2.2.2椭圆的简单几何性质(第二课时)
合集下载
《课程讲解》-2.2.2椭圆的第二定义及焦半径公式3
a
OF x
x
c
a2
x
c
椭圆上的点M(x，y)到焦点F(c，0)的距
离与它到直线 x a 2 的距离之比等于离
心率.
c
新知探究
若点F是定直线l外一定点，动点M到点 F的距离与它到直线l的距离之比等于 常数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.
l
M H
F
新知探究
直线 x
a2 c
叫做椭圆相应于焦
点F2(c，0)的准线，相应于焦点
课堂小结
2.一个椭圆有两条准线，并与两个 焦点相对应，两条准线在椭圆外部， 且与长轴垂直，关于短轴对称.
课堂小结
3.椭圆焦半径公式的两种形式与焦点 位置有关，可以记忆为“左加右减， 下加上减”.
布置作业
1、P49习题2.2A组：
3，4，5，10.
y B2 M
A1
O F2 x
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
( xc ) 2 y 2 ( xc ) 2 y 2 2 a
变形后得到 a2 cx a(x c)2 y2,
再变形为
（ x - c ）2 y 2 x a2 c
c
a.
这个方程的几何意义如何？
新知探究
y
l
（ x - c ）2 y 2 c
MH
a2
F1(－c，0)的准线方程是
y
a2 x
c
a2 x
c
F1 O F2
x
新知探究
椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大
值和最小值分别是什么？
y M
OF
x
练习：已知F1 、F2椭圆的左右焦点，椭 圆上存在点M使得MF1⊥MF2,求椭圆的 离心率的范围.
椭圆的简单性质(第2课时)课件(北师大选修1-1)
(1)若 M 与 A 重合，求曲线 C 的焦点坐标； (2)若 m＝3，求|PA|的最大值与最小值； (3)若|PA|的最小值为|MA|，求实数 m 的取值范围．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
解析： (1)由题意知 m＝2，椭圆方程为x42＋y2＝1，c＝
4－1＝ 3，
∴左、右焦点坐标分别为(－ 3，0)，( 3，0)．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，－6)； (2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点 到同侧顶点的距离为 3； (3)与椭圆x42＋y32＝1 有相同离心率且经过点(2，－ 3)．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
解析： (1)∵2a＝2×2b， ∴a＝2b，当焦点在 x 轴时，方程为4xb22＋by22＝1，
b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝44 163 691.
第2课时 椭圆方程及性质的应用
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1.会应用椭圆的简单几何性质解决与椭圆相关的问题． 2.会应用椭圆的简单几何性质解决相关的实际问题． 3.会判断直线与椭圆的位置关系.
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1.椭圆中与焦点相关的三角形问题．(重点) 2.与航天器运行轨道相关的应用问题．(难点) 3.直线与椭圆的交点问题．(易混点)
工具
第二章 圆锥曲线与方程
(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程； (2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推 进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km，问 飞船巡天飞行的平均速度是多少？(结果精确到1 km/s)
本题主要考查椭圆的基础知识及应用，明确近地点、远地 点是解题的关键．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
解析： (1)由题意知 m＝2，椭圆方程为x42＋y2＝1，c＝
4－1＝ 3，
∴左、右焦点坐标分别为(－ 3，0)，( 3，0)．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，－6)； (2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点 到同侧顶点的距离为 3； (3)与椭圆x42＋y32＝1 有相同离心率且经过点(2，－ 3)．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
解析： (1)∵2a＝2×2b， ∴a＝2b，当焦点在 x 轴时，方程为4xb22＋by22＝1，
b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝44 163 691.
第2课时 椭圆方程及性质的应用
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1.会应用椭圆的简单几何性质解决与椭圆相关的问题． 2.会应用椭圆的简单几何性质解决相关的实际问题． 3.会判断直线与椭圆的位置关系.
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1.椭圆中与焦点相关的三角形问题．(重点) 2.与航天器运行轨道相关的应用问题．(难点) 3.直线与椭圆的交点问题．(易混点)
工具
第二章 圆锥曲线与方程
(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程； (2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推 进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km，问 飞船巡天飞行的平均速度是多少？(结果精确到1 km/s)
本题主要考查椭圆的基础知识及应用，明确近地点、远地 点是解题的关键．
椭圆的简单几何性质(第2课时)高中数学获奖教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)一、教学目标1.掌握椭圆的第二定义；2.能够自主探究椭圆的简单几何性质.二、教学重难点1.推导椭圆的第二定义和焦半径公式；2.研究椭圆几何性质的思路与方法.三、教学过程1.复习巩固活动：完成下表【活动预设】由学生完成上表【设计意图】带领学生复习上节课学习的椭圆的简单几何性质. 2.课堂探究 2.1 探究1活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点，O 为坐标原点.探究：当P 在何位置时，|OP|最小？P 又在何位置时，|OP|最大？【活动预设】由学生自主完成问题1：如果椭圆方程变为一般方程：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，结论又会如何呢？ 【预设的答案】当P 在短轴顶点时，|OP|min =b ；当P 在长轴顶点时，|OP|max =a . 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想 2.2 探究2活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【活动预设】由学生自主完成问题2：上述|PF 1|=12|x 0+8|，|x 0+8|有什么几何意义？【预设的答案】代表P(x 0,y 0)到直线x =−8的距离 【设计意图】渗透数形结合的思想问题3：也就是说|PF 1|=12|PM|，椭圆上任意一点P(x 0,y 0)，它到左焦点的距离和它到直线x =−8的距离之比为常数12，那么对于一般的椭圆是否有类似的性质呢？我们考虑下面的一般情况：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【预设的答案】设P(x 0,y 0)，则PF 12=(x 0+c)2+y 02 因为y 02=b 2(1−x 02a 2) 所以PF 12=(x 0+c)2+b 2(1−x 02a 2)=(a 2−b 2)x 02a2+2cx 0+b 2+c 2=c 2a 2 x 02+2cx 0+a 2=c 2a 2(x 0+a 2c )2即|PF 1|=ca |x 0+a 2c |设直线l 1:x =−a 2c ，P 到直线l 1的距离为PM ，则|PF 1|=ca |PM|，|PF 1||PM|=ca =e 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想. 2.3 概念形成椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，P(x 0,y 0)为椭圆E 上一动点.左准线l 1:x =−a 2c ，右准线l 2:x =a 2c 椭圆第二定义：P 到左焦点的距离|PF 1|与它到左准线l 1:x =−a 2c 的距离|PM 1|的比为离心率e ，即|PF 1||PM 1|=e =ca ； P 到右焦点的距离|PF 2|与它到右准线l 2:x =a 2c 的距离|PM 2|的比为离心率e ，即|PF 2||PM 2|=e =ca .焦半径公式：|PF 1|=c a (a 2c +x 0)= a +ex 0，|PF 2|=c a (a 2c −x 0)= a−ex 0|PF 1|min =a−c ， |PF 1|max =a +c .3.课堂巩固例：动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M 到定直线l:x =254的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹.(x−4)2+y 2|x−254|=45所以25[(x−4)2+y 2]=16(x−254)2化简得：9x 2+25y 2=225 所以x 225+y 29=1【设计意图】引出椭圆第二定义拓展：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是一个常数，动点M 的轨迹是否也是椭圆呢？【设计意图】留给学生课后自主研究 4.课后探究探究1：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大？P 又在何位置时，∠F 1PF 2最小？探究2：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1、A 2分别为椭圆E 的左、右顶点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠A 1PA 2最大？P 又在何位置时，∠A 1PA 2最小？【设计意图】鼓励学生利用课余时间自主探究 5.课堂小结思考：这节课我们主要学习了什么内容？体现了哪些数学思想方法？【设计意图】梳理本节课所学内容，总结数学思想方法.。
2.2.2 椭圆的简单几何性质 2
2 a 20 e b
2
20 ，离心率是
3 5
，
a 10 3 5 c
2
c a
2
c 6 10
2
a
6
2
8
2
2 2
b 8
当焦点在 x 轴时，椭圆的标准方程是
x
y
1
当焦点在 y 轴时，椭圆的标准方程是
100 2 y
64 2 x
1
100
64
焦点坐标
半轴长 离心率
a, b, c 的关系
( c , 0 )、( c , 0 )
长半轴长为 短半轴长为
e c a
( 0 , c )、( 0 , c )
同左 同左 同左
a, b, (a b 0)
( 0 e 1)
a2=b2+c2
练习6.已知椭圆方程为 6 x y 6 则
y b
2 2
1( a b 0 )
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 如何从方程来分析这些对称性呢？ （1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称； （2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 椭圆 关于原点成中心对称。
P 2 ( x, y)
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。 这四个顶点的坐标是什么？
A1 ( a , 0 )、A B 1 ( 0 , b )、B
2 2
y
B2
A1
b
a
A2
( a ,0 ) (0, b )
o
B1
c
x
*长轴、短轴：线段A1A2、
2
20 ，离心率是
3 5
，
a 10 3 5 c
2
c a
2
c 6 10
2
a
6
2
8
2
2 2
b 8
当焦点在 x 轴时，椭圆的标准方程是
x
y
1
当焦点在 y 轴时，椭圆的标准方程是
100 2 y
64 2 x
1
100
64
焦点坐标
半轴长 离心率
a, b, c 的关系
( c , 0 )、( c , 0 )
长半轴长为 短半轴长为
e c a
( 0 , c )、( 0 , c )
同左 同左 同左
a, b, (a b 0)
( 0 e 1)
a2=b2+c2
练习6.已知椭圆方程为 6 x y 6 则
y b
2 2
1( a b 0 )
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 如何从方程来分析这些对称性呢？ （1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称； （2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 椭圆 关于原点成中心对称。
P 2 ( x, y)
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。 这四个顶点的坐标是什么？
A1 ( a , 0 )、A B 1 ( 0 , b )、B
2 2
y
B2
A1
b
a
A2
( a ,0 ) (0, b )
o
B1
c
x
*长轴、短轴：线段A1A2、
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
>0 =0 <0
解：联立方程组 x ⋅ x = − 1 1 1 2 5 y = x − 消去 消去y 2 2 5x − 4x −1 = 0 ----- (1) x2+4y2=2 有两个根， 因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根， ，所以方程（ 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交. 则原方程组有两组解 所以该直线与椭圆相交
42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.
d=
4 x0 − 5 y0 + 40
=
4 x0 − 5 y0 + 40 41
且
x0 2 25
+
y0 2 9
=1
几何画板显示图形 几何画板显示图形
x2 y2 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l，则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x − 5 y + k = 0
1 已知直线y=x- 与椭圆 2+4y2=2，判断它们4 与椭圆x 例2.已知直线 已知直线 ， x1 + x2 = 2 5 由韦达定理 的位置关系。 的位置关系。
1 1 7 变式1：交点坐标是什么？ 变式 ：交点坐标是什么？ A(1, ), B(− , − ) 2 5 10 6 变式2：相交所得的弦的弦长是多少？ 变式 ：相交所得的弦的弦长是多少？ | AB |= 5 5
椭圆的简单几何性质----椭圆的第二定义
2
a c 到定直线l : x 的距离的比是常数 ( c a a c 0), 求点M的轨迹.
椭圆的第二定义
平面内到一个定点的距离与它到一条定 直线的距离的比是一个常数的动点M的 轨迹叫做椭圆. 定点：焦点(分左右) 定值有何几何意义？ 思考：定点、定直线、
a2 定直线：准线( x ，分左右)出a, b, c 2.将a, c的齐次方程，化为e的方程（同除以a ）
2
练习 1：已知椭圆中a, b, c成等比数列，求椭 圆的离心率.
例 3：点 M (( xx , ,yy )) 与定点 4,， 0)) 的距离和它到 例 3：点 M 与定点F (c 0 的距离和它 变式练习：点 F ( 2 ， 0 ) 的距离和它到 2 25M与定点 4 c a 直线 l : x l : x 的距离的比是常数 ，求 M的 到定直线 的距离的比是常数 ( 1 4 c a 定直线x 8的距离的比是 ，求点5 M的轨迹 . ac 轨迹 . 0), 求点M的轨迹. 2
2
2
x y 练习：椭圆 2 2 1中，求下列各式的值 a b PF QF AO AF FO , , , , PD BF BO AB AO
l
2
2
Q P
l
D
F
A
B
椭圆简单几何性质（第二课时）
b c 课后思考：能用 , 刻画椭圆的扁平程度吗？ a b 在求离心率时，是否一定需要求出a, c的值？
例：已知F1是椭圆的左焦点，A, B分别是 椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点
当PF1 F1 F2，PO // AB时，求椭圆的离心率
例2：设椭圆的两个焦点，分别为F1 , F2 过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1 PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率
a c 到定直线l : x 的距离的比是常数 ( c a a c 0), 求点M的轨迹.
椭圆的第二定义
平面内到一个定点的距离与它到一条定 直线的距离的比是一个常数的动点M的 轨迹叫做椭圆. 定点：焦点(分左右) 定值有何几何意义？ 思考：定点、定直线、
a2 定直线：准线( x ，分左右)出a, b, c 2.将a, c的齐次方程，化为e的方程（同除以a ）
2
练习 1：已知椭圆中a, b, c成等比数列，求椭 圆的离心率.
例 3：点 M (( xx , ,yy )) 与定点 4,， 0)) 的距离和它到 例 3：点 M 与定点F (c 0 的距离和它 变式练习：点 F ( 2 ， 0 ) 的距离和它到 2 25M与定点 4 c a 直线 l : x l : x 的距离的比是常数 ，求 M的 到定直线 的距离的比是常数 ( 1 4 c a 定直线x 8的距离的比是 ，求点5 M的轨迹 . ac 轨迹 . 0), 求点M的轨迹. 2
2
2
x y 练习：椭圆 2 2 1中，求下列各式的值 a b PF QF AO AF FO , , , , PD BF BO AB AO
l
2
2
Q P
l
D
F
A
B
椭圆简单几何性质（第二课时）
b c 课后思考：能用 , 刻画椭圆的扁平程度吗？ a b 在求离心率时，是否一定需要求出a, c的值？
例：已知F1是椭圆的左焦点，A, B分别是 椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点
当PF1 F1 F2，PO // AB时，求椭圆的离心率
例2：设椭圆的两个焦点，分别为F1 , F2 过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1 PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率
椭圆的简单几何性质(第二课时)
2.2.2 椭圆的 简单几何性质(2)
知识回顾 上节课我们研究椭圆的几个基本量 a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及 其相互之间的关系，
需要注意的是：
1.掌握数与形的联系； 2.求解椭圆方程的基本方法；
3.函数与方程思想和分类讨论思想.
课前热身
▲▲
你知道吗？
y
1. 长度为a的线段有 6 条.
C OC,OD . 2. 长度为b的线段有 3. OF1=OF2= c . A F1 O 4. AF1=BF2= a-c .
l
H
x
2. 哪些方法能求解未 知曲线类型的方程？ 3. 计算离心率e的值， 有何发现吗？
F
范例分析
简单回顾求△F1AB的周长的方法.
y
A
x
F1 F2
B
范例分析 2 2 x y 1上的一点， 例题2.点P是椭圆 4 3 F1，F2是焦点，若△PF1F2的内切圆 半径为1/2，求点P的纵坐标.
2. 作业本P19 1--11.
P
6. |OP|的最小值是 b ;最大值是 a .
5. AF2=BF1=
7. |PF1|的最小值是 a-c ;最大值是 a+c .
范例分析 例题1.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到 直线l:x=25/4的距离之比是常数4/5， 求点M的轨迹.
y M
1. 你知道曲线类型吗？
y
P
x
F1
F2
温故知新
回顾 判断直线与圆的位置关系的方法.
d-r法 d=r 相切 d<r 相交 d>r 相离
△法 △=0 相切 △<0 相离 △>0 相交 .
今非昔比
探究 判断直线与椭圆的位置关系的方法.
知识回顾 上节课我们研究椭圆的几个基本量 a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及 其相互之间的关系，
需要注意的是：
1.掌握数与形的联系； 2.求解椭圆方程的基本方法；
3.函数与方程思想和分类讨论思想.
课前热身
▲▲
你知道吗？
y
1. 长度为a的线段有 6 条.
C OC,OD . 2. 长度为b的线段有 3. OF1=OF2= c . A F1 O 4. AF1=BF2= a-c .
l
H
x
2. 哪些方法能求解未 知曲线类型的方程？ 3. 计算离心率e的值， 有何发现吗？
F
范例分析
简单回顾求△F1AB的周长的方法.
y
A
x
F1 F2
B
范例分析 2 2 x y 1上的一点， 例题2.点P是椭圆 4 3 F1，F2是焦点，若△PF1F2的内切圆 半径为1/2，求点P的纵坐标.
2. 作业本P19 1--11.
P
6. |OP|的最小值是 b ;最大值是 a .
5. AF2=BF1=
7. |PF1|的最小值是 a-c ;最大值是 a+c .
范例分析 例题1.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到 直线l:x=25/4的距离之比是常数4/5， 求点M的轨迹.
y M
1. 你知道曲线类型吗？
y
P
x
F1
F2
温故知新
回顾 判断直线与圆的位置关系的方法.
d-r法 d=r 相切 d<r 相交 d>r 相离
△法 △=0 相切 △<0 相离 △>0 相交 .
今非昔比
探究 判断直线与椭圆的位置关系的方法.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4 2 2 ∴ AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 2( x1 x2 )2 2 = ( x x ) 4 x x 2 1 2 1 3
F
将上式两边平方，并化简，得9 x 2 25 y 2 225,
x2 y 2 即 1 25 9
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
2 2 2 2
知识点2：弦长公式
可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式： | AB | 1 k 2 | x x | 1 1 | y y | A B A B 2
k
当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .
1 x2 y2 已知椭圆 1的离心率 e ，求k 的值 2 k 8 9
解：当椭圆的焦点在
2
思考：
x 轴上时，
2 2 c k 1． b 9 ，得 a k 8 ， 1 由 e ，得： k 4 2
当椭圆的焦点在
2 ， a 9 b
2
y
轴上时， ，得 c 1 k ．
例6 点M ( x, y )与定点F (4,0)的距离和它到直线 25 4 l : x 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。 4 5
y l M o d H x
25 解：设d是点M到直线l : x 的距离，根据题意， 4 MF 4 点M的轨迹就是集合P M , d 5 ( x 4) y 2 4 由此得 . 25 5 x 4
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
6 当k = 时有一个交点 3 当k> 当6 6 或k<时有两个交点 3 3
x2 y2 1 练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 9 4 交点情况满足( D )
6 6 k< 时没有交点 3 3
A.没有公共点
C.两个公共点
B.一个公共点
D.有公共点
题型一：直线与椭圆的位置关系
2 2
x y 1 , 直线 4 x 5 y 40 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x 5 y 40 0 的距离的表达式.
解:∵椭圆
2
2
∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
y x 1 由 x2 消去 y 并化简整理得 2 y 1 2
2
2
y 2 1 的两个焦点坐标 F1 (1, 0), F2 (1, 0)
3x 4x 0
2.2.2椭圆的简单几何性质
第二课时
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) 定 义 一个框，四个点，注意光滑和圆扁，莫忘对称要体现 y
y
M
F1
F2
x
M x
图
形
F1
2 2
O
O F2
方 范
程 围
2 2 x y x y 2 1 a b 0 2 2 1 a b 0 2 b a a b |x| a |y|b |x| b |y| a
通法
直线与椭圆的位置关系
种类: 相切 相离 相交 (( 没有交点 一个交点 二个交点 )) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0 2 由方程组 x y2 2 2 1 b a
mx 2 nx p 0(m 0)
解：设直线m平行于l，
则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0 由方程组 x y 1 25 9 由 0，得64k 2 - 4 25 （k 2 - 225） 0
题型二：弦长公式
例3：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
解 :由椭圆方程知 : a 4, b 1, c 3.
2 2 2
的右焦点，
右焦点F ( 3,0).
y x 3 2 x 2 y 1 4
直线l方程为: y x 3. 消y得： 5x2 8 3x 8 0
分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
x y 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 1 的左、右 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线，求 △F1 AB 的面积. 4 x2
2 △ （ 10k） 4(m 5k 2（ ) 5 5m） 0 m2 (5k 2 1)m 0
m 0,5k 2 1 m恒成立， 1 - m 0 m 1, 且m 5
解法二 直线y kx 1恒过定点（ 0,1 ）， 且与椭圆总有公共点， 定点必在椭圆上或或者 椭圆内 1 0 1, m 1且m 5 m
已知BC F1 F2 , F1 B 2.8cm, F1 F2 4.5cm, 求截口BAC所在椭圆的方程。
解：建立如图所示的直角坐标系， x2 y 2 设所求椭圆方程为 2 1. 2 a b 2 2 在RtBF1 F2中， F2 B F1 B F1 F2 2.82 4.52
c6 ∴ a 10 ，
2 2
x2 y2 1 9 4
，∴ b2 102 62 64
，
2 2 y x x y ． 1 1 或 所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64
0 ,其长轴长是短轴长 例3 椭圆的一个顶点为 A2， 的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
2
k 8
1 5 1 k 1 e ，即 k ． 由 ，得 9 4 2 4
5 ∴满足条件的 k 4 或 k ． 4
【变式与拓展】
3．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 120°，则
此椭圆的离心率 e 为( D )
2 A. 2
3 B. 2
1 C.2
6 D. 3
例5 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕 其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一 个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反 射后集中到另一个焦点F2.
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
8 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 5
8 3 8 x1 x2 , x1 x2 5 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
题型二：弦 1 的左、右 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点， 4 求 △F1 AB 的面积.
a 0 为长轴端点时， 解：（1）当 A2，
2 ，b 1，
2 ,a 4
0 为短轴端点时，b （2）当A2，
2 2 x y 椭圆的标准方程为： 1 ； 4 1
，
x2 y2 1； 椭圆的标准方程为： 4 16 2 2 x2 y2 x y 1 或 1 综上所述，椭圆的标准方程是 4 1 4 16
对称性 焦 点
关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(c,0) (a,0) (0,b)
c e 0 e 1 a
(0,c)、(0,c) (b,0) (0,a)
顶
点
离心率
练习1.
已知椭圆方程为6x2+y2=6
2 6
。短轴长是：
30 .离心率等于： 6
它的长轴长是：
焦距是：
2
4 5 尝试遇到困难怎么办?
2 2
d
4 x0 5 y0 40
4 x0 5 y0 40 41
l
且
m
x0 2 25
y0 2 9
m
1
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
题型一：直线与椭圆的位置关系
2 2
x y 1 , 直线 4 x 5 y 40 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 y 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少 ?
消去y
x2+4y2=2
因为
5 x 2 4 x 1 0 ----- (1)
4 x x2 由韦达定理 1 5 1 x1 x2 5
∆>0
所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
6 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 2( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 2 5
B A F1 C o F2 x y
由椭圆的性质知， F1B F2 B 2a, 所以
1 1 a ( F1 B F2 B ) (2.8 2.82 4.52 ) 4.1 2 2