塔克马大桥

B.共振(Resonance) 问题：受迫振动系统达到稳定振动状态后，周期 性外力角频率为何值，受迫振动振幅最大？ 这是一个简单的数学问题： (5)式分母取极小值； 得： (1) p 0
2 p 0 2 2
(2)
(1)式对应强迫力为一恒力的情形，不合题意； (2)式是使(5)式分母取极小值的条件；
2 0 2
大阻尼
o
0
P
二、大桥的固有频率与其质量大小，形状等因素有关。 使用方法： 1、打开电源开关，电机转动，振动片产生振动现象； 2、调节电流（频率）控制旋扭，当电动机产生的驱动力 频率与振动片的固有频率接近或相等时，该振动片就会 发生共振，它的振幅迅速增大到非常可观的程度。再调 节电流（频率）控制旋扭，当驱动力的频率逐步远离振 动片的固有频率时，该振动片的振幅又逐步变小； 3、改变振动片的形状，其固频率随之改变； 4、改变振动片的质量，其固有频率随之改变 注意事项： 1、做实验时应该先将电路中的电流调到最小，然后打开 电源开关； 2 、振动片固定在两线线之间容易找到共振点。
剧烈振动是振幅 从刚才的介绍中我们知道引起大桥剧烈振动的外部原因是大风。
风的哪些因素会改变大桥的振幅 ？
大风的呼啸声
风速的大小即风对桥的作用力大小，这种力我们称作驱动力。 我们再看阵风，即是具有周期性的作用，物体在这种周期性外 力作用下的振动叫受迫振动。驱动力的频率用 f 表示。 风的吹动方向，即风向不同。 风速F风→驱动力 阵风→驱动频率f驱 吹动方向
从上面的实验我们可以得出应使大桥 的固有频率与当地大风的驱动频率相 差远一点，这样来避免大桥发生共振。
那么还有什么情况会使大桥毁坏呢？ 地震、发洪水、整齐踏步等。
共振的魔力
共振创造了世界 共振不仅在物理学上运用频率非常高，而且共振现象 也可以说是一种宇宙间最普遍和最频繁的自然现象之一， 所以在某种程度上甚至可以这么说，是共振产生了宇宙和 世间万物，没有共振就没有世界。
结论：强迫力的角频率满足(2)式时，受迫振动稳 定振动状态的振幅有极大值；此振动现象叫共振： 对应共振角频率；共振振幅；
r 02 2 2 共振频率
共振振幅 Ar
(3)
f 2
2 0 2
(4)
讨论：1. 小 r 0
2. 0 r 0 Ar 尖锐共振；
Ar 大
d2 x dx 总之： 2 02 x f cos pt dt 2 dt
x A cos(pt )
A f ( ) 4
2 0 2 p 2 2 p
共振频率
A
小阻尼 阻尼 0
r 02 2 2 共振频率
共振振幅 Ar
f 2
k ；2 C m； f F m； m
3.分析：强迫力不存在时，(2)式成为阻尼振动微 分方程；由微分方程理论：(2)式的解应包含阻尼 振动的解，另外还应包含(2)式的一个特解。总之： (2)式的解为：
x A0e
t
cos(t ) A cos(pt ) (3)
4.讨论：经足够长的时间， (3)式首项衰减为零， 故只有次项起作用。此时有解：
最后让我们再次感受一下共振对塔柯姆大桥的毁灭
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共振亦能毁灭世界 对人体危害程度尤为厉害的是次声波所产生的共振。 人们在生活和生产中会接触到各种振动源，这些振动都可 能会对人体产生危害。由于共振的力量，巨大的冰川能被 “温柔”的海洋波涛给拍裂开。对于桥梁来说，不光是大 队人马厚重整齐的脚步能使之断裂，那些看似无物的风儿 同样也能对之造成威胁。
F kx
阻尼力：
f r Cv
由牛顿定律得：
m
整理得：
2
d x dt
2
2
kx Cx F cos p t
(1)
dx dx 2 2 0 x f cos pt 2 dt dt
(2)
注意：1. (2)式为受迫振动微分方程＝非齐次常系 数二阶微分方程；
2.其中： 0
引起大桥剧烈振动的关键因素是大风的
驱动频率与大桥自身的固有频率 一、为了方便，我们用带有弹簧振子的这种装置 来进行研究它们之间的关系。 １、先测出弹簧振子的固有频率； ２、至少分三步：慢、中、快匀速摇动把手。 ３、在上述三步中分别测出摇把手的转动频率， 并观察弹簧振子的振幅。 ４、比较三步过程中的记录并得出结论。
振幅（Ａ）
风
我根据这座大桥所做的模型，大风电风扇来模拟。 开动不同风速 不同方向的风 吹） 周期性的风 大桥在不用风力下，并无明显区别 并无明显区别（只要“横”和“顺” 不同频率的阵风，只有在一定频率时， 大桥振幅才最大。
从这个实验看，除了大风，引起大桥产生剧烈 振动还与大桥的自身因素因有关。
风速→F风→驱动力 风 振幅（Ａ） 阵风→驱动频率f 吹动方向 大桥本身的振动情况 固有振动→f
1940年11月7日美国的全长860m的 塔柯姆大桥因大风引起的振动而塌毁 ， 尽管当时的风速还不到设计风速限值的 1/3。可是因为这座大桥的实际的抗共振 强度没有过关，所以导致事故的发生。
首 先 让 我 们 看 看 当 时 发 生 的 那 一 幕
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大桥的桥面在很厉害剧烈摇晃振动，最后因承受不住而断裂。
x A cos( pt )
(4)
称此时受迫振动系统达到稳定振动状态，对应 解(4)式：此时的角频率与强迫力角频率相同、 与强迫力有恒定相位差 ;
将上式带入(2)式可得稳定振动状态对应的振幅 和初相：
A
f ( ) 4
2 0 2 p 2 2 p
(5)
tg
2 p
Where in the World is the Tacoma Narrows?
1940 Tacoma Narrows Bridge
现在的 Narrows Bridge
The New (2007) Narrows Bridge
Google Earth 拍摄的照片
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tacoma大桥因为承受不住剧烈振动而塌毁了。

2 0
2 p
(6)
( ) 4 2 p tg 2 2 0 p
2 0 2 p 2
A
f
2 p
(5)
(6)
讨论：受迫振动系统的稳定振动状态； 1.振幅和初相与初条件无关； 2.振幅和初相与强迫力振幅、角频率 以及系统固有频率、阻尼系数有关；
问题：稳定振动状态的振幅有无极值？有何 条件？对应何现象？
Ａ
f固
f驱
大家可以得到了这一结论，我们把物体振幅加剧的现象 叫共振。 共振：①物体在作受迫振动； ②当驱动力的频率与物体的固有频率相等 或接近时。 现在我们用系统讨论一下 弹簧振子的受迫振动与共振 从而得出阻尼振动和共振的性质
此部分摘自梁志强老师教学课件
A.受迫振动 受迫振动：施加周期性外力作用下的振动； 这种周期性外力有时不可避免：周期性阵风作用下建 筑物发生的振动；桥樑由于火车行驶而引起的振动等； 受迫振动在电磁学、机械工程等领域都有重要应用。 问题：讨论在上述阻尼力模型作用下弹簧振子的受迫 振动； 设周期性外力： Ft F cos pt 弹性力：