2.2.2椭圆的简单几何性质(第二课时)
《课程讲解》-2.2.2椭圆的第二定义及焦半径公式3
a
OF x
x
c
a2
x
c
椭圆上的点M(x，y)到焦点F(c，0)的距
离与它到直线 x a 2 的距离之比等于离
心率.
c
新知探究
若点F是定直线l外一定点，动点M到点 F的距离与它到直线l的距离之比等于 常数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.
l
M H
F
新知探究
直线 x
a2 c
叫做椭圆相应于焦
点F2(c，0)的准线，相应于焦点
课堂小结
2.一个椭圆有两条准线，并与两个 焦点相对应，两条准线在椭圆外部， 且与长轴垂直，关于短轴对称.
课堂小结
3.椭圆焦半径公式的两种形式与焦点 位置有关，可以记忆为“左加右减， 下加上减”.
布置作业
1、P49习题2.2A组：
3，4，5，10.
y B2 M
A1
O F2 x
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
( xc ) 2 y 2 ( xc ) 2 y 2 2 a
变形后得到 a2 cx a(x c)2 y2,
再变形为
（ x - c ）2 y 2 x a2 c
c
a.
这个方程的几何意义如何？
新知探究
y
l
（ x - c ）2 y 2 c
MH
a2
F1(－c，0)的准线方程是
y
a2 x
c
a2 x
c
F1 O F2
x
新知探究
椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大
值和最小值分别是什么？
y M
OF
x
练习：已知F1 、F2椭圆的左右焦点，椭 圆上存在点M使得MF1⊥MF2,求椭圆的 离心率的范围.
椭圆的简单性质(第2课时)课件(北师大选修1-1)
工具
第二章 圆锥曲线与方程
解析： (1)由题意知 m＝2，椭圆方程为x42＋y2＝1，c＝
4－1＝ 3，
∴左、右焦点坐标分别为(－ 3，0)，( 3，0)．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1.求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点(2，－6)； (2)短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点 到同侧顶点的距离为 3； (3)与椭圆x42＋y32＝1 有相同离心率且经过点(2，－ 3)．
工具
第二章 圆锥曲线与方程
解析： (1)∵2a＝2×2b， ∴a＝2b，当焦点在 x 轴时，方程为4xb22＋by22＝1，
b2＝a2－c2＝(a＋c)(a－c)＝44 163 691.
第2课时 椭圆方程及性质的应用
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1.会应用椭圆的简单几何性质解决与椭圆相关的问题． 2.会应用椭圆的简单几何性质解决相关的实际问题． 3.会判断直线与椭圆的位置关系.
工具
第二章 圆锥曲线与方程
1.椭圆中与焦点相关的三角形问题．(重点) 2.与航天器运行轨道相关的应用问题．(难点) 3.直线与椭圆的交点问题．(易混点)
工具
第二章 圆锥曲线与方程
(1)求飞船飞行的椭圆轨道的方程； (2)飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推 进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km，问 飞船巡天飞行的平均速度是多少？(结果精确到1 km/s)
本题主要考查椭圆的基础知识及应用，明确近地点、远地 点是解题的关键．
椭圆的简单几何性质(第2课时)高中数学获奖教案
3.1.2椭圆的简单几何性质（第二课时）(人教A版选择性必修数学第一册第三章圆锥曲线的方程)一、教学目标1.掌握椭圆的第二定义；2.能够自主探究椭圆的简单几何性质.二、教学重难点1.推导椭圆的第二定义和焦半径公式；2.研究椭圆几何性质的思路与方法.三、教学过程1.复习巩固活动：完成下表【活动预设】由学生完成上表【设计意图】带领学生复习上节课学习的椭圆的简单几何性质. 2.课堂探究 2.1 探究1活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点，O 为坐标原点.探究：当P 在何位置时，|OP|最小？P 又在何位置时，|OP|最大？【活动预设】由学生自主完成问题1：如果椭圆方程变为一般方程：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，结论又会如何呢？ 【预设的答案】当P 在短轴顶点时，|OP|min =b ；当P 在长轴顶点时，|OP|max =a . 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想 2.2 探究2活动：已知椭圆E:x 216+y 212=1，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【活动预设】由学生自主完成问题2：上述|PF 1|=12|x 0+8|，|x 0+8|有什么几何意义？【预设的答案】代表P(x 0,y 0)到直线x =−8的距离 【设计意图】渗透数形结合的思想问题3：也就是说|PF 1|=12|PM|，椭圆上任意一点P(x 0,y 0)，它到左焦点的距离和它到直线x =−8的距离之比为常数12，那么对于一般的椭圆是否有类似的性质呢？我们考虑下面的一般情况：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，|PF 1|最小？P 又在何位置时，|PF 1|最大？【预设的答案】设P(x 0,y 0)，则PF 12=(x 0+c)2+y 02 因为y 02=b 2(1−x 02a 2) 所以PF 12=(x 0+c)2+b 2(1−x 02a 2)=(a 2−b 2)x 02a2+2cx 0+b 2+c 2=c 2a 2 x 02+2cx 0+a 2=c 2a 2(x 0+a 2c )2即|PF 1|=ca |x 0+a 2c |设直线l 1:x =−a 2c ，P 到直线l 1的距离为PM ，则|PF 1|=ca |PM|，|PF 1||PM|=ca =e 【设计意图】渗透从特殊到一般的思想. 2.3 概念形成椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点，P(x 0,y 0)为椭圆E 上一动点.左准线l 1:x =−a 2c ，右准线l 2:x =a 2c 椭圆第二定义：P 到左焦点的距离|PF 1|与它到左准线l 1:x =−a 2c 的距离|PM 1|的比为离心率e ，即|PF 1||PM 1|=e =ca ； P 到右焦点的距离|PF 2|与它到右准线l 2:x =a 2c 的距离|PM 2|的比为离心率e ，即|PF 2||PM 2|=e =ca .焦半径公式：|PF 1|=c a (a 2c +x 0)= a +ex 0，|PF 2|=c a (a 2c −x 0)= a−ex 0|PF 1|min =a−c ， |PF 1|max =a +c .3.课堂巩固例：动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M 到定直线l:x =254的距离的比是常数45，求动点M 的轨迹.(x−4)2+y 2|x−254|=45所以25[(x−4)2+y 2]=16(x−254)2化简得：9x 2+25y 2=225 所以x 225+y 29=1【设计意图】引出椭圆第二定义拓展：动点M 到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比是一个常数，动点M 的轨迹是否也是椭圆呢？【设计意图】留给学生课后自主研究 4.课后探究探究1：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆E 的左、右焦点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠F 1PF 2最大？P 又在何位置时，∠F 1PF 2最小？探究2：已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1、A 2分别为椭圆E 的左、右顶点. P 为椭圆E 上一动点. 探究：当P 在何位置时，∠A 1PA 2最大？P 又在何位置时，∠A 1PA 2最小？【设计意图】鼓励学生利用课余时间自主探究 5.课堂小结思考：这节课我们主要学习了什么内容？体现了哪些数学思想方法？【设计意图】梳理本节课所学内容，总结数学思想方法.。
2.2.2 椭圆的简单几何性质 2
2
20 ，离心率是
3 5
，
a 10 3 5 c
2
c a
2
c 6 10
2
a
6
2
8
2
2 2
b 8
当焦点在 x 轴时，椭圆的标准方程是
x
y
1
当焦点在 y 轴时，椭圆的标准方程是
100 2 y
64 2 x
1
100
64
焦点坐标
半轴长 离心率
a, b, c 的关系
( c , 0 )、( c , 0 )
长半轴长为 短半轴长为
e c a
( 0 , c )、( 0 , c )
同左 同左 同左
a, b, (a b 0)
( 0 e 1)
a2=b2+c2
练习6.已知椭圆方程为 6 x y 6 则
y b
2 2
1( a b 0 )
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 如何从方程来分析这些对称性呢？ （1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称； （2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变， 椭圆 关于原点成中心对称。
P 2 ( x, y)
*顶点：椭圆与它的对称轴的 四个交点，叫做椭圆的顶点。 这四个顶点的坐标是什么？
A1 ( a , 0 )、A B 1 ( 0 , b )、B
2 2
y
B2
A1
b
a
A2
( a ,0 ) (0, b )
o
B1
c
x
*长轴、短轴：线段A1A2、
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
§2.2.2 椭圆的简单几何性质(2)
>0 =0 <0
解：联立方程组 x ⋅ x = − 1 1 1 2 5 y = x − 消去 消去y 2 2 5x − 4x −1 = 0 ----- (1) x2+4y2=2 有两个根， 因为 ∆=36>0，所以方程（１）有两个根， ，所以方程（ 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交. 则原方程组有两组解 所以该直线与椭圆相交
42 + 52 尝试遇到困难怎么办? 尝试遇到困难怎么办?
及椭圆, 作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考 观察图形,数形结合思考.
d=
4 x0 − 5 y0 + 40
=
4 x0 − 5 y0 + 40 41
且
x0 2 25
+
y0 2 9
=1
几何画板显示图形 几何画板显示图形
x2 y2 3.已知椭圆 例 3.已知椭圆 + = 1 ,直线 l: 4 x − 5 y + 40 = 0 ,椭圆 : 25 9 上是否存在一点, 的距离最小?最小距离是多少? 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少? 解:设直线 m 平行于直线 l，则 m l 直线 m 的方程可写成 4 x − 5 y + k = 0
1 已知直线y=x- 与椭圆 2+4y2=2，判断它们4 与椭圆x 例2.已知直线 已知直线 ， x1 + x2 = 2 5 由韦达定理 的位置关系。 的位置关系。
1 1 7 变式1：交点坐标是什么？ 变式 ：交点坐标是什么？ A(1, ), B(− , − ) 2 5 10 6 变式2：相交所得的弦的弦长是多少？ 变式 ：相交所得的弦的弦长是多少？ | AB |= 5 5
椭圆的简单几何性质----椭圆的第二定义
a c 到定直线l : x 的距离的比是常数 ( c a a c 0), 求点M的轨迹.
椭圆的第二定义
平面内到一个定点的距离与它到一条定 直线的距离的比是一个常数的动点M的 轨迹叫做椭圆. 定点：焦点(分左右) 定值有何几何意义？ 思考：定点、定直线、
a2 定直线：准线( x ，分左右)出a, b, c 2.将a, c的齐次方程，化为e的方程（同除以a ）
2
练习 1：已知椭圆中a, b, c成等比数列，求椭 圆的离心率.
例 3：点 M (( xx , ,yy )) 与定点 4,， 0)) 的距离和它到 例 3：点 M 与定点F (c 0 的距离和它 变式练习：点 F ( 2 ， 0 ) 的距离和它到 2 25M与定点 4 c a 直线 l : x l : x 的距离的比是常数 ，求 M的 到定直线 的距离的比是常数 ( 1 4 c a 定直线x 8的距离的比是 ，求点5 M的轨迹 . ac 轨迹 . 0), 求点M的轨迹. 2
2
2
x y 练习：椭圆 2 2 1中，求下列各式的值 a b PF QF AO AF FO , , , , PD BF BO AB AO
l
2
2
Q P
l
D
F
A
B
椭圆简单几何性质（第二课时）
b c 课后思考：能用 , 刻画椭圆的扁平程度吗？ a b 在求离心率时，是否一定需要求出a, c的值？
例：已知F1是椭圆的左焦点，A, B分别是 椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点
当PF1 F1 F2，PO // AB时，求椭圆的离心率
例2：设椭圆的两个焦点，分别为F1 , F2 过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若 F1 PF2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率
椭圆的简单几何性质(第二课时)
知识回顾 上节课我们研究椭圆的几个基本量 a，b，c，e及顶点、焦点、对称中心及 其相互之间的关系，
需要注意的是：
1.掌握数与形的联系； 2.求解椭圆方程的基本方法；
3.函数与方程思想和分类讨论思想.
课前热身
▲▲
你知道吗？
y
1. 长度为a的线段有 6 条.
C OC,OD . 2. 长度为b的线段有 3. OF1=OF2= c . A F1 O 4. AF1=BF2= a-c .
l
H
x
2. 哪些方法能求解未 知曲线类型的方程？ 3. 计算离心率e的值， 有何发现吗？
F
范例分析
简单回顾求△F1AB的周长的方法.
y
A
x
F1 F2
B
范例分析 2 2 x y 1上的一点， 例题2.点P是椭圆 4 3 F1，F2是焦点，若△PF1F2的内切圆 半径为1/2，求点P的纵坐标.
2. 作业本P19 1--11.
P
6. |OP|的最小值是 b ;最大值是 a .
5. AF2=BF1=
7. |PF1|的最小值是 a-c ;最大值是 a+c .
范例分析 例题1.点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到 直线l:x=25/4的距离之比是常数4/5， 求点M的轨迹.
y M
1. 你知道曲线类型吗？
y
P
x
F1
F2
温故知新
回顾 判断直线与圆的位置关系的方法.
d-r法 d=r 相切 d<r 相交 d>r 相离
△法 △=0 相切 △<0 相离 △>0 相交 .
今非昔比
探究 判断直线与椭圆的位置关系的方法.
人教版数学高二同步文科选修1-1第二章椭圆的简单几何性质(二)
2．1.2椭圆的简单几何性质(二)[教材研读]预习课本P41例6，思考以下问题1．点与椭圆的位置关系如何判断？2．直线与椭圆的位置关系如何判断？[要点梳理]1．点与椭圆的位置关系点P(x0，y0)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P在椭圆上⇔x20a2＋y20b2＝1；点P在椭圆内部⇔x20a2＋y20b2<1；点P在椭圆外部⇔x20a2＋y20b2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎨⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程．3.弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，曲线方程f (x ，y )＝0，直线与曲线的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2， ∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2 ＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， 或|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k y 1－1k y 22＋(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1－y 2)2＝1＋1k 2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与曲线方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得．[自我诊断]判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是m >1.( )2．椭圆2x 2＋3y 2＝m (m >0)的离心率为33.( )3．点A (2,2)在椭圆x 2＋4y 2＝36的内部．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.√题型一 直线与椭圆的位置关系思考1：如何判断直线与椭圆的位置关系？ 提示：联立直线与椭圆方程，求解的个数． 思考2：如何求椭圆上的点到直线的最小距离？提示：把点到直线的距离转化为过该点的直线与已知直线的两平行直线间的距离．在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y－16＝0的距离最短，并求出最短距离．[思路导引] 找点较难，所以找与直线l 平行且与椭圆相切的直线．[解] 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为 y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4， 故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4， 显然y ＝32x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313， 切点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－74.本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题．解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．[跟踪训练]已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离．[解] 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a＝0，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0，Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0， 解得a ＝3或a ＝－3，∴与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0， 最小距离为d ＝|4－3|2＝22.由{ x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－83，y ＝13，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，13.题型二 直线与椭圆的相交弦问题思考1：直线与椭圆的中点弦问题如何解决？ 提示：注意韦达定理的应用．思考2：如何求直线被圆锥曲线截得的弦长？提示：会应用弦长公式．已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程．(2)求直线l 被椭圆截得的弦长．[思路导引] 待定系数法，联立方程组，再由韦达定理求参数k ，然后由弦长公式求弦长．[解] (1)由题意可设直线l 的方程为y －2＝k (x －4)， 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k (4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k (4k －2)4k 2＋1＝8.所以k ＝－12.满足Δ>0.所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)， 即x ＋2y －8＝0.(2)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －8＝0x 2＋4y 2＝36∴x 2－8x ＋14＝0，则x 1＋x 2＝8，x 1·x 2＝14，代入弦长公式 |AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝10研究直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程，利用根与系数的关系或中点坐标公式解决．涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．[跟踪训练]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为__________________．[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程，有x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝12，∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)，∴b 2a 2＝12，∵右焦点为F (3,0)，c ＝3，∴a 2＝18，b 2＝9，∴椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.[答案] x 218＋y 29＝1题型三 椭圆中的最值(范围)问题已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．[思路导引] 联立方程组，由解的个数确定m 的取值范围，再由韦达定理得弦长关于m 的函数．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0， 解得－52≤m ≤52.(2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)， 所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45(m 2－1) ＝2510－8m 2.∴当m ＝0时，|AB |最大，即被椭圆截得的弦最长，此时直线方程为y ＝x .解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．[跟踪训练]如图，点A 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于y 轴下方的端点，过点A 且斜率为1的直线交椭圆于点B ，若P 在y 轴上，且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9.(1)若点P 的坐标为(0,1)，求椭圆C 的标准方程； (2)若点P 的坐标为(0，t )，求t 的取值范围． [解] ∵直线AB 的斜率为1，∴∠BAP ＝45°， 即△BAP 是等腰直角三角形，|AB →|＝2|AP →|. ∵AB →·AP →＝9，∴|AB →||AP →|cos45°＝2|AP →|2cos45°＝9，∴|AP →|＝3. (1)∵P (0,1)，∴|OP →|＝1，|OA →|＝2， 即b ＝2，且B (3,1)．∵B 在椭圆上，∴9a 2＋14＝1，得a 2＝12， ∴椭圆C 的标准方程为x 212＋y 24＝1.(2)由点P 的坐标为(0，t )及点A 位于x 轴下方，得点A 的坐标为(0，t －3)，∴t －3＝－b ，即b ＝3－t .显然点B 的坐标是(3，t )，将它代入椭圆方程得：9a 2＋t 2(3－t )2＝1，解得a 2＝3(3－t )23－2t. ∵a 2>b 2>0，∴3(3－t )23－2t>(3－t )2>0. ∴33－2t >1，即33－2t －1＝2t 3－2t>0， ∴所求t 的取值范围是0<t <32.课堂归纳小结解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为(1)设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)；(2)联立直线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x 1＋x 2，x 1·x 2或y 1＋y 2，y 1·y 2，进而求解.1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定[解析] ∵直线y －1＝k (x －1)，即直线恒过(1,1)点，又∵19＋14<1，∴点(1,1)在椭圆内，所以选B.[答案] B2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M ，N 两点，过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22，则m n 的值是( ) A.22 B.233 C.922 D.2327[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x 消去y 得，(m ＋n )x 2－2nx ＋n －1＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 中点为(x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝2n m ＋n，∴x 0＝n m ＋n ，代入y ＝1－x 得y 0＝m m ＋n .由题意y 0x 0＝22，∴m n ＝22，选A.[答案] A3．若直线mx ＋ny ＝4和⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．2个B ．至多一个C ．1个D ．0个[解析] ∵直线mx ＋ny ＝4与圆x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，即m 2＋n 2<4，又∵m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－5m 236<1，∴点P 在椭圆内．故直线与椭圆有2个交点．[答案] A4．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 [解析] ∵MF 1→⊥MF 2→，∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上，又点M在椭圆内部，∴c <b ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，即2c 2<a 2，∴c 2a 2<12，即c a <22.又e >0，∴0<e <22.[答案] C 5．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] ∵a 2＝4，b 2＝1，∴c ＝a 2－b 2＝3， ∴右焦点F (3，0)，∴直线l 的方程y ＝x － 3.由⎩⎨⎧ y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消去y 并整理，得5x 2－83x ＋8＝0. 设直线l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝835，x 1x 2＝85， ∴|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85， 即弦AB 的长为85.。
椭圆的简单几何性质(第二课时)
学科：数学教学内容：椭圆的简单几何性质（第二课时）【自学导引】动点M与定点F(c，0)的距离和它到定直线l：x ＝的距离的比是常数(a>c>0)，则动点M的轨迹是椭圆，定直线l叫做椭圆的准线．准线与长轴所在的直线所夹的角为90°．【思考导学】已知动点P的坐标(x，y)满足，则动点P的轨迹是椭圆．【典例剖析】［例1］已知椭圆＝1(a＞b＞0)的焦点坐标是F1(－c，0)和F2(c，0)，P(x0，y0)是椭圆上的任一点，求证：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，其中e是椭圆的离心率．证明：椭圆＝1(a＞b＞0)的两焦点F1(－c，0)、F2(c，0)，相应的准线方程分别是x ＝－和x ＝．∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率．∴＝e ，＝e．化简得：｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0．点评：｜PF1｜、｜PF2｜都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦点半径．｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远(近)点为长轴端点．［例2］已知点A(1，2)在椭圆＝1内，F的坐标为(2，0)，在椭圆上求一点P使|PA|＋2|PF|最小．解：∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2．∴F为椭圆的右焦点，并且离心率为．设P到右准线的距离为d，则|PF|＝d，d＝2|PF|．∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d．由几何性质可知，当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时，|P A|＋d最小．把y＝2代入＝1得x＝(负舍之)，即P(，2)为所求．点评：由＝得d＝2|PF|是求P点的关键．［例3］在椭圆＝1上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍．解：设P点的坐标为(x，y)，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．∵椭圆的准线方程为x＝±，∴，∵｜PF1｜＝2｜PF2｜，∴，∴x＝．把x＝代入方程＝1得y＝±．因此，P点的坐标为(，±)．点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离(焦半径)问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径公式．如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式．【随堂训练】1．椭圆＝1(a＞b＞0)的准线方程是( )A．y＝±Ｂ．y＝±Ｃ．y＝±Ｄ．x＝±解析：∵椭圆焦点在y轴上，且c＝∴椭圆的准线方程为y＝±．答案：Ｂ2．椭圆＝1的焦点到准线的距离是( )A．和B．和C．和D．解析：∵a2＝9，b2＝4，∴c＝，∴椭圆的焦点坐标为(±，0)，椭圆的准线方程为x＝±．∴椭圆的焦点到准线的距离为＝和＝答案：C3．已知椭圆＝1(a>b>0)的两准线间的距离为，离心率为，则椭圆方程为( )A．＝1B．＝1C．＝1D．＝1解析：由＝，＝，得a2＝16，＝4．答案：D4．两对称轴都与坐标轴重合，离心率e＝0．8，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程是( )A．＝1或＝1B．＝1或＝1C．＋＝1D．＝1解：设所求椭圆的方程为＝1(a＞b＞0)或＝1(a＞b＞0)．由题意，得解这个方程组，得．∴所求椭圆的方程为：＝1或＝1．答案：A5．已知椭圆＝1(a>b>0)的左焦点到右准线的距离为，中心到准线的距离为，则椭圆的方程为( )A．＋y2＝1B．＋y2＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：由－(－c)＝，＝得a2＝4，b2＝1．答案：A6．椭圆＝的离心率为( )A．B．C．D．无法确定解析：由＝知e＝．答案：B【强化训练】1．椭圆＝1和＝k(k＞0)具有( )A．相同的离心率B．相同的焦点C．相同的顶点D．相同的长、短轴解析：把方程＝k写成标准形式＝1．且当a＞b＞0时，两椭圆的离心率分别为和，两椭圆的离心率相等．当b＞a＞0时，两椭圆的离心率分别为，两椭圆的离心率相等．答案：A2．椭圆＝1上点P到右焦点的最值为( )A．最大值为5，最小值为4B．最大值为10，最小值为8C．最大值为10，最小值为6D．最大值为9，最小值为1解析：e＝，设两焦点分别为、由焦半径公式得|PF2|＝5－x0，∵－5≤x0≤5，∴当x0＝5时|PF2|min＝1，当x0＝－5时，|PF2|max＝9．答案：D3．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是( )A．B．C．D．解析：∵椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形．∴a＝2c，＝．答案：D4．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为( )A．B．C．D．解析：椭圆的两准线之间的距离为－(－)＝．∴由题意，得＝4³2c，∴＝．答案：D5．椭圆＝1的准线平行于x轴，则m的取值范围是( )A．m＞0B．0＜m＜1C．m＞1D．m＞0且m≠1解析：∵椭圆的准线平行于x轴，∴，即．∴答案：C6．椭圆＝1上的点P到左准线的距离是2．5，则P到右焦点的距离是________．解析：∵P到左准线的距离为2．5，∴＝e，而e＝，∴｜PF1｜＝2．5³＝2，∴｜PF2｜＝2³5－2＝8．即P到右焦点的距离为8．答案：87．椭圆的长轴长是______．解析：把椭圆的方程可写成，（4x－3y－33≠0）∴①一个焦点是(－1，1)，相对应的准线方程是4x－3y－33＝0，∴②由①、②得a＝，∴2a＝．答案：8．AB是过椭圆＝1的一个焦点F的弦，若AB的倾斜角为，求弦AB的长．解法一：不妨取F(1，0)，∴直线AB的方程为y＝(x－1)代入椭圆方程并整理得：19x2－30x－5＝0设A(x1，y1)，Ｂ(x2，y2)，则∴｜AＢ｜＝｜x1－x2｜＝解法二：设A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，F为右焦点．∵∠AFx＝，∴x1－c＝｜FA｜cos，x2－c＝｜FB｜cos(＋π)，∴｜FA｜＝a－x1＝．｜FB｜＝a－x2＝∴弦AB的长为：｜FA｜＋｜FＢ｜＝9．已知椭圆的一个焦点是F(1，1)，与它相对应的准线是x＋y－4＝0，离心率为，求椭圆的方程．解：设P(x，y)为椭圆上任意一点，∵椭圆的一个焦点是F(1，1)与它相对应的准线是x ＋y－4＝0，离心率为，∴，∴4(x－1)2＋4(y－1)2＝(x＋y－4)2．即3x2＋3y2－2xy－8＝0为所求．10．已知点P在椭圆＝1上(a＞b＞0)，F1、F2为椭圆的两个焦点，求|PF1|²|PF2|的取值范围．解：设P(x0，y0)，椭圆的准线方程为y＝±，不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点，则∴|PF1|＝y0＋a，|PF2|＝a－y0，∴|PF1|²|PF2|＝(a＋y0)(a－y0)＝a2－y02∵－a≤y0≤a∴当y0＝0时，|PF1|²|PF2|最大，最大值为a2．当y0＝±a时，|PF1|²|PF2|最小，最小值为a2－c2＝b2．因此，|PF1|²|PF2|的取值范围是［b2，a2］．【学后反思】椭圆的离心率是焦距与长轴的比，椭圆上任意一点到焦点的距离与这点到相应准线的距离的比也是离心率，这也是离心率的一个几何性质．椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，它也沟通了椭圆上点的焦半径｜PF｜与到相应准线距离d之间的关系．左焦半径公式是|PF1|＝a＋ex0，右焦半径公式是|PF2|＝a－ex0．焦半径公式除计算有关距离问题外还证明了椭圆上离焦点距离最远(近)点实为长轴端点．椭圆的准线方程为x＝±，但必须注意这是椭圆的中心在原点，焦点在x轴上时的结论．。
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4 2 2 ∴ AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 2( x1 x2 )2 2 = ( x x ) 4 x x 2 1 2 1 3
F
将上式两边平方，并化简，得9 x 2 25 y 2 225,
x2 y 2 即 1 25 9
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法) 联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
2 2 2 2
知识点2：弦长公式
可推广到任意二次曲线
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
弦长公式： | AB | 1 k 2 | x x | 1 1 | y y | A B A B 2
k
当直线斜率不存在时,则 AB y1 y2 .
1 x2 y2 已知椭圆 1的离心率 e ，求k 的值 2 k 8 9
解：当椭圆的焦点在
2
思考：
x 轴上时，
2 2 c k 1． b 9 ，得 a k 8 ， 1 由 e ，得： k 4 2
当椭圆的焦点在
2 ， a 9 b
2
y
轴上时， ，得 c 1 k ．
例6 点M ( x, y )与定点F (4,0)的距离和它到直线 25 4 l : x 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。 4 5
y l M o d H x
25 解：设d是点M到直线l : x 的距离，根据题意， 4 MF 4 点M的轨迹就是集合P M , d 5 ( x 4) y 2 4 由此得 . 25 5 x 4
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
6 当k = 时有一个交点 3 当k> 当6 6 或k<时有两个交点 3 3
x2 y2 1 练习2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 9 4 交点情况满足( D )
6 6 k< 时没有交点 3 3
A.没有公共点
C.两个公共点
B.一个公共点
D.有公共点
题型一：直线与椭圆的位置关系
2 2
x y 1 , 直线 4 x 5 y 40 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少?
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4 x 5 y 40 0 的距离的表达式.
解:∵椭圆
2
2
∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
y x 1 由 x2 消去 y 并化简整理得 2 y 1 2
2
2
y 2 1 的两个焦点坐标 F1 (1, 0), F2 (1, 0)
3x 4x 0
2.2.2椭圆的简单几何性质
第二课时
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|) 定 义 一个框，四个点，注意光滑和圆扁，莫忘对称要体现 y
y
M
F1
F2
x
M x
图
形
F1
2 2
O
O F2
方 范
程 围
2 2 x y x y 2 1 a b 0 2 2 1 a b 0 2 b a a b |x| a |y|b |x| b |y| a
通法
直线与椭圆的位置关系
种类: 相切 相离 相交 (( 没有交点 一个交点 二个交点 )) 相离(没有交点) 相切(一个交点) 相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax By C 0 2 由方程组 x y2 2 2 1 b a
mx 2 nx p 0(m 0)
解：设直线m平行于l，
则l可写成： 4x 5 y k 0
4 x 5 y k 0 2 2 2 2 消去y，得25x 8kx k - 225 0 由方程组 x y 1 25 9 由 0，得64k 2 - 4 25 （k 2 - 225） 0
题型二：弦长公式
例3：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
解 :由椭圆方程知 : a 4, b 1, c 3.
2 2 2
的右焦点，
右焦点F ( 3,0).
y x 3 2 x 2 y 1 4
直线l方程为: y x 3. 消y得： 5x2 8 3x 8 0
分析:先画图熟悉题意,
点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1 AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
x y 例 4:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 1 的左、右 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线，求 △F1 AB 的面积. 4 x2
2 △ （ 10k） 4(m 5k 2（ ) 5 5m） 0 m2 (5k 2 1)m 0
m 0,5k 2 1 m恒成立， 1 - m 0 m 1, 且m 5
解法二 直线y kx 1恒过定点（ 0,1 ）， 且与椭圆总有公共点， 定点必在椭圆上或或者 椭圆内 1 0 1, m 1且m 5 m
已知BC F1 F2 , F1 B 2.8cm, F1 F2 4.5cm, 求截口BAC所在椭圆的方程。
解：建立如图所示的直角坐标系， x2 y 2 设所求椭圆方程为 2 1. 2 a b 2 2 在RtBF1 F2中， F2 B F1 B F1 F2 2.82 4.52
c6 ∴ a 10 ，
2 2
x2 y2 1 9 4
，∴ b2 102 62 64
，
2 2 y x x y ． 1 1 或 所以椭圆的标准方程为 100 64 100 64
0 ,其长轴长是短轴长 例3 椭圆的一个顶点为 A2， 的2倍，求椭圆的标准方程．
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置
2
k 8
1 5 1 k 1 e ，即 k ． 由 ，得 9 4 2 4
5 ∴满足条件的 k 4 或 k ． 4
【变式与拓展】
3．从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为 120°，则
此椭圆的离心率 e 为( D )
2 A. 2
3 B. 2
1 C.2
6 D. 3
例5 如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕 其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一 个焦点F2上,由椭圆一个焦点F1出发的光线，经过旋转椭圆面反 射后集中到另一个焦点F2.
设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
8 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 5
8 3 8 x1 x2 , x1 x2 5 5
AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2
题型二：弦 1 的左、右 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点， 4 求 △F1 AB 的面积.
a 0 为长轴端点时， 解：（1）当 A2，
2 ，b 1，
2 ,a 4
0 为短轴端点时，b （2）当A2，
2 2 x y 椭圆的标准方程为： 1 ； 4 1
，
x2 y2 1； 椭圆的标准方程为： 4 16 2 2 x2 y2 x y 1 或 1 综上所述，椭圆的标准方程是 4 1 4 16
对称性 焦 点
关于x轴、y轴、原点对称 (c,0)、(c,0) (a,0) (0,b)
c e 0 e 1 a
(0,c)、(0,c) (b,0) (0,a)
顶
点
离心率
练习1.
已知椭圆方程为6x2+y2=6
2 6
。短轴长是：
30 .离心率等于： 6
它的长轴长是：
焦距是：
2
4 5 尝试遇到困难怎么办?
2 2
d
4 x0 5 y0 40
4 x0 5 y0 40 41
l
且
m
x0 2 25
y0 2 9
m
1
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.
题型一：直线与椭圆的位置关系
2 2
x y 1 , 直线 4 x 5 y 40 0 , 椭圆 例 2: 已知椭圆 25 9 y 上是否存在一点,到直线 l 的距离最小?最小距离是多少 ?
消去y
x2+4y2=2
因为
5 x 2 4 x 1 0 ----- (1)
4 x x2 由韦达定理 1 5 1 x1 x2 5
∆>0
所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
6 AB ( x1 x2 ) ( y1 y2 ) 2( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 4 x1 x2 2 5
B A F1 C o F2 x y
由椭圆的性质知， F1B F2 B 2a, 所以
1 1 a ( F1 B F2 B ) (2.8 2.82 4.52 ) 4.1 2 2