高中数学2.2.5《导数的几何意义》教案北师大版选修2-
《导数的概念及其几何意义》课件1 (北师大版选修2-2)
y
M
求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.
j
x
-1 O
1
1 3 8 y x 上一点P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x x ) x 1 3 y 3 解： ) y x , y lim (1 lim 3 x 0 x x 0 3 x y 1 y x 2 2 3 3 4 1 3 x x 3 x ( x ) ( x ) lim 3 3 x 0 x 2 1 2 2 2 lim[3 x 3 xx ( x ) ] x . 1 3 x 0
'
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.
例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.
3
P
y | x 2 2 2 4.
即点P处的切线的斜率等于4.
x
-2 -1
O -1 -2
1
2
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
归纳:求切线方程的步骤
（1）求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ，得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即
2.2 导数的概念及其几何意义 课件(北师大版选修2-2)
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
导.学. 固. 思
问题1 根据创设的情境,割线PP 的变化趋势是 n
点Pn趋近于
点P时,割线PPn趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线 .
问题2
导数的概念与求法: 我们将函数 f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
f (x 0 +Δ x )-f (x 0 ) Δx Δy
Δ x →0
lim
称为 f(x)在 x=x0 处的导数,即有
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
������ (������ 0 +ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
ℎ →0
=-
4f'(x0)=-8.
求切线方程 已知曲线 y=������-������ 上两点 P(2,-1),Q(-1,2 ). (1)求曲线在点 P,Q 处的切线的斜率; (2)求曲线在 P,Q 处的切线方程.
1 1
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
北师大版高中数学选修导数的概念及其几何意义学案
导数的概念及几何意义简析一、考试要求了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等），掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念和在某一点的导数的联系和区别；了解导数的概念，能利用导数定义求导数和解决与曲线的切线有关的问题．二、重点难点解释1导数概念的发生和发展过程的认识教材在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念，函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，变化率无限去趋近于唯一的一个常数，这个常数就定义为在该点的导数．对于一般的曲线，必须重新寻求曲线的切线的定义，所以新教材利用割线的极限位置来定义了曲线的切线．为此导数集数与形于一身，运动变化的认识导数的形成过程，代数的认为过曲线上某点的平均变化率无限趋近于唯一的一个常数,这个常数称为在该点的导数；几何的认为过曲线上任一定点引曲线的割线，当动点无限趋近于该定点时，割线的斜率无限趋近于唯一的一个常数，割线就变为切线，这就是导数的几何意义即为曲线上过该点的切线的斜率，于是，导数问题丰富多彩，切线问题使“数”和“形”达到完美的统一。
只要我们分析导数的形成过程，深刻理解导数概念和几何意义，设切点、写切线、跟题走，掌握解题归律，导数问题就不难被解决。
2求导数的方法把握导数定义的生成过程，可用两种方法求解，一是利用在某一点的导数的形成过程，即定义法求解；二是利用导函数的函数值即为某一时刻的瞬时速度。
对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)x ∆是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)；(2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果x ∆→0时，xy ∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数；(3) 如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；(2) 求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f k x y x =--=→=→∆∆→∆时，时，3 导数几何意义的再认识用运动变化的观念分析曲线()x f y C =:上某点()00,y x 切线的斜率就是过曲线上某点()00,y x 处的导数，它可以从曲线上某点()00,y x 引割线，当动点无限趋近某点()00,y x 时，割线就变为切线，割线的斜率趋近于唯一的一个常数，这个常数就是曲线上的某点()00,y x的导数，其几何意义为切线的斜率，计算方法为()()0,0000,,0x f x x y y k x x x f x y k x =--=→=∆∆=→∆时，时， 特别地，如果曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴，这时导数不存，根据切线定义，可得切线方程为x x =三、经典问题解释1导数的定义与瞬时速度的关系 例1 一质点运动的方程为S=8—3t 2.（1）求质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度； （2）求在t=1时的瞬时速度 ；简析：（1）理解平均速度的意义，质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度()()t t f x f t S ∆--=∆-∆+=∆∆611（2）由导数的定义，运动变化使增量趋近于1时，其平均速度变为t=1时的瞬时速度为-6；理解导数的意义，求导数导函数的函数值就是在某一刻的瞬时速度，()()61,6,,-=∴-=S t t S 为在t=1时的瞬时速度2 理解导数的概念和几何意义，用定义法求在某一点处的导数例2求下列函数的导数⑴ ()()()()()0f 5021,求,x x x x x f ---= ;⑵ 已知函数()()()()⎩⎨⎧<≥+=0022x x x x x f ，求在x=0处的导数 ; ⑶ 已知函数()x x x f =，求在x=0处的导数简析：理解导数的定义，运动变化的观念认识在某点的导数，注意导数发生发展中所蕴涵的方法，求导数的方法和步骤x y ∆∆→，研究xy ∆∆的变化趋势是否趋近于唯一的某个常数？ ⑴ 若先对函数求导，用积的导数运算法则复杂难以切入；若用导数的定义求在0处的导数使问题获解。
高中数学《导数的概念及几何意义》导学案课件 北师大版选修22
设P0为曲线(qūxiàn)f(x)=x3+x-2上的点,且曲线(qūxiàn)在P0处
的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为
(1,0)或(-1,-4)
【解析】f'(x)= lim
3
(x+Δx) +(x+Δx)-2-(x 3 +x-2)
Δx
Δx→0
= lim
Δx→0
.
2
(3x 2 +1)Δx+3x(Δx) +(Δx)
【解析】设 P 点坐标为(x0,y0),
y'=
=
→0 →0
2
(+ ) - 2
=
2 +()
→0
2
= (2x+Δx)=2x.
→0
∴y'|=0 =2x0,又由切线与直线 4x-y+2=0 平行,
2
∴2x0=4,∴x0=2.∵P(2,y0)在抛物线 y=x 上,∴y0=4,
第2课时 导数的概
念(gàiniàn)及几何意
义
第一页，共18页。
1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.
2.会计算函数在某点处的导数,理解导数的实际意义.
3.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线(qiēxiàn)
方程.
第二页，共18页。
如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线(qūxiàn)f(x)趋近点
= lim
Δx→0 Δx Δx→0
2
2
=
= lim
Δx
Δx→0
2
∴f'(2)=4.
高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2-2
=
Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点 的导数.通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim
f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) = ������������������ . Δ������ ������ 1 →������ 0 x1 -x0 ������x →0
2
,
∴ =Δ������ ∴lim
������+4
(������+2)
������y Δ������+4 =- ������������������ 2=-1. Δ������ →0 ������x ������x →0 (Δ������+2)
答案:-1
-4-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
f(x0 +������x)-f(x0 ) =切线 ������x Δ������ →0 Δ������ Δ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ,可知 Δ������
AD 的斜率.
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
-2-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
高中数学选修2-2 北师大版 第二章 2导数的几何意义(学案)
导数的集合意义[学习目标] 1.通过瞬时变化率理解导数，能解释函数在某点处的导数的实际意义，会求简单函数在某点处的导数.2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义，理解曲线在其上某点处的切线的概念，会求简单函数的图像在某点处的切线.知识点一 导数的概念设函数y ＝f (x )，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从f (x 0)变到f (x 1)，函数值y 关于x 的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .当x 1趋于x 0时，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y ＝f (x )在x 0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x 0点的导数通常用符号f ′(x 0)表示，记作f ′(x 0)＝10lim x x → f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 思考 (1)如何理解Δx ，Δy?(2)求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的基本步骤是什么？答案 (1)Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，所以Δx 可正、可负，但不能为零.当Δx >0(或Δx <0)时，Δx →0表示x 0＋Δx 从右边(或从左边)趋于x 0，Δy 是相应函数的改变量，Δy 可正、可负，也可以为零.(2)求导数的步骤：由导数的定义知，求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的步骤：第一步：求函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；第二步：求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； 第三步：取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx. 上述求导方法可简记为：一差、二比、三极限.知识点二 导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率k ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 对导数几何意义的理解应注意：(1)若曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的导数不存在，但有切线，则切线与x 轴垂直.(2)显然f ′(x 0)>0，切线的倾斜角为锐角；f ′(x 0)<0，切线与x 轴正向的夹角为钝角；f ′(x 0)＝0，切线与x 轴平行或重合.(3)曲线的切线是用导数来定义的，是割线的极限位置.(4)如图所示，尽管直线l1与y＝f(x)有两个公共点，但l1也称为y＝f(x)在点A处的切线.尽管直线l2与y＝f(x)仅有一个公共点，但l2不是y＝f(x)在点B处的切线，即切线与曲线公共点的个数无关，只是割线的极限位置.(5)在曲线y＝f(x)上一点A处的切线有且仅有一条，而割线可以有无数条.思考(1)曲线的割线与切线有什么关系？(2)曲线在某点处的切线与在该点处的导数有何关系？答案(1)曲线的切线是由割线绕一点转动，当割线与曲线的另一交点无限接近这一点时趋于的直线.曲线的切线并不一定与曲线有一个交点.(2)函数f(x)在x0处有导数，则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线，且在该点处的导数就是该切线的斜率.函数f(x)表示的曲线在点(x0，f(x0))处有切线，但函数f(x)在该点处不一定可导，如f(x)＝3x在x＝0处有切线，但不可导.题型一导数概念的应用例1求函数y＝f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数. 解∵f(x)＝2x2＋4x，∴Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝[2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)]－(2×32＋4×3)＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx.∴ΔyΔx＝2(Δx)2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.∵f′(3)＝limΔx→0f(3＋Δx)－f(3)Δx＝limΔx→0(2Δx＋16)＝16.反思与感悟把Δx＝0代入Δy的表述式中，往往可得Δy的趋近值.跟踪训练1求函数f(x)＝x在x＝1处的导数. 解∵f(x)＝x，∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝1＋Δx－1，∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝(1＋Δx )2－12Δx (1＋Δx ＋1)＝Δx Δx (1＋Δx ＋1)＝11＋Δx ＋1. f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12. 题型二 求曲线的切线方程1.求曲线在某点处的切线方程例2 求曲线y ＝f (x )＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程.解 因为点(1,3)在曲线上，过点(1,3)的切线的斜率为f ′(1)＝lim Δx →0(1＋Δx )3－(1＋Δx )＋3－(1－1＋3)Δx＝lim Δx →0(Δx )3＋3(Δx )2＋2Δx Δx ＝lim Δx →0[(Δx )2＋3Δx ＋2] ＝2，故所求切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0.反思与感悟 若求曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线方程，其切线只有一条，点P (x 0，y 0)在曲线y ＝f (x )上，且是切点，其切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0).跟踪训练2 (1)曲线f (x )＝13x 3－x 2＋5在x ＝1处切线的倾斜角为________. (2)曲线y ＝f (x )＝x 3在点P 处切线斜率为3，则点P 的坐标为____________.答案 (1)34π (2)(－1，－1)或(1,1) 解析 (1)设切线的倾斜角为α，则tan α＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 13(1＋Δx )3－(1＋Δx )2＋5－(13－1＋5)Δx ＝lim Δx →013(Δx )3－Δx Δx＝lim Δx →0[13(Δx )2－1]＝－1. ∵α∈[0，π)，∴α＝34π. ∴切线的倾斜角为34π. (2)设点P 的坐标为(x 0，x 30)，则有lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →03x 20Δx ＋3x 0(Δx )2＋(Δx )3Δx ＝lim Δx →0[3x 20＋3x 0Δx ＋(Δx )2] ＝3x 20.∴3x 20＝3，解得x 0＝±1. ∴点P 的坐标是(1,1)或(－1，－1).2.求曲线过某点的切线方程例3 求过点(－1，－2)且与曲线y ＝2x －x 3相切的直线方程.解 y ′＝lim Δx →0 Δy Δx＝lim Δx →02(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－2x ＋x 3Δx ＝lim Δx →0[2－3x 2－3x Δx －(Δx )2]＝2－3x 2. 设切点的坐标为(x 0,2x 0－x 30)，∴切线方程为y －2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(x －x 0).又∵切线过点(－1，－2)，∴－2－2x 0＋x 30＝(2－3x 20)(－1－x 0)，即2x 30＋3x 20＝0，∴x 0＝0或x 0＝－32. ∴切点的坐标为(0,0)或(－32，38). 当切点为(0,0)时，切线斜率为2，切线方程为y ＝2x ；当切点为(－32，38)时，切线斜率为－194，切线方程为y ＋2＝－194(x ＋1)，即19x ＋4y ＋27＝0. 综上可知，过点(－1，－2)且与曲线相切的直线方程为y ＝2x 或19x ＋4y ＋27＝0. 反思与感悟 若题中所给点(x 0，y 0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第2章 导数的概念及其几何意义 第二课时参考教案
§2 导数的概念及其几何意义第二课时 导数的几何意义（一）一、教学目标：1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；2、理解曲线在一点的切线的概念；3、会求简单函数在某点处的切线方程。
二、教学重点：了解导数的几何意义教学难点：求简单函数在某点出的切线方程三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习：导数的概念及求法。
（二）、探究新课设函数)(x f y =在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为xy ∆∆，如右图所示，它是过A （x 0，)(0x f ）和B （x 0＋Δx ，)(0x x f ∆+）两点的直线的斜率。
这条直线称为曲线)(x f y =在点A 处的一条割线。
如右图所示，设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，从图像上可以看出：当Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx 趋于0时，点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l 。
直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相切” ，称直线l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。
该切线的斜率就是函数)(x f y =在x 0处的导数)(0x f '。
函数)(x f y =在x 0处的导数，是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。
函数)(x f y =在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义。
1、导数的几何意义：函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，即 0000()()()lim x f x x f x f x k x∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P 点的坐标;②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()limx f x x f x f x k x ∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.2、导函数：由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，即: 0()()()lim x f x x f x f x y x∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．3、函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
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第五课时 导数的几何意义（一）
一、教学目标：
1、通过函数的图像直观地理解导数的几何意义；
2、理解曲线在一点的切线的概念；
3、会求简单函数在某点处的切线方程。
二、教学重点：了解导数的几何意义
教学难点：求简单函数在某点出的切线方程
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、复习：导数的概念及求法。
（二）、探究新课
设函数)(x f y =在[x 0，x 0＋Δx ]的平均变化率为x
y ∆∆，如右图所示，它是过A （x 0，)(0x f ）和B （x 0＋Δx ，)(0x x f ∆+）两点的直线的斜率。
这条直线称为曲线)(x f y =在点A 处的一条割线。
如右图所示，设函数)(x f y =的图像是一条光滑的曲线，从图像上
可以看出：当Δx 取不同的值时，可以得到不同的割线；当Δx 趋于0时，点B 将沿着曲线)(x f y =趋于点A ，割线AB 将绕点A 转动最后趋于直线l 。
直线l 和曲线)(x f y =在点A 处“相切” ，称直线l 为曲线)(x f y =在点A 处的切线。
该切线的斜率就是函数)(x f y =在x 0处的导数)(0x f '。
函数)(x f y =在x 0处的导数，是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。
函数)(x f y =在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义。
1、导数的几何意义：
函数y =f (x )在x =x 0处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率，
即 0000()()()lim x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆ 说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:
①求出P 点的坐标;
②求出函数在点0x 处的变化率0000()()()lim x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程.
2、导函数：
由函数f (x )在x =x 0处求导数的过程可以看到,当时,0()f x ' 是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f (x )的导函数.记作：()f x '或y '，
即: 0()()()lim x f x x f x f x y x
∆→+∆-''==∆ 注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．
3、函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '、导函数()f x '、导数 之间的区别与联系。
（1）函数在一点处的导数0()f x '，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。
(2）函数的导数，是指某一区间内任意点x 而言的， 就是函数f(x)的导函数
(3）函数()f x 在点0x 处的导数'0()f x 就是导函数()f x '在0x x =处的函数值，这也是 求函数在点0x 处的导数的方法之一。
例1、已知函数2)(x x f y ==， x 0＝－2。
（1）分别对Δx =2，1，0.5求2x y =在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并画出过点（x 0，)(0x f ）的相应割线；
（2）求函数2x y =在x 0＝－2处的导数，并画出曲线2x y =在点（－2，4）处的切线。
解：（1）Δx =2，1，0.5时，区间[x 0，x 0＋Δx ]相应为[-2，0]，[-2，-1]，[-2，-1.5]。
2x y =在这些区间上的平均变化率分别为
22
)2(02)2()0(2
2-=--=--f f ， 31
)2()1(1)2()1(2
2-=---=---f f ， 5.35
.0)2()5.1(5.0)2()5.1(2
2-=---=---f f . 其相应割线如右图所示，分别是过点（-2，4）和点（0，0）的直线l 1，过点（-2，4）
和点（-1，1）的直线l 2，过点（-2，4）和点（-1.5，2.25）的直线l 3.
（2）2x y =在区间[-2，-2＋Δx ]上的平均变化率为
x x
x x x x ∆+-=∆∆+∆-=∆--∆+-4)(4)2()2(2
22. 令Δx 趋于0，知函数2x y =在x 0＝－2处的导数为-4。
曲线2x y =在点（-2，4）处的切线为l ，如右图所示。
例2、求函数32)(x x f y ==在x =1处的切线方程。
解：先求32x y =在x =1处的导数：
[]
2323
3)(2662)()(331212)1(2)1()1(x x x
x x x x
x x f x f ∆+∆+=∆-∆+∆+∆+=∆⨯-∆+=∆-∆+ 令Δx 趋于0，知函数32x y =在x =1处的导数为6)1(='f 。
这样，函数32x y =在点（1，)1(f ）=(1，2)处的切线斜率为6.即该切线经过点（1，
2），斜率为6.
因此切线方程为 y -2=6(x -1).
即 y =6x -4.
切线如图所示。
（三）、小结：函数)(x f y =在x 0处的导数，是曲线)(x f y =在点（x 0，)(0x f ）处的切线的斜率。
函数)(x f y =在x 0处切线的斜率反映了导数的几何意义。
（四）、练习：课本37P 练习：1、2.
（五）、作业：课本37P 习题2-2中A 组4、5
五、教后反思：。