椭圆的简单几何性质二
3.1.2椭圆的简单几何性质(第二课时)(教学课件(人教版))
其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之 和与两根之积后代入公式可求得弦长． 提醒：如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．
四.直线与椭圆的位置关系
（二）弦长及弦的中点问题
例 3（1）已知直线 y＝x＋1 与椭圆x2＋y2＝1 相交于 A、B 两点，求弦 AB 的长． 4
＝1＋4m＋ n ＋4＝5＋4m＋n ≥5＋2 4m·n ＝9，
nm
nm
nm
四.直线与椭圆的位置关系
（一）直线与椭圆位置关系及判定
跟踪训练（2）已知椭圆的方程为 x2＋2y2＝2.①判断直线 y＝x＋ 3与椭圆的位置关系； ②判断直线 y＝x＋2 与椭圆的位置关系；③在椭圆上找一点 P，使 P 到直线 y＝x＋2 的距离 最小，并求出这个最小距离．
两式相减，得 3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
∵x1≠x2，x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，∴34xy00＝－yx11－ －yx22＝－kPQ.
∵kPQ＝－14，∴y0＝3x0.代入直线
y＝4x＋1，得 2
x 0＝－12， y0＝－32
则直线 PQ 的方程为 y＋3＝－1(x＋1)即 2x＋8y＋13＝0. 2 42
|
2a,所以
a
1 2
(|
F1B
|
|
F2 B
|)
4.1,
b a2 c2 3.4.
所以，所求的椭圆方程为
x2 4.12
y2 3.42
1.
二.和椭圆有关的实际问题
跟踪练习1(多选)嫦娥四号探测器，简称“四号星”，是世界首个在月球背面软着陆和巡查 探测的航天器.202X年9月25日，中国科研人员利用嫦娥四号数据精确定位了嫦娥四号的 着陆位置，并再现了嫦娥四号的落月过程，该成果由国际科学期刊《自然·通讯》在线发 表.如图所示，现假设“四号星”沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入 以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距， 用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，则下列式子正确的是
椭圆的简单几何性质(第2课时)高中数学获奖教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)一、教学目标1.掌握椭圆的第二定义；2.能够自主探究椭圆的简单几何性质.二、教学重难点1.推导椭圆的第二定义和焦半径公式；2.研究椭圆几何性质的思路与方法.三、教学过程1.复习巩固活动：完成下表【活动预设】由学生完成上表【设计意图】带领学生复习上节课学习的椭圆的简单几何性质. 2.课堂探究 2.1 探究1活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点，O 为坐标原点.探究：当P 在何位置时，|OP|最小？P 又在何位置时，|OP|最大？【活动预设】由学生自主完成问题1：如果椭圆方程变为一般方程：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，结论又会如何呢？ 【预设的答案】当P 在短轴顶点时，|OP|min =b ；当P 在长轴顶点时，|OP|max =a . 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想 2.2 探究2活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【活动预设】由学生自主完成问题2：上述|PF 1|=12|x 0+8|，|x 0+8|有什么几何意义？【预设的答案】代表P(x 0,y 0)到直线x =−8的距离 【设计意图】渗透数形结合的思想问题3：也就是说|PF 1|=12|PM|，椭圆上任意一点P(x 0,y 0)，它到左焦点的距离和它到直线x =−8的距离之比为常数12，那么对于一般的椭圆是否有类似的性质呢？我们考虑下面的一般情况：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【预设的答案】设P(x 0,y 0)，则PF 12=(x 0+c)2+y 02 因为y 02=b 2(1−x 02a 2) 所以PF 12=(x 0+c)2+b 2(1−x 02a 2)=(a 2−b 2)x 02a2+2cx 0+b 2+c 2=c 2a 2 x 02+2cx 0+a 2=c 2a 2(x 0+a 2c )2即|PF 1|=ca |x 0+a 2c |设直线l 1:x =−a 2c ，P 到直线l 1的距离为PM ，则|PF 1|=ca |PM|，|PF 1||PM|=ca =e 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想. 2.3 概念形成椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，P(x 0,y 0)为椭圆E 上一动点.左准线l 1:x =−a 2c ，右准线l 2:x =a 2c 椭圆第二定义：P 到左焦点的距离|PF 1|与它到左准线l 1:x =−a 2c 的距离|PM 1|的比为离心率e ，即|PF 1||PM 1|=e =ca ； P 到右焦点的距离|PF 2|与它到右准线l 2:x =a 2c 的距离|PM 2|的比为离心率e ，即|PF 2||PM 2|=e =ca .焦半径公式：|PF 1|=c a (a 2c +x 0)= a +ex 0，|PF 2|=c a (a 2c −x 0)= a−ex 0|PF 1|min =a−c ， |PF 1|max =a +c .3.课堂巩固例：动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M 到定直线l:x =254的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹.(x−4)2+y 2|x−254|=45所以25[(x−4)2+y 2]=16(x−254)2化简得：9x 2+25y 2=225 所以x 225+y 29=1【设计意图】引出椭圆第二定义拓展：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是一个常数，动点M 的轨迹是否也是椭圆呢？【设计意图】留给学生课后自主研究 4.课后探究探究1：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大？P 又在何位置时，∠F 1PF 2最小？探究2：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1、A 2分别为椭圆E 的左、右顶点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠A 1PA 2最大？P 又在何位置时，∠A 1PA 2最小？【设计意图】鼓励学生利用课余时间自主探究 5.课堂小结思考：这节课我们主要学习了什么内容？体现了哪些数学思想方法？【设计意图】梳理本节课所学内容，总结数学思想方法.。
3.1.2 椭圆的简单几何性质(第2课时)备课笔记
3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A 版（2019）第二章《圆锥曲线的方程》的第一节《椭圆》。
以下是本节的课时安排：第三章圆锥曲线的方程课时内容 3.1.1椭圆及其标准方程 3.1.2椭圆的简单几何性质所在位置教材第105页教材第109页新教材内容分析椭圆是生产生活中的常见曲线，教材在用细绳画椭圆的过程中，体会椭圆的定义，感知椭圆的形状，为选择适当的坐标系，建立椭圆的标准方程、研究椭圆的几何性质做好铺垫。
通过对椭圆标准方程的讨论，使学生掌握标准方程中的a,b,c,e 的几何意义及相互关系，体会坐标法研究曲线性质的基本思路与方法，感受通过代数运算研究曲线性质所具有的程序化、普适性特点。
核心素养培养通过椭圆的标准方程的推导，培养数学运算的核心素养；通过对椭圆的定义理解，培养数学抽象的核心素养。
通过椭圆的几何性质的研究，培养数学运算的核心素养；通过直线与椭圆的位置关系的判定，培养逻辑推理的核心素养。
教学主线椭圆的标准方程、几何性质学生已经学习了直线与圆的方程，已经具备了坐标法研究解析几何问题的能力。
本章学习圆锥曲线方程及几何性质，进一步提升用代数方法研究解析几何问题的方法。
1.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用，培养数学抽象的核心素养．2.会判断直线与椭圆的位置关系，培养数学运算的核心素养．3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长、中点弦问题，培养数学运算的核心素养.重点：直线与椭圆的位置关系难点：直线与椭圆的位置关系的应用（一）新知导入一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。
过对称轴的截口ABC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1上，片门位另一个焦点2上，由椭圆一个焦点1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个椭圆焦点2。
（二）椭圆的简单几何性质知识点一点与椭圆的位置关系【探究1】根据点与圆的位置关系，你能得出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系有哪些？怎样判断？◆点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系：(1)点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；(2)点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2＜1；(3)点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b2＞1.【做一做1】点(1,1)与椭圆22132x y +=的位置关系为（）A．在椭圆上B．在椭圆内C．在椭圆外D．不能确定【做一做2】若点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是________.知识点二直线与椭圆的位置关系【探究2】类比直线与圆的位置关系，思考直线与椭圆有几种位置关系？怎样判断其位置关系？◆直线与椭圆的位置关系(直线斜率存在时)直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的位置关系判断方法：kx ＋m＋y 2b 2＝1，消y 得一个关于x的一元二次方程.位置关系公共点个数组成的方程组的解判定方法(利用判别式Δ)相交2个2解Δ＞0相切1个1解Δ＝0相离0个0解Δ＜0斜率不存在时，观察可得．【做一做1】直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y 22＝1的位置关系是()A．相离B．相切C．相交D．无法确定【做一做2】(教材P114练习2改编)椭圆x 23＋y 2＝1被直线x －y ＋1＝0所截得的弦长|AB |＝________.1.直线与椭圆的位置关系例1.已知直线y ＝x ＋m 与椭圆x 216＋y 29＝1，当直线和椭圆相离、相切、相交时，分别求m 的取值范围．[分析]将直线方程与椭圆方程联立，利用判别式Δ判断．【类题通法】代数法判断直线与椭圆的位置关系判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．【巩固练习1】(1)若直线y ＝kx ＋2与椭圆x 23＋y 22＝1相切，则斜率k 的值是()A.63B．－63C．±63D．±33(2)直线y ＝kx －k ＋1(k ∈R )与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，则m 的取值范围是________．2.弦长问题例2.已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[分析](1)将直线方程与椭圆方程联立，根据判别式Δ的符号，建立关于m 的不等式求解；(2)利用弦长公式建立关于m 的函数关系式，通过函数的最值求得m 的值，从而得到直线方程．【类题通法】1.求直线被椭圆截得弦长的方法：法一是求出两交点坐标，用两点间距离公式；法二是用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|，其中k 为直线AB 的斜率，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．2．有关直线与椭圆相交弦长最值问题，要特别注意判别式的限制．【巩固练习2】已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，其长轴长为焦距的2倍，且过点F 为其左焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过左焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当|AB |＝185时，求直线l 的方程．3.中点弦问题例3.过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (2,1)作一条直线交椭圆于A ，B 两点，使线段AB 被P 点平分，求此直线的方程．[分析]由于弦所在直线过定点P (2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y －1＝k (x －2)，与椭圆方程联立，通过中点为P ，得出k 的值，也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．【类题通法】关于中点弦问题，一般采用两种方法解决(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算．(2)利用“点差法”即若椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1，直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且弦AB 的中点为M (x ，y ＋y 21b2＝1，①＋y 22b2＝1，②①－②：a 2(y 21－y 22)＋b 2(x 21－x 22)＝0，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·xy.这样就建立了中点坐标与直线的斜率之间的关系，从而使问题得以解决．【巩固练习3】已知椭圆方程是x 29＋y 24＝1，求以A (1,1)为中点的弦MN 所在的直线方程．1.若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为()－233，2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定3.直线y ＝x ＋1被椭圆x24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是()－23，－132，4.椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n )与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则mn 的值是()A.22B.233C.922D.2327（五）课堂小结，反思感悟1.知识总结：2.学生反思：（1）通过这节课，你学到了什么知识？（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-A 基础练一、选择题1．（2020·河北桃城衡水中学期末）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，若长轴长为8，离心率为12，则此椭圆的标准方程为()A．2216448x y +=B．2216416x y +=C．221164x y +=D．2211612x y +=2.（2020全国高二课时练）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点.假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰减，椭圆的方程为22143x y +=，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程不可能为（）A．2B．4C．6D．83．（2020·金华市曙光学校月考）无论k 为何值，直线2y kx =+和曲线22194x y +=交点情况满足（）A．没有公共点B．一个公共点C．两个公共点D．有公共点4.（2019·安徽安庆月考）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（）A．22B．2115．（多选题）（2020广东濠江高二月考）椭圆22116x y m+=的焦距为，则m 的值为（）A．9B．23C．16-D．16+6．（多选题）（2020全国高二课时练）嫦娥四号月球探测器于2018年12月8日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12日下午4点43分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与月球表面距离为100公里，远月点与月球表面距离为400公里，已知月球的直径约为3476公里，对该椭圆下述四个结论正确的是（）A．焦距长约为300公里B．长轴长约为3988公里C．两焦点坐标约为()1500±，D．离心率约为75994二、填空题7.（2020·全国课时练习）若直线2y kx =+与椭圆22132x y +=有且只有一个交点，则斜率k 的值是_______.8．光线从椭圆的一个焦点发出,被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点;光线从双曲线的一个焦点发出,被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出.如图,一个光学装置由有公共焦点1F ,2F 的椭圆Γ与双曲线'Γ构成,现一光线从左焦点1F 发出,依次经'Γ与Γ反射,又回到了点1F ,历时1t 秒;若将装置中的'Γ去掉,此光线从点1F 发出,经Γ两次反射后又回到了点1F ,历时2t 秒;若214t t =,则Γ与'Γ的离心率之比为______.9.（2020·福建漳州高二月考）已知1F ，2F 是椭圆222:1(04)16x y C b b+=<<的左、右焦点，点P 在C 上，线段1PF 与y 轴交于点M ，O 为坐标原点，若OM 为12PF F △的中位线，且||1OM =，则1PF =________.10．（2020上海华师大二附中月考）已知点F 为椭圆22:143x y Γ+=的左焦点，点P 为椭圆Γ上任意一点，点O 为坐标原点，则OP FP ⋅的最大值为________三、解答题11．我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径3400km =R ）的中心F 为一个焦点的椭圆．如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为800km ，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为80000km ．假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 时进行变轨，其中,a b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到100km ）．12.（2020全国高二课时练习）已知椭圆C:()222210x y a b a b +=>>经过点3(1,)2M ,12,F F 是椭圆C 的两个焦点，12||F F =P 是椭圆C 上的一个动点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在第一象限，且1214PF PF ⋅≤ ,求点的横坐标的取值范围；3.1.2椭圆的简单几何性质（2）-B 提高练一、选择题1.（2020·江苏省镇江中学开学考试）设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ,上顶点为B ,若2122BF F F ==则该椭圆的方程为（）A．22143x y +=B．2213x y +=C．2212x y +=D．2214x y +=2.（2020·安徽省太和中学开学考试）“1a =”是“直线y x a =+与椭圆22:12516xy C +=有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3.（2020·辽宁大连月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星.第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆.设地球半径为R ，若其近地点､远地点离地面的距离大约分别是115R ，13R ，则第54颗导航卫星运行轨道(椭圆)的离心率是（）A．25B．15C．23D．194.（2020山东泰安一中高二月考）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开启了人造卫星的新篇章，人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等.设椭圆的长轴长、焦距分别为2a ，2c ，下列结论不正确的是()A．卫星向径的最小值为a c -B．卫星向径的最大值为a c+C．卫星向径的最小值与最大值的比值越小，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最小，在远地点时最大5．（多选题）设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ，B 两点，则（）A．AF BF +为定值B．ABF 的周长的取值范围是[]6,12C．当2m =时，ABF 为直角三角形D．当1m =时，ABF 6.（多选题）（2020江苏扬州中学月考）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．1QF QP +的最小值为21a -B．椭圆C 的短轴长可能为2C．椭圆C 的离心率的取值范围为510,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D．若11PF FQ =，则椭圆C +二、填空题7.（2020·广西南宁高二月考）已知O 为坐标原点，点1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，A 为椭圆C 上的一点，且212AF F F ⊥，1AF 与y 轴交于点B ，则OB =________.8．（2020南昌县莲塘第一中学月考）已知1F ､2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点，点P 为C 上一点，O 为坐标原点，2POF ∆为正三角形，则C 的离心率为__________.9.（2020·山东泰安实验中学期末）直线2y x =+交椭圆2214x y m +=于,A B 两点，若AB =，则m的值为__________．10.（2020·河南南阳中学高二月考）过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>右焦点的直线0x y +=交于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，则椭圆M 的方程为__________．三、解答题11.（2020·贵港市高级中学期中）已知平面内两定点(1,0),(1,0)M N -，动点P 满足||||PM PN +=.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若直线1y x =+与曲线C 交于不同的两点A 、B ，求||AB ．12.（2020天津实验中学高二月考）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B 2OB =(O 为原点)（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且//OC AP ，求椭圆的方程.。
3_1_2 椭圆的简单几何性质2 课件——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
所以直线的方程为 = 2 + 1或 = − 2 + 1.
=−
1
.
2 +2
6 中点弦问题
2
例8.已知椭圆
4
+
2
2
= 1的弦的中点P坐标为(1,1)，求直线的方程.
法 1(方程组法)：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为 y－1＝k(x－1)，
弦的两端点为 A(x1，y1 )、B(x2，y2 )，
y－1＝kx－1，
由 x2 y2
消去 y 得：(2k2 ＋1)x2－4k(k－1)x＋2(k 2－2k－1)＝0，
＋ ＝1，
4 2
4kk－1
∴x1＋x2 ＝
，
2
2k ＋1
4kk－1
1
又∵x1＋x2 ＝2，∴
＝2，得 k＝－ ．
2
2k2＋1
1
故弦所在直线方程为 y－1＝－ (x－1)，即 x＋2y－3＝0．
2
+ 2 = 1.
故设直线的方程为 = + 1，联立椭圆方程，化简，
得( 2 + 2) 2 + 2 − 1 = 0.
= 1( > > 0) ，
5 弦长问题
练2.已知椭圆有两个顶点(−1,0)，(1,0),过其焦点(0,1)的直线与椭圆交于，
两点，若|| =
4 2
②-①可得
1 −��2
∴
1 −2
=
x1 ＋x2x 1－x2 y1＋y2y1－y2
＋
＝0，
4
2
1 +2
−
2(1 +2 )
=
1
− ，即
2.2.2椭圆的第二定义
4.已 知 椭 圆 1的 一 条 准 线 方 程 是 y ,则 m4 9 2
3.已知椭圆中心在原点， 长轴在 x轴上，一条准线方程是 x 3， 2 2 x y 5 离 心 率 为 ， 则 该 椭 圆 的 方 程 为 5 20 1 。 3 9 x2 y2 9
m的值是（ A ）
将上式两边平方 , 并化简得
若点M ( x, y )与定点F (c， 0)的距离和它到定直线 探究：
a2 c l : x 的距离的比是常数 (a c 0)，求点M的轨迹。 c a
解：设d是点M直线l的距离，根据题意，所 求轨迹就是集合
MF c P M , 由此可得： d a
A.1 B.2 C .3 D.7
应用： 1、求下列椭圆的准线方程：
x y ＋ ＝1 ② 16 81
2 2
2 2
①x2＋4y2＝4
x y ＋ ＝ 1 2.已知P是椭圆 100 36 上的点,P
到右准线的距离为 8 ,则P到左焦点 的距离为_________.
x y 3、已知P点在椭圆 25 ＋ 16 ＝1 上，且P到
问：对于椭圆C1 : 9 x y 36与椭圆C ：
2 2
C2 。 更接近于圆的是
x2 2 16
y2 12
2,
x y 1 (4)P为椭圆 上任意一点，F1、F2是焦点， 4 3
2
2
则∠F1PF2的最大值是
.
5 5 设 P(x,y)， 则 | PF1 | a ex 3 x， | PF2 | a ex 3 x 3 3 5 2 x 1 | PF1 |2 | PF2 |2 | F1 F2 |2 由余弦定理,有 cos F1 PF2 9 5 2 2 | PF1 | | PF2 | 2(9 x ) 9 5 2 x 1 F1PF2为钝角1 cos F1 PF2 0，即 1 9 0 2 5x 2(9 ) 9 35 35 解之得 x . 法二 5 5
椭圆的简单几何性质(第二课时)
知识回顾 上节课我们研究椭圆的几个基本量 a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及 其相互之间的关系，
需要注意的是：
1.掌握数与形的联系； 2.求解椭圆方程的基本方法；
3.函数与方程思想和分类讨论思想.
课前热身
▲▲
你知道吗？
y
1. 长度为a的线段有 6 条.
C OC,OD . 2. 长度为b的线段有 3. OF1=OF2= c . A F1 O 4. AF1=BF2= a-c .
l
H
x
2. 哪些方法能求解未 知曲线类型的方程？ 3. 计算离心率e的值， 有何发现吗？
F
范例分析
简单回顾求△F1AB的周长的方法.
y
A
x
F1 F2
B
范例分析 2 2 x y 1上的一点， 例题2.点P是椭圆 4 3 F1，F2是焦点，若△PF1F2的内切圆 半径为1/2，求点P的纵坐标.
2. 作业本P19 1--11.
P
6. |OP|的最小值是 b ;最大值是 a .
5. AF2=BF1=
7. |PF1|的最小值是 a-c ;最大值是 a+c .
范例分析 例题1.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到 直线l:x=25/4的距离之比是常数4/5， 求点M的轨迹.
y M
1. 你知道曲线类型吗？
y
P
x
F1
F2
温故知新
回顾 判断直线与圆的位置关系的方法.
d-r法 d=r 相切 d<r 相交 d>r 相离
△法 △=0 相切 △<0 相离 △>0 相交 .
今非昔比
探究 判断直线与椭圆的位置关系的方法.
人教版数学高二同步文科选修1-1第二章椭圆的简单几何性质(二)
2．1.2椭圆的简单几何性质(二)[教材研读]预习课本P41例6，思考以下问题1．点与椭圆的位置关系如何判断？2．直线与椭圆的位置关系如何判断？[要点梳理]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程．3.弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，曲线方程f (x ，y )＝0，直线与曲线的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与曲线方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是m >1.( )2．椭圆2x 2＋3y 2＝m (m >0)的离心率为33.( )3．点A (2,2)在椭圆x 2＋4y 2＝36的内部．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 直线与椭圆的位置关系思考1：如何判断直线与椭圆的位置关系？ 提示：联立直线与椭圆方程，求解的个数． 思考2：如何求椭圆上的点到直线的最小距离？提示：把点到直线的距离转化为过该点的直线与已知直线的两平行直线间的距离．在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．[思路导引] 找点较难，所以找与直线l 平行且与椭圆相切的直线．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为 y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4， 故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4， 显然y ＝32x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313， 切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．[跟踪训练]已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0， 最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由{ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.题型二 直线与椭圆的相交弦问题思考1：直线与椭圆的中点弦问题如何解决？ 提示：注意韦达定理的应用．思考2：如何求直线被圆锥曲线截得的弦长？提示：会应用弦长公式．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程．(2)求直线l 被椭圆截得的弦长．[思路导引] 待定系数法，联立方程组，再由韦达定理求参数k ，然后由弦长公式求弦长．[解] (1)由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8.所以k ＝－12.满足Δ>0.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －8＝0x 2＋4y 2＝36∴x 2－8x ＋14＝0，则x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝14，代入弦长公式 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．[跟踪训练]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为__________________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝12，∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)，∴b 2a 2＝12，∵右焦点为F (3,0)，c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] x 218＋y 29＝1题型三 椭圆中的最值(范围)问题已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[思路导引] 联立方程组，由解的个数确定m 的取值范围，再由韦达定理得弦长关于m 的函数．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．[跟踪训练]如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围． [解] ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2cos45°＝9，∴|AP →|＝3. (1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2， 即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)，∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得：9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t. ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0. ∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.课堂归纳小结解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] ∵直线y －1＝k (x －1)，即直线恒过(1,1)点，又∵19＋14<1，∴点(1,1)在椭圆内，所以选B.[答案] B2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n，∴x 0＝n m ＋n ，代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n .由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A.[答案] A3．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个[解析] ∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<4，又∵m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－5m 236<1，∴点P 在椭圆内．故直线与椭圆有2个交点．[答案] A4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 [解析] ∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c <b ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，∴c 2a 2<12，即c a <22.又e >0，∴0<e <22.[答案] C 5．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] ∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3， ∴右焦点F (3，0)，∴直线l 的方程y ＝x － 3.由⎩⎨⎧ y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85， 即弦AB 的长为85.。
椭圆的简单几何性质(第二课时)
学科：数学教学内容：椭圆的简单几何性质（第二课时）【自学导引】动点M与定点F(c，0)的距离和它到定直线l：x ＝的距离的比是常数(a>c>0)，则动点M的轨迹是椭圆，定直线l叫做椭圆的准线．准线与长轴所在的直线所夹的角为90°．【思考导学】已知动点P的坐标(x，y)满足，则动点P的轨迹是椭圆．【典例剖析】［例1］已知椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点坐标是F1(－c，0)和F2(c，0)，P(x0，y0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，其中e是椭圆的离心率．证明：椭圆＝1(a＞b＞0)的两焦点F1(－c，0)、F2(c，0)，相应的准线方程分别是x ＝－和x ＝．∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率．∴＝e ，＝e．化简得：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0．点评：｜PF1｜、｜PF2｜都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径．｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远(近)点为长轴端点．［例2］已知点A(1，2)在椭圆＝1内，F的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋2|PF|最小．解：∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2．∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为．设P到右准线的距离为d，则|PF|＝d，d＝2|PF|．∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d．由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|P A|＋d最小．把y＝2代入＝1得x＝(负舍之)，即P(，2)为所求．点评：由＝得d＝2|PF|是求P点的关键．［例3］在椭圆＝1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．解：设P点的坐标为(x，y)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．∵椭圆的准线方程为x＝±，∴，∵｜PF1｜＝2｜PF2｜，∴，∴x＝．把x＝代入方程＝1得y＝±．因此，P点的坐标为(，±)．点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离(焦半径)问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径公式．如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式．【随堂训练】1．椭圆＝1(a＞b＞0)的准线方程是( )A．y＝±Ｂ．y＝±Ｃ．y＝±Ｄ．x＝±解析：∵椭圆焦点在y轴上，且c＝∴椭圆的准线方程为y＝±．答案：Ｂ2．椭圆＝1的焦点到准线的距离是( )A．和B．和C．和D．解析：∵a2＝9，b2＝4，∴c＝，∴椭圆的焦点坐标为(±，0)，椭圆的准线方程为x＝±．∴椭圆的焦点到准线的距离为＝和＝答案：C3．已知椭圆＝1(a>b>0)的两准线间的距离为，离心率为，则椭圆方程为( )A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1解析：由＝，＝，得a2＝16，＝4．答案：D4．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e＝0．8，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程是( )A．＝1或＝1B．＝1或＝1C．＋＝1D．＝1解：设所求椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)．由题意，得解这个方程组，得．∴所求椭圆的方程为：＝1或＝1．答案：A5．已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦点到右准线的距离为，中心到准线的距离为，则椭圆的方程为( )A．＋y2＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：由－(－c)＝，＝得a2＝4，b2＝1．答案：A6．椭圆＝的离心率为( )A．B．C．D．无法确定解析：由＝知e＝．答案：B【强化训练】1．椭圆＝1和＝k(k＞0)具有( )A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴解析：把方程＝k写成标准形式＝1．且当a＞b＞0时，两椭圆的离心率分别为和，两椭圆的离心率相等．当b＞a＞0时，两椭圆的离心率分别为，两椭圆的离心率相等．答案：A2．椭圆＝1上点P到右焦点的最值为( )A．最大值为5，最小值为4B．最大值为10，最小值为8C．最大值为10，最小值为6D．最大值为9，最小值为1解析：e＝，设两焦点分别为、由焦半径公式得|PF2|＝5－x0，∵－5≤x0≤5，∴当x0＝5时|PF2|min＝1，当x0＝－5时，|PF2|max＝9．答案：D3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是( )A．B．C．D．解析：∵椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形．∴a＝2c，＝．答案：D4．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为( )A．B．C．D．解析：椭圆的两准线之间的距离为－(－)＝．∴由题意，得＝4³2c，∴＝．答案：D5．椭圆＝1的准线平行于x轴，则m的取值范围是( )A．m＞0B．0＜m＜1C．m＞1D．m＞0且m≠1解析：∵椭圆的准线平行于x轴，∴，即．∴答案：C6．椭圆＝1上的点P到左准线的距离是2．5，则P到右焦点的距离是________．解析：∵P到左准线的距离为2．5，∴＝e，而e＝，∴｜PF1｜＝2．5³＝2，∴｜PF2｜＝2³5－2＝8．即P到右焦点的距离为8．答案：87．椭圆的长轴长是______．解析：把椭圆的方程可写成，（4x－3y－33≠0）∴①一个焦点是(－1，1)，相对应的准线方程是4x－3y－33＝0，∴②由①、②得a＝，∴2a＝．答案：8．AB是过椭圆＝1的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为，求弦AB的长．解法一：不妨取F(1，0)，∴直线AB的方程为y＝(x－1)代入椭圆方程并整理得：19x2－30x－5＝0设A(x1，y1)，Ｂ(x2，y2)，则∴｜AＢ｜＝｜x1－x2｜＝解法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，F为右焦点．∵∠AFx＝，∴x1－c＝｜FA｜cos，x2－c＝｜FB｜cos(＋π)，∴｜FA｜＝a－x1＝．｜FB｜＝a－x2＝∴弦AB的长为：｜FA｜＋｜FＢ｜＝9．已知椭圆的一个焦点是F(1，1)，与它相对应的准线是x＋y－4＝0，离心率为，求椭圆的方程．解：设P(x，y)为椭圆上任意一点，∵椭圆的一个焦点是F(1，1)与它相对应的准线是x ＋y－4＝0，离心率为，∴，∴4(x－1)2＋4(y－1)2＝(x＋y－4)2．即3x2＋3y2－2xy－8＝0为所求．10．已知点P在椭圆＝1上(a＞b＞0)，F1、F2为椭圆的两个焦点，求|PF1|²|PF2|的取值范围．解：设P(x0，y0)，椭圆的准线方程为y＝±，不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点，则∴|PF1|＝y0＋a，|PF2|＝a－y0，∴|PF1|²|PF2|＝(a＋y0)(a－y0)＝a2－y02∵－a≤y0≤a∴当y0＝0时，|PF1|²|PF2|最大，最大值为a2．当y0＝±a时，|PF1|²|PF2|最小，最小值为a2－c2＝b2．因此，|PF1|²|PF2|的取值范围是［b2，a2］．【学后反思】椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率，这也是离心率的一个几何性质．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，它也沟通了椭圆上点的焦半径｜PF｜与到相应准线距离d之间的关系．左焦半径公式是|PF1|＝a＋ex0，右焦半径公式是|PF2|＝a－ex0．焦半径公式除计算有关距离问题外还证明了椭圆上离焦点距离最远(近)点实为长轴端点．椭圆的准线方程为x＝±，但必须注意这是椭圆的中心在原点，焦点在x轴上时的结论．。
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它的长轴长是：
26 ;
短轴长是： 焦距是： 离心率等于： 焦点坐标是：
2;
;2 5
30 6;
＿(0＿, ＿5); (0,－ 5)
顶点坐标是：(0, 6) (0＿,－＿＿6＿)＿(1＿, 0＿)(;－1, 0)
外切矩形的面积等于： 4 6 。
例1 椭圆的一个顶点为A2，0 ,其长轴长是短轴长
的2倍，求椭圆的标准方程．
l1
a-c
P F1 O
P F2 x
讲授新课
例3
设
P( x0 ,
y0 ) 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)上任意一点，F1为其左焦点.
求|PF1|的最小值和最大值. y
l1
a-c
P
P F1 O F2 x a＋c
讲授新课
例 4 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋 转椭圆面的一部分．过对称的截口 BAC 是椭 圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点 F1 上，片门位于另一个焦点 F2 上，由椭圆一个 焦点 F1 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
解：（1）当 A2，0 为长轴端点时，a 2 ，b 1，
椭圆的标准方程为：x2 y2 1 ； 41
（2）当A2，0 为短轴端点时，b 2 , a 4 ，
x2
椭圆的标准方程为：
y2
1；
4 16
综上所述，椭圆的标准方程是 x2 y2 1 或 x2 y2 1
y0 ) 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)上任意一点，F1为其左焦点.
求|PF1|的最小值和最大值. y
l1 P
F1 O F2 x
讲授新课
例3
设
P( x0 ,
y0 ) 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)上任意一点，F1为其左焦点.
求|PF1|的最小值和最大值. y
l1
P F1 O F2 x
讲授新课
练习2
1.点P与定点F(2，0)的距离与它到定直 线x＝8的距离之比为1：2，求点P的轨 迹方程.
讲授新课
例3
设
P( x0 ,
y0 ) 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)上任意一点，F1为其左焦点.
求|PF1|的最小值和最大值. y
l1
F1 O F2 x
讲授新课
例3
设
P( x0 ,
讲授新课
例3
设
P( x0 ,
y0 ) 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)上任意一点，F1为其左焦点.
求|PF1|的最小值和最大值. y
l1
a-c
P F1 O
F2 x
讲授新课
例3
设
P( x0 ,
y0 ) 是椭圆
x2 a2
y2 b2
1
(a b 0)上任意一点，F1为其左焦点.
求|PF1|的最小值和最大值. y
(离地面最远的点)距
地面2384km，并且
F2、A、B在同一直 线上，地球半径约 为6371km，求卫星 B
D F1 F2
CA
运行的轨道方程(精
确到1km)．
讲授新课
例5如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星
运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的 椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地
长为
6
，半焦距为 6
2
，离心率为
22 3
，
焦点坐标为 (0,6 2) ，顶点坐标为
.
复习导入：
1．椭圆 9x2 y2 81的长轴长为 18 ，短轴
长为
6
，半焦距为 6
2
，离心率为
22 3
，
焦点坐标为 (0,6 2) ，顶点坐标为 (0,9),
(3,0) .
2.已知椭圆方程为 6x2 y则2 6
2.1.2椭圆的简单 几何性质(二)
复习:椭圆
的性质
一、范围：x 2 a2
1,
y2 b2
1得：
-a≤x≤a, -b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组y成的矩形中
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
定义
图形
方程 范围 对称性 焦点
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)
y
y M
2.
课后作业
P42 练习册
6, 8, 9
长为 ，半焦距为
，离心率为
，
焦点坐标为 .
，顶点坐标为
复习导入：
1．椭圆 9x2 y2 81的长轴长为 18 ，短轴
长为 ，半焦距为
，离心率为
，
焦点坐标为 .
，顶点坐标为
复习导入：
1．椭圆 9x2 y2 81的长轴长为 18 ，短轴
长为 6 ，半焦距为
，离心率为
，
焦点坐标为
，顶点坐标为
.
面439km，远地点B
y
(离地面最远的点)距
地面2384km，并且
F2、A、B在同一直 线上，地球半径约 为6371km，求卫星 B
O D F1 F2
x CA
运行的轨道方程(精
确到1km)．
讲授新课
例5如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星
运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的 椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地
集| F中1B到|另2一.8c个m焦，|点F1FF22．|已4.知5cmB．C建立F适1F当2，的
坐标系，求截口 BAC 所在椭圆的方程．
讲授新课
例5如图所示，我国发射的第一颗人造地球卫星
运行轨道是以地心(地球的中心)F2为一个焦点的 椭圆，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地
面439km，远地点B
F1 M
F1 O
F2
x
O
x
F2
x2 y2 a2 b2 1
a b 0
x2 b2
y2 a2
1
a b 0
|x| a |y| b
|x| b |y| a
关于x轴、y轴、原点对称
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
(a,0)、(0,b)
e
c
a
(b,0)、(0,a)
复习导入：
1．椭圆 9x2 y2 81的长轴长为 ，短轴
面439km，远地点B (离地面最远的点)距 地面2384km，并且
2384
y 6371 439
F2、A、B在同一直 线上，地球半径约 为6371km，求卫星 B
O D F1 F2
x CA
运行的轨道方程(精
确到1km)．
讲授新课
例6 求适合下列条件的椭圆的离心率.
(1) 从短轴端点看两个焦点，所成视角为
直角；
y
B
F1 O F2
x
讲授新课
例6 求适合下列条件的椭圆的离心率.
(1) 从短轴端点看两个焦点，所成视角为
直角；
y
B
ab a
cc
F1 O F2
x
讲授新课
例6 求适合下列条件的椭圆的离心率.
(2) 两个焦点间的距离等于长轴的端点与
短轴的端点间的距离.
y
B
ab A F1 O F2 x
讲授新课
练习3 1.已知椭圆mx2＋5y来自＝5m的离心率复习导入：
1．椭圆 9x2 y2 81的长轴长为 18 ，短轴
长为 6 ，半焦距为 6 2 ，离心率为
，
焦点坐标为
，顶点坐标为
.
复习导入：
1．椭圆 9x2 y2 81的长轴长为 18 ，短轴
长为
6
，半焦距为 6
2
，离心率为
22 3
，
焦点坐标为
，顶点坐标为
.
复习导入：
1．椭圆 9x2 y2 81的长轴长为 18 ，短轴
41
4 16
讲授新课
例 2 如图，设 M(x，y)与定点 F(4，0)的距离
和它到直线 l：x 25 的距离的比是常数 4 ，
求点 M 的轨迹方程4．
5
讲授新课
例 2 如图，设 M(x，y)与定点 F(4，0)的距离
和它到直线 l：x 25 的距离的比是常数 4 ，
求点 M 的轨迹方程4．
5