2020合肥市高三一模数学试卷及答案(理)

合肥市2020年高三第一次教学质量检测数学试题(理)(考试时间：120分钟 满分：150分)注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰，作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置给绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚，必须在题号所指的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷．．．．．．．．．．．．．．．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．. 4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷 (满分50分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.(i 是虚数单位)对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.“1a =”是“函数()lg(1)f x ax =+在(0,)+∞单调递增”的 A.充分必要条件 B.必要不充分条件C.充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件3.若24a M a+=(,0)a R a ∈≠，则M 的取值范围为 A.(,4][4)-∞-+∞ B.(,4]-∞- C.[4)+∞ D.[4,4]-4.右图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两侧视图俯视图第4题底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是 A.6π B.12π C. 18π D.24π5.已知偶函数()f x在区间单调递增，则满足()f f x <的x 取值范围是 A.(2,)+∞ B.(,1)-∞- C.[2,1)(2,)--+∞ D.(1,2)-6.{1,2,3}A =,2{|10,}B x R x ax a A =∈-+=∈,则A B B =时a 的值是 A.2 B. 2或3 C. 1或3 D. 1或27.设a 、b 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，则下列命题错误．．的是 A.若a α⊥，//b α，则a b ⊥ B.若a α⊥，//b a ，b β⊂,则αβ⊥ C.若a α⊥，b β⊥，//αβ,则//a b D.若//a α，//a β，则//αβ 8.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0)ω>的图像关于直线3x π=对称，且()012f π=，则ω的最小值为A.2B.4C. 6D.8 9.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作.将这四名学生分配到A 、B 、C 三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人.若甲要求不到A 馆，则不同的分配方案有A.36种B. 30种C. 24种D. 20种10.如图所示，输出的n 为 A.10 B.11 C.12 D.13第Ⅱ卷 (满分100分)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分；把答案填在答题卡的相应位置)11.关于x 的二项式41(2)x x-展开式中的常数项是第10题12.以椭圆22143x y +=的右焦点F 为圆心，并过椭圆的短轴端点的圆的方程为 13.不等式组0 02100 x y x y x ky y ⎧⎪⎪⎨+--⎪⎪-+⎩表示的是一个对称四边形围成的区域，则k =14.如图放置的边长为1的正方形ABCD 的顶点A 、D 分别在x 轴、y 轴正半轴上(含原点)上滑动，则OB OC ⋅的最大值是15.若曲线(,)0f x y =(或()y f x =)在其上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线(,)0f x y =(或()yf x =)的自公切线，下列方程的曲线存在自公切线的序号为 (填上所有正确的序号) ①2||y x x =- ②||1x +=③3sin 4cos y x x =+ ④221x y -= ⑤cos y x x =.三、解答题(本大题共6小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内) 16.(本小题满分12分)ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若sin sin sin a c Bb c A C-=-+. (1)求角A ；(2)若22()cos ()sin ()f x x A x A =+--，求()f x 的单调递增区间.17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足11a =，24a =，2123n n n a a a +++=*()n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记数列{}n a 的前n 项和n S，求使得212n S n >-成立的最小整数n .18.(本小题满分12分)工人在包装某产品时不小心将两件不合格的产品一起放进了一个箱子，此时该箱子中共有外观完全相同的六件产品.只有将产品逐一打开检验才能确定哪两件产品是不合格的，产品一旦打开检验不管是否合格都将报废.记ξ表示将两件不合格产品全部检测出来后四件合格品中报废品的数量. (1)求报废的合格品少于两件的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图，长方体1111ABCD A B C D -中， 2DA DC ==，1DD =E 是11C D 的中点，F 是CE 的中点.(1)求证：//EA 平面BDF ；(2)求证：平面BDF ⊥平面BCE ； (3)求二面角D EB C --的正切值.20.(本小题满分13分)已知抛物线24y x =，过点(0,2)M 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且直线l 与x 交于点C .(1)求证: ||MA ，||MC 、||MB 成等比数列；(2)设MA AC α=，MB BC α=，试问αβ+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．21.(本小题满分14分)已知函数()x f x e =，直线l 的方程为y kx b =+. (1)若直线l 是曲线()y f x =的切线，求证：()f x kx b +对任意x R ∈成立；(2)若()f x kx b +对任意x R ∈成立，求实数k 、b 应满足的条件.1B1A1C 1D BACDEF合肥市2020年高三第一次教学质量检测 数学试题参考答案及评分标准一、选择题(文理同)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C A B C DDACD二、填空题11.(理)24；(文)1-12.(理)22(1)4x y -+=；(文)(0)x R x ∃∈≠，12x x+< 13.(理)1±；(文)12-或014.215.(理)①③⑤；(文)①③ 三、解答题16.(文理)解：(1)由sin sin sin a c B b c A C -=-+，得a c bb c a c-=-+， 即222a b c bc =+-，由余弦定理，得1cos 2A =，∴3A π=； …………6分(2)22()cos ()sin ()f x x A x A =+--22cos ()sin ()33x x ππ=+--221cos(2)1cos(2)3322x x ππ++--=-1cos 22x =-…………9分由222()k xk k Z πππ+∈，得()2k x k k Z πππ+∈，故()f x 的单调递增区间为[,]2k k πππ+，k Z ∈. …………12分17.解：(理)(1)由21230n n n a a a +++-=，得2112()n n n n a a a a +++-=-， ∴数列1{}n n a a +-就以213a a -=不首项，公比为2的等比数列，∴1132n n n a a -+-=⋅ …………3分 ∴2n时，2132n n n a a ---=⋅，…，3232a a -=⋅，213a a -=，累加得231132323233(21)n n n n a a ----=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=-∴1322n n a -=⋅-(当1n =时，也满足) …………6分 (2)由(1)利用分组求和法得233(222)23(21)2n n n n S n n --=++⋅⋅⋅+-=-- …………9分 3(21)2212n n S n n =-->-，得 3224n ⋅>，即3282n >=，∴3n >∴使得212n S n >-成立的最小整数4. …………12分 (文)(1)频率分布直方图如右 …………6分(2)112419296100104108100.2715551515⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈(克) …………12分18.(理)解：(1)12115155p =+= …………5分(2)ξ0 1 2 3 4P115 215 15 415 1312141801234151551533E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …………12分 (文)解：(1) 22a =，31a =，42a =， …………3分3(1)2nn a +-=， …………6分(2) 311[1(1)]311(1)222244n n n n n S ---=+⋅=-+- …………10分 ∴3(1)11[1(1)]224411n n n n T n +---=⋅-+⋅+ 23111(1)4288n n n =++⋅--(也可分n 奇数和偶数讨论解决) …………12分19.解：(文理)(1)连接AC 交BD 于O 点，连接OF ，可得OF 是ACE ∆的中位线，//OF AE ，又AE ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以//EA 平面BDF………(理)4分；(文)6分(2)计算可得2DE DC ==，又F 是CE 的中点，所以DF CE ⊥又BC ⊥平面11CDD C ，所以DF BC ⊥，又BC CE C =，所以DF ⊥平面BCE 又DF ⊂平面BDF ，所以平面BDF ⊥平面BCE………(理)8分；(文)12分(3)(理)由(2)知DF ⊥平面BCE ，过F 作FG BE ⊥于G 点，连接DG ，则DG 在平面BCE 中的射影为FG ，从而DG BE ⊥，所以DGF ∠即为二面角D EB C --的平面角，设其大小为θ，计算得3DF =，22FG =，tan 6DF FGθ== …………12分20.解：(理)(1)设直线l 的方程为：2y kx =+(0)k ≠，联立方程可得224y kx y x =+⎧⎨=⎩得:22(44)40k x k x +-+= ①设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2(,0)C k -，则12244k x x k -+=-，1224x x k⋅= ②21224(1)||||0|0|kMA MB x xk+⋅=--=，而222224(1)||0|)kMCk k+=--=，∴2||||||0MC MA MB=⋅≠，即||MA，||MC、||MB成等比数列…………7分(2)由MA ACα=，MB BCα=得，11112(,2)(,)x y x ykα-=---，22222(,2)(,)x y x ykβ-=---即得：112kxkxα-=+，222kxkxβ-=+，则212122121222()2()4k x x k x xk x x k x xαβ--++=+++由(1)中②代入得1αβ+=-，故αβ+为定值且定值为1-…………13分(文)(1)由题意，即可得到2214xy+=…………5分(2)设直线MN的方程为：65x ky=-，联立直线MN和曲线C的方程可得：226514x kyxy⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得：221264(4)0525k y ky+--=，设11(,)M x y，22(,)N x y，(2,0)A-，则122125(4)ky yk+=+，1226425(4)y yk⋅=-+则211221212416(2,)(2,)(1)()0525 AM AN x y x y k y y k y y⋅=+⋅+=++++=即可得，2MANπ∠=. …………13分21.(理)证明(1)：∵()xf x e'=记切点为(,)tT t e，∴切线l的方程为()t ty e e x t-=-即(1)t t y e x e t =+- …………3分∴ (1)t tk e b e t ⎧=⎨=-⎩ 记函数()()F x f x kx b =--,∴()(1)x t t F x e e x e t =--- ∴()x t F x e e '=-∴()F x 在(,)x t ∈-∞上为减，在(,)x t ∈+∞为增 故min ()()(1)0t t t F x F t e e t e t ==---= 故()()0F x f x kx b =--即()f x kx b +对任意x R ∈成立 …………7分(2)∵()f x kx b +对任意x R ∈成立，即xe kx b +对任意x R ∈成立①当0k <时，取0||10b x k+=<，∴001x e e <=，而0||11kx b b b +=++∴11x e kx b <+，∴0k <不合题意. ②当0k =时，若0b，则xe kx b +对任意x R ∈成立若0b >取1ln 2b x =，∴12x be =，而1kx b b +=∴00x e kx b <+，∴0k =且0b >不合题意，故0k =且0b 不合题意……10分③当0k >时，令()x G x e kx b =--，()x G x e k '=-，由()0G x '=，得ln x k =， 所以()G x 在(,ln )k -∞上单减，(ln ,)k +∞单增 故()(ln )ln 0G x G k k k k b=--∴0(1ln )k b k k >⎧⎨-⎩…………13分综上所述：满足题意的条件是00k b =⎧⎨⎩或0 (1ln )k b k k >⎧⎨-⎩ …………14分(文)解(1)：∵()x f x e '=，记切点为(,)t T t e ，∴切线l 的方程为()t t y e e x t -=- 即(1)t t y e x e t =+- …………3分(2)由(1)(1)t tk e b e t ⎧=⎨=-⎩ 记函数()()F x f x kx b =--,∴()(1)x t t F x e e x e t =--- ∴()x t F x e e '=-∴()F x 在(,)x t ∈-∞上单调递减，在(,)x t ∈+∞为单调递增 故min ()()(1)0t t t F x F t e e t e t ==---= 故()()0F x f x kx b=--即()f x kx b +对任意x R ∈成立 …………8分(3)设()()x H x f x kx b e kx b =--=--，[0,)x ∈+∞∴()x H x e k '=-，[0,)x ∈+∞ …………10分 ①当1k时，()0H x '，则()H x 在[0,)x ∈+∞上单调递增 ∴min ()(0)10H x H b==-，∴1b ，即11k b ⎧⎨⎩符合题意②当1k >时，()H x 在[0,ln )x k ∈上单调递减，[ln ,)x k ∈+∞上单调递增 ∴min ()(ln )ln 0H x H k k k k b==--∴(1ln )bk k - …………13分综上所述：满足题意的条件是11k b ⎧⎨⎩或 1(1ln )k b k k >⎧⎨-⎩ …………14分。