2014届高考理科理数学第一轮知识点总复习测试题6

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2014届高考理科理数学第一轮知识点总复习测试题52

第节曲线与方程【【选题明细表】一、选择题1.(2012厦门模拟)已知点F,直线l:x=-,点B是l上的动点.若过B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M,则点M的轨迹是( D)(A)双曲线(B)椭圆(C)圆(D)抛物线解析:由已知|MF|=|MB|.由抛物线定义知,点M的轨迹是以F为焦点,l 为准线的抛物线,故选D.2.长为3的线段AB的端点A、B分别在x轴、y轴上移动,=2,则点C的轨迹是( C)(A)线段(B)圆(C)椭圆(D)双曲线解析:设C(x,y),A(a,0),B(0,b),则a2+b2=9,①又=2,所以(x-a,y)=2(-x,b-y),即②把②代入①式整理可得:x2+y2=1.故选C.3.|y|-1=表示的曲线是( D)(A)抛物线(B)一个圆(C)两个圆(D)两个半圆解析:原方程等价于⇒⇒或故选D.4.(2013绵阳模拟)若曲线C1:x2+y2-2x=0与曲线C2:y(y-mx-m)=0有四个不同的交点,则实数m的范围是( B)(A)（-,）(B)（-,0）∪（0,）(C)[-,](D)(-∞,-)∪(,+∞)解析:曲线C2表示两条直线y=0与y-mx-m=0(m≠0).(显然m=0时不合题意)曲线C1:(x-1)2+y2=1表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆.因为y=0与曲线C1有两个交点,则直线y=mx+m与圆C1有两个交点,即<1且m≠0,解得-<m<且m≠0.故选B.5.设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,⊥,当点P 在y轴上运动时,点N的轨迹方程为( B)(A)y2=2x (B)y2=4x(C)y2=x (D)y2=x解析:设M(x0,0),P(0,y0),N(x,y),∵⊥,=(x0,-y0),=(1,-y0),∴(x0,-y0)·(1,-y0)=0,∴x 0+=0.由=2得(x-x0,y)=2(-x0,y0),∴即∴-x+=0,即y2=4x.故所求的点N的轨迹方程是y2=4x.故选B.二、填空题6.(2012佛山月考)在△ABC中,A为动点,B、C为定点,B,C(a>0),且满足条件sin∠ACB-sin∠ABC=sin A,则动点A的轨迹方程是.解析:由题意及正弦定理得|AB|-|AC|=|BC|<|BC|,故动点A的轨迹为双曲线右支.设双曲线方程为-=1(a'>0,b'>0),焦距为2c',则2c'=a,2a'=a,b'===.∴双曲线为:-=1.即-=1.答案:-=17.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(-2,1),B(-1,3),若点C满足=α+β,其中α,β∈[0,1]且α+β=1,则点C的轨迹方程是.解析:设C(x,y),则整理得将其代入α+β=1中整理得2x-y+5=0,又x=-2α-β=-2α-(1-α)=(-α-1)∈[-2,-1],所以点C的轨迹方程是2x-y+5=0,x∈[-2,-1].答案:2x-y+5=0,x∈[-2,-1]8.点P是圆C:(x+2)2+y2=4上的动点,定点F(2,0),线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q,则点Q的轨迹方程是. 解析:依题意有|QP|=|QF|,∴||QC|-|QF||=|CP|=2,又|CF|=4>2,故点Q的轨迹是以C、F为焦点的双曲线,a=1,c=2,∴b2=3,所求轨迹方程为x2-=1.答案:x2-=1三、解答题9.有一种大型商品,A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后,回运的费用是:每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A、B两地间的距离为10千米,顾客选A或选B购买这件商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低,求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.解:如图所示,以AB所确定的直线为x轴,AB中点O为坐标原点建立平面直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品便宜,并设A地的运费为3a元/千米,B地的运费为a元/千米,a>0.又价格+x A地运费≤价格+x B地运费,即3a≤a.∴3≤.两边平方,得9(x+5)2+9y2≤(x-5)2+y2,即+y2≤.∴以点C为圆心,为半径的圆是这两地购货的分界线;圆C内居民从A地购货便宜;圆C外的居民从B地购货便宜;圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等,可随意从A、B两地之一购货.10.已知定点F(0,1)和直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆的圆心为点C.(1)求动点C的轨迹方程;(2)过点F的直线l2交轨迹于P、Q两点,交直线l1于点R,求·的最小值.解:(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离,∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,∴动点C的轨迹方程为x2=4y.(2)由题意知,直线l2的方程可设为y=kx+1(k≠0),与抛物线方程联立消去y,得x2-4kx-4=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.又易得点R的坐标为,∴·=·=+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+(x1+x2)++4=-4(1+k2)+4k++4=4+8.∵k2+≥2,当且仅当k2=1时取等号.∴·≥4×2+8=16,即·的最小值为16.11.(2012广东揭阳市高中毕业班高考模拟)在直角坐标系xOy上取两个定点A1(-2,0),A2(2,0),再取两个动点N1(0,m),N2(0,n),且mn=3.(1)求直线A1N1与A2N2交点的轨迹M的方程;(2)已知点G(1,0)和G'(-1,0),点P在轨迹M上运动,现以P为圆心,PG 为半径作圆P,试探究是否存在一个以点G'(-1,0)为圆心的定圆,总与圆P内切?若存在,求出该定圆的方程;若不存在,请说明理由.解:(1)依题意知直线A 1N1的方程为y=(x+2)①直线A 2N2的方程为y=-(x-2)②设Q(x,y)是直线A1N1与A2N2交点,①×②得y2=-(x2-4).由mn=3,整理得+=1.∵N1,N2不与原点重合,∴点A1(-2,0),A2(2,0)不在轨迹M上,∴轨迹M的方程为+=1(x≠±2).(2)由(1)知,点G(1,0)和G'(-1,0)为椭圆+=1的两焦点,由椭圆的定义得|PG'|+|PG|=4,即|PG'|=4-|PG|,∴以G'为圆心,以4为半径的圆与圆P内切,即存在定圆G',该定圆与圆P恒内切,其方程为(x+1)2+y2=16.。

2014-2015高三数学第一轮高考总复习阶段测试卷[理科](第23周)

数学试卷（理）[第23周]第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( ) A ．{0} B ．{0,1} C ．{－1,1} D ．{－1,0,1} 2．命题p ：0∀>x ，都有sinx ≥-1，则( )A ．p ⌝：0∃>x ，使得sin 1x <- B. p ⌝：0∀>x ，都有sinx <-1 C. p ⌝：0∃>x ，使得sin 1x >- D. p ⌝：0x ∀>，都有sinx ≥-1 3．已知向量)0,3(),1,2(-=-=b a ，则a 在b 方向上的投影为( )A ．5-B ．5C ．-2D ．24. 在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝（）A. 58B. 88C.143D.1765. 设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 6．同时具有性质①最小正周期是π；②图像关于直线3π=x 对称；③在]3,6[ππ-上是增函数的一个函数是（）A ．)62sin(π+=x y B ．)32cos(π+=x y C ．)62sin(π-=x y D ．cos()26x y π=- 7．双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（） A ．38 B ．83 C ．316 D ．163 8. 已知函数()()31log 13xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭有两个零点12,x x ，则（）A.121x x <B.1212x x x x >+C.1212x x x x <+D.1212x x x x =+ 9.与直线04=--y x 和圆02222=-++y x y x 都相切的半径最小的圆的方程是( ) A. 22(1)(1)2x y +++= B. 22(1)(1)4x y +++=C. 2)1()1(22=++-y xD. 4)1()1(22=++-y x 10. 已知)(x f ，)(x g 都是定义在R 上的函数，且满足以下条件：①)(x f =x a 〃)(x g （1,0≠>a a ）；②)(x g 0≠； ③)()()()(x g x f x g x f ⋅'>'⋅；若25)1()1()1()1(=--+g f g f ，则a 等于( ) A ．21 B ．2 C ．45D ．2或2111．已知()2sin(+)f x x ωϕ= , (ω>0 , 22πϕπ<<-) ， A 、B 为图象上两点，B 是图象的最高点，C 为B 在x 轴上射影，且点C 的坐标为),0,12(π则AB 〃BC =( ). A.4π4+ B.4π4-C. 4D. 4-12.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且[]0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：()31f =；乙：函数()f x 在[]6,2--上是增函数；丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若()0,1m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为-8，其中正确的是（） A.甲，乙,丁 B.乙,丙 C.甲,乙,丙 D.甲,丁第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．） 13．已知圆x 2＋y 2－6x －7＝0与抛物线y 2＝2px （p >0）的准线相切，，则此抛物线的焦点坐标是___________。

2014届高三数学一轮复习 (基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)6.7数学归纳法课件新人教A版

1．在解答本题时有以下容易造成失分： (1)在代入n＝1,2,3时，不能准确求得a1，a2，a3，从而猜想不出an. (2)证明n＝k到n＝k＋1这一步时，采用2Sk＋1＝ 2(Sk＋ak＋1)＝2Sk＋2ak＋1＝a＋k＋2ak＋1＝k2＋k＋2(k ＋1)＝(k＋1)2＋k＋1＝a＋ak＋1.看似利用假设，实际利用猜想结论ak＋1＝k＋1，造成错误． 2．利用数学归纳法证明不等式过程中，不能正确合理地运用分析法、综合法，出现缺步、跳步现象．
1．用数学归纳法证明：对任意的 n∈N+，1×1 3＋3×1 5＋…
＋2n－112n＋1＝2nn＋1.
证明：(1)当n＝1时，左边＝
1 1×3
＝
1 3
，右边＝
2×11＋1＝13，左边＝右边，所以等式成立． (2)假设当 n＝k(k∈N+且 k≥1)时等式成立，即有
1×1 3＋3×1 5＋…＋2k－112k＋1＝2kk＋1，
猜想：an＝n.
由 2Sn＝an2＋n
①
可知，当 n≥2 时，2Sn－1＝a2n－1＋(n－1)
②
①—②，得 2an＝a2n－an2－1＋1，
即 an2＝2an＋a2n－1－1.
(1)当 n＝2 时，a22＝2a2＋12－1. ∵a2＞0，∴a2＝2. (2)假设当 n＝k(k≥2)时，ak＝k, 那么当 n＝k＋1 时， a2k＋1＝2ak＋1＋ak2－1＝2ak＋1＋k2－1 ⇒[ak＋1－(k＋1)] [ak＋1＋(k－1)]＝0， ∵ak＋1＞0，k≥2，且 ak＋1＋(k－1)＞0， ∴ak＋1＝k＋1. 即当 n＝k＋1 时也成立． ∴an＝n(n≥2)．显然 n＝1 时，也成立，故对于一切 n∈N*，均有 an＝n.

2014届高考数学一轮复习(配最新高考+模拟)第三章导数及其应用单元测试理

2014届高考数学（理）一轮复习单元测试第三章导数及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1、（某某某某市2013届高三第二次模拟）曲线f(x)=xlnx在点x=1处的切线方程为（）A．y=2x+2 B．y=2x-2 C．y=x-1 C．y=x+12、（2013高考某某理）已知e为自然对数的底数,设函数)2,1()1)(1()(=--=kxexf kx,则（）A．当1=k时,)(xf在1=x处取得极小值B．当1=k时,)(xf在1=x处取得极大值C．当2=k时,)(xf在1=x处取得极小值D．当2=k时,)(xf在1=x处取得极大值3、【北大附中某某分校2013届高三第四次月考理】如果)(xf'是二次函数, 且)(xf'的图象开口向上,顶点坐标为（1,3）, 那么曲线)(xfy=上任一点的切线的倾斜角α的取值X围是（）A．]3,0(πB．)2,3[ππC．]32,2(ππD．),3[ππ考理】已知函数()y xf x=' 4、【某某省六校联盟2013届高三第一次联的图象如图3所示（其中()f x'是函数)(xf的导函数）．下面四个图象中，)(xfy=的图象大致是（）5、（2013高考某某理）已知a为常数,函数()()lnf x x x ax=-有两个极值点1212,()x x x x<,则（）图3-11O xyA ．121()0,()2f x f x >>- B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-6、（某某省某某市2013高三第二次调研考试）由曲线sin ,cos y x y x ==与直线0,2x x π==所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的面积是（） A ．1B ．4π C ．223D ．2227、（2012某某市期末质检）已知函数a a bx ax x x f 7)(223--++=在1=x 处取得极大值10，则ba的值为（）A.32-B.2-C.2-或32-D.不存在8、（某某省某某市2013届高三4月模拟考试）设P 为曲线C :223y x x =++上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值X 围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,则点P 横坐标的取值X 围为（） A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦9、（某某省某某市2013届高三4月综合测试（二））已知函数()y f x =的图象如图1所示,则其导函数()y f x '=的图象可能是10、（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷））已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是（）A ．0x ∃∈R,0()0f x =B．函数()y f x =的图像是中心对称图形C ．若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D ．若0x 是()f x 的极值点,则0'()0f x =11、【某某省某某一中2013届高三1月调研理】设a 为实数，函数32()(3)f x x ax a x =++-的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为（） A ．31y x =+B ．3y x =-C ．31y x =-+D ．33y x =-12.【北大附中某某分校2013届高三第四次月考数学（理）】已知函数1()(*)n f x x n N +=∈的图象与直线1x =交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为n x ，则12013log x ＋22013log x ＋…＋20122013log x 的值为（）A ．－1B ． 1－log 20132012C ．-log 20132012D ．1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．（某某省某某市2013届高三4月高考测试（二））曲线y= x 3-x + 3在点(1,3)处的切线方程为_______ 14、（2013某某理）若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______. 15. （2012某某理）设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且()xxf e x e =+,则(1)xf =_________ 16、函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)设函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求a ，b ，c 的值；图1A ．B ．C ．D ．(2)求函数f (x )的单调递增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值．18．(本题满分12分) （2013某某理）设()()256ln f x a x x =-+,其中a R ∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值; (2)求函数()f x 的单调区间与极值.19．(本题满分12分)【市海淀区2013届高三上学期期末理】（本小题满分13分）已知函数e ().1axf x x =-（I ）当1a =时,求曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.20．(本题满分12分) （某某市2013届高三期末）第八届中国花博会将于2013年9月在某某举办，展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD ，BC a =，CD b =．a ，b 为常数且满足b a <.组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块AEF 建游客休息区（点E ，F 分别在线段AB ，AD 上），且该直角三角形AEF 的周长为（2l b >），如图．设AE x =，△AEF 的面积为S ．（1）求S 关于x 的函数关系式；（2）试确定点E 的位置，使得直角三角形地块AEF 的面积S 最大，并求出S 的最大值．21．(本题满分12分) （某某某某、某某、宿迁市2013届高三期末）已知函数).1,0(ln )(2≠>-+=a a a x x a x f x（1）求函数)(x f 在点))0(,0(f 处的切线方程；（2）求函数)(x f 单调区间；（3）若存在]1,1[,21-∈x x ，使得e e x f x f (1)()(21-≥-是自然对数的底数），某某数a 的取值X 围.22．(本题满分12分)（2013年高考某某卷（理））已知函数22,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩,其中a 是实数.设11(,())A x f x ,22(,())B x f x 为该函数图象上的两点,且12x x <.(Ⅰ)指出函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直,且20x <,求21x x -的最小值; (Ⅲ)若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合,求a 的取值X 围.参考答案1、C2、C3、【答案】B【解析】由题意可设2'()(1)0)f x a x a =-+>，即函数切线的斜率为2'()(1)k f x a x ==-+≥，即tan α≥32ππα≤<，选B.4、【答案】C【解析】由条件可知当01x <<时，'()0f x <，函数递减，当1x >时，'()0f x >，函数递增，所以当1x =时，函数取得极小值.当1x <-时，'()0xf x <，所以'()0f x >，函数递增，当10x -<<，'()0xf x >，所以'()0f x <，函数递减，所以当1x =-时，函数取得极大值.所以选C.5、D6、D7、【答案】A【解析】由题2'()32f x x ax b =++，则23201710a b a b a a ++=⎧⎨++--=⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩，或69a b =-⎧⎨=⎩，经检验69a b =-⎧⎨=⎩满足题意，故23a b =-，选A 。

2014届高考理科数学一轮复习数列的概念与简单表示法练习题

数列的概念与简单表示法1．数列{a n }：1，－58，715，－924，…的一个通项公式是( A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n (n ∈N ＋)B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n(n ∈N ＋)C ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋2n (n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋) 2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( A ．15 B ．16 C ．49 D ．643．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( A.1516 B.158 C.34 D.384．共有30项的数列{}n a 通项公式是nn a n --=9998，其中最大值项与最小值项分别是( ) A ．30a ，1a B ．10a ，9a C ．10a ，30a D ．1a ，9a5．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图K27－1)．则第7个三角形数是( )A ．27B ．28C ．29D ．306．[2011·太原模拟] 已知S n 是非零数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －1，则S 2 011等于( )A ．1－22 010B ．22 011－1C ．22 010－1D ．1－22 0117．、已知数列{}n a 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤-<≤=+)121(,12)210(,21n n n n n a a a a a ，若1a ＝67，则2010a 的值为( ) A.67 B.57 C.37 D.178．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 6＋a 7＋a 8＋a 9等于( A ．729 B ．367C ．604 D ．8549．已知数列{a n }的通项a n ＝na nb ＋c(a ，b ，c ∈(0，＋∞))，则a n 与a n ＋1的大小关系是( ) A ．a n >a n ＋1 B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1 D ．不能确定10．已知f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝f(2－x)，当－2≤x ≤0时，f(x)＝2x ，若n ∈N *，a n ＝f(n)，则a 2006＝( )A ．2006 B ．4C.14D ．－4 11．已知函数f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2 (当n 为奇数时)，－n 2 (当n 为偶数时)，且a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A ．0 B ．100C ．－100 D ．1020012．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋1n ，则a n ＝( ) A ．2＋lnn B ．2＋(n －1)lnnC ．2＋nlnn D ．1＋n ＋lnn13．已知数列{a n }中，a 1＝1，1a n ＋1＝1a n＋3(n ∈N *)，则a 10＝( A ．28 B ．33C.133 D.128 14．2011年，我国南方省市遭遇旱灾以及洪水灾害，为防洪抗旱，某地区大面积植树造林，如图K31－1，在区域{(x ，y )|x ≥0，y ≥0}内植树，第一棵树在点A 1(0,1)，第二棵树在点B 1三棵树在点C 1(1,0)，第四棵树在点C 2(2,0)，接着按图中箭头方向每隔一个单位种一棵树，那么第2011棵树所在的点的坐标是( )A ．(13,44)B ．(12,44)C ．(13,43)D ．(14,43)15\已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a 1＝3,4S n ＝6a n －a n －1＋4S n －1，则a n ＝________.16．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n ≥2)，则a n ＝________. 17．数列{a n }满足关系a n a n ＋1＝1－a n ＋1(n ∈N *)，且a 2010＝2，则a 2008＝________.19．已知数列{a n }的通项a n ＝na nb ＋c(a ，b ，c ∈(0，＋∞))，则a n 与a n ＋1的大小关系是( ) A ．a n >a n ＋1 B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1 D ．不能确定20．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＋1a n ＋a n ＋1－2a n ＝0(n ∈N *)，则a 2＝________；并归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝________.21．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n －1，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 25＝________.22．若f (n )为n 2＋1(n ∈N *)的各位数字之和，如62＋1＝37，f (6)＝3＋7＝10.f 1(n )＝f (n )，f 2(n )＝f (f 1(n ))，…，f k ＋1(n )＝f (f k (n ))，k ∈N *，则f 2013(4)＝________.20．一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中●表示实心圆，○表示空心圆)：●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前2 013个圆中，空心圆的个数为________．设平面内有n 条直线)3(≥n ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f =____________；当4>n 时，=)(n f （用n 表示）。

2014届高三理科数学综合测试题(6)

2014届数学（理科）综合测试题（6）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数1i的共轭复数是（）A ．i ；B ．i -；C ．1；D ．0． 2．设函数()lg(1)f x x =-的定义域为A ，值域为B ，则AB =（）A ．(0,)+∞；B ．(1,)+∞；C ．(0,1)；D ．(,1)-∞． 3．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11221,2,a b a b ====则55a b =（） A ．5； B ．16； C ．80； D ．160．4．“|1|2x -<”是“(3)0x x -<” 的（） A ．充分不必要条件； B ．必要不充分条件； C ．充要条件； D ．既不充分也不必要条件． 5．如下图所示的几何体，其俯视图正确的是（）6．若关于x 、y 的不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则实数a 的取值范围是（）A ．5a <；B ．7a ≥；C ．57a ≤<；D ．5a <或7a ≥． 7．若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则函数()f x 在下列区间单调递增的是（）A ．(2,0)-；B ．(0,1)；C ．(1,)+∞；D ．(,2)-∞-．8．定义平面向量的正弦积为||||sin 2a b a b θ⋅=，（其中θ为a 、b 的夹角），已知△ABC 中，AB BC ⋅=BC CA ⋅，则此三角形一定是（）A ．等腰三角形；B ．直角三角形；C ．锐角三角形；D ．钝角三角形．二、填空题（本题共7小题，共30分，第14、15题任选一道作答．）（一）必做题(9～13题)9．61()x x-展开式的常数项的值为________．10．点A (0,1)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离为________．11．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是5，则判断框内m 的取值范围是________． 12．若长方体的顶点都在半径为3的球面上，则该长方体表面积的最大值为________．13．若函数)(x f ，)(x g 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足x e x g x f =-)()(，则比较)2(f 、)0(g 、)3(f 的大小结果是________（从小到大排列）．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题全答的，只计第一题的分） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程是x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩．（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos ρθ=，则在曲线C 上到直线l ________个．15．（几何证明选讲选做题）（第15题图）如图，⊙O 的直径4=AB ，C 为圆周上一点，3=AC ，CD 是⊙O 的切线，CD BD ⊥于D ，则=CD ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，）16、（本小题满分12分）已知函数()sin(),(0,0,(0,))2f x A x A πωϕωϕ=+>>∈．的部分图象如图所示，其中点P 是图象的一个最高点．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知(,)2παπ∈且5sin 13α=，求()2f α．（第16题图）17、（本小题满分12分）在某次数学考试中，抽查了1000名学生的成绩，得到频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀．（1）下表是这次抽查成绩的频数分布表，试求正整数a 、b 的值；（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成绩进行分析，求抽取成绩为优秀的学生人数；（3）在根据(2)抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参加座谈会，记其中成绩为优秀的人数为X ，求X 的分布列与数学期望（即均值）．（第17题图）18、（本小题满分14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，△ABC 是正三角形，1AA 2AB ==，平面11ACC A ⊥平面ABC ，160A AC ∠=︒．（1）证明：1A B AC ⊥；（2）证明：求二面角11B AC C --的余弦值；（3）设点N 是平面11ACC A 内的动点，求1BN B N +的最小值．（第18题图）19、（本小题满分14分）已知正数数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，lg n S 、lg n 、1lg na 成等差数列．（1）求n a 和n S ；（2）设nn S b n =！，数列{}n b 的前n 项和为n T ，当2n ≥时，证明：2n n S T <<． 20、（本小题满分14分）已知顶点为原点O 的抛物线1C 的焦点F 与椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点重合1C 与2C 在第一和第四象限的交点分别为A 、B ．（1）若△AOB 是边长为1C 的方程；（2）若AF OF ⊥，求椭圆2C 的离心率e ；（3）点P 为椭圆2C 上的任一点，若直线AP 、BP 分别与x 轴交于点(,0)M m 和(,0)N n ，证探究：当a 为常数时，mn 是否为定值？请证明你的结论．21、（本小题满分14分）已知21()ln(1),()(,)2f x xg x ax bx a b R =+=+∈．（1）若2()(1)()b h x f x g x ==--且存在单调递减区间，求实数a 的取值范围；（2）若0,1a b ==,求证：当(1,)x ∈-+∞时，()()0f x g x -≤恒成立；（3）设0,0x y >>，证明：ln ln ()ln 2x yx x y y x y ++>+．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．A ；2．D ；3．C ；4．B ；5．C ；6．B ；7．D ；8．A ．二、填空题：本大题共7小题，学生解答其中6小题，每小题5分，共30分．9．20； 10 11．(12,20]；12．72；13．(0)(2)(3)g f f <<；14．3；15．三、解答题：本大题共6小题，共80分．16．（本小题满分12分）（1）由函数最大值为2 ，得A =2 。

第10章测试题-2014年高考数学(理)一轮复习精品资料(原卷版)

第十章测试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．231()x x +的展开式中的常数项为a ,则直线y ax =与曲线2y x =围成图形的面积为（）A.272 B. 9 C. 92 D. 2742．公安部新修订的《机动车登记规定》正式实施后,小型汽车的号牌已经可以采用“自主编排”的方式进行编排. 某人欲选由A 、B 、C 、D 、E 中的两个不同字母,和0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的3个不同数字,组成的三个数字都相邻的一个号牌,则他选择号牌的方法种数最多有（）A ．7200种B ．14400种C ．21600种D ．43200种3．设n x x )15(-的展开式的各项系数和为M ,二项式系数和为N ,若240M N -=,则展开式中x 的系数为（） A.150- B.150 C.300 D.300-4．在实验员进行一项实验中,先后要实施5个程序,其中程序A 只能出现在第一步或最后一步,程序C 和D 实施时必须相邻,则实验顺序的编排方法共有（）A 、15种B 、18种C 、44种D 、24种5．设m 为正整数,(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a,(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m ＝ ( )A 、5B 、6C 、7D 、8 6．6(42)x x -+的展开式中的常数项是（）（A ）1 （B ）6 （C ）15 （D ）207．设三位数abc n =,若以c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形,则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个8．二项式33()6ax -的展开式的第二项的系数为23-,则22a x dx -⎰的值为（）A.3B. 73C. 3或73D. 3或103-9．x x n+⎛⎝ ⎫⎭⎪132（*∈N n ）展开式中只有第6项系数最大,则其常数项为（）A. 120B. 210C. 252D. 4510．设n 为奇数,那么11111111112211-⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+---n n n n n n n C C C 除以13的余数是（）A.3-B. 2C. 10D. 1111．设复数i ix -+=11（i 是虚数单位）,则=++++2010201020102220101201002010x C x C x C C （）A ．i 10042B ．i 10052C ．10052- D.10042-12．设5250125(2)(2)++(2)x a a x a x a x =+-+--,那么的02413a a a a a +++值为_______A ．－122-121 B.－6160 C.－244241 D.-1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上）13．设常数R ∈a ,若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-,则a = .14．某铁路货运站对6列货运列车进行编组调度,决定将这6列列车编成两组,每组3列,且甲与乙两列列车不在同一小组,如果甲所在小组3列列车先开出,那么这6列列车先后不同的发车顺序共有．15．如图所示是一个由边长为1个单位的12个正方形组成的43⨯棋盘,规定每次只能沿正方形的边运动,且只能走一个单位,则从A 走到B 的最短路径的走法有种16．已知（1＋x ）＋2(1)x ＋＋3(1)x ＋＋…＋(1)n x ＋＝0a ＋1a x ＋21a x ＋…＋nn a x ,且0a ＋1a ＋2a ＋…＋n a ＝126,则n 的值为______________．三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．若n x )1(-的展开式中只有第10项的二项式系数最大,（1）求展开式中系数最大的项；（2）设nn n x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-2210)12(,求n a a a a +⋅⋅⋅+++420．18．有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,试求出现以下结果时各有多少种情况？(1)4只鞋子恰成两双；(2)4只鞋子没有成双的．19．已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数的和比7(32)a b +展开式的二项式系数的和大128,求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项.20．一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球.(1)从中任取4个球,红球个数不少于白球个数的取法有多少种?(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7的取法21．按照下列要求,分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子,每个盒子至少一个小球；(4)6个不同的小球放入4个不同的盒子,恰有1个空盒．22．若6(2)ax b +的展开式中2x 与3x 的系数之比为3:4,其中0,0a b >≠（1）当1a =时,求6(2)ax b +的展开式中二项式系数最大的项．．．．；（2）令316(,)b F a b a +=,求(,)F a b 的最小值．。

2014高考数学(理)一轮总复习同步练习：数学归纳法汇总

第43讲数学归纳法1.用数学归纳法证明不等式2n >n 2(其中n ∈N ＋，n ≥n 0)时，初始值n 0＝( ) A ． 1 B ．3 C ．5 D ．62.设S (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则 ( )A ．S (n )共有n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13B ．S (n )共有n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14C ．S (n )共有n 2－n 项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋14D ．S (n )共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，S (2)＝12＋13＋143.用数学归纳法证明命题“当n 为正偶数时，x n －y n能被x －y 整除”时，在验证n ＝2正确后，归纳假设应写成( )A ．假设n ＝k (k ∈N *)时，x k －y k 能被x －y 整除B ．假设n ＝k (k ∈N *)时，x 2k －y 2k 能被x －y 整除C ．假设n ＝2k (k ∈N *)时，x 2k －y 2k 能被x －y 整除D ．假设n ＝2k －2(k ∈N *)时，x 2k －y 2k 能被x －y 整除4.用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2中，首先当n ＝1时，左边＝1，右边＝1，命题成立；假设当n ＝k 时，命题成立；当n ＝k ＋1时，1＋3＋5＋…＋(2k ＋1)＝（k ＋1）（1＋2k ＋1）2＝(k ＋1)2，命题成立，得到n ∈N *命题成立，则以下说法正确的是( )A ．验证n ＝1错误B ．假设错误C ．从n ＝k 到n ＝k ＋1推理错误D ．以上都不对5.观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1，1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2，1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为______________________________________．6.用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为__________________．7.已知a >0，b >0，n >1，n ∈N *，用数学归纳法证明：a n ＋b n 2≥(a ＋b2)n.8.用数学归纳法证明：当n ∈N 时， 1＋2＋22＋…＋25n －1是31的倍数时，当n ＝1时，原式为________________，从k 到k ＋1时需增添的项是________________________________．9.(2012·湖北卷)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则(1)4位回文数有__________个；(2)2n ＋1(n ∈N ＋)位回文数有____________个．10.设函数f (x )满足2f (x )－f (1x )＝4x －2x ＋1，数列{a n }和{b n }满足下列条件：a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝f (n )，b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．(1)求f (x )的解析式；(2)求数列{b n }的通项公式b n ；(3)试比较2a n 与b n 的大小，并证明你的结论．第43讲1．C 2.D 3.C 4.C 5.1＋12＋13＋…＋12n －1>n2(n ∈N *) 6.(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋67．证明：(1)当n ＝2时，左边－右边＝a 2＋b 22－(a ＋b 2)2＝(a －b2)2≥0，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k >1)时，不等式成立，即a k ＋b k 2≥(a ＋b2)k . 因为a >0，b >0，k >1，k ∈N *，所以(a k ＋1＋b k ＋1)－(a k b ＋ab k)＝(a －b )·(a k －b k )≥0. 于是a k ＋1＋b k ＋1≥a k b ＋ab k. 当n ＝k ＋1时， (a ＋b 2)k ＋1＝(a ＋b 2)k ·a ＋b 2≤a k ＋b k 2·a ＋b 2 ＝a k ＋1＋b k ＋1＋a k b ＋ab k4≤a k ＋1＋b k ＋1＋a k ＋1＋b k ＋14＝a k ＋1＋b k ＋12. 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(1)(2)知，对于a >0，b >0，n >1，n ∈N *，不等式a n ＋b n 2≥(a ＋b2)n 总成立． 8．1＋2＋22＋23＋24 25k ＋25k ＋1＋25k ＋2＋25k ＋3＋25k ＋4解析：当n ＝1时代入可得1＋2＋22＋23＋24.当n ＝k 时，左边＝1＋2＋22＋…＋25k －1，当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋22＋…＋25k －1＋25k ＋25k ＋1＋…＋25k ＋4，与上式相减可得．9．90 9×10n解析：方法1：(1)4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，有9(1～9)种情况，第二位有10(0～9)种情况，所以4位回文数有9×10＝90种．(2)由上面多组数据研究发现，2n ＋1位回文数和2n ＋2位回文数的个数相同，所以可以算出2n ＋2位回文数的个数.2n ＋2位回文数只用看前n ＋1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n 项每项有10种情况，所以个数为9×10n.方法2：可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数．计算四位数的回文数是可以看出在2位数的中间添加成对的“00，11，22，…，99”，因此四位数的回文数有90个，按此规律推导S 2n ＝10S 2n －2，而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0～9这十个数，因此S 2n ＋1＝10S 2n ，则答案为9×10n.10．解析：(1)由已知，2f (x )－f (1x )＝4x －2x ＋1，所以2f (1x )－f (x )＝4x －2x ＋1. 联立解得f (x )＝2x ＋1.(2)由(1)知，a n ＋1－2a n ＝2n ＋1，所以a n ＋2－2a n ＋1＝2n ＋3. 两式相减得a n ＋2－3a n ＋1＋2a n ＝2，即a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )＋2，所以b n ＋1＝2b n ＋2. 则b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，所以数列{b n ＋2}是公比为2的等比数列．又因为a 1＝1，所以a 2＝5，则b 1＝4，所以b 1＋2＝6，所以b n ＋2＝6·2n －1，所以b n ＝3·2n －2(n ∈N *)．(3)由(2)知a n＋1－a n＝3·2n－2，而已知a n＋1－2a n＝2n＋1.联立解得a n＝3·2n－2n－3，所以2a n＝6·2n－4n－6，所以2a n－b n＝3·2n－4(n＋1)，n＝1时，2a1<b1；n＝2时，2a2＝b2；n＝3时，2a3>b3；n＝4时，2a4>b4.猜想n≥3时，2a n>b n，即3·2n>4(n＋1)．下面用数学归纳法证明：(ⅰ)当n＝3时，显然成立．(ⅱ)假设当n＝k(k>3，k∈N*)时成立，则n＝k＋1时，3·2k＋1＝2·(3·2k)>8(k＋1)＝8k＋8＝4k＋8＋4k>4k＋8＝4(k＋2)，所以n＝k＋1时也成立．由(ⅰ)(ⅱ)知，n≥3时，2a n>b n.综上所述，n＝1时，2a n<b n；n＝2时，2a n＝b n；n≥3时，2a n>b n.。

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第节空间几何体的表面积和体积
【选题明细表】
知识点、方法题号
几何体的表面积 2、8、12
几何体的体积 1、3、4、5、9、11、12
几何体的展开与折叠 6、7
与球有关的问题 10
一、选择题
1.(2013重庆青木关中学高三月考)如图所示,一个空间几何体的正视
图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形,且直角三角形的直
角边长为1,那么这个几何体的体积为( A )

(A) (B) (C) (D)1
解析:根据三视图,可知该几何体是三棱锥,如图为该三棱锥的直观
图,
三棱锥的底面是一个腰长是1的等腰直角三角形,
∴底面的面积是×1×1=.
垂直于底面的侧棱长是1,即高为1,
∴三棱锥的体积是××1=.
故选A.
2.一个斜三棱柱(侧棱与底面不垂直),底面是边长为5的正三角形,
侧棱长为4,侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°,则这个斜三棱
柱的侧面积是( B )
(A)40 (B)20(1+)
(C)30(1+) (D)30

解析:如图所示,若∠A1AC=∠A1AB=60°,则可证明▱BB1C1C为矩形,因
此,S侧=2+=2×4×5×sin 60°+4×5=20(1+).故选B.
3. (2013宜宾高三综合考试)如图所示,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上
各有一动点P,Q满足A1P=BQ,过P、Q、C三点的截面把棱柱分成两部
分,则其体积之比为( B )

(A)3∶1 (B)2∶1
(C)4∶1 (D)∶1
解析:考查点P、Q特殊位置时的情况:当P与A点重合,点Q与B1点重
合,设底面ABC的面积为S,三棱柱高为h,则=Sh=,∴
截面所分成两部分体积比为2∶1.故选B.
4.(2013成都高三检测)P为矩形ABCD所在平面外一点,且PA⊥平面
ABCD,PB=2,PC=,PD=,则四棱锥PABCD的体积等于( B )
(A)2 (B)4 (C)6 (D)12
解析:在Rt△PBC中,BC=3,
在Rt△PCD中,CD=2,
在Rt△ABC中,AC=,
在Rt△PAC中,PA=2,

∴V=×3×2×2=4.
故选B.
5.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积(单位:cm3)为
( A )

(A)π+ (B)2π+
(C)2π+ (D)π+
解析:由三视图想象其直观图如图,该组合体上部是一个三棱锥,下部
是一圆柱.由图中数据知V圆柱=π×12×1=π.
三棱锥垂直于底面的侧面是边长为2的等边三角形,故其高即为三棱
锥的高,高为,故棱锥高为.
由于棱锥底面为一等腰直角三角形,且斜边长为2,故两直角边长度都

是,底面三角形的面积是××=1.

故V棱锥=×1×=,故该几何体的体积是π+.故选A.
6. (2012北京市朝阳区高三上学期期末)已知正方形ABCD的边长为
2,

将△ABC沿对角线AC折起,使平面ABC⊥平面ACD,得到如图所示的三
棱锥BACD.若O为AC边的中点,M,N分别为线段DC,BO上的动点(不
包括端点),且BN=CM.设BN=x,则三棱锥NAMC的体积y=f(x)的函数图
象大致是( B )
解析:等腰△ABC中,O为AC的中点,∴OB⊥AC.
又因OB⊂平面BAC,且平面ABC⊥平面ACD,
∴OB⊥平面ACD,∴三棱锥NAMC的高为NO,
Rt△ABC中,AB=BC=2,∴OB=2,∴NO=2-x,

S△AMC=x·2=x,

∴=(2-x)·x=(-x2+2x),
即f(x)=(-x2+2x)(0二、填空题
7.(2012湖州模拟)如图所示,已知一个多面体的平面展开图由一个边
长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成,则该多面体的体积
是 .

解析:易知该几何体是正四棱锥.
设正四棱锥PABCD,连接BD,
由PD=PB=1,BD=,则PD⊥PB.
设底面中心O,则四棱锥高PO=,

则其体积是V=Sh=×12×=.
答案:
8.(2012韶关调研)如图所示,BD是边长为3的正方形ABCD的对角线,
将△BCD绕直线AB旋转一周后形成的几何体的体积等于 .

解析:旋转后形成的几何体是一个圆柱体挖去一个倒置的圆锥,其中
圆柱、圆锥的底面半径、高均为3,所以V=V柱体-V锥体=π×32×3-×π
×32×3=18π.
答案:18π
9.(2013成都外国语学校高三月考)已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底
面边长都相等且为1,A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心O,则三棱
柱ABCA1B1C1体积等于 .
解析:∵△ABC为正三角形,
且边长为1,
∴AO=×=,
∴A1O=
=
=,
∴=×12×=.
答案:
10.已知一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所
有顶点都在一个球面上,则这个球的表面积是 .

解析:由三视图可知,这个空间几何体是一个各棱长都为2的正三棱
柱,如图所示,其中O1、O2是上、下底面的中心,O是上下底面中心的连
线的中点,则OA就是其外接球的半径,故OO2=1,O2A=,所以OA2=1+=,
故其外接球的表面积是4π×=.
答案:
三、解答题
11.某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示.墩的上半部
分是正四棱锥PEFGH(底面为正方形,从顶点向底面作垂线,垂足是底
面中心),下半部分是长方体ABCDEFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩
的正视图和俯视图.

(1)请画出该安全标识墩的侧视图;
(2)求该安全标识墩的体积.
解:(1)侧视图如图所示.

(2)该安全标识墩的体积
V=+
=×402×60+402×20
=32000+32000=64000(cm3).
12.如图所示,在边长为5+的正方形ABCD中,以A为圆心画一个扇形,
以O为圆心画一个圆,M,N,K为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆O为
圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥的表面积与体积.

解:设圆锥的母线长为l,底面半径为r,高为h,
由已知条件,
解得r=,l=4,
S=πrl+πr2=10π,

h==,
V=πr2h=.