭圆的定义：
2．椭圆的标准方程是：
3．椭圆中a ，b ，c 的关系是：
二、学生活动
1．画椭圆22
12516
x y +=的图形由图像观察它的性质。
2．思考：
（1）函数的性质是从哪些角度研究的？
（2）椭圆的图形从哪些角度可观察它的几何性质？如何证明？
三、建构数学 椭圆22
221x y a b
+=简单的几何性质： （1）范围：
原因
（2）对称性：
从图形上看
从方程上看
（3）顶点
a 、
b 的几何意义
（4）离心率
椭圆离心率与椭圆关系
四、数学应用
例1、已知椭圆方程为22
925225x y += 它的长轴长等于： 。
短轴长等于： __。
焦距是： 。
离心率等于： 。
焦点坐标是： 。
顶点坐标是： 。
外切矩形的面积等于： 。
例2、过适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）中心在原点,焦点在x 轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到右顶点的距离为1.
（2）长轴长等于10,离心率是0.6．
(3)已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的3倍，且椭圆经过点P（3，0），
求椭圆的方程。
例3、如图8－8，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的椭圆．已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km，远地点B(离地面最远的点)距地面2384km，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径约为6371km．求卫星运行的轨道方程(精确到1km)．
五、课堂练习
1、对于椭圆C1：9x2+y2=36与椭圆C2：
22
2
1612
x y
+=，更接近圆的是：_______。
2、椭圆
22
1
89
x y
a
+=
+
的离心率
1
2
e=，则a=_________。
3、教材第32页练习3，4，5题；
4、教材32页习题2.2（2）第3题
六、课堂总结
两种标准方程的椭圆性质的比较。