2019届山东省高三最后一模理科数学试卷【含答案及解析】
2019年山东省济宁市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．[1，3]B．（1，3]C．[2，3]D．[﹣1，+∞）2．（5分）若复数z＝，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A．z的虚部为﹣i B．|z|＝2C．z2为纯虚数D．z的共轭复数为﹣1﹣i3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a的值为﹣1，则输出的S的值是（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x，y满足，则z＝2x+y的最大值是（）A．﹣B．1C．2D．5．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1+x）＝f（1﹣x），若f（1）＝9，则f （2019）＝（）A．﹣9B．9C．﹣3D．06．（5分）已知直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）若sin x＝3sin（x﹣），则cos x cos（x+）＝（）A．B．C．D．8．（5分）如图为某市国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量（单位：套）与成交量（单位：套）作出如下判断：①日成交量的中位数是16；②日成交量超过日平均成交量的有2天；③认购量与日期正相关；④10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．则上述判断正确的个数为（）A．0B．1C．2D．39．（5分）《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的外接球的体积为（）A．B．πC．6πD．8π10．（5分）已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的零点构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象关于函数g （x），下列说法正确的是（）A．在[]上是增函数B．其图象关于直线x＝对称C．函数g（x）是偶函数D．在区间[]上的值域为[﹣，2]11．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为y＝，|MF1|﹣|MF2|＝4，点N在圆x2+y2﹣4y＝0上，则|MN|+|MF1|的最小值为（）A．2B．5C．6D．712．（5分）已知当x∈（1，+∞）时，关于x的方程xlnx+（3﹣a）x+a＝0有唯一实数解，则a所在的区间是（）A．（3，4）B．（4，5）C．（5，6）D．（6，7）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为．14．（5分）（2x+y）（x﹣2y）5的展开式中，x2y4的系数为．（用数字作答）15．（5分）如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为．16．（5分）在△ABC中，记＝﹣3，＝，若⊥，则sin A的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）等差数列{a n}的公差为正数，a1＝1，其前n项和为S n；数列{b n}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝b n+，求数列{c n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，P A⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，AB＝，AD＝2，AP＝3．（Ⅰ）求证：平面PCA⊥平面PCD；（Ⅱ）设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角E ﹣AB﹣D的余弦值．19．（12分）某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50），第二组[50，55），…第六组[70，75），得到如图（1）所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图（2）所示，以样本的频率作为总体的概率．（Ⅰ）求频率分布直方图中a，b，c的值；（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65）的人数，求X的概率分布列和数学期望；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ＝60，σ2＝25．若P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）＞0.9545，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由20．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C过点P（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，直线l与椭圆C相切于点A，与直线x＝3相交于点B，求证：∠AFB的大小为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点M的直角坐标为（1，0），直线l的参数方程为（t为参数）；以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ．（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+b|（a＞0，b＞0）．（Ⅰ）当a＝b＝1时，解不等式f（x）＞x+2；（Ⅱ）若f（x）的值域为[2，+∞），求≥1．2019年山东省济宁市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}＝{x|x＞1}，∴A∩B＝{x|1＜x≤3}＝（1，3]．故选：B．2．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部为﹣1，|z|＝，z2＝（1﹣i）2＝﹣2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为C．故选：C．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝﹣1，S＝0，k＝1满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣1，a＝1，k＝2满足条件k＜5，执行循环体，S＝﹣，a＝3，k＝3满足条件k＜5，执行循环体，S＝，a＝5，k＝4满足条件k＜5，执行循环体，S＝，a＝7，k＝5此时，不满足条件k＜5，退出循环，输出S的值为．故选：C．4．【解答】解：由变量x，y满足作出可行域如图，化z＝2x+y为2x+y﹣z＝0，由图可知，当直线y＝﹣2x+z与圆相切于A时，直线在y轴上的截距最大，z最大，此时．z＝．故选：D．5．【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1+x）＝f（1﹣x），则f（﹣x）＝f（2+x），则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2019）＝f（﹣1+505×4）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣9；故选：A．6．【解答】解：直线m，n和平面α，n⊂α，则“m∥n”与“m∥α”相互推不出．∴“m∥n”是“m∥α”的既不充分也不必要条件．故选：D．7．【解答】解：sin x＝3sin（x﹣）＝﹣3cos x，解得：tan x＝﹣3，所以：cos x cos（x+）＝﹣sin x cos x＝＝，故选：A．8．【解答】解：对于①日成交量的中位数是26，故①错误，对于②因为日平均成交量为＝，日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故②错误，对于③认购量与日期不是正相关，故③错误，对于④10月7日认购量的增幅为164套，10月7日成交量的增幅为128套，即10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅．故④正确，综合①②③④得：正确个数为1，故选：B．9．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：下底面为等腰三角形腰长为，高为2的直三棱柱，故外接球的半径R，满足，解得：R＝，所以：V＝．故选：A．10．【解答】解：f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+），由函数f（x）的零点构成一个公差为的等差数列，则周期T＝π，即ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，易得：y＝g（x）是在[，]为减函数，其图象关于直线x＝（k∈Z）对称的奇函数，故选项A，B，C错误，当x时，2x∈[，]，函数g（x）的值域为[﹣，2]，故选项D正确，故选：D．11．【解答】解：由题意可得2a＝4，即a＝2，渐近线方程为y＝±x，即有＝，即b＝1，可得双曲线方程为﹣y2＝1，焦点为F1（﹣，0），F2，（，0），由双曲线的定义可得|MF1|＝2a+|MF2|＝4+|MF2|，由圆x2+y2﹣4y＝0可得圆心C（0，2），半径r＝2，|MN|+|MF1|＝4+|MN|+|MF2|，连接CF2，交双曲线于M，圆于N，可得|MN|+|MF2|取得最小值，且为|CF2|＝＝3，则则|MN|+|MF1|的最小值为4+3﹣2＝5．故选：B．12．【解答】解：由xlnx+（3﹣a）x+a＝0，得，令f（x）＝（x＞1），则f′（x）＝．令g（x）＝x﹣lnx﹣4，则g′（x）＝1﹣＝＞0，∴g（x）在（1，+∞）上为增函数，∵g（5）＝1﹣ln5＜0，g（6）＝2﹣ln6＞0，∴存在唯一x0∈（5，6），使得g（x0）＝0，∴当x∈（1，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0．则f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴f（x）min＝f（x0）＝．∵x0﹣lnx0﹣4＝0，∴，则∈（5，6）．∴a所在的区间是（5，6）．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：样本间隔为23﹣14＝9，则第四个编号为14+2×9＝14+18＝32，故答案为：3214．【解答】解：∵（2x+y）（x﹣2y）5＝（2x+y）（x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5），∴x2y4的系数为2×80﹣80＝80，故答案为：80．15．【解答】解：正方形的面积为e2，由lnxdx＝（xlnx﹣x）|＝1，由lnydy＝1，故S阴影＝2，故此点取自黑色部分的概率为，故答案为：16．【解答】解：∵在△ABC中，记＝﹣3＝﹣﹣3＝﹣4，＝＝﹣，⊥，∴＝﹣5•+4＝0cos A＝＝＝≥＝，当且仅当时取到等号．又因为sin2A+cos2A＝1，所以sin A的最大值为．故答案为三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d为正数，a1＝1，数列{b n}为等比数列，设公比为q，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，解得q＝2，d＝1，则a n＝1+n﹣1＝n，b n＝2n；（Ⅱ）c n＝b n+＝2n+＝2n+2（），则前n项和T n＝（2+4+…+2n）+2（1﹣+﹣+…+）＝+2（1﹣）＝2n+1﹣．18．【解答】证明：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，CD＝，AD＝2，由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CD cos∠ADC＝12+3﹣2×＝9，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，∵P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴P A⊥CD，又AC∩CD＝C，∴CD⊥平面PCA，又CD⊂平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD．解：（Ⅱ）E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（，0，0），C（0，3，0），D（﹣，3，0），P（0，0，3），设E（x，y，z），＝，（0≤λ≤1），则（x，y，z﹣3）＝λ（0，3，﹣3），∴E（0，3λ，3﹣3λ），∵平面ABCD的一个法向量＝（0，0，1），∴sin45°＝|cos＜＞|＝，解得λ＝，∴点E的坐标为（0，1，2），∴＝（0，1，2），＝（），设平面EAB的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（0，﹣2，1），设二面角E﹣AB﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角E﹣AB﹣D的余弦值为．19．【解答】解：（Ⅰ）由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的频率，可得体重低于50公斤的概率为＝0.02；所以a＝＝0.004；在[50，55]上有13人，该组的频率为0.13，则b＝＝0.065，所以2c＝＝0.14，即c＝0.07；（Ⅱ）用样本的频率估计总体的频率，可知从全校学生中随机抽取1人，体重在[55，65）的概率为0.07×10＝0.7，随机抽取3人，相当于3次独立重复实验，随机变量X服从二项分布B（3，0.7），则P（X＝0）＝•0.70•0.33＝0.027，P（X＝1）＝•0.7•0.32＝0.189，P（X＝2）＝•0.72•0.3＝0.441，P（X＝3）＝•0.73•0.30＝0.343；所以X的概率分布列为：数学期望为E（X）＝3×0.7＝2.1；（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60，25），其中σ＝5；则P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）＝P（50≤ξ＜70）＝0.96＞0.9545，所以可以认为该校学生的体重是正常的．20．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，解得a2＝3，b2＝2，c2＝1，∴椭圆C的方程为+＝1．证明（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设l：y＝kx+m，联立，得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0△＝36k2m2﹣12（3k2+2）（m2﹣2）＝0，得m2＝3k2+2，设A（x1，y1），则x1＝﹣＝﹣＝﹣，∴y1＝kx1+m＝﹣+m＝＝，∴A（﹣，），∵点B为（3，3k+m），右焦点F（1，0），∴＝（﹣﹣1，），＝（2，3k+m），∴•＝﹣﹣2++2＝0，∴∠AFB＝90°，即∠AFB的大小为定值．21．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，故a＝0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）＝e a﹣a，∵p′（a）＝e x﹣1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a）＝e a﹣a2+a﹣1，设q（a）＝e a﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝e a﹣2a+1，q″（a）＝e a﹣2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）；转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣1＝0，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ．转换为直角坐标方程为：y2＝2x．（Ⅱ）将直线l的参数方程为（t为参数）；代入y2＝2x，得到：（t1和t2为A、B对应的参数）所以：，t 1•t2＝﹣4，则：＝＝＝1．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（Ⅰ）当a＝b＝1时，f（x）＝|x﹣1|+|x+1|＞x+2，（i）当x＜﹣1时，不等式可化为：﹣2x＞x+2，即x＜﹣，故x＜﹣1，（ii）当﹣1≤x≤1时，不等式可化为：2＞x+2，即x＜0，故﹣1≤x＜0，（iii）当x＞1时，不等式可化为2x＞x+2，即x＞2，故x．2，综上，不等式的解集是{x|x＞2或x＜0}；（Ⅱ）证明f（x）＝|x﹣a|+|x+b|≥|a+b|，∵f（x）的值域是[2，+∞），故a+b＝2，故a+1+b+1＝4，故＝（+）＝（2++）当且仅当＝，即a＝b＝1时取“＝”，即≥1．。
2019年山东省高考理科数学模拟试题与答案(一)
2019年山东省高考理科数学模拟试题与答案(一)2019年山东省高考理科数学模拟试题与答案（一）考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足(1+i)z=i，则在复平面内，复数z所对应的点位于：A。
第一象限。
B。
第二象限。
C。
第三象限。
D。
第四象限2.设集合A=N，B={x|0≤x<3}，则A∩B=A。
{0,1,2}。
B。
{1,2}。
C。
{0,1,2,3}。
D。
{0,1,2,3}3.若某多面体的三视图（单位：cm）如右图所示，则此多面体的体积是：A。
7 cm³。
B。
2 cm³。
C。
5 cm³。
D。
1 cm³4.设x,y满足约束条件{x≤4，y≤4，x+y≥4}，则z=2x+y的最大值为：A。
4.B。
8.C。
12.D。
165.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合下，XXX 齐声朗诵，别有韵味。
若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》与《望岳》相邻且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有：A。
144种。
B。
48种。
C。
36种。
D。
72种6.已知cos(π/4-α)=4/5，则sin2α=A。
-7/25.B。
-5/7.C。
1/5.D。
7/257.现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为：A。
/3π。
B。
6π。
C。
8π/3.D。
4π8.当0<x<1时，f(x)=ln(x/2)/2x，则下列大小关系正确的是：A。
f(1/3)<f(1/4)<f(1/5)。
山东省2019届高三第一次大联考理科数学试题(含解析)
一、选择题1．已知集合3{(,)|}A x y y x ==，{(,)|}B x y y x ==，则A B 的元素个数是（）A.0B. 1C. 2D. 3 答案： D 解答：【评析】本题考查集合的表示、交集的运算，考查幂函数的图像.凸显了直观想象考查.解答本题首先要能理解集合,A B 表示的是点集，表示的是两个幂函数的图像上所有点组成的集合，其次需要熟悉常见幂函数的图像，最后要理解集合A B 的元素个数就是这两个函数图像交点的个数.由幂函数3,y x y x ==的图像可以知道，它们有三个交点(1,1),(0,0),(1,1)--，所以集合A B有三个元素．2．已知在复平面内，复数12,z z 对应的点分别是12(2,1),(1,1)Z Z -，则复数12z z 对应的点在（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限D.第四象限 答案： D 解答：【评析】本题考查复数的几何意义、复数运算，突显数学运算、直观想象的考查.解答本题首先 要理解复平面内点与复数的对应关系，其次要能熟练进行复数的四则运算.122i (2i)(1i)13i 1i 22z z ----===+，对应的点的坐标是13(,)22-，在第四象限． 3．已知{}n a 是等差数列，且12343,6a a a a +=-+=-，则{}n a 的前10项和等于（）A. 15-B. 25-C. 45-D. 60- 答案： C 解答：【评析】本题考查等差数列的判定、通项公式、前n 项和公式，考查方程思想.突显了数学建模的考查.解答本题首先要知道{}n a 是等差数列，则212{}nn a a 也是等差数列，建立等差数列模型，其次是要找好新等差数列的首项123a a +=-及公差3412'()()d a a a a ,最后需要理解到{}n a 的前10项和即为数列212{}nn a a 的前5项和.解答本题也可以首先根据条件列出两个关于1,a d的方程，从而求出1,a d,再利用前n 项和公式求解.101234910()()()3(12345)45S a a a a a a =++++++=-⨯++++=-．4.已知向量(1,0),(3,4)a b ==-的夹角为θ，则cos θ2等于（）A. 725-B.725 C. 2425-D.2425答案： A 解答：【评析】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要根据 向量夹角公式和坐标运算公式求出cos ,再利用二倍角的余弦公式求解.33cos 155θ-==-⨯，所以27cos 22cos 125θθ=-=-． 5．已知00(,)A x y 是抛物线24y x =上的点，点F 的坐标为(1,0)，则“0[1,3]x ∈”是“||[3,4]AF ∈”的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案： B 解答：【评析】本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定，突显了逻辑推理的考查.解答本题首先要根据抛物线的标准方程和定义找到||AF 与0x的关系，从而发现||[3,4]AF 的等价条件，其次要正确理解条件与结论的关系，准确作出判断.||[3,4]AF ∈001[3,4][2,3]x x ⇔+∈⇔∈，因为[2,3][1,3]⊂≠，所以选B ．6．下图是相关变量,x y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（）A.1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 答案： D 解答：【评析】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.解答本题首先要能理解散点图，其次需要理解相关系数与正负相关的关系，最后还需要理解相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关性.负相关，所以12,0r r <，因为剔除点(10,21)后，剩下点数据更具有线性相关性，||r 更接近1，所以2110r r -<<<．7.设23342,log 15,log 20a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（） A.a b c << B. a c b << C. b c a << D. c b a << 答案： B 解答：【评析】本题考查对数运算，考查指数、对数函数的性质，考查不等式的性质，考查函数与方程思想，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要根据对数运算将,b c 化简，然后建立指数函数、对数函数模型，根据指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 与2的大小关系，最后还需要根据换底公式、不等式性质等判断出,b c 的大小关系.122a <=，3log 92b >=，4log 162c >=，所以a 最小，341log 5,1log 5b c =+=+，因为11lg 5lg 50lg 3lg 4lg 3lg 4lg 3lg 4b c <<⇒>⇒>⇒>． 8.执行如图所示程序框图，输出的结果是（）A.5B. 6C. 7D. 8 答案： B 解答：【评析】本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前n项和公式，突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先要根据程序框图正确得到等比数列模型，再根据等比数列前n 项和公式求解.该题易错点是B 是数列1{2}n 的前1n 项和，而不是数列{2}n 的前n 项和. 如图所示i n =时，B 是等比数列1{2}n -的前1n +项和，即21122221n n B +=++++=-，由1100210117n B n +≥⇒≥⇒+≥，所以输出的是6．9．过两点(4,0),(4,0)A B -分别作斜率不为0且与圆226290(0)x y x my m +--+=≠相切的直线,AC BC ，当m 变化时，交点C 的轨迹方程是（）A.221(3)97x y x -=> B. 221(4)169x y x -=>C. 212(0)y x x => D. 216(0)y x x => 答案： A 解答：【评析】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.突显了直观想象、逻辑推理的考查.解答本题首先要正确根据圆的方程找到圆心和半径，然后根据圆的切线性质发现动点C 满足的几何条件，从而判断出动点C 的轨迹，再根据双曲线的标准方程找出轨迹方程.圆方程为222(3)()x y m m -+-=与x 轴相切于点(3,0)M ，设,AC BC 与圆的切点分别为,N P ，则||||||||||||6AC BC AN BP AM BM -=-=-=，所以点C 的轨迹是以,A B 为焦点且实轴长为6的双曲线的右支，所以选A ．10.在解三角形的问题中，其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,a b c 直接求三角形的面积，据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，他得到了海伦公式即()()()S p p a p b p c =---，其中1()2p a b c =++．我国南宋著名数学家秦九韶（约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法，这个解法写成公式就是2221()4S c a =-∆，这个公式中的∆应该是（） A.2()2a cb ++ B.2a c b+- C. 2222c a b +-D.2a b c++ 答案： C 解答：【评析】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式，弘扬中国古代数学文化，突显了数学抽象的考查.解答本题首先要注意观察、联想三角形面积公式1sin 2Sca B ,从而发现∆应该等于|cos |ca B ,再根据余弦定理得到答案.因为222cos 2c a b ac B +-=1sin 2ac B S ==．11．如图，1111ABCD A B C D -是棱长为4的正方体，P QRH -是棱长为4的正四面体，底面ABCD ,QRH 在同一个平面内，QH BC //，则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是（）A.B.C.D. 答案： C 解答：【评析】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状，再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度，从而求出截面面积.设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ，过点P 作平面QRH 的垂线，垂足为O，则O 是底面QRH 的中心.设OR HQ G =，则EAB PGO ∠=∠，又因为23RG RO OG ===，3PO ==，所以sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==，所以43EA EA =⇒=，所以四边形AEFD的面积4S =⨯=．12．已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩（e 为自然对数的底），若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解，则实数m 的取值范围是（） A.(0,e) B. (e,+)∞ C. (0,2e) D.(2e,)+∞答案： D 解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想，突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x ,将方程根的问题转化为函数零点问题，并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在(0,)上的零点个数，再转化成方程1e ()2x x m x =-解的问题，最后利用数形结合思想，构造两个函数，转化成求切线斜率问题，从而根据斜率的几何意义得因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数，(0)0F ≠，所以零点成对出现，依题意，方程有两个不同的正根，又当0x >时，()e 2x mf x mx -=-+，所以方程可以化为： e e e 02x x x m mx x -++-=，即1e ()2x x m x =-，记()e x g x x =，()e (1)x g x x '=+，设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )tt t ，则切线方程为e e (1)()tty t t x t -=+-，过点1(,0)2，所以1e e (1)()12t t t t t t -=+-⇒=或12-（舍弃），所以切线的斜率为2e ，由图像可以得2e m >． 二、填空题13．5(2)(1)a b c --的展开式中，32a b c 的系数是. 答案：40-解答：【评析】本题考查二项式定理，突显了数学运算的考查.解答本题首先要将5(2)(1)a b c --化成55(2)(2)a b c a b ---，并注意到5(2)a b -的展开式中不会出现32a b c ，最后用二项式定理求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，从而得解.依题意，只需求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数，是225(2)40C -⋅-=-．14. 已知ABC ∆是等腰直角三角形，||||1AC BC ==，()(R,0)CP CA CB λλλ=+∈>，4AP BP ⋅=，则λ等于.2解答：【评析】本题考查向量的运算、坐标法，考查方程思想，突显直观想象的考查.解答本题首先需要依据直观想象，根据条件建立直角坐标系，将向量的几何运算转化为坐标运算，其次需要根据条件建立关于实数的方程，通过解方程得到解.以,CA CB 所在直线分别为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，则(1,0),(0,1),(0,0),(,)A B C P λλ，所以(1,),(,1)AP BP λλλλ=-=-， 所以2(1)4λλ-=，解得2λ=或1-（舍去）.15. 如图，已知四棱锥P ABCD -底面是边长为4的正方形，侧面PBC 是一个等腰直角三角形，PB PC =，平面PBC ⊥平面ABCD ，四棱锥P ABCD -外接球的表面积是.答案：32π解答：【评析】本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式，考查空间想象能力，突显了直观想象的考查.解答本题首先要理解到外接球球心与各面中心连线垂直该面，从而通过找两个面的中心，并依据面面垂直的性质过中心作垂线，找到外接球的球心，然后确定外接球的半径，并计算球的表面积得到解.DCBAP过PBC ∆的外心即BC 的中点E 作平面PBC 的垂线，该垂线过正方形的中心O ，所以点O 为该四棱锥外接球的球心，其半径R OA ==2432S R ππ==．16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项．设m 是整数，若存在N n +∈，使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立，则m 的最大值是. 答案：16解答：【评析】本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查函数思想.突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前n 项和公式，然后要利用函数思想，为了求m 的最值，需要把m 表示成n 的函数，最后根据,m n 是整数确定这个函数的定义域，从而找到这个函数值域，得到m 的最大值. 因为2S 是34,S S 的等差中项，所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-，所以(2)nn a =-，12(2)3n n S +---=，等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=，化为：2(2)[(2)4]0n n m -+-+=， OE DCB AP因此2(2)16(2)4(2)4(2)4n nn n m --==--+-+-+，因为m 为整数，所以|(2)4|161,2,3nn -+≤⇒=，当1n =时，2482m m -=--+⇒=-， 当2n =时，164428m m -=-+⇒=-， 当3n =时，1684164m m -=--+⇒=-． 三、解答题17．如图，点,A B 分别是圆心在原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A 从初始位置0(cos,sin )33A ππ开始，按逆时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动，同时点B 从初始位置)0,2(0B 开始，按顺时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动．记t 时刻，点B A ,的纵坐标分别为12,y y ．（Ⅰ）求4t π=时刻，,A B 两点间的距离；（Ⅱ）求12yy y =+关于时间(0)t t >的函数关系式，并求当(0,]2t π∈时，这个函数的值域．答案：（Ⅰ）7；（Ⅱ）[2．解答：【评析】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像，考查函数思想、数形结合思想，突显了数学建模的考查.解答本题第一问首先要确定π4t=时刻,A B两点的坐标及,OA OB的长度、夹角，再利用两点距离公式或余弦定理求解；解答本题第二问，需要根据三角函数的定义先确定12,y y与t的函数关系式，从而得到所求函数关系式，再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成sin()y A x k（或cos()y A x k）的形式，最后根据三角函数图像确定值域.（Ⅰ）4tπ=时，,232xOA xOBπππ∠=+∠=，所以23AOBπ∠=，…… 2分又||1,||2OA OB==，所以2222||12212cos73ABπ=+-⨯⨯=，即,A B两点间的距离为7. ………………6分（Ⅱ）依题意，1sin(2)3y tπ=+，ty2sin22-=，………………8分所以3sin(2)2sin22sin2)323y t t t t tππ=+-=-=+，即函数关系为)(0)3y t tπ=+>，………………10分当(0,]2tπ∈时，2(,]333tπππ4+∈，所以1cos(2)[1,)32tπ+∈-，[2y∈．…12分18．已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是等腰梯形，CD AB //，ACBD O =，AC PB ⊥，222====CD AB PB PA ，3=AC .（Ⅰ）证明：平面⊥PBD 平面ABCD ；（Ⅱ）点E 是棱PC 上一点，且//OE 平面PAD ，求二面角A OB E --的余弦值． 答案： （Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2-． 解答：【评析】本题考查线面、面面垂直关系的判定，考查线面平行的性质，考查空间向量的应用，考查二面角的计算，考查转化与化归思想，考查空间想象能力，突显了直观想象、数学运算的考查.解答本题第一问首先需要在面ABCD 内发现垂直关系，再利用判定定理转化为线面垂直，从而得到面面垂直；解答本题第二问首先要通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好,,A B P 的坐标，然后将线面平行即//OE 平面PAD 转化为线线平行PA OE //，从而确定平面的法向量，最后根据法向量求出二面角的余弦.本题特色是通过平行关系的转化避开了计算点E 的坐标，简化了求法向量的运算，本题要特别注意的是所求二面角是钝角，其余弦值为负.（Ⅰ）证明：等腰梯形ABCD 中，OAB ∆∽OCD ∆，所以2OA ABOC CD==，又3AC =，所以2OA =，所以2=OB . 所以222OA OB AB +=，所以OB OA ⊥，即BD AC ⊥，………………3分 又因为AC PB ⊥，且BDPB 于点B ，所以⊥AC 平面PBD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，因此平面⊥PBD 平面ABCD . …6分 （Ⅱ）连接PO ，由（Ⅰ）知，⊥AC 平面PBD ，所以PO AC ⊥，所以222=-=OA PA PO ，所以222PO OB PB +=，即OB PO ⊥，………………7分 如图以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B P ，平面AOB 的法向量(0,0,1)m =， 因为//OE 平面PAD ，⊂OE 平面PAC ， 平面PAC平面PA PAD =，所以PA OE //，………………9分设平面EOB 的法向量为(,,)n x y z =，则n OB ⊥，即0=y ，(,,)(2,0,2)0n OE n AP x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=，令1x =，则(1,0,1)n =，……11分所以cos ,2m n <>==，所以所求二面角的余弦值是2-．……………12分19．某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100 元.（Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（Ⅱ）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；（Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量.请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）答案： （Ⅰ）80.2； （Ⅱ）30万元； （Ⅲ）见解析. 解答：【评析】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布，突显了数学建模、数据分析的考查.解答本题第一问首先要根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值，再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；解答本题第二问首先要确定随机变量X 的所有可能取值，再根据独立事件的概率公式求出分布列，最后利用数学期望公式求X 的数学期望；本题第三问首先要根据正态分布的性质确定好,2μσμσ--等，然后类似第二问求出随机变量Y 的分布列及数学期望，最后根据随机变量,X Y 的数学期望的大小决策.本题特色综合考察概率统计的几个主要模型、体现概率统计在实际中的主要应用：用于决策. （Ⅰ）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.…3分 （Ⅱ）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)x >0.25=，(7478P x <≤或8286)x <≤0.45=，(7882)0.3P x <≤=，………………4分设生产一件产品的利润为X 元，则(100)P X ==0.20.250.40.450.60.30.41⨯+⨯+⨯=， (60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=，………………7分所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元，所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元. ………………8分 （Ⅲ）374,78,82,386μσμσμσμσ-=-=+=+=，………………9分 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元，则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=， (60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=，(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=，………………11分所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元， 增加收入55.23020 5.2--=万元， 综上，应该引入该设备.………………12分20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -，点000(,)(0)P x y y >是椭圆C 上的一个动点，当直线OP的斜率等于2时，2PF x ⊥轴. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 且斜率为02x y -的直线1l 与直线2:2l x =相交于点Q ，试判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由. 答案：（Ⅰ）2212x y +=； （Ⅱ）见解析. 解答：【评析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程，考查数形结合思想、特殊与一般思想，突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要根据题设给的点P 的特殊位置，建立关于,,a b c 的等式，再通过解方程求出,,a b c ，从而得到所求标准方程；解答本题第二问首先要根据条件利用直线方程的点斜式得到直线1l 的方程，并能利用椭圆方程整理化简方程，然后求出点Q 的坐标，再根据圆的知识转化成向量垂直，待定出定点坐标.本题特色是回避了直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求解.（Ⅰ）依题意22b a ac =⇒=，………………2分又因为221a b -=，所以2a =2=a .所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分（Ⅱ）直线1l 的方程：0000()2x y y x x y -=--即22000022y y x x x y =-++，………………6分依题意，有220012x y +=，即220022x y +=，所以1l 的方程为0022x x y y +=，所以点01(2,)x Q y -，………………8分 设定点(,0)M m ，由000010()(2)0x MP MQ x m m y y -⋅=⇒--+⋅=，………………10分 即20(1)(1)0m x m -+-=，所以1m =，综上，存在定点(1,0)M 符合条件.………………12分 21．已知函数x xax a x f e )(e )(2-+=（e 为自然对数的底，a 为常数，a R ∈）有两个极值点21,x x ，且210x x <<．（Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）若0)(2121<++x x m x x 恒成立，求实数m 的取值范围． 答案：（Ⅰ）(2e,)+∞；（Ⅱ）]21,(--∞.解答： 【评析】本题考查导数运算、导数的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想，突显了数学抽象、数学建模、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题，从而转化成两个函数图像交点问题，再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性，从而画出简图，判断出所求范围；解答本题第二问首先要灵活根据隐含条件消元，将不等式转化为关于12x x 的不等式，从而构造函数，建立函数模型，再通过分类讨论该函数的单调性，确定实数m 的取值范围.（Ⅰ）xxax x f e e 2)(2-='，由0)(='x f 得xa xe 2=，………………2分依题意，该方程有两个不同正实数根，记x x h x e 2)(=，则2)1(e 2)(x x x h x -='，当01x <<时，()0h x '<；当1>x 时，()0h x '>，所以函数()h x 在1x =处取得最小值(1)2e h =，所以a 的取值范围是(2e,)+∞.…………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：21(1,)x x ∈+∞，且112e xax =，所以112ln ln ln x x a +=+，222ln ln ln x x a +=+，所以1212ln ln x x x x -=-，………………6分因此0)(2121<++x x m x x 恒成立，即22122121(ln ln )()0x x x x m x x -+-<恒成立，即22221112ln 0x x x m x x x -+<，设21x t x =，即1ln ()0t m t t +-<在(1,)t ∈+∞上恒成立，从而0m <，记1()ln ()g t t m t t =+-，(1)0g =，211()(1)g t m t t'=++22(1)m t tt ++=，…8分 ① 当12m ≤-时，t t 212>+，所以t t m -<+)1(2，从而()0g t '<， 则()g t 在区间[1,)+∞上单调递减，所以当1t >时，()(1)0g t g <=恒成立；……………10分② 102m -<<时，()0g t '>等价于2110t t m ++<，2140m∆=->， 所以2110t t m ++=有两根21,t t ，且121211,0t t t t m=+=->，可以不妨设2110t t <<<， ()0g t '>在),1(2t t ∈时成立，所以()g t 在区间),1(2t 上单调递增，当),1(2t t ∈时，()(1)0g t g >=，即1ln ()0t m t t+-<在(1,)t ∈+∞上不恒成立，综上，m 的取值范围是]21,(--∞．………………12分四、选做题（2选1）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>．M 为曲线1C 上的动点，点P 在射线OM 上，且满足||||20OM OP ⋅=． （Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ，过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点，求||||DA DB ⋅的值．答案： （Ⅰ）5x =； （Ⅱ）5. 解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程，再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线l 的参数方程，依据参数t 的几何意义，结合解方程，利用韦达定理得到解.（Ⅰ）设P 的极坐标为)0)(,(>ρθρ，M 的极坐标为)0)(,(11>ρθρ，由题设知1,4cos OP OM ρρθ===．所以20cos 4=θρ，………………2分即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>，所以2C 的直角坐标方程为5x =．………………5分（Ⅱ）交点)0,5(D ，所以直线l的参数方程为5,212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）， 曲线1C 的直角坐标方程)0(0422≠=-+x x y x ， 代入得：05332=+-t t ，70∆=>，………………8分设方程两根为12,t t ，则12,t t 分别是,A B 对应的参数， 所以5||||||21==⋅t t DB DA ．………………10分 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数|1|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当1=a 时，求不等式4)(+≥x x f 的解集；（Ⅱ）若不等式1)(2-≥a x f 恒成立，求实数a 的取值范围．答案：（Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥； （Ⅱ）[1,2]-． 解答：【评析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理，考查转化与化归思想、分类与整合思想，突显了数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过对绝对值内式子符号的讨论，将不等式转化为一元一次不等式组，再分别解各不等式组，最后求各不等式组解集的并集，得到所求不等式的解集；解答本题第二问首先要利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值，将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题，再通过对绝对值内式子符号的讨论，转化为不含绝对值的不等式组，最后求解不等式组.（Ⅰ）不等式为4|1||1|+≥-++x x x ，可以转化为：1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩，………………2分 解得43x ≤-或4x ≥，所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. ………………5分 （Ⅱ）|1||)1()(|)(min +=--+=a x a x x f ，所以1|1|2-≥+a a ⎩⎨⎧-≥---<⇔11,12a a a 或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩，………………8分 解得a ∈∅或21≤≤-a .所以实数a 的取值范围是[1,2]-．………………10分。
2019年山东省青岛市高考数学一模试卷(理科)含答案解析
2019年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．39．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为平行四边形，NB=2PN，则三棱锥N﹣PAC与三棱锥D﹣PAC的体积比为（）A．1：2 B．1：8 C．1：6 D．1：310．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为_______．12．二项式的展开式中，常数项等于_______（用数字作答）．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM 为等腰直角三角形，则f（x）=_______．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是_______．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是_______．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．2019年山东省青岛市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集，集合A={﹣1，1}，B={1，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{1}D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出全集中y的值确定出U，再由B利用补集的定义求出B的补集，找出A与B 补集的交集即可．【解答】解：由全集U中y=log2x，x=，1，2，16，得到y=﹣1，0，1，4，即全集U={﹣1，0，1，4}，∵A={﹣1，1}，B={1，4}，∴∁U B={﹣1，0}，则A∩（∁U B）={﹣1}，故选：B．2．已知数据x1，x2，x3，...，x50，500（单位：公斤），其中x1，x2，x3，...，x50，是某班50个学生的体重，设这50个学生体重的平均数为x，中位数为y，则x1，x2，x3， (x50)500这51个数据的平均数、中位数分别与x、y比较，下列说法正确的是（）A．平均数增大，中位数一定变大B．平均数增大，中位数可能不变C．平均数可能不变，中位数可能不变D．平均数可能不变，中位数可能变小【考点】众数、中位数、平均数．【分析】根据平均数与中位数的定义，分析这组数据，即可得出正确的结论．【解答】解：根据题意得，数据x1，x2，x3，…，x50，是某班50个学生的体重，其平均数应在50公斤左右，再增加一个数据500，这51个数据的平均数一定增大，而中位数有可能不变，如：按大小顺序排列后，第25、26个数据相等时，其中位数相等．故选：B．3．设随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），则函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点的概率为（）A．B．C．D．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；函数的零点；古典概型及其概率计算公式．【分析】函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，可得ξ＞1，根据随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），可得曲线关于直线x=1对称，从而可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x+ξ不存在零点，∴△=4﹣4ξ＜0，∴ξ＞1∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于直线x=1对称∴P（ξ＞1）=故选C．4．已知a∈R，则“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】要判断“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的条件，我们可先构造函数y=|x﹣2|+|x|并求出函数的值域，然后转化为一个恒成立的判断与性质问题，最后结合充要条件的定义，进行判断．【解答】解：函数y=|x﹣2|+|x|的值域为[2，+∞）则当a＜1时，|x﹣2|+|x|＞a恒成立反之若，|x﹣2|+|x|＞a，则说明a小于函数y=|x﹣2|+|x|的最小值2恒成立，即a＜2故“a＜1”是“|x﹣2|+|x|＞a恒成立”的充分不必要条件故选：A．5．定义min，则由函数f（x）的图象与x 轴、直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】根据题目给出的函数定义，写出分段函数f（x）=min{x2， }，由图象直观看出所求面积的区域，然后直接运用定积分求解阴影部分的面积．【解答】解：由=x2，得：x=1，又当x＜0时，＜x2，所以，根据新定义有f（x）=min{x2， }=，图象如图，所以，由函数f（x）的图象与x轴、x=2直线所围成的封闭图形为图中阴影部分，其面积为S=x2dx+dx=|+lnx|=+ln2，故选：C．6．已知点F1，F2为双曲线的左，右焦点，点P在双曲线C 的右支上，且满足|PF2|=|F1F2|，∠F1F2P=120°，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用余弦定理可得|PF1|=2c，再由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可得|PF2|=|F1F2|=2c，∠PF2F1=120°，即有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2F1=4c2+4c2﹣2•4c2•（﹣）=12c2，即有|PF1|=2c，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即为2c﹣2c=2a，即有c=a，可得e==．故选：A．7．如图所示的程序框图，输出S的值为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求2n cosnπ的和，n从1取到100，利用等比数列求和公式即可计算得解．【解答】解：通过分析知该算法是求和2cosπ+22cos2π+23cos3π+…+2100cos100π，由于2cosπ+22cos2π+23cos3π+...+2100cos100π=﹣2+22﹣23+24﹣ (2100)=．故选：C．8．已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（）A．10 B．8 C．6 D．3【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．【解答】解：作出不等式组，对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=|x+2y|，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x ﹣z 经过点A 时，z 取得最大值，此时z 最大．即A （﹣2，﹣2），代入目标函数z=|x +2y |得z=2×2+2=6故选：C ．9．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面ABCD 为平行四边形，NB=2PN ，则三棱锥N ﹣PAC 与三棱锥D ﹣PAC 的体积比为（ ）A ．1：2B ．1：8C ．1：6D ．1：3【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】根据两个棱锥的底面和高与棱锥P ﹣ABC 的底面与高的关系得出两棱锥的体积与棱锥P ﹣ABC 的关系，得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴S △ABC =S △ACD ．∴V D ﹣PAC =V P ﹣ACD =V P ﹣ABC ．∵NB=2PN ，∴NB=PB ，∴V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ，∴V N ﹣PAC =V P ﹣ABC ﹣V N ﹣ABC =V P ﹣ABC ．∴．故选：D ．10．已知抛物线x2=4y，直线y=k（k为常数）与抛物线交于A，B两个不同点，若在抛物线上存在一点P（不与A，B重合），满足，则实数k的取值范围为（）A．k≥2 B．k≥4 C．0＜k≤2 D．0＜k≤4【考点】抛物线的简单性质．【分析】由题意可得设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），运用向量的数量积的坐标表示，由换元法可得二次方程，由判别式大于等于0和两根非负的条件，运用韦达定理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由y=k（k＞0），代入抛物线x2=4y，可得x=±2，可设A（2，k），B（﹣2，k），P（m，），由，可得（2﹣m，k﹣）•（﹣2﹣m，k﹣）=0，即为（2﹣m）（﹣2﹣m）+（k﹣）2=0，化为m4+m2（1﹣）+k2﹣4k=0，可令t=m2（t≥0），则t2+t（1﹣）+k2﹣4k=0，可得△=（1﹣）2﹣（k2﹣4k）≥0，即1≥0恒成立，由韦达定理可得﹣（1﹣）≥0，k2﹣4k≥0，解得k≥4．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，则的共轭复数为i．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数相等，求出m，n然后求解复数的代数形式．【解答】解：m，n∈R，且m+2i=2﹣ni，可得m=2，n=﹣2，====﹣i．它的共轭复数为i．故答案为：i．12．二项式的展开式中，常数项等于1215（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项【解答】解：展开式的通项公式为，由6﹣3k=0得k=2，所以常数项为，故答案为1215．13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）是偶函数，它的部分图象如图所示．M是函数f（x）图象上的点，K，L是函数f（x）的图象与x轴的交点，且△KLM为等腰直角三角形，则f（x）=cosπx．【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的最值求出A，由函数的奇偶性求出φ的值，由周期求出ω，可得函数的解析式．【解答】解：由题意可得A=，φ=2kπ+，k∈Z，再结合0＜φ＜π，可得φ=，函数f（x）=sin（ωx+）=cosωx．再根据•=，可得ω=π，函数f（x）=cosπx，故答案为：cosπx．14．若a＞0，b＞0，则的最小值是2+3．【考点】基本不等式．【分析】化简可得=++3，从而利用基本不等式求解即可．【解答】解：=2+++1=++3≥2+3，（当且仅当=，即a=b时，等号成立）；故答案为：2+3．15．定义在区间[x1，x2]上的函数y=f（x）的图象为C，M是C上任意一点，O为坐标原点，设向量，且实数λ满足x=λx1+（1﹣λ）x2，此时向量．若|≤K恒成立，则称函数y=f（x）在区间[x1，x2]上可在标准K下线性近似，其中K是一个确定的实数．已知函数f（x）=x2﹣2x在区间[1，2]上可在标准K下线性近似，那么K的最小值是．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：y N﹣y M=λf（x1）+（1﹣λ）f（x2）﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2]=+﹣+2[λx1+（1﹣λ）x2] =，|x1﹣x2|≤|1﹣2|=1，由题意可得：=|y N﹣y M|=||≤|λ（1﹣λ）|≤=，由于|≤K恒成立，∴，∴K的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=sin2wx﹣sin2（wx﹣）（x∈R，w为常数且＜w＜1），函数f（x）的图象关于直线x=π对称．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=1，f（A）=．求△ABC面积的最大值．【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）化简f（x），根据对称轴求出ω，得出f（x）的解析式，利用周期公式计算周期；（2）由f（A）=解出A，利用余弦定理和基本不等式得出bc的最大值，代入面积公式得出面积的最大值．【解答】解：（I）f（x）=cos2ωx﹣[﹣cos（2ωx﹣）]=cos（2ωx﹣）﹣cos2ωx=﹣cos2ωx+sin2ωx=sin（2ωx﹣）．令2ωx﹣=+kπ，解得x=．∴f（x）的对称轴为x=，令=π解得ω=．∵＜w＜1，∴当k=1时，ω=．∴f（x）=sin（x﹣）．∴f（x）的最小正周期T=．（2）∵f（）=sin（A﹣）=，∴sin（A﹣）=．∴A=．由余弦定理得cosA===．∴b2+c2=bc+1≥2bc，∴bc≤1．∴S△ABC==≤．∴△ABC面积的最大值是．17．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时．（Ⅰ）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ．求ξ的分布列与数学期望E（ξ）．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元，求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式，可求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）确定变量的取值，求出相应的概率，即可求得ξ的分布列与数学期望．【解答】解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为0，40，80元．…都付0元的概率为P1==，都付40元的概率为P2==，都付80元的概率为P3=（1﹣）（1﹣）=，故所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=．（Ⅱ）由题意甲、乙两人所付的滑雪费用之和ξ的可能取值为0，40，80，120，160，P（ξ=0）==，P（ξ=40）==，P（ξ=80）=+=，P（ξ=120）=+=，P（ξ=160）=（1﹣）（1﹣）=，∴ξ的分布列为：ξ0 40 80 120 160P数学期望E（ξ）=+=80．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，E为PA的中点．（Ⅰ）设面PAB∩面PCD=l，求证：CD∥l；（Ⅱ）求二面角B﹣CE﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；棱锥的结构特征．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理以及性质定理即可证明CD∥l；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】证明：（Ⅰ）取CD的中点H，∵AC⊥AD，AB⊥BC，∠BCA=45，AP=AD=AC=2，∴AH⊥CD，∠CAH=∠CAB=45°，即∠BAH=90°，即四边形ABCH是矩形，则AB∥CH，AB∥CD∵CD⊄面PAB，AB⊂面PAB，∴CD∥面PAB，∵CD⊂面PCD，面PAB∩面PCD=l，∴根据线面平行的性质得CD∥l．（Ⅱ）∵AC=2，∴AB=BC=AH=，DH=，建立以A为原点，AH，AB，AP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（0，，0），C（，，0），P（0，0，2），E（0，0，1），D（，﹣，0），=（﹣，﹣，1），=（，0，0），=（0，﹣2，0）设平面BPC的一个法向量为=（x，y，z），则，则x=0，令y=，则z=2，即=（0，，2），设平面PCD的一个法向量为=（x，y，z），，则y=0，令x=，则z=2，=（，0，2），则cos＜，＞====，即二面角B﹣CE﹣D的余弦值是．19．已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{a n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（I）由，可得=T1+2=22，解得a1．利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a n，S n．可得2n+1=T n+2，利用递推关系可得b n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．可得：c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．n≥3，W n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）∵，∴=T1+2=2+2=4=22，∴+1=2，解得a1=1．∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．∴S n==n2．∴2n+1=T n+2，+2）=b n，∴当n≥2时，2n+1﹣2n=T n+2﹣（T n﹣1∴b n=2n，当n=1时也成立．∴b n=2n．（II）令c n=a n b n﹣14=（2n﹣1）•2n﹣14．∴c1=﹣12，c2=﹣2，n≥3，c n＞0．∴n≥3，W n=﹣c1﹣c2+c3+…+c n=c1+c2+…+c n﹣2c1﹣2c2．W n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n﹣14n+28，令Q n=1×2+3×22+…+（2n﹣1）2n，2Q n=1×22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣Q n=2（2+22+…+2n）﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=2×﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）•2n+1﹣6，∴Q n=（2n﹣3）•2n+1+6．∴W n=．20．已知椭圆E： +=1，A、B分别是椭圆E的左、右顶点，动点M在射线1：x=4（y＞0）上运动，MA交椭圆E于点P，MB交椭圆E于点Q．（1）若△MAB垂心的纵坐标为﹣4，求点的P坐标；（2）试问：直线PQ是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，运用直线斜率公式和斜率之积为﹣1，可得m，再由直线MA与椭圆求得交点P；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，运用韦达定理，解得P的坐标；同理求得Q的坐标，运用直线的斜率公式可得PQ的斜率，由点斜式方程可得PQ的方程，再由恒过定点思想，即可得到所求定点．【解答】解：（1）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），垂心H（4，﹣4），由BH⊥MA，可得k BH•k MA=﹣1，即有•=﹣1，可得m=，由MA的方程：y=（x+2），代入椭圆方程，可得8x2+4x﹣48=0，解得x=﹣2，或，即有P（，）；（2）设M（4，m），由A（﹣2，0），B（2，0），可得MA的方程为y=（x+2），代入椭圆方程，可得（36+m2）x2+4m2x+8m2﹣288=0，由﹣2x P=，可得x P=，y P=（x P+2）=；又MB：y=（x﹣2），代入椭圆方程，可得（4+m2）x2﹣4m2x+8m2﹣32=0，由2+x Q=，可得x Q=，y Q=（x Q﹣2）=﹣，即有直线PQ的斜率为k==，则直线PQ：y﹣=（x﹣），化简即有y=（x﹣1），由x﹣1=0，解得x=，y=0．故直线PQ恒过定点（，0）．21．已知函数f（x）=sinx﹣ax．（Ⅰ）对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，令h（x）=f（x）﹣sinx+lnx+1，求h（x）的最大值；（Ⅲ）求证：．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出a的范围即可；（Ⅱ）求出h（x）的导数，解关于导函数的不等式求出h（x）的单调区间，从而求出h（x）的最大值即可；（Ⅲ）构造函数f（x）=ln（1+x）﹣x，利用导数法可证得ln（1+x）≤x（当x≠0时，ln（1+x）＜x），令x=，利用对数函数的运算性质及累加法求和即可证得结论成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=sinx﹣ax，f′（x）=cosx﹣a，若对于x∈（0，1），f（x）＞0恒成立，即a＜cosx在（0，1）恒成立，故a≤0；（Ⅱ）a=1时，h（x）=lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）=﹣1=，令h′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令h′（x）＜0，解得：x＞1，∴h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴h（x）的最大值是h（1）=0；证明：（Ⅲ）构造函数g（x）=ln（1+x）﹣x，则g′（x）=﹣1=，当﹣1＜x＜0时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣1，0）上单调递增；当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上单调递减；所以，当x=0时，g（x）=ln（1+x）﹣x取得极大值，也是最大值，所以，g（x）≤g（0）=0，即ln（1+x）≤x，当x≠0时，ln（1+x）＜x．令x=，则ln（1+）=ln（n+1）﹣lnn＜，即ln（n+1）﹣lnn＜，∴ln2﹣ln1＜1，ln3﹣ln2＜，…，lnn﹣ln（n﹣1）＜，ln（n+1）﹣lnn＜，以上n个不等式相加得：ln（n+1）﹣ln1＜1+++…+，即．2019年9月9日。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(山东.理)含详细讲解
2019年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）参考公式：球的表面积公式：24πS R =，其中R 是球的半径．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：()(1)(012)k kn k n nP k C p p k n -=-=L ，，，，． 如果事件A B ，互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A B ，相互独立，那么()()()P AB P A P B =g ．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．满足{}1234M a a a a ⊆，，，，且{}{}12312M a a a a a =I ，，，的集合M 的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4解析：本小题主要考查集合子集的概念及交集运算。
集合M 中必含有12,a a ,则{}12,M a a =或{}124,,M a a a =.选B. 2．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，8z z =g ，则zz等于（ ） A ．i B ．i - C ．1± D ．i ±解析：本小题主要考查共轭复数的概念、复数的运算。
可设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±选D.3．函数ππln cos 22y x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）xxA ．B ．C ．D ．解析：本小题主要考查复合函数的图像识别。
ln cos ()22y x x ππ=-<<是偶函数，可排除B 、D ，由cos 1lncos 0x x ≤⇒≤排除C,选A.4．设函数()1f x x x a =++-的图象关于直线1x =对称，则a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．1-解：1x +、x a -在数轴上表示点x 到点1-、a 的距离，他们的和()1f x x x a =++-关于1x = 对称，因此点1-、a 关于1x =对称，所以3a =（直接去绝对值化成分段函数求解比较麻烦，如取特殊值解也可以） 5．已知πcos sin 6αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭7πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A． BC ．45-D ．45解：：3cos()sin sin 62παααα-+=+=14cos 25αα=，714sin()sin()sin cos .66225ππαααα⎛⎫+=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭6．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解：从三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱组合而成的，其表面及为22411221312.S ππππ=⨯+⨯⨯+⨯⨯=7．在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为12318L ，，，，的18名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为（ ） A ．151B ．168C ．1306D ．1408解：古典概型问题，基本事件总数为31817163C =⨯⨯。
2019年高三下学期一模考试数学(理)试题含答案
2019年高三下学期一模考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知复数，则等于（）A． B． C． D．2、设集合{0,1},{|1}==∈=-，则（）M N x Z y xA． B． C． D．3、给定函数①②③④，其中在区间上单调递减的函数序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④4、在中，若sin sin cos cos sin-=，则的形状是（）A A C A CA．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形5、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为，众数，平均数为，则（）A． B．C． D．6、某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种 B．216种 C．240种 D．288种7、若函数的图象如图所示，则的范围为（）A． B． C． D．8、设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的交点相同，则此双曲线的方程为（）A． B． C． D．9、已知函数()0()210x e a x f x a R x x ⎧+≤=∈⎨->⎩，若函数在R 上有两个零点，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10、若函数，并且，则下列各结论正确的是（ ）A ．()()()2a b f a f ab f +<<B ．()()()2a bf ab f f b +<< C ．()()()2a b f ab f f a +<< D ．()()()2a bf b f ab f +<<二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
. 11、如图，正方体的棱长为1，E 为棱上的点， 为AB 的中点，则三棱锥的体积为12、已知满足不等式组22y x x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则的最大值与最小值的比为 13、定义在实数集R 上的函数满足， 且现有以下三种叙述①8是函数的一个周期； ②的图象关于直线对称；③是偶函数。
山东省高2019届高三第一次大联考理科数学试题及参考答案
一、选择题1.已知集合3{(,)|}A x y y x ==,{(,)|}B x y y x ==,则A B 的元素个数是( ）A. 0B. 1C. 2D. 3 答案： D 解答：【评析】本题考查集合的表示、交集的运算,考查幂函数的图像.凸显了直观想象考查.解答本题首先要能理解集合,A B 表示的是点集,表示的是两个幂函数的图像上所有点组成的集合,其次需要熟悉常见幂函数的图像,最后要理解集合A B 的元素个数就是这两个函数图像交点的个数.由幂函数3,y x y x ==的图像可以知道,它们有三个交点(1,1),(0,0),(1,1)--,所以集合A B有三个元素.2.已知在复平面内,复数12,z z 对应的点分别是12(2,1),(1,1)Z Z -,则复数12z z 对应的点在( ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 答案： D 解答：【评析】本题考查复数的几何意义、复数运算,突显数学运算、直观想象的考查.解答本题首先 要理解复平面内点与复数的对应关系,其次要能熟练进行复数的四则运算.122i (2i)(1i)13i1i 22z z ----===+,对应的点的坐标是13(,)22-,在第四象限. 3.已知{}n a 是等差数列,且12343,6a a a a +=-+=-,则{}n a 的前10项和等于( ）A. 15-B. 25-C. 45-D. 60- 答案： C 解答：【评析】本题考查等差数列的判定、通项公式、前n 项和公式,考查方程思想.突显了数学建模的考查.解答本题首先要知道{}n a 是等差数列,则212{}n n a a -+也是等差数列,建立等差数列模型,其次是要找好新等差数列的首项123a a +=-及公差3412'()()d a a a a =+-+,最后需要理解到{}n a 的前10项和即为数列212{}n n a a -+的前5项和.解答本题也可以首先根据条件列出两个关于1,a d 的方程,从而求出1,a d ,再利用前n 项和公式求解.101234910()()()3(12345)45S a a a a a a =++++++=-⨯++++=-.4. 已知向量(1,0),(3,4)a b ==-的夹角为θ,则cos θ2等于( ）A. 725-B.725C. 2425-D.2425答案： A 解答：【评析】本题考查向量的坐标运算、二倍角公式,突显了数学抽象的考查.解答本题首先要根据 向量夹角公式和坐标运算公式求出cos q ,再利用二倍角的余弦公式求解.33cos 155θ-==-⨯,所以27cos 22cos 125θθ=-=-. 5.已知00(,)A x y 是抛物线24y x =上的点,点F 的坐标为(1,0),则“0[1,3]x ∈”是 “||[3,4]AF ∈”的( ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 答案： B 解答：【评析】本题考查抛物线的定义、标准方程、充要条件的判定,突显了逻辑推理的考查.解答本题首先要根据抛物线的标准方程和定义找到||AF 与0x 的关系,从而发现||[3,4]AF Î的等价条件,其次要正确理解条件与结论的关系,准确作出判断.||[3,4]AF ∈001[3,4][2,3]x x ⇔+∈⇔∈,因为[2,3][1,3]⊂≠,所以选B .6.下图是相关变量,x y 的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一：根据图中所有数据,得到线性回归方程11y b x a =+,相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21),根据剩下数据得到线性回归方程：22y b x a =+,相关系数为2r .则( ）A. 1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 答案： D 解答：【评析】本题考查线性回归分析,重点考查散点图、相关系数,突显了数据分析、直观想象的考查.解答本题首先要能理解散点图,其次需要理解相关系数与正负相关的关系,最后还需要理解相关系数的意义：其绝对值越接近1,说明两个变量越具有线性相关性.负相关,所以12,0r r <,因为剔除点(10,21)后,剩下点数据更具有线性相关性,||r 更接近1,所以2110r r -<<<.7. 设23342,log 15,log 20a b c ===,则,,a b c 的大小关系是( ） A. a b c << B. a c b <<C. b c a <<D. c b a << 答案： B 解答：【评析】本题考查对数运算,考查指数、对数函数的性质,考查不等式的性质,考查函数与方程思想,突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要根据对数运算将,b c 化简,然后建立指数函数、对数函数模型,根据指数函数、对数函数的性质判断,,a b c 与2的大小关系,最后还需要根据换底公式、不等式性质等判断出,b c 的大小关系.122a <=,3log 92b >=,4log 162c >=,所以a 最小,341log 5,1log 5b c =+=+,因为11lg5lg50lg3lg 4lg3lg 4lg3lg 4b c <<⇒>⇒>⇒>. 8. 执行如图所示程序框图,输出的结果是( ）A. 5B. 6C. 7D. 8 答案： B 解答：【评析】本题考查程序框图、等比数列的判定、等比数列的前n 项和公式,突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先要根据程序框图正确得到等比数列模型,再根据等比数列前n 项和公式求解.该题易错点是B 是数列1{2}n -的前1n +项和,而不是数列{2}n的前n 项和. 如图所示i n =时,B 是等比数列1{2}n -的前1n +项和,即21122221n n B +=++++=-,由1100210117n B n +≥⇒≥⇒+≥,所以输出的是6.9.过两点(4,0),(4,0)A B -分别作斜率不为0且与圆226290(0)x y x my m +--+=≠相切的直线,AC BC ,当m 变化时,交点C 的轨迹方程是( ）A.221(3)97x y x -=> B. 221(4)169x y x -=>C. 212(0)y x x =>D. 216(0)y x x => 答案： A 解答：【评析】本题考查圆的方程、双曲线的定义及其标准方程.突显了直观想象、逻辑推理的考查.解答本题首先要正确根据圆的方程找到圆心和半径,然后根据圆的切线性质发现动点C 满足的几何条件,从而判断出动点C 的轨迹,再根据双曲线的标准方程找出轨迹方程.圆方程为222(3)()x y m m -+-=与x 轴相切于点(3,0)M ,设,AC BC 与圆的切点分别为,N P ,则||||||||||||6AC BC AN BP AM BM -=-=-=,所以点C 的轨迹是以,A B 为焦点且实轴长为6的双曲线的右支,所以选A .10. 在解三角形的问题中,其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,a b c 直接求三角形的面积,据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了海伦公式即()()()S p p a p b p c =---,其中1()2p a b c =++.我国南宋著名数学家秦九韶(约1202-1261）也在《数书九章》里面给出了一个等价解法,这个解法写成公式就是2221()4S c a =-∆,这个公式中的∆应该是( ） A. 2()2a cb ++ B.2a c b+- C. 2222c a b +-D.2a b c++ 答案：C 解答：【评析】本题考查余弦定理、三角形面积公式、同角三角函数关系式,弘扬中国古代数学文化,突显了数学抽象的考查.解答本题首先要注意观察、联想三角形面积公式1sin 2S ca B=,从而发现∆应该等于|cos |ca B ,再根据余弦定理得到答案.因为222cos 2c a b ac B +-=,1sin 2ac B S ==.11．如图,1111ABCD A BC D -是棱长为4的正方体,P QRH -是棱长为4的正四面体,底面ABCD ,QRH 在同一个平面内,QH BC //,则正方体中过AD 且与平面PHQ 平行的截面面积是( ）A.B.C.D. 答案： C 解答：【评析】本题考查正棱锥的平行关系、等角定理,考查空间想象能力,突显了直观想象的考查.解答本题首先要根据面面平行的性质定理确定截面的形状,再根据正四面体的性质、等角定理等确定点,E F 的具体位置、AE 的长度,从而求出截面面积.设截面与1111,A B D C 分别相交于点,E F 则//EF AD ,过点P 作平面QRH 的垂线,垂足为O ,则O 是底面Q R H 的中心.设ORHQ G =,则EAB PGO ∠=∠,又因为2RG RO OG ===,3PO =,所以sin sin 3PO EAB PGO PG ∠=∠==,所以4EA EA =⇒=,所以四边形AEFD的面积4S =⨯=12.已知函数e ,0,()2e (1),0xx m mx x f x x x -⎧++<⎪=⎨⎪-≥⎩(e 为自然对数的底）,若方程()()0f x f x -+=有且仅有四个不同的解,则实数m 的取值范围是( ） A. (0,e) B. (e,+)∞ C. (0,2e) D. (2e,)+∞ 答案： D 解答：【评析】本题考查函数的奇偶性、函数零点、导数的几何意义,考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想,突显了直观想象、数学抽象、逻辑推理的考查.解答本题首先需要根据方程特点构造函数()()()F x f x f x =+-,将方程根的问题转化为函数零点问题,并根据函数的奇偶性判断出函数()F x 在(0,)+?上的零点个数,再转化成方程1e ()2xx m x =-解的问题,最后利用数形结合思想,构造两个函数,转化成求切线斜率问题,从而根据斜率的几何意义得到解. 因为函数()()()F x f x f x =-+是偶函数,(0)0F ≠,所以零点成对出现,依题意,方程有两个不同的正根,又当0x >时,()e 2xmf x mx -=-+,所以方程可以化为：e e e 02x x x m mx x -++-=,即1e ()2x x m x =-,记()e x g x x =,()e (1)x g x x '=+,设直1()2y m x =-与()g x 图像相切时的切点为(,e )t t t ,则切线方程为e e (1)()t t y t t x t -=+-,过点1(,0)2,所以1e e (1)()12t tt t t t -=+-⇒=或12-(舍弃）,所以切线的斜率为2e ,由图像可以得2e m >.二、填空题13.5(2)(1)a b c --的展开式中,32a b c 的系数是 . 答案：40-解答：【评析】本题考查二项式定理,突显了数学运算的考查.解答本题首先要将5(2)(1)a b c --化成55(2)(2)a b c a b ---,并注意到5(2)a b -的展开式中不会出现32a b c ,最后用二项式定理求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数,从而得解.依题意,只需求5(2)c a b -⋅-中32a b c 的系数,是225(2)40C -⋅-=-.14. 已知ABC ∆是等腰直角三角形,||||1AC BC ==,()(R,0)CP CA CB λλλ=+∈>u u r u u r u u r,4AP BP ⋅=uu u r uu r,则λ等于 .答案：2解答：【评析】本题考查向量的运算、坐标法,考查方程思想,突显直观想象的考查.解答本题首先需要依据直观想象,根据条件建立直角坐标系,将向量的几何运算转化为坐标运算,其次需要根据条件建立关于实数l 的方程,通过解方程得到解.以,CA CB 所在直线分别为x 轴,y 轴,建立直角坐标系,则(1,0),(0,1),(0,0),(,)A B C P λλ,所以(1,),(,1)AP BP λλλλ=-=-u u u r u u r,所以2(1)4λλ-=,解得2λ=或1-(舍去）.15. 如图,已知四棱锥P ABCD -底面是边长为4的正方形,侧面PBC 是一个等腰直角三角形,PB PC =,平面PBC ⊥平面ABCD ,四棱锥P ABCD -外接球的表面积是 .答案：32π解答：【评析】本题考查两平面垂直的性质、球的性质及表面积公式,考查空间想象能力,突显了直观想象的考查.解答本题首先要理解到外接球球心与各面中心连线垂直该面,从而通过找两个面的中心,并依据面面垂直的性质过中心作垂线,找到外接球的球心,然后确定外接球的半径,并计算球的表面积得到解.过PBC ∆的外心即BC 的中点E 作平面PBC 的垂线,该垂线过正方形的中心O ,所以点O 为该四棱锥外接球的球心,其半径R OA ==,所以外接球的表面积是2432S R ππ==.16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足12,a =-2S 是34,S S 的等差中项.设m 是整数,若存在N n +∈,使得等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=成立,则m 的最大值是 . 答案：DCBAPOE DCB AP16解答：【评析】本题考查等差中项、等比数列的通项公式及前n 项和公式,考查函数思想.突显了数学运算、数学建模的考查.解答本题首先需要依据条件求出等比数列的通项公式及前n 项和公式,然后要利用函数思想,为了求m 的最值,需要把m 表示成n 的函数,最后根据,m n 是整数确定这个函数的定义域,从而找到这个函数值域,得到m 的最大值. 因为2S 是34,S S 的等差中项,所以34243234322222S S S S S S S a a q +=⇒-=-⇒=-⇒=-,所以(2)nn a =-,12(2)3n n S +---=,等式3(1)402n n n S a m a m ++⋅+=,化为：2(2)[(2)4]0n n m -+-+=, 因此2(2)16(2)4(2)4(2)4n nn n m --==--+-+-+, 因为m 为整数,所以|(2)4|161,2,3n n -+≤⇒=, 当1n =时,2482m m -=--+⇒=-, 当2n =时,164428m m -=-+⇒=-, 当3n =时,1684164m m -=--+⇒=-. 三、解答题17.如图,点,A B 分别是圆心在原点,半径为1和2的圆上的动点.动点A 从初始位置0(cos,sin )33A ππ开始,按逆时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动,同时点B 从初始位置)0,2(0B 开始,按顺时针方向以角速度s /rad 2作圆周运动.记t 时刻,点B A ,的纵坐标分别为12,y y .(Ⅰ）求4t π=时刻,,A B 两点间的距离；(Ⅱ）求12y y y =+关于时间(0)t t >的函数关系式,并求当(0,]2t π∈时,这个函数的值域.答案：(Ⅰ）7；(Ⅱ）[2. 解答：【评析】考查余弦定理、三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图像,考查函数思想、数形结合思想,突显了数学建模的考查.解答本题第一问首先要确定π4t =时刻,A B 两点的坐标及,OA OB 的长度、夹角,再利用两点距离公式或余弦定理求解；解答本题第二问,需要根据三角函数的定义先确定12,y y 与t 的函数关系式,从而得到所求函数关系式,再利用两角和与差的三角函数公式将函数关系式化成sin()y A x k w j =++(或cos()y A x k w j =++）的形式,最后根据三角函数图像确定值域. (Ⅰ）4t π=时,,232xOA xOB πππ∠=+∠=,所以23AOB π∠=, …… 2分 又||1,||2OA OB ==,所以2222||12212cos73AB π=+-⨯⨯=, 即,A B 两点间的距离为7. ………………6分(Ⅱ）依题意,1sin(2)3y t π=+,t y 2sin 22-=, ………………8分所以3sin(2)2sin 22sin 2)3223y t t t t t ππ=+-=-=+,即函数关系为)(0)3y t t π=+>, ………………10分当(0,]2t π∈时,2(,]333t πππ4+∈,所以1cos(2)[1,)32t π+∈-,[y ∈.…12分18.已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是等腰梯形,CD AB //,AC BD O =I ,AC PB ⊥,222====CD AB PB PA ,3=AC .(Ⅰ）证明：平面⊥PBD 平面ABCD ；(Ⅱ）点E 是棱PC 上一点,且//OE 平面PAD ,求二面角A OB E --的余弦值. 答案： (Ⅰ）见解析；(Ⅱ）2-. 解答：【评析】本题考查线面、面面垂直关系的判定,考查线面平行的性质,考查空间向量的应用,考查二面角的计算,考查转化与化归思想,考查空间想象能力,突显了直观想象、数学运算的考查.解答本题第一问首先需要在面ABCD 内发现垂直关系,再利用判定定理转化为线面垂直,从而得到面面垂直；解答本题第二问首先要通过垂直关系的判定正确建立空间直角坐标系找好,,A B P 的坐标,然后将线面平行即//OE 平面PAD 转化为线线平行PA OE //,从而确定平面的法向量,最后根据法向量求出二面角的余弦.本题特色是通过平行关系的转化避开了计算点E 的坐标,简化了求法向量的运算,本题要特别注意的是所求二面角是钝角,其余弦值为负. (Ⅰ）证明：等腰梯形ABCD 中,OAB ∆∽OCD ∆,所以2OA ABOC CD==,又3AC =,所以2OA =,所以2=OB . 所以222OA OB AB +=,所以OB OA ⊥,即BD AC ⊥, ………………3分 又因为AC PB ⊥,且BD PB I 于点B ,所以⊥AC 平面PBD ,又因为AC ⊂平面ABCD ,因此平面⊥PBD 平面ABCD . …6分 (Ⅱ）连接PO ,由(Ⅰ）知,⊥AC 平面PBD ,所以PO AC ⊥,所以222=-=OA PA PO ,所以222PO OB PB +=,即OB PO ⊥, ………………7分如图以,,OA OB OP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2)A B P ,平面AOB 的法向量(0,0,1)m =u r,因为//OE 平面PAD ,⊂OE 平面PAC ,平面PAC I 平面PA PAD =,所以PA OE //, ………………9分设平面EOB 的法向量为(,,)n x y z =r ,则n OB ⊥r u u u r,即0=y ,(,,)(2,0,2)0n OE n AP x y z x z ⊥⇒⊥⇒⋅-=⇒=r u u u r r u u u r ,令1x =,则(1,0,1)n =r,……11分所以cos ,2m n <>==u r r,所以所求二面角的余弦值是2-.……………12分19.某公司生产某种产品,一条流水线年产量为10000件,该生产线分为两段,流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级,具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件,得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100-元.(Ⅰ）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标,估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；(Ⅱ）将频率估计为概率,试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润；(Ⅲ）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段,价格是20万元,使用寿命是1年,安装这种设备后,流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ,且不影响产量.请你帮该公司作出决策,是否要购买该设备？说明理由.(参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=,(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=,(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=）答案： (Ⅰ）80.2； (Ⅱ）30万元； (Ⅲ）见解析. 解答：【评析】本题考查频率分布直方图、样本平均数的估算、独立事件的概率、随机变量的分布列及数学期望、正态分布,突显了数学建模、数据分析的考查.解答本题第一问首先要根据频率分布直方图确定各组的频率及中间值,再根据样本平均数的计算公式计算得到平均数；解答本题第二问首先要确定随机变量X 的所有可能取值,再根据独立事件的概率公式求出分布列,最后利用数学期望公式求X 的数学期望；本题第三问首先要根据正态分布的性质确定好,2μσμσ--等,然后类似第二问求出随机变量Y 的分布列及数学期望,最后根据随机变量,X Y 的数学期望的大小决策.本题特色综合考察概率统计的几个主要模型、体现概率统计在实际中的主要应用：用于决策. (Ⅰ）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= . …3分 (Ⅱ）由频率直方图,第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)x >0.25=,(7478P x <≤或8286)x <≤0.45=,(7882)0.3P x <≤=, ………………4分设生产一件产品的利润为X 元,则(100)P X ==0.20.250.40.450.60.30.41⨯+⨯+⨯=, (60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=,(100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=, ………………7分所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元,所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元. ………………8分 (Ⅲ）374,78,82,386μσμσμσμσ-=-=+=+=, ………………9分 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元,则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=,(60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=,(100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=, ………………11分所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元,所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元, 增加收入55.23020 5.2--=万元,综上,应该引入该设备. ………………12分20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,点000(,)(0)P x y y >是椭圆C 上的一个动点,当直线OP 的斜率等于2时,2PF x ⊥轴.(Ⅰ）求椭圆C 的方程； (Ⅱ）过点P 且斜率为02x y -的直线1l 与直线2:2l x =相交于点Q ,试判断以PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是,求出定点坐标；若不是,说明理由.答案：(Ⅰ）2212x y +=； (Ⅱ）见解析. 解答：【评析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程,考查数形结合思想、特殊与一般思想,突显了直观想象、数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要根据题设给的点P 的特殊位置,建立关于,,a b c 的等式,再通过解方程求出,,a b c ,从而得到所求标准方程；解答本题第二问首先要根据条件利用直线方程的点斜式得到直线1l 的方程,并能利用椭圆方程整理化简方程,然后求出点Q 的坐标,再根据圆的知识转化成向量垂直,待定出定点坐标.本题特色是回避了直线与椭圆方程联立,利用韦达定理求解.(Ⅰ）依题意22b a ac =⇒=, ………………2分又因为221a b -=, 所以2a =解得2=a .所以椭圆C 的方程为2212x y +=. ………………5分(Ⅱ）直线1l 的方程：0000()2x y y x x y -=--即22000022y y x x x y =-++,………………6分 依题意,有220012x y +=,即220022x y +=, 所以1l 的方程为0022x x y y +=,所以点01(2,)x Q y -, ………………8分 设定点(,0)M m ,由000010()(2)0x MP MQ x m m y y -⋅=⇒--+⋅=uuu r uuu r , ………………10分即20(1)(1)0m x m -+-=,所以1m =,综上,存在定点(1,0)M 符合条件. ………………12分 21.已知函数x xax a x f e )(e )(2-+=(e 为自然对数的底,a 为常数,a R ∈）有两个极值点21,x x ,且210x x <<.(Ⅰ）求a 的取值范围；(Ⅱ）若0)(2121<++x x m x x 恒成立,求实数m 的取值范围. 答案：(Ⅰ）(2e,)+∞； (Ⅱ）]21,(--∞. 解答：【评析】本题考查导数运算、导数的应用,考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类与整合思想,突显了数学抽象、数学建模、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过导数运算将极值点问题转化为方程解的问题,从而转化成两个函数图像交点问题,再根据导数的应用确定函数的极值点、单调性,从而画出简图,判断出所求范围；解答本题第二问首先要灵活根据隐含条件消元,将不等式转化为关于12x x 的不等式,从而构造函数,建立函数模型,再通过分类讨论该函数的单调性,确定实数m 的取值范围.(Ⅰ）xxax x f e e 2)(2-=',由0)(='x f 得xa xe 2=, ………………2分依题意,该方程有两个不同正实数根,记x x h x e 2)(=,则2)1(e 2)(x x x h x -=',当01x <<时,()0h x '<；当1>x 时,()0h x '>,所以函数()h x 在1x =处取得最小值(1)2e h =,所以a 的取值范围是(2e,)+∞. …………5分(Ⅱ）由(Ⅰ）得：21(1,)x x ∈+∞,且112e x ax =,所以112ln ln ln x x a +=+,222ln ln ln x x a +=+,所以1212ln ln x x x x -=-, ………………6分 因此0)(2121<++x x m x x 恒成立,即22122121(ln ln )()0x x x x m x x -+-<恒成立,即22221112ln 0x x x m x x x -+<,设21x t x =,即1ln ()0t m t t +-<在(1,)t ∈+∞上恒成立,从而0m <,记1()ln ()g t t m t t =+-,(1)0g =,211()(1)g t m t t '=++22(1)m t tt++=,…8分 ① 当12m ≤-时,t t 212>+,所以t t m -<+)1(2,从而()0g t '<, 则()g t 在区间[1,)+∞上单调递减,所以当1t >时,()(1)0g t g <=恒成立； ……………10分② 102m -<<时,()0g t '>等价于2110t t m ++<,2140m∆=->, 所以2110t t m ++=有两根21,t t ,且121211,0t t t t m=+=->,可以不妨设2110t t <<<,()0g t '>在),1(2t t ∈时成立,所以()g t 在区间),1(2t 上单调递增,当),1(2t t ∈时,()(1)0g t g >=,即1ln ()0t m t t+-<在(1,)t ∈+∞上不恒成立,综上,m 的取值范围是]21,(--∞. ………………12分 四、选做题(2选1）22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为4cos (0)ρθρ=>.M 为曲线1C 上的动点,点P 在射线OM 上,且满足||||20OM OP ⋅=. (Ⅰ）求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；(Ⅱ）设2C 与x 轴交于点D ,过点D 且倾斜角为56π的直线l 与1C 相交于,A B 两点,求||||DA DB ⋅的值.答案： (Ⅰ）5x =； (Ⅱ）5. 解答：【评析】本题考查直线与圆的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用,突显了直观想象的考查.解答本题第一问首先要依据动点,P M 的极坐标的关系找到点P 的极坐标方程,再化为直角坐标方程；解答本题第二问首先要根据条件确定直线l 的参数方程,依据参数t 的几何意义,结合解方程,利用韦达定理得到解.(Ⅰ）设P 的极坐标为)0)(,(>ρθρ,M 的极坐标为)0)(,(11>ρθρ,由题设知1,4cos OP OM ρρθ===.所以20cos 4=θρ, ………………2分 即2C 的极坐标方程cos 5(0)ρθρ=>,所以2C 的直角坐标方程为5x =. ………………5分(Ⅱ）交点)0,5(D ,所以直线l的参数方程为5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数）, 曲线1C 的直角坐标方程)0(0422≠=-+x x y x ,代入得：05332=+-t t ,70∆=>, ………………8分 设方程两根为12,t t ,则12,t t 分别是,A B 对应的参数,所以5||||||21==⋅t t DB DA . ………………10分23.选修4-5：不等式选讲已知函数|1|||)(-++=x a x x f .(Ⅰ）当1=a 时,求不等式4)(+≥x x f 的解集；(Ⅱ）若不等式1)(2-≥a x f 恒成立,求实数a 的取值范围.答案：(Ⅰ）4{|3x x ≤-或4}x ≥； (Ⅱ）[1,2]-.解答：【评析】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式定理,考查转化与化归思想、分类与整合思想,突显了数学运算、逻辑推理的考查.解答本题第一问首先要通过对绝对值内式子符号的讨论,将不等式转化为一元一次不等式组,再分别解各不等式组,最后求各不等式组解集的并集,得到所求不等式的解集；解答本题第二问首先要利用绝对值不等式定理得到函数()f x 的最小值,将不等式恒成立问题转化为关于a 的不等式解的问题,再通过对绝对值内式子符号的讨论,转化为不含绝对值的不等式组,最后求解不等式组.(Ⅰ）不等式为4|1||1|+≥-++x x x ,可以转化为：1,114x x x x ≤-⎧⎨---+≥+⎩或11,114x x x x -<<⎧⎨+-+≥+⎩或1,114x x x x ≥⎧⎨++-≥+⎩, ………………2分 解得43x ≤-或4x ≥,所以原不等式的解集是4{|3x x ≤-或4}x ≥. ………………5分 (Ⅱ）|1||)1()(|)(min +=--+=a x a x x f ,所以1|1|2-≥+a a ⎩⎨⎧-≥---<⇔11,12a a a 或2111a a a ≥-⎧⎨+≥-⎩, ………………8分 解得a ∈∅或21≤≤-a .所以实数a 的取值范围是[1,2]-. ………………10分。
2019年最新山东省高考数学一模试卷(理)及答案解析
山东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}3．某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280．采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（）A．20 B．16 C．15 D．144．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假5．已知x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣3 C．1 D．46．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．28+6 B．40 C．D．30+67．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．489．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且|AB|=1，若P（1，），则|++|的取值范围是（）A．[5，6] B．[6，7] C．[6，9] D．[5，7]10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞） D．（，+∞）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．二项式的展开式中常数项的值为．12．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是．13．已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n，若a3=8，S3=（4x+3）dx，则公比q= ．14．过点（0，3b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABC=90°，△ABC≌△ADC，PA=AC=2AB=2，E是线段PC的中点．（I）求证：DE∥面PAB；（Ⅱ）求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．19．已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．20．已知函数f（x）=﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2e mx（m∈R）．（1）当a=1，求函数f（x）的最大值（2）当a＜0，且对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．21．设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点（i）证明：∠AOB为定值；（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==，则z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第三象限．故选：C．2．已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0}，集合N={x|lgx≥0}，则M∩N=（）A．{x|﹣2≤x≤4} B．{x|x≥1} C．{x|1≤x≤4} D．{x|x≥﹣2}【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣4）（x+2）≤0，解得：﹣2≤x≤4，即M=[﹣2，4]，由N中lgx≥0，得到x≥1，即N=[1，+∞），则M∩N=[1，4]，故选：C．3．某校高一、高二、高三年级学生人数分别是400，320，280．采用分层抽样的方法抽取50人，参加学校举行的社会主义核心价值观知识竞赛，则样本中高三年级的人数是（）A．20 B．16 C．15 D．14【考点】分层抽样方法．【分析】先求出抽取样本的比例是多少，再计算从高三学生中应抽取的人是多少．【解答】解：根据题意，得抽取样本的比例是=，∴从高三学生中应抽取的人数为280×=14．故选：D．4．已知命题p：∃x0∈R，使sinx0=；命题q：∀x∈（0，），x＞sinx，则下列判断正确的是（）A．p为真B．￢q为假C．p∧q为真D．p∨q为假【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：∀x∈R，都有sinx≤1，故命题p：∃x0∈R，使sinx0=是假命题；令f（x）=x﹣sinx，f′（x）=1+cosx＞0，y=f（x）在区间（0，）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，故命题q：∀x∈（0，），x＞sinx是真命题，故B正确，故选：B．5．已知x，y满足约束条件，则z=3x﹣2y的最小值是（）A．﹣7 B．﹣3 C．1 D．4【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=3x﹣2y为y=x﹣，从而利用数形结合求解即可．【解答】解：由题意作平面区域如下，，z=3x﹣2y可化为y=x﹣，故当过点A（1，5）时，z有最小值，即z=3x﹣2y的最小值是3﹣10=﹣7，故选：A．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．28+6 B．40 C．D．30+6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是5、4，由正视图知，三棱锥的高是4，∴该几何体的体积V==，故选：C．7．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（0）+f（）的值为（）A．2﹣B．2+C．1﹣D．1+【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数f（x）的部分图象，求出周期T与ω的值，再计算φ的值，写出f（x）的解析式，从而求出f（0）+f（）的值．【解答】解：根据函数f（x）=2sin（ωx+φ）（w＞0，|φ|＜）的部分图象，得T=﹣（﹣）=，又T==π，∴ω=2；当x=﹣时，函数f（x）取得最小值﹣2，∴2×（﹣）+φ=﹣+2kπ，k∈Z，解得φ=﹣+2kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，∴f（x）=2sin（2x﹣）；∴f（0）+f（）=2sin（﹣）+2sin（2×﹣）=2×（﹣）+2sin=2﹣．故选：A．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（）（参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．12 B．24 C．36 D．48【考点】程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：B．9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别为x轴，y轴上一点，且|AB|=1，若P（1，），则|++|的取值范围是（）A．[5，6] B．[6，7] C．[6，9] D．[5，7]【考点】向量的加法及其几何意义．【分析】设出A，B两点坐标，求出三个向量的坐标，对|++|取平方得出关于A点坐标的函数，利用三角函数的性质求出|++|的范围．【解答】解：设A（x，0），B（0，y），则x2+y2=1．∴=（1﹣x，），=（1，y）.=（1，）．∴++=（3﹣x，3）．∴|++|2=（3﹣x）2+（3﹣y）2=37﹣6x﹣6y．令x=cosθ，y=sinθ，则|++|2=37﹣6cosθ﹣6sinθ=37﹣12sin（θ+）．∴当sin（θ+）=﹣1时，|++|取得最大值=7，当sin（θ+）=1时，|++|取得最小值=5．故选：D．10．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，则4f（x）＞f′（x）的解集为（）A．（，+∞）B．（，+∞）C．（，+∞） D．（，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】根据题意，设函数f（x）=ae bx+c，由f（0）=1得a+c=1；再由3f（x）=f′（x）﹣3，得；由此求出f（x）的解析式，再解不等式4f（x）＞f′（x）即可．【解答】解：∵3f（x）=f′（x）﹣3，∴f′（x）=3f（x）+3；可设f（x）=ae bx+c，由f（0）=1，∴a+c=1；又3f（x）=f′（x）﹣3，∴3ae bx+3c=abe bx﹣3，即（3a﹣ab）e bx=﹣3﹣3c，∴，解得b=3，c=﹣1，a=2；∴f（x）=2e3x﹣1，x∈R；又4f（x）＞f′（x），∴8e3x﹣4＞6e3x，即e3x＞2，解得x＞，所求不等式的解集为（，+∞）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.11．二项式的展开式中常数项的值为20 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=C6r x6﹣2r令6﹣2r=0得r=3故展开式的常数项为T4=C63=20故答案为2012．已知向量，其中，且，则向量与的夹角是150°．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．【分析】由，，且，知+cos＜＞=0，即3+cos＜＞=0，由此能求出向量与的夹角．【解答】解：∵，，且，∴+cos＜＞=0，即3+cos＜＞=0，解得cos＜＞=﹣，∴向量与的夹角是150°，故答案为：150°．13．已知等比数列{a n}为递增数列，其前n项和为S n，若a3=8，S3=（4x+3）dx，则公比q= 2 ．【考点】等比数列的通项公式；定积分．【分析】求定积分S3=（4x+3）dx=14，从而可得8（1++）=14，从而解得．【解答】解：S3=（4x+3）dx=2x2+3x|=8+6=14，则S3=a3（1++）=14，解得，q=2，故答案为：2．14．过点（0，3b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是3 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出直线l的方程，利用双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，直线l与bx ﹣ay=0的距离恒大于等于b，运用平行直线的距离公式，建立不等式，即可求出双曲线C的离心率的最大值．【解答】解：由双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程y=±x，可得直线l的方程为y=x+3b，即bx﹣ay+3ab=0，由双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，可得直线l与bx﹣ay=0的距离恒大于等于b，即有≥b，化简可得8a2≥b2，8a2≥c2﹣a2，即c2≤9a2，即有c≤3a，可得离心率e=≤3．则离心率的最大值为3．故答案为：3．15．已知函数f（x）=，g（x）=kx+1，若方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根，则实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1] ．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】方程f（x）﹣kx=1有两个不同实根可化为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，作函数f（x）与函数y=kx+1的图象，结合函数的图象求解．【解答】解：∵g（x）=kx+1，∴方程f（x）﹣g（x）=0有两个不同实根等价为方程f（x）=g（x）有两个不同实根，即f（x）=kx+1，则等价为函数f（x）与函数y=kx+1有两个不同的交点，当1＜x≤2，则0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣1，当2＜x≤3，则1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣2，当3＜x≤4，则2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）=e x﹣3，…当x＞1时，f（x）=f（x﹣1），周期性变化；函数y=kx+1的图象恒过点（0，1）；作函数f（x）与函数y=kx+1的图象如下，C（0，1），B（2，e），A（1，e）；故k AC=e﹣1，k BC=；在点C处的切线的斜率k=e0=1；结合图象可得，实数k的取值范围为（，1）∪（1，e﹣1]；故答案为：三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边为a，b，c，已知2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1．（I）求角C的值．（Ⅱ）若c=2，且△ABC的面积为，求a，b．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，结合范围B∈（0，π），sinB≠0，解得tanC=，又C∈（0，π），即可求C的值．（Ⅱ）由三角形面积公式可解得ab=4，又由余弦定理可解得a+b=4，联立可解得a，b的值．【解答】解：（I）∵2cos2+（cosB﹣sinB）cosC=1，∴1+cosA+（cosB﹣sinB）cosC=1，可得：﹣cosA=（cosB﹣sinB）cosC，∴cos（B+C）=cosBcosC﹣sinBsinC=cosBcosC﹣sinBcosC，可得：﹣sinBsinC=﹣sinBcosC，∵B∈（0，π），sinB≠0，∴sinC=cosC，即：tanC=，∵C∈（0，π），∴C=．（Ⅱ）∵c=2，C=，△ABC的面积为=absinC=ab，∴解得：ab=4，①又∵由余弦定理可得：4=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=（a+b）2﹣12，解得：a+b=4，②∴①②联立可解得：a=b=2．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，∠ABC=90°，△ABC≌△ADC，PA=AC=2AB=2，E是线段PC的中点．（I）求证：DE∥面PAB；（Ⅱ）求二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设线段AC的中点为O，连接OD，OE，推导出四边形ABOD是平行四边形，从而DO∥AB，进而面ODE∥面PAB，由此能证明DE∥面PAB．（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D﹣CP﹣B的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）设线段AC的中点为O，连接OD，OE，∵∠ABC=90°，∴BO=，同理，DO=1，又∵AB=AD=1，∴四边形ABOD是平行四边形，∴DO∥AB，又∵OD∩OE=O，PA∩AB=A，OD，OE⊂平面ODE，PA，AB⊂面PAB，∴面ODE∥面PAB，又∵DE⊂面ODE，∴DE∥面PAB．解：（Ⅱ）∵AB⊥BC，PA⊥面ABCD，∴以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过点B平行于AP的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（0，，0），P（1，0，2），D（，，0），=（0，，0），=（1，0，2），=（﹣，，0），=（﹣，﹣，2），设面PBC的法向量为=（x，y，z），则，取x=2，得=（2，0，﹣1），设平面DPC的法向量为=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，，1），设二面角D﹣CP﹣B的平面角为θ，则cosθ===，∴二面角D﹣CP﹣B的余弦值为．18．2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源是中国古代数学家祖冲之的圆周率．为庆祝该节日，某校举办的数学嘉年华活动中，设计了如下有奖闯关游戏：参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关，若闯关成功，分别获得5个、10个、20个学豆的奖励．游戏还规定，当选手闯过一关后，可以选择带走相应的学豆，结束游戏；也可以选择继续闯下一关，若有任何一关没有闯关成功，则全部学豆归零，游戏结束．设选手甲能闯过第一关、第二关、第三关的概率分别为，选手选择继续闯关的概率均为，且各关之间闯关成功与否互不影响．（Ⅰ）求选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率；（Ⅱ）设该选手所得学豆总数为X，求X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，由此能求出选手甲第一关闯关成功且所得学豆为零的概率．（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设甲“第一关闯关成功且所得学豆为零”为事件A，“第一关闯关成功第二关闯关失败”为事件A1，“前两关闯关成功第三关闯关失败”为事件A2，则A1，A2互斥，，…，……（Ⅱ）X所有可能的取值为0，5，15，35，…，，，…所以，X的分布列为：X 0 5 15 35P……19．已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）通过设数列{a n}的首项为a1，公差为d（≠0），代入计算即得a n=3n﹣4；当n=1时由4S1=b12+2b1﹣3可知b1=3，当n≥2时，利用4S n=b n2+2b n﹣3与4S n﹣1=b n﹣12+2b n ﹣1﹣3作差，整理可知数列{b n}是首项为3、公差为2的等差数列，进而可知b n=2n+1；（Ⅱ）通过（I）裂项可知c n=（﹣），并项相加可知T n=，进而可知=1﹣，通过令f（x）=1﹣，借助函数知识可知≥，从而问题转化为解不等式≤，计算即得结论．【解答】解：（I）设数列{a n}的首项为a1，公差为d（≠0），由已知可得，解得：或（舍），∴a n=3n﹣4；当n=1时，4S1=b12+2b1﹣3，解得：b1=3或b1=﹣1（舍），当n≥2时，4S n﹣1=b n﹣12+2b n﹣1﹣3，∴4b n=4S n﹣4S n﹣1=b n2+2b n﹣b n﹣12﹣2b n﹣1，整理得：（b n﹣b n﹣2﹣2）（b n+b n﹣2）=0，又∵数列{b n}的每一项均为正实数，∴b n﹣b n﹣2﹣2=0，∴数列{b n}是首项为3、公差为2的等差数列，∴b n=2n+1；（Ⅱ）由（I）可知c n===（﹣），则T n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∴==1﹣，令f（x）=1﹣，则当x＞0时，f（x）＞0，∴{}为递增数列，≥=，又∵≥对∀n∈N*恒成立，∴=≤，解得：m≤，故正整数m的最大值为6．20．已知函数f（x）=﹣aln（1+x）（a∈R），g（x）=x2e mx（m∈R）．（1）当a=1，求函数f（x）的最大值（2）当a＜0，且对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）把a=1代入函数解析式，直接利用导数求得函数的最值；（2）构造函数h（x）=f（x）+1，对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，等价于当a＜0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，h min（x）≥g max（x）成立，分类求得f（x）在[0，2]上的最小值，再求g（x）的导数，对m讨论，结合单调性，求得最大值，解不等式即可得到实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=﹣aln（1+x）=，f′（x）=（x＞﹣1），当x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为增函数．∴f（x）max=f（0）=0；（2）令h（x）=f（x）+1，当a＜0，对任意实数x1，x2∈[0，2]，f（x1）+1≥g（x2）恒成立，即当a＜0，对任意实数x1，x2∈[0，2]，h（x1）≥g（x2）恒成立，等价于当a＜0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，h min（x）≥g max（x）成立，当a＜0时，由h（x）=﹣aln（1+x）+1，得h′（x）==（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1﹣a）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数，当x∈（1﹣a，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数，若1﹣a＜2，即﹣1＜a＜0，h（x）在（0，1﹣a）上为增函数，在（1﹣a，2）上为减函数，h（x）的最小值为min{h（0），h（2）}=min{1，}=1，若1﹣a≥2，即a≤﹣1，h（x）在（0，2）上为增函数，函数f（x）在[0，2]上的最小值为f （0）=1，∴f（x）的最小值为f（0）=1，g（x）的导数g′（x）=2xe mx+x2e mx•m=（mx2+2x）e mx，当m=0时，g（x）=x2，x∈[0，2]时，g max（x）=g（2）=4，显然不满足g max（x）≤1，当m≠0时，令g′（x）=0得，，①当﹣≥2，即﹣1≤m≤0时，在[0，2]上g′（x）≥0，∴g（x）在[0，2]单调递增，∴，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，则﹣1≤m≤﹣ln2；②当0＜﹣＜2，即m＜﹣1时，在[0，﹣]，g′（x）≥0，g（x）单调递增，在[﹣，2]，g′（x）＜0，g（x）单调递减，∴g（x）max=g（﹣）=，只需≤1，得m≤﹣，则m＜﹣1；③当﹣＜0，即m＞0时，显然在[0，2]上g′（x）≥0，g（x）单调递增，g（x）max=g（2）=4e2m，4e2m≤1不成立．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．21．设椭圆C：+=1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2=．若抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点（i）证明：∠AOB为定值；（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，得到b=c=1，由此能求出椭圆C的方程．∴“相关圆”E的方程为x2+y2=．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线AB方程为x=，；当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，代入椭圆方程，得x2+2（kx+m）2=2，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切，结合已知条件推导出为定值．（ii）要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，由此利用椭圆弦长公式能求出△ABQ面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，∴b=c=1，∴a2=1+1=2，∴椭圆C的方程为．∴“相关圆”E的方程为x2+y2=．证明：（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x=，则A（，），B（，﹣），∴，当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得x2+2（kx+m）2=2，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0，（*），∵直线与圆相切，∴==，∴3m2=2+2k2，∴+km（x1+x2）+m2===0，∴，∴为定值．解：（ii）∵PQ是“相关圆”的直径，∴，∴要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，当直线AB的斜率不存在时，由（i）知|AB|=，|AB|====，①当k≠0时，|AB|=，∵，∴0＜，∴≤3，∴＜|AB|，当且仅当k=时，取“=”号．②当k=0时，|AB|=．|AB|的取值范围为≤|AB|，∴△ABQ面积的取值范围是[，]．。
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2019届山东省高三最后一模理科数学试卷【含答案及
解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 已知集合，则等于(________ )
A. ________________________
B. ________________________
C. ____________________________
D.
2. 已知为虚数单位，，若为纯虚数，则复数的
模等于(________ )
A．___________________________________ B．
___________________________________ C．______________________________
D．
3. 下列说法正确的是(________ )
A．离散型随机变量，则
B．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均值与方差均没有变化
C．采用系统抽样法从某班按学号抽取5名同学参加活动，学号为的同
学均被选出，则该班学生人数可能为60________
D．某糖果厂用自动打包机打包，每包的重量服从正态分布，从
该糖厂进货10000包，则重量少于96.4kg一般不超过15包
4. “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的
几何体．它由完全相同的四个曲面构成,相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上,好似两个
扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如下左图,图中四边形是为体现其直观性所
作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时,它的俯视图可能是(________ )
5. 命题，命题 ,则什么条件(________ )
A．充分非必要条件 ____________________ B．必要非充分条件
C．必要充分条件_________________________________ D．非充分非必要条件
6. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的是 (________ )
A.18 ____________________________
B.50
___________________________________ C.78 ______________________________ D.306
7. 函数的图象如图所示，为了得到
的图象，则只要将的图象(________ )
A.向右平移个单位 _________________________________
B. 向右平移
个单位
C.向左平移个单位___________________________________
D. 向左平移
个单位
8. 用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4， 6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为 ( )
A．432________________________________ B．288
______________________________ C．216____________________________________ D．144
9. 设函数，若，，则等于(________ )
A. ________ _________
B.
_________________________________________ C.
__________________________________________ D.3
10. 设函数其中表示不超过的最大整数，如
=-2， =1， =1，若直线与函数y= 的图象恰有三个不同的交点，则的取值范围是(________ )
A． ____________________ B． ____________________
C．_______________________ D．
二、填空题
11. 已知与之间具有很强的线性相关关系，现观测得到的四组观测值并制作了相应的对照表，由表中数据粗略地得到线性回归直线方程为，其中的值没有写上．当等于时，预测的值为
12. 直线与轴的交点分别为 , 直线与圆
的交点为 . 给出下面三个结论：① ；②
；③ ，则所有正确结论的序号是
____________________
13. 四边形ABCD中，且，则的最小值为
______________
14. 设、是双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为 _______ ．
15. 定义在上的函数满足，的导函数，且恒成立，则的取值范围是
______________
三、解答题
16. 在中，角，，的对边分别是，，，已知
，．
（I）求的值；
（II）若角为锐角，求的值及的面积．
17. 四边形是菱形, 是矩形,
, 是的中点
（I）证明: （II）求二面角的余弦值 .
18. 用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数
（），使得每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和, .设第（）行的第二个数为，
（1）写出第7行的第三个数；
（2）写出与的关系并求；
（3）设证明： .
19. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束
时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙、乙胜丙的概率都为，各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判.
（1）求第局甲当裁判的概率；
（2）记前局中乙当裁判的次数为，求的概率分布与数学期望.
20. 设函数 .
（I）当时,求证:
（II）若函数有两个极值点,求实数的取值范围
21. 抛物线的焦点是的顶点,过点
的直线的斜率分别是 ,直线与交于，直线与交于
（I）求抛物线的方程,并证明：分别是的中点，且直线
过定点
（II）① 求面积的最小值
② 设面积分别为，求证：
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】。