§2.2.2_椭圆的简单几何性质(2)
高中数学 椭圆的简单几何性质教案(2) 新人教A版选修2-1
§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)●教学目标１．熟悉椭圆的几何性质；２．利用椭圆几何性质求椭圆标准方程； ３．了解椭圆在科学研究中的应用． ●教学重点：椭圆的几何性质应用 ●教学过程：Ⅰ、复习回顾：利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质． Ⅱ、讲授新课：例6．点 ),(y x M 与定点 )0,4(F 的距离和它到定直线 425:=x l 的距离的比是常数54，求点的轨迹．解：设 是点 直线 的距离，根据题意，如图所求轨迹就是集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==54d MF M P 由此得54425)4(22=-+-x y x ．将上式两边平方，并化简得 22525922=+y x即192522=+y x所以，点M 的轨迹是长轴、短轴分别是10、6的椭圆说明：椭圆的一个重要性质：椭圆上任意一点与焦点的距离和它到定直线的距离的比是常数（e 为椭圆的离心率）。
其中定直线叫做椭圆的准线。
对于椭圆 ，相应于焦点 的准线方程是 ．根据椭圆的对称性，相应于焦点 的准线方程是，所以椭圆有两条准线．可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义．【典例剖析】 ［例1］已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的焦点坐标是F 1(－c ，0)和F 2(c ，0)，P (x 0，y 0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF 1｜＝a ＋ex 0，｜PF 2｜＝a －ex 0，其中e 是椭圆的离心率．［例2］已知点A (1，2)在椭圆121622y x +＝1内，F 的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．［例3］在椭圆92522y x +＝1上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍． Ⅲ、课堂练习： 课本Ｐ52，练习 ５ 再练习：已知椭圆上一点 到其左、右焦点距离的比为1：3，求 点到两条准线的距离．（答案： 到左准线的距离为 ，到右准线的距离为．）思考： 已知椭圆 内有一点 ，是椭圆的右焦点，在椭圆上有一点 ，使的值最小，求的坐标．（如图）分析：若设，求出 ，再计算最小值是很繁的．由于 是椭圆上一点到焦点的距离，由此联想到椭圆的第二定义，它与到相应准线的距离有关．故有如下解法． 解：设在右准线 上的射影为．由椭圆方程可知，，．根据椭圆的第二定义，有 即．∴．显然，当 、、 三点共线时，有最小值．过 作准线的垂线．由方程组 解得 ．即 的坐标为．【随堂训练】1．椭圆2222ay b x +＝1(a ＞b ＞0)的准线方程是( )A ．y ＝±222b a a + Ｂ．y ＝±222b a a -Ｃ．y ＝±222ba b - Ｄ．x ＝±222ba a -2．椭圆4922y x +＝1的焦点到准线的距离是( )A ．554和559 B ．559和5514 C ．554和5514 D ．5514 3．已知椭圆2222by a x +＝1(a >b >0)的两准线间的距离为3316，离心率为23，则椭圆方程为( ) A ．3422y x +＝1 B ．31622y x +＝1 C ．121622y x +＝1 D ．41622y x +＝14．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e ＝0．8，焦点与相应准线的距离等于49的椭圆的方程是( )A ．92522y x +＝1或92522x y +＝1B ．92522y x +＝1或162522y x +＝1C ．162x ＋92y ＝1 D ．162522x y +＝15．已知椭圆2222by a x +＝1(a >b >0)的左焦点到右准线的距离为337，中心到准线的距离为334，则椭圆的方程为( ) A ．42x ＋y 2＝1 B ．22x ＋y 2＝1C ．42x ＋22y ＝1D ．82x ＋42y ＝16．椭圆22)2()2(-+-y x ＝25843++y x 的离心率为( )A ．251 B ．51 C ．101 D ．无法确定【强化训练】1．椭圆2222by a x +＝1和2222by a x +＝k (k ＞0)具有( )A ．相同的离心率B ．相同的焦点C ．相同的顶点D ．相同的长、短轴2．椭圆92522y x +＝1上点P 到右焦点的最值为( )A ．最大值为5，最小值为4B ．最大值为10，最小值为8C ．最大值为10，最小值为6D ．最大值为9，最小值为13．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是( )A ．51 B ．43 C ．33 D ．214．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为( )A ．41 B ．22 C ．42 D ．215．椭圆m y m x 21322++＝1的准线平行于x 轴，则m 的取值范围是( )A ．m ＞0B ．0＜m ＜1C ．m ＞1D ．m ＞0且m ≠16．椭圆92522y x +＝1上的点P 到左准线的距离是2．5，则P 到右焦点的距离是________．7．椭圆103334)1()1(22--=-++y x y x 的长轴长是______．8．AB是过椭圆4522y x +＝1的一个焦点F 的弦，若AB 的倾斜角为3π，求弦AB 的长．9．已知椭圆的一个焦点是F (1，1)，与它相对应的准线是x ＋y －4＝0，离心率为22，求椭圆的方程．10．已知点P在椭圆2222bx a y +＝1上(a ＞b ＞0)，F 1、F 2为椭圆的两个焦点，求|PF 1|·|PF 2|的取值范围．【学后反思】椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应．．准线的距离的比也是离心率，这也是离心率的一个几何性质．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，它也沟通了椭圆上的点的焦半径｜PF｜与到相应准线距离d之间的关系．左焦半径公式是|PF1|＝a＋ex0，右焦半径公式是|PF2|＝a－ex0．焦半径公式除计算有关距离问题外还证明了椭圆上离焦点距离最远(近)点实a2，但必须注意这是椭圆的为长轴端点．椭圆的准线方程为x＝±c中心在原点，焦点在x轴上时的结论．。
2.2.2椭圆的简单几何性质2(第二定义)
复习练习：
1.椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆 的标准方程为（ C ） 2 2 2 2 x y x y A. 1. B. 1. 9 16 25 16 2 2 2 2 2 2 x y x y x y C. 1或 1. D. 1 25 16 16 25 16 25
M
F (c,0) 0
F (c,0)
a xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c
2
a2 x c
x y 对于椭圆 2 2 1(a b 0) a b 相应于焦点 F (c,0) 的准线 x a2 方程是 x c
由椭圆的对称性，相应于焦点
a2 F (c,0) 的准线方程是 x c
三.知识迁移，深化认识
a2 x c
这是椭圆的标准方程，所以P点的轨迹是长轴长为2a, 短轴长为 2b 的椭圆.
二.问题探究，构建新知
概念分析
由此可知,当点M与一个定点的距离和它到一条定直 c F -c ,, 0 ) 2 线的距离的比是一个常数 时 这个点的 e (0 M e 1 ) ( 能不能说 到 a a 的距离与到直线 x 轨迹是椭圆,这就是椭圆的第二定义，定点是椭圆的 c 的距离比也是离 焦点,定直线叫做椭圆的准线 心率,, e常数 呢? e是椭圆的离心率. y 2 2
二.课题引入 已知动点P到定点(4,0)的距离与到定直线
4 25 的距离之比等于 ,求动点P的轨迹. x 5 4
问1:椭圆的焦点坐标和离心率分别是什么？ 问2:将上述问题一般化,你能得出什么猜想？ 若动点P(x,y)和定点F(c,0)的距离与它 c a2 到定直线l:x 的距离的比是常数 e a c (0<c<a),则动点P的轨迹是椭圆.
20-21版：2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)（创新设计）
2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)内容要求 1.巩固椭圆的简单几何性质.2.能利用弦长公式解决相关问题.知识点1 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1； 点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1. 【预习评价】已知点P (m ，1)在椭圆x 24＋y 23＝1的外部，则实数m 的取值范围是________. 解析 由题意可知m 24＋13＞1， 解得m ＞263或m ＜－263.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－263∪⎝ ⎛⎭⎪⎫263，＋∞ 知识点2 弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2， 所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2 ＝1＋k 2（x 1－x 2）2＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2＝ 1＋1k 2（y 1－y 2）2 ＝1＋1k 2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2.其中x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得. 【预习评价】若直线y ＝x ＋1和椭圆x 24＋y 2＝1交于A ，B 两点，则线段AB 的长为________. 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋1得5x 2＋8x ＋2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1x 2＝25，x 1＋x 2＝－85，所以|AB |＝1＋12·（－85）2－4×25＝45 3. 答案 45 3题型一 直线与椭圆的相交问题【例1】 (2019·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为55. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上，若|ON |＝|OF |(O 为原点)，且OP ⊥MN ，求直线PB 的斜率.解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意，2b ＝4，c a ＝55，又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝5，b ＝2，c ＝1.所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.(2)由题意，设P (x P ，y P )(x P ≠0)，M (x M ，0)， 直线PB 的斜率为k (k ≠0)，又B (0，2)，则直线PB 的方程为y ＝kx ＋2， 与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 25＋y 24＝1，整理得(4＋5k 2)x 2＋20kx ＝0， 可得x P ＝－20k 4＋5k 2， 代入y ＝kx ＋2得y P ＝8－10k 24＋5k 2，进而直线OP 的斜率为y P x P ＝4－5k 2－10k .在y ＝kx ＋2中，令y ＝0，得x M ＝－2k .由题意得N (0，－1)，所以直线MN 的斜率为－k2. 由OP ⊥MN ，得4－5k 2－10k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＝－1，化简得k 2＝245， 从而k ＝±2305(满足Δ＝(20k )2－4(4＋5k 2)>0). 所以直线PB 的斜率为2305或－2305.规律方法 解决直线与椭圆的相交问题，关键是找到图形的几何特征(例如中点、垂直、等腰等)，再将几何特征用代数运算的方式加以利用，进行代数运算时要注意消元，达到减少量化简运算式的目的，这两方面是解析几何的本质特征. 【训练1】 (2019·北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为(1，0)，且经过点A (0，1). (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为原点，直线l ：y ＝kx ＋t (t ≠±1)与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .若|OM |·|ON |＝2，求证：直线l 经过定点.(1)解 由题意，得b 2＝1，c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则直线AP 的方程为y ＝y 1－1x 1x ＋1.令y ＝0，得点M 的横坐标x M ＝－x 1y 1－1. 又y 1＝kx 1＋t ，从而|OM |＝|x M |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1.同理，|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，则x 1＋x 2＝－4kt 1＋2k 2，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2.所以|OM |·|ON |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1kx 1＋t －1·⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2kx 2＋t －1 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1x 2k 2x 1x 2＋k （t －1）（x 1＋x 2）＋（t －1）2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 2－21＋2k 2k 2·2t 2－21＋2k 2＋k （t －1）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4kt 1＋2k 2＋（t －1）2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t . 又|OM |·|ON |＝2，所以2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋t 1－t ＝2. 解得t ＝0，所以直线l 经过定点(0，0). 题型二 中点弦问题【例2】 在椭圆x 2＋4y 2＝16中，求通过点M (2，1)且被这一点平分的弦所在的直线方程.解 方法一 如果弦所在的直线的斜率不存在，即直线垂直于x 轴， 则点M (2，1)显然不可能为这条弦的中点.故可设弦所在的直线方程为y ＝k (x －2)＋1， 代入椭圆方程得x 2＋4[k (x －2)＋1]2＝16， 即得(1＋4k 2)x 2－(16k 2－8k )x ＋16k 2－16k －12＝0， ∵直线与椭圆有两个交点，故Δ＝16(12k 2＋4k ＋3)>0， 又x 1＋x 2＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，满足Δ>0. ∴直线方程为x ＋2y －4＝0.方法二 设弦的两个端点分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， ∵P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在椭圆上，故有x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∵点M (2，1)是PQ 的中点，故x 1≠x 2，两边同除以(x 1－x 2)得(x 1＋x 2)＋4(y 1＋y 2)y 1－y 2x 1－x 2＝0，即4＋8k ＝0，∴k ＝－12.∴弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －2)， 即x ＋2y －4＝0.规律方法 研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决.涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系. 【训练2】 已知点P (4，2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，求直线l 的方程.解 由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0.所以x 1＋x 2＝8k （4k －2）4k 2＋1＝8，所以k ＝－12(满足方程中的Δ＞0). 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.题型三 椭圆中的综合性问题【例3】 已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|F A →|＋|FB→|.证明 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m . 由题设得0<m <32，故k <－12. (2)由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0).由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34， 从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32.于是|F A →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22.所以|F A →|＋|FB→|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB→|. 规律方法 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件.【训练3】 如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0，1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围. 解 ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP→＝9， ∴|AB →||AP →|cos 45°＝2|AP →|2cos 45°＝9， ∴|AP→|＝3. (1)∵P (0，1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2，即b ＝2，且B (3，1). ∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)， ∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得 9a 2＋t 2（3－t ）2＝1，解得a 2＝3（3－t ）23－2t .∵a 2>b 2>0，∴3（3－t ）23－2t >(3－t )2>0.∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32.课堂达标1.已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13B.33C.22D.12解析 将方程化为标准方程x 2m 2＋y 2m 3＝1，因为m >0，所以a 2＝m 2，b 2＝m3， 所以c 2＝a 2－b 2＝m 2－m 3＝m6， 所以e ＝ca ＝m 6m 2＝13＝33.答案 B2.已知椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，弦AB 过F 1，若△ABF 2的内切圆周长为π，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|y 1－y 2|的值为( ) A.53B.103C.203D.53解析 易知△ABF 2的内切圆的半径r ＝12，根据椭圆的性质结合△ABF 2的特点，可得△ABF 2的面积S ＝12lr ＝12×2c ×|y 1－y 2|，其中l 为△ABF 2的周长，且l ＝4a ，代入数据解得|y 1－y 2|＝53. 答案 A3.已知椭圆x 2＋4y 2＝36的弦被A (4，2)平分，则此弦所在的直线方程为( ) A.x －2y ＝0B.x ＋2y －4＝0C.2x ＋3y －14＝0D.x ＋2y －8＝0解析 设以A (4，2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵A (4，2)为EF 中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，把E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)分别代入椭圆x 2＋4y 2＝36中，得⎩⎨⎧x 21＋4y 21＝36， ①x 22＋4y 22＝36， ②则①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， ∴8(x 1－x 2)＋16(y 1－y 2)＝0， ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12，∴以A (4，2)为中点的椭圆的弦所在的直线的方程为y －2＝－12(x －4)， 整理得x ＋2y －8＝0. 答案 D4.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________. 解析 设M (x ，y )，∵MF 1→·MF 2→＝0，∴点M 的轨迹方程是x 2＋y 2＝c 2，点M 的轨迹是以原点为圆心的圆，其中F 1F 2为圆的直径.由题意知椭圆上的点P 总在圆外，所以|OP |>c 恒成立， 由椭圆性质知|OP |≥b ， ∴b >c ，∴a 2>2c 2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2<12，∴0<e <22. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫0，225.(2019·全国Ⅲ卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________.解析 不妨设F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，分析可知M 在以F 1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x ＋4)2＋y 2＝64上. 因为点M 在椭圆x 236＋y 220＝1上，所以联立方程可得⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋4）2＋y 2＝64，x 236＋y220＝1，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝±15. 又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为(3，15). 答案 (3，15)课堂小结解决直线与椭圆的综合问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)； (2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程； (4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.。
2.2.2椭圆的几何性质
故椭圆的离心率 e=13,故选 A.
三、题型一：求离心率的值
分析：
四、题型二：求离心率的范围
能否得到a,b,c 的齐次不等关 系？
几何法一：临界化原则
几何法二：特殊化原则
代数方法——横坐标的取值
设P(x0, y0 ), 则F1(c,0), F (c,0)
PF1 PF2 0 x02 y02 c2 0
=
32������-������ 2������
=
12,解
得������
������
=
34,故离心率
e=34.
三、题型一：求离心率的值
【答案】 A 由题意,不妨设直线 l 的方程为 y=k(x+a),k>0,分别令
x=-c 与 x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.
设 OE 的中点为 G,
由△OBG∽△FBM,得12|���|���������������������|| = ||������������������������||,
即 ������������
2������(������-������)
=
������+������ ������,整理,得������������
=
13,
从代数方法转化为横坐标的范围.
五、课堂练习
C C
六、课堂小结
七、作业
完成学案课后作业
|F1F2|=2c e=ac∈(0,1) c2=a2-b2
e越大，椭圆越扁
二、学习自测
二、学习自测
二、学习自测
【答案】 C 设直线 x=32������与 x 轴交于点 M,则∠PF2M=60°,在
Rt△PF2M
2.2.2椭圆的简单几何性质2
。
2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角 、 1 形，则其离心率为 2 。 3、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其 、 的两个焦点把长轴分成三等分， 1 离心率为 3 。
4、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列， 、若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，
3 则其离心率e=__________ 则其离心率 5
如图,我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道,是以地 例1 如图 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道 是以地 地球的中心)F 已知它的近地点A(离 心(地球的中心 2为一个焦点的椭圆 已知它的近地点 离 地球的中心 为一个焦点的椭圆,已知它的近地点 地面最近的点)距地面 距地面439km,远地点 距地面 远地点B距地面 地面最近的点 距地面 远地点 距地面2384km.并且 并且 F2、A、B在同一直线上，地球半径约为 在同一直线上， 、 在同一直线上 地球半径约为6371km,求卫星运 求卫星运 行的轨道方程（精确到1km). 行的轨道方程（精确到
( x − c)2 + y2 a2 −x c
c = . a
将上式两边平方，并化 ，得 将上式两边平方， 简
a （ 2 − c2 )x2 + a2 y2 = a2(a2 − c2 ). a 设 2 − c2 = b2 ,则方程可化成 x2 y2 + 2 = 1(a > b > 0). 2 a b
这是椭圆的标准方程， 所以点 的轨迹是长轴、短轴长 M 的轨迹是长轴、 这是椭圆的标准方程，
x y + 2 =1 2 a b
(a > b > 0),
F1 B D
Y
2.2.2 椭圆的简单几何性质 2
2
20 ，离心率是
3 5
，
a 10 3 5 c
2
c a
2
c 6 10
2
a
6
2
8
2
2 2
b 8
当焦点在 x 轴时，椭圆的标准方程是
x
y
1
当焦点在 y 轴时，椭圆的标准方程是
100 2 y
64 2 x
1
100
64
焦点坐标
半轴长 离心率
a, b, c 的关系
( c , 0 )、( c , 0 )
长半轴长为 短半轴长为
e c a
( 0 , c )、( 0 , c )
同左 同左 同左
a, b, (a b 0)
( 0 e 1)
a2=b2+c2
练习6.已知椭圆方程为 6 x y 6 则
y b
2 2
1( a b 0 )
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 如何从方程来分析这些对称性呢？ （1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称； （2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 椭圆 关于原点成中心对称。
P 2 ( x, y)
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。 这四个顶点的坐标是什么？
A1 ( a , 0 )、A B 1 ( 0 , b )、B
2 2
y
B2
A1
b
a
A2
( a ,0 ) (0, b )
o
B1
c
x
*长轴、短轴：线段A1A2、
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
>0 =0 <0
解：联立方程组 x ⋅ x = − 1 1 1 2 5 y = x − 消去 消去y 2 2 5x − 4x −1 = 0 ----- (1) x2+4y2=2 有两个根， 因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根， ，所以方程（ 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交. 则原方程组有两组解 所以该直线与椭圆相交
42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.
d=
4 x0 − 5 y0 + 40
=
4 x0 − 5 y0 + 40 41
且
x0 2 25
+
y0 2 9
=1
几何画板显示图形 几何画板显示图形
x2 y2 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l，则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x − 5 y + k = 0
1 已知直线y=x- 与椭圆 2+4y2=2，判断它们4 与椭圆x 例2.已知直线 已知直线 ， x1 + x2 = 2 5 由韦达定理 的位置关系。 的位置关系。
1 1 7 变式1：交点坐标是什么？ 变式 ：交点坐标是什么？ A(1, ), B(− , − ) 2 5 10 6 变式2：相交所得的弦的弦长是多少？ 变式 ：相交所得的弦的弦长是多少？ | AB |= 5 5
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y
,演 操作打开的几何画板 . 示椭圆镜面工作原理
B E
O
反射镜面
解 建立图 . −
所示
A
F1
的直角坐标系, 设所求椭 x y 圆方程为 + = . a b 在Rt∆BF F 中,
C
F2
x
D
透明窗
图 . −
| F B |= | F B | + | F F | =
.
+ . .
由椭圆的性质知, | F B | + | F B |= a, 所以
1+ k | x1 − x2 | , 其中 k 是直线的斜率 2 2 = 1 + k （x1 + x2 ) − 4 x1 x2
2
课后作业： 《金榜》素能综合检测（ ） 课后作业：1.《金榜》素能综合检测（13） 2.抓紧时间进行中段考复习！！ 抓紧时间进行中段考复习！！ 抓紧时间进行中段考复习
y
B 例 如图 . − ,一种 反射镜面 E 电影放映灯泡的反射镜 O F ( 是旋转椭圆面椭圆绕 A F x D 其对称轴旋转一周形成 透明窗 C ) .过对 的曲面的一部分 BAC是椭圆的一部分灯丝位于椭圆 , 称轴的截口 , F . 一个焦点F 上片门位于另一个焦点 上由椭圆 , 一个焦点F 发出的光线经过旋转椭圆面反射后 F 已知BC ⊥ F F ,| F B |= . 集中到另一个焦点 . cm,| F F |= . cm, ,求截口 BAC所在的椭圆方程 .
>0 =0 <0
解：联立方程组 x ⋅ x = − 1 1 1 2 5 y = x − 消去 消去y 2 2 5x − 4x −1 = 0 ----- (1) x2+4y2=2 有两个根， 因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根， ，所以方程（ 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交. 则原方程组有两组解 所以该直线与椭圆相交
例1、 已知椭圆 2+9y2=45，椭圆的右焦点为 ， 、 已知椭圆5x ，椭圆的右焦点为F， (1)求过点 且斜率为 的直线被椭圆截得的弦长 求过点F且斜率为 的直线被椭圆截得的弦长. 求过点 且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长 (2)判断点 判断点A(1,1)与椭圆的位置关系 并求以 为中点 与椭圆的位置关系,并求以 判断点 与椭圆的位置关系 并求以A为中点 椭圆的弦所在的直线方程. 椭圆的弦所在的直线方程
M
d
H
F
l
x
d
. −
直接法： 直接法：
由此得
(x − )
+y
= .
建→设→限→代→化 设 限 代 化
−x
将上式两边平方, 并化简, 得 9 x 2 + 25 y 2 = 225, x2 y2 即 + = 1. 25 9 6 所以 , 点 M 的轨迹是长轴、短轴长分别为 10、 的椭圆
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？ 问题 ：直线与圆的位置关系有哪几种？
X
§2.2.2 椭圆的简单几何性质 2.2 （2）
1 例 .点M( x, y) 与定点F ( 4, 0) 的距离和它到直线
y
25 4 l : x = 的距离的比是常数 ,求点M的轨迹. 4 5 O 25 解.设d 是点M 到直线l : x = 的距离, 根据题意, 4 | MF | 图 点 M的 轨 迹 就 是 集 合 P = M | = .
| 弦长公式： 弦长公式：AB |= 1+ k x1 − x2 = 1+ k （x1 + x2 ) − 4x1x2 k表示弦的斜率，x1、x2表示弦的端点坐标 表示弦的斜率， 表示弦的斜率
2
2 2
x2 y2 1、y=kx+1与椭圆 + =1恰有公共点，则m的范围 恰有公共点， 、 与椭圆 的范围 5 m （ ）
42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.
d=
4 x0 − 5 y0 + 40
=
4 x0 − 5 y0 + 40 41
且
x0 2 25
+
y0 2 9
=1
几何画板显示图形 几何画板显示图形
x2 y2 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l，则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x − 5 y + k = 0
1 已知直线y=x- 与椭圆 2+4y2=2，判断它们4 与椭圆x 例2.已知直线 已知直线 ， x1 + x2 = 2 5 由韦达定理 的位置关系。 的位置关系。
1 1 7 变式1：交点坐标是什么？ 变式 ：交点坐标是什么？ A(1, ), B(− , − ) 2 5 10 6 变式2：相交所得的弦的弦长是多少？ 变式 ：相交所得的弦的弦长是多少？ | AB |= 5 5
练习
x2 + y2 =1 被过右焦点且垂直于 轴 1、求椭圆 被过右焦点且垂直于x轴 、 4
的直线所截得的弦长。 的直线所截得的弦长。
通径
2 2 b a
2、中心在原点，一个焦点为F（0， 50）的椭圆被 、中心在原点，一个焦点为 （ ， 所截得弦的中点横坐标是1/2， 直线 y=3x-2所截得弦的中点横坐标是 ，求椭圆 所截得弦的中点横坐标是 方程。 方程。
41 65 15 41. 思考：最大距离为多少？ 所 以最 小 距 离 是 41 思考：最大距离为多少？ 41 41
42 + 52
１、判断直线与椭圆位置关系的方法：(代数法) 判断直线与椭圆位置关系的方法： 代数法) 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 相交 弦长公式： ２、弦长公式： 与椭圆C 设直线 l与椭圆 相交于 x1 ，y1) ，B( x2，y2 )， 与椭圆 相交于A( ， 则 |AB|＝ ＝
x y =1 + =1 16 25
2
2
练习巩固: 练习巩固: 巩固
x2 y2 1.过椭圆 引一条弦, 1.过椭圆 + = 1 内一点 M (2,1) 引一条弦, 使弦被点 M 16 4 平分,求这条弦所在的直线方程. 平分,求这条弦所在的直线方程. x + 2 y − 4 = 0 x2 y2 2.椭圆 2. 椭圆 + = 1 上的点到直线 x + 2 y − 2 = 0 最大距离 16 4 是________. 3.已知椭圆的焦点 3.已知椭圆的焦点 F1 ( −3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x − y + 9 = 0 有 2 2 公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______. 公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为______.
归纳：这类问题的两种解决方法 归纳： （1）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解； ）联立方程组，解出直线与圆锥曲线的交点，再利用两点距离公式来求解； （2）联立方程组，运用“设而不求”解法技巧，结合韦达定理完成求解。 ）联立方程组，运用“设而不求”解法技巧，结合韦达定理完成求解。
x y 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
2
2
分析: 是椭圆上任一点, 分析:设 P ( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 的距离的表达式. 试求点 P 到直线 4 x − 5 y + 40 = 0 的距离的表达式.
C
A、（ ，1） 、（0， ） 、（ C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） 、 ， ） ，
B、（ ，5 ） 、（0， 、（ D、（ ，+ ∞ ） 、（1， 、（
2、过椭圆 x2+2y2=2 的左焦点作倾斜角为 0的直线， 、 的左焦点作倾斜角为60 的直线，
8 2 直线与椭圆交于A,B两点，则弦长 两点， 直线与椭圆交于 两点 则弦长|AB|= _______. 7
怎么判断它们之间的位置关系？ 怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： 几何法： d>r 代数法： 代数法：∆<0
d=r ∆=0
d<r ∆>0
问题2：椭圆与直线的位置关系？ 问题 ：椭圆与直线的位置关系？
问题3：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？ 问题 ：怎么判断它们之间的位置关系？能用几何法吗？ 不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。 不能！ 因为他们不像圆一样有统一的半径。 求解直线与二次曲线有关问题的通法 所以只能用代数法 ---求解直线与二次曲线有关问题的通法
10
x y + =1 45 36
x2 y2 例4、过点 、过点A(5,5)与椭圆 与椭圆 + = 1 只有一个公共点的直 25 16
线有（ 线有（ ） A.0条 条
A的坐标变为 (0,2)，结果如何？ 的坐标变为 ，结果如何？ B.1条 条 C.2条 条 D.3条 条
注：解析几何是数形结合的产物，而数形结合是解几问 解析几何是数形结合的产物， 题的一个重要方法与工具。 题的一个重要方法与工具。 变式：过点 变式：过点(0,2)与抛物线 y2 = 8x 只有一个公共点的 与抛物线 直线有（ 直线有（ C ） (A)1条 条 (C)3条 条 (B)2条 条 (D)无数多条 无数多条