【市级联考】安徽省合肥市2019届高三一模数学（理）试题
安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)(PDF版)
2， 0 ，则点
a 2 6 x2 y 2 ，所以椭圆方程为 …………………………5 分 1. 解得 2 6 3 b 3 (II)当过点 P 且与圆 O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为 x 2 ，由（1）知，
M 2， 2 ，N 2， 2 ， OM 2， 2 ，ON 2， 2 ，OM ON 0 ，∴ OM ON .
1 k 2m
2
2
6 4k 2 m 2 m 2 2k 2 1 2k 2 1
2 2 3m 2 6k 2 6 3 2k 2 6k 6 0， 2k 2 1 2k 2 1
∴ OM ON . 综上所述，圆 O 上任意点 P 处的切线交椭圆 C 于点 M ，N ，都有 OM ON . 2 在 RtOMN 中，由 OMP 与 NOP 相似，可得 OP PM PN 2 为定值. …………………………12 分 21.(本小题满分 12 分) (I)易知 x 1 ，且 f x e x 则 h x e x
2 2 ∴ cos 2 ， 6 3 1 2 6 ∴ cos 2 cos 2 cos 2 cos sin 2 sin . 6 6 6 6 6 6 6 ………………………12 分 18.(本小题满分 12 分) (I)取 CD 的中点 M，连结 EM，BM. 由已知得 BCD 为等边三角形，∴ BM CD . ∵ AD AB 2, BD 2 3 ， ∴ ADB ABD 30, ∴ ADC 90, ∴ BM // AD . 又∵ BM 平面 PAD ， AD 平面 PAD ， ∴ BM ∥平面 PAD . ∵ E 为 PC 的中点，M 为 CD 中点，∴ EM ∥ PD . 又∵ EM 平面 PAD ， PD 平面 PAD . ∴ EM ∥平面 PAD . ∵ EM BM M ，∴平面 BEM ∥平面 PAD ，
2019届合肥一模数学试题-文科理科数学试题与答案解析
市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，41iz =+，则复数z 的虚部为( ). A.2i - B.2i C.2 D.2-2.集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U = ( ). A.}{1x x < B.}{11x x -≤< C.{}2x x ≤ D.{}21x x -≤<3.执行右图所示的程序框图，则输出n 的值为( ). A.63 B.47 C.23 D.74.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S (n N *∈)，25760a a a +-=，则11S 的值为( ).A.11B.12C.20D.225.已知偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，则对实数a b ，，“a b >”是“()()f a f b >”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多7.平面α外有两条直线a ，b ，它们在平面α的射影分别是直线m ，n ，则下列命题正确的是( ).A.若a b ⊥，则m n ⊥B.若m n ⊥，则a b ⊥C.若//m n ，则//a bD.若m 和n 相交，则a 和b 相交或异面8.若6ax x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的常数项为60，则a 的值为( ).A.4B.4±C.2D.2±9.如图，网格纸上小形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).A.10B.43C.83D.16310.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).A.45B.1925C.2350D.4110011.设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=u u u u v u u u u v，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲线C 的离心率为( ).12.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12x x ，，若不等式()()12f x f x λ>+恒成立，则实数λ的取值围是( ).A.[)3-+∞，B.()3+∞，C.[)e -+∞，D.()e +∞，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.设x y ，满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎪-+>⎨⎪+-<⎪⎪⎩，则2z x y =-的取值围为 .14.若非零向量 a b r r ，满足()2a a b ⊥+r r r，则a b b+=r r r .15.在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD 长的取值围是 . 16.在平面直角坐标系xOy 中，点n A (()122nnn n+-⋅，)(*n N ∈)，记21221n n n A A A -+∆的面积为n S ，则1nii S==∑ .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)已知函数()cos 2sin 26f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ)若0 2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，()13f α=，求cos2α.18.(本小题满分12分)在四棱锥P ABCD -中，BC BD DC ===， 2AD AB PD PB ====.(Ⅰ)若点E 为PC 的中点，求证：BE ∥平面PAD ；DPCEA(Ⅱ)当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值.19.(本小题满分12分)每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布()2N μσ，，其中μ近似地等于样本平均数x ，2σ近似地等于样本方差2s ，233.6s ≈.假设该辖区这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.附：33.6 5.8≈.若随机变量Z 服从正态分布()2N μσ，，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=.20.(本小题满分12分)设椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的离心率为2，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为22．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，试判断PM PN ⋅是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()()ln 1x f x e x =-+(e 为自然对数的底数).(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若()()g x f x ax =-，a R ∈，试求函数()g x 极小值的最大值.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2cos ρθ.(Ⅰ)求1C 、2C 交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭4，，点B 是曲线2C 上的点，求AOB ∆面积的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+.(Ⅰ)若()22f x x +>，数x 的取值围；(Ⅱ)设()()()g x f x f ax =+(1a >)，若()g x 的最小值为12，求a 的值.市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.()1 6-， 14.1 15.⎭ 16.222433n n ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 三、解答题：17.(本小题满分12分)(Ⅰ)∵()11cos 22cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为T π=. …………………………5分(Ⅱ)由()13f α=可得，1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72 666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，. 又∵110sin 2632x π⎛⎫<+=< ⎪⎝⎭，∴2 62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ………………………12分18.(本小题满分12分)(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . 由已知得，BCD ∆为等边三角形，BM CD ⊥.∵2AD AB ==，BD =∴30ADB ABD ∠=∠=o ， ∴90ADC ∠=o ，∴//BM AD . 又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD . ∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD . 又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD .∵EM BM M =I ，∴平面BEM ∥平面PAD .∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分(Ⅱ)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥.D P CE M A∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.以O 为坐标原点，OC u u u r的方向为x 轴向，建立空间直角坐标系D xyz -.则D (0，3-，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1).易知平面PBD 的一个法向量为()11 0 0n =u u v，，. 设平面PCD 的法向量为()2n x y z =u u v，，，则2n DC ⊥u u r u u u r ，2n DP ⊥u u r u u u r ，∴2200n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r， ∵()3 3 0DC =u u u r ，，，()0 3 1DP =u u u r ，，，∴33030x y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩. 令3y =，得13x z =-=-，，∴()21 33n =--u u r，，， ∴12121213cos 13n n n n n n ⋅===-⋅u u r u u ru u r u u r u u r u u r ，. 设二面角C PD B --的大小为θ，则13cos θ=. ………………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈； …………………………5分 (Ⅱ)由题意得，39.2 50.8μσμσ-≈+≈，，()39.250.80.6826P t <<=，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.2 50.8，的人数约为100000.68266826⨯=(人)； …………………………12分20.(本小题满分12分)(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为2知， 2b c a b ==，， ∴椭圆C 的方程可设为222212x y b b +=.易求得()2 0A，，∴点()2 2，在椭圆上，∴222212b b +=， 解得2263a b ⎧=⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为22163x y +=. …………………………5分(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x =，由(Ⅰ)知，()()2 22 2M N -，，，， ()()2 2 2 2 0OM ON OM ON ==-⋅=u u u u v u u u v u u u u v u u u v ，，，，，∴OM ON ⊥.当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()()1122M x y N x y ，，，， ∴221m k =+，即()2221m k =+.联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴()222124260k x kmx m +++-=，得()()()222122212244122604212621km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.∵()()1122 OM x y ON x y ==u u u u v u u u v，，，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u v u u u v，()()()22222121222264112121m kmk x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()()()()2222222222222126421322663660212121k mk m m k k k m k k k k +--+++----====+++，∴OM ON ⊥.综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥. 在Rt OM N ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似得，22OP PM PN =⋅=为定值.…………………………12分21.(本小题满分12分)(Ⅰ)易知1x >-，且()11x f x e x '=-+.令()11x h x e x =-+，则()()2101x h x e x '=+>+， ∴函数()11x h x e x =-+在()1x ∈-+∞，上单调递增，且()()000h f '==. 可知，当()1 0x ∈-，时，()()0h x f x '=<，()()ln 1x f x e x =-+单调递减； 当()0x ∈+∞，时，()()0h x f x '=>，()()ln 1x f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()1 0-，，单调递增区间是()0+∞，.…………………………5分 (Ⅱ)∵()()()ln 1x g x f x ax e x ax =-=-+-，∴()()g x f x a ''=-.由(Ⅰ)知，()g x '在()1x ∈-+∞，上单调递增， 当1x →-时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x . 可知，当()01x x ∈-，时，()0g x '<，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递减；当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递增， ∴函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0000ln 1x g x e x ax =-+-，且0x 满足0011x e a x -=+. ∴()()()0000011ln 111x g x x e x x =--++-+. 令()()()11ln 111xx x e x x ϕ=--++-+，则()()211xx x e x ϕ⎡⎤'=-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 可知，当()1 0x ∈-，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增； 当()0x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， ∴()()max 01x ϕϕ==.∴函数()g x 极小值的最大值为1. …………………………12分22.(本小题满分10分)(Ⅰ)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=.联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得111 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1 2⎛ ⎝⎭，.………………………5分 (Ⅱ)设()B ρθ，，则=2cos ρθ.∴AOB ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴当2312πθ=时，max 2S =. ………………………10分23.(本小题满分10分)(Ⅰ)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔10 1>22x x x +>⎧⎨+-⎩或10 122x x x +<⎧⎨-->-⎩13x ⇔>，∴实数x 的取值围是1 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. ………………………5分(Ⅱ)∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，， ，，，，易知函数()g x 在1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.∴1112a -=，解得2a =. ………………………10分市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(文科)(考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}{12A x x =-≤≤，{}10B x x =-<，则A B U =( ). A.}{1x x < B.}{11x x -≤< C.{}2x x ≤ D.{}21x x -≤<2.设i 是虚数单位，复数()()i 12i a ++为纯虚数，则实数a 为( ). A.-2 B.2 C.12- D.123.设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的虚轴长为4，一条渐近线为12y x =，则双曲线C 的方程为( ).A.221164x y -=B.221416x y -= C.2216416x y -= D.2214y x -= 4.执行右图所示的程序框图，则输出n 的值为( ). A.63 B.47 C.23 D.75.设向量()3 4a =-r ，，向量b r 与向量a r 方向相反，且10b =r，则向量b r的坐标为( ).A.6855⎛⎫- ⎪⎝⎭，B.()6 8-，C.6855⎛⎫- ⎪⎝⎭， D.()6 8-， 6.设30.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则( ).A.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.c a b >>7.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8.已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛⎫- ⎪⎝⎭=( ).A.2425- B.45- C.2425D.459.如图，网格纸上小形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为( ).A.6πB.24πC.48πD.96π10.已知函数()()x xf x x e e-=-，对于实数a b，，“0a b+>”是“()()0f a f b+>”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11.已知过抛物线242y x=焦点F的直线与抛物线交于点A，B，3AF FB=u u u r u u u r，抛物线的准线l与x 轴交于点C，AM l⊥于点M，则四边形AMCF的面积为( ).A.123B.12C.83D.6312.若关于x的方程0xe ax a+-=没有实数根，则实数a的取值围是( ).A.(2 0e⎤-⎦， B.)20e⎡⎣， C.(]e-， D.[)0e，第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.13.设x y，满足约束条件1030xyx yx y≥⎧⎪≥⎪⎪-+≥⎨⎪+-≤⎪⎪⎩，则2z x y=-的取值围为 .14.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为 .15.设等差数列{}n a满足25a=，6830a a+=，则数列211na⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n项的和等于 .16.设ABC∆的角A B C，，的对边长a b c，，成等比数列，()1cos cos2A C B--=，延长BC至D，若2BD=，则ACD∆面积的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分)将函数()sin2f x x=的图像向左平移6π个单位后得到函数()g x的图像，设函数()()()h x f x g x=-.(Ⅰ)求函数()h x的单调递增区间；(Ⅱ)若163gπα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求()hα的值.DPEA18.本小题满分12分)已知：如图，在四棱锥P ABCD -中，BCD ∆为等边三角形，BD =，PA =，AB AD PB PD ===，120BAD ∠=o .(Ⅰ)若点E 为PC 的中点，求证：BE ∥平面PAD ； (Ⅱ)求四棱锥P ABCD -的体积.19.(本小题满分12分)某学校九年级三个班共有学生140人.为了了解学生的睡眠情况，现通过分层抽样的方法获得这三个班部分学生周一至周五睡眠时间的数据(单位：小时)甲班 30 31 32 32.5 34 35 36； 乙班 30 32 33 35.5 37 39 39.5； 丙班 30 30 31 33.5 39 40. (Ⅰ)试估算每一个班的学生数；(Ⅱ)设抽取的这20位学生睡眠时间的平均数为x .若在丙班抽取的6名学生中，再随机选取3人作进一步地调查，求选取的这3名学生睡眠时间既有多于x 、又有少于x 的概率.20.(本小题满分12分)设椭圆:E 22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若椭圆E ，2ABF ∆的周长为(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M N ，，证明：O M N ，，三点共线.21.(本小题满分12分)已知函数()()11ln x f x e a x x -=--+(a R e ∈，是自然对数的底数).(Ⅰ)设()()g x f x '=(其中()f x '是()f x 的导数)，求()g x 的极小值；(Ⅱ)若对[)1x ∈+∞，，都有()1f x ≥成立，数a 的取值围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2cos ρθ.(Ⅰ)求1C 、2C 交点的直角坐标；(Ⅱ)设点A 的极坐标为3π⎛⎫⎪⎝⎭4，，点B 是曲线2C 上的点，求AOB ∆面积的最大值.23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()1f x x =+.(Ⅰ)若()22f x x +>，数x 的取值围；(Ⅱ)设()()()g x f x f ax =+(1a >)，若()g x 的最小值为12，求a 的值.市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(文科)参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.[-1，6] 14.91615.()41n n + 16.3 三、解答题：17.(本小题满分12分)(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()sin 2sin 2sin 233h x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令222232k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈，，解得51212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，. ∴函数()h x 的单调递增区间为()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)由163g πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， ∴1sin 233πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即()13h α=-. …………………………12分18.(本小题满分12分)(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . ∵BCD ∆为等边三角形，∴BM CD ⊥. ∵120BAD ∠=o ，AD AB =， ∴30ADB ∠=o ，∴AD CD ⊥，∴//BM AD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD . 又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD .∵EM BM M =I ，∴平面BEM ∥平面PAD .又∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (Ⅱ)连结AC 交BD 于O ，连结PO . ∵CB CD AB AD ==，， ∴AD BD ⊥.O 为BD 的中点.又∵120BAD ∠=o ，23BD =，PBD ABD ∆∆≌，∴1AO PO ==. 又∵2PA =，∴222PA PO OA =+，∴PO OA ⊥.又∵PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABD ，即四棱锥P ABCD -的高为=1PO ，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBACDDDCBCAA∴四棱锥P ABCD -的体积(2111132V ⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎪⎝⎭. …………………………12分19.(本小题满分12分)(Ⅰ)甲班：71404920⨯=(人)，乙班71404920⨯=(人)，丙班61404220⨯=(人). ……………5分(Ⅱ)34x =.设事件A =“3名学生睡眠时间既有多于x 、又有少于x 的学生”.丙班睡眠时间少于x 的有4人，设为1234A A A A ，，，，多于x 的有2人，设为12B B ，.从这6名学生中随机选取3人的基本事件共有20种，而不满足条件的基本事件(3人睡眠时间都低于x )有123124134234,,,A A A A A A A A A A A A 共4种情况，所以满足条件的基本事件数为16种，164()205P A ==，即在丙班被抽取的6名学生中，再随机地选取3人作进一步地调查，选取的3人睡眠时间既有多于x 、又有少于x 学生的概率为45.……………………12分20.(本小题满分12分)(Ⅰ)由题意知，4a a ==.又∵e =，∴c =b = ∴椭圆E 的方程为22163x y +=. …………………………5分(Ⅱ)易知，当直线AB CD 、的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M N ，在x 轴上，O M N ，，三点共线；当直线AB CD ，的斜率存在时，设其斜率为k ，且设()()()112200A x y B x y M x y ，，，，，.联立方程得22112222163163x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减得2222112206363x y x y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭， ∴()()()()22221212121212126363x x x x y y y y x x y y -+-+--=-=-， ， ∴1212121236y y y y x x x x -+⋅=--+，01212036y y y x x x -⋅=--，即12OM k k ⋅=-，∴12OM k k=-. 同理可得12ON k k=-，∴OM ON k k =，所以O M N ，，三点共线. ………………………12分21.(本小题满分12分)(Ⅰ)()()()110x g x f x e a x x -'==+->，()121x g x e x -'=-.令()()()1210ϕ-'==->x x g x e x x ，∴()1320ϕ-'=+>x x e x，∴()g x '在()0+∞，上为增函数，()10g '=. ∵当()0 1x ∈，时，()0g x '<；当()1x ∈+∞，时，()0g x '>， ∴()g x 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为()1+∞，， ∴()()12g x g a ==-极小. …………………………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，上单调递增，在(0，1)上单调递减，∴()()12f x f a ''≥=-.当2a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1+∞，上单调递增，()()11f x f ≥=，满足条件； 当2a >时，()120f a '=-<.又∵()ln 11ln 10ln 1ln 1a f a e a a a '+=-+=>++，∴()01 ln 1x a ∃∈+，，使得()00f x '=， 此时，()01x x ∈，，()0f x '<；()0 ln 1x x a ∈+，，()0f x '>， ∴()f x 在()01x ，上单调递减，()01x x ∈，，都有()()11f x f <=，不符合题意.综上所述，实数a 的取值围为(] 2-∞，. ………………………12分22.(本小题满分10分)(Ⅰ)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=.联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得111 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，221 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1 2⎛ ⎝⎭，.………………………5分 (Ⅱ)设()B ρθ，，则=2cos ρθ，∴AOB ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴当2312πθ=时，max 2S =. ………………………10分23.(本小题满分10分)(Ⅰ)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔1>22x x +-或122x x +<-13x ⇔>或3x >，∴实数x 的取值围是1 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，. ………………………5分(Ⅱ)∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩，，， ，，，，易知函数()g x 在1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.∴1112a -=，解得2a =. ………………………10分。
安徽省合肥市全国大联考2019届合肥市第一次联考数学(理)试题
2019届高三第一次大联考.数学试卷——全国大联考考生注意：1：本试卷共150分，考试时间120分钟。
2：请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合}012{},2,1,0{1>-==-x x B A ，则B A 等于（ ）A. {}1,0B.{}2C.]1,(-∞D.),1(+∞2. 已知01,:>-∈∀x R x p ，则p ⌝为（ ）A. 01,≤-∈∀x R xB.01,>-∈∃x R xC.01,≥-∈∀x R x D 01,≤-∈∃x R x3. 函数xInx x f 1)(-=的零点所在的区间为（ ） A. )1,0( B.)2,1( C.)3,2( D.)4,3(4. 已知函数,)1(32)('23x f x x x f --=则)1('f 等于（ ） A. 0 B.1- C.1 D.25. 已知32log =a ，2cos 2-=θb ，dx x c e ⎰=11，则（ ） A. c a b >> B.b c a >> C.b a c >> D.a b c >>6. 已知命题x x N x p 23,:≥∈∀，命题2222,:1=+∈∃-x x N x q ，则下列命题中为真命题（ ）A.q p ∧B. q p ∨⌝C.q p ⌝∧ D q p ⌝∧⌝7. 已知函数)3lg()3lg()(+--=x x x f ，则下列说法中正确的个数是（ ）○1函数)(x f 的定义域为)3,3(-；○2)(x f 为奇函数；○3)(x f 为增函数；○4函数)(x f 的值域为R 。
A.1 B.2 C.3 D.48. 函数142sin 2)(2+=+x x x x f 的大致图像为（ ）A B C D9. 函数ax x x In x f -++=2)1()(既有极大值又有极小值的一个充分不必要条件是（ ）A. 2->aB.222+>aC.222-<aD.222+<a10. 已知集合},02{2N x a x x x M ∈≤+-=的真子集有7个，则实数a 的取值范围为（ ）A. ]0,3(-B.)3,0[C.[)0,3-D.]0,3[-11. 曲线ax x In x f x --=22)2(2)(上任意一点处的切线的倾斜角)2,4[ππ∈a ，则实数a 的最大值为（ ） A. 322-In B.222-In C. 322+-In D.322--In 12. 函数a a a e e x f x x -+-=2)(的最小值为2，若函数)(x f 在区间)](,[n m n m <的取值范围为]3,2[，则nm +的取值范围为（ ）A. )]222(,2[+In InB.))222(,(+-∞InC. )]222(,(+-∞InD.))221(,(+-∞In二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在试卷的横线上。
合肥市2019年高三第一次教学质量检测数学试题(理)(含答案解析)
合肥市2018年高三第一次教学质量检测,数学试题（理）(考试时间：120分钟满分:150分）注窻事项：1.答趙前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第II卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号疾备佘的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、萆稿纸上答题无效第I卷（满分50分）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项t,只有一项是符合题目要求的），则=A.{4，5}B. {1,4,5}C.{3,4,5}D.{1，3，4,5}3. 已知命题p:若(x-1)(x-2) ≠0则x ≠1且x ≠2命题q:存在实数x。
,使2x<0下列选项中为真命题的是（)A p⌝∨ D.q⌝ B. q p⌝∧ C. p q4. 一个六面体的三视图如图所示，其侧视图是边长为2的正方形，则该六面体的表面积是（)长,此双曲线的离心率等于（）数的图象与函数y=f(x)的图象关于-轴对称，则ω的值不可能是（）A.2B. 4C. 6D. 107-将包含甲、乙两队的8支队伍平均分成2个小组参加某项比赛，则甲、乙两队被分在不同 小组的分组方案有（）A.20 种B.35 种C.40 种D.60 种8以S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，若S 5>S 6，则下列不等 关系不一定成立的是（）A.2a 3>3a 4B. 5a 5>a 1+6a 6C.a 5+a 4-a 3<0D. a 3+a 6+a 12<2a 79执行右边的程序框图,输出的结果是（）A.63B. 64C. 65D.6610函数f(x)=e x +x 2+x+1图象L 关于直线 2x-y-3 =0对称的图象为M,P 、Q 分别是 两图象上的动点,则||PQ 的最小值为（）第II 卷（满分100分）二、填空题（本大題共5小题,每小题5分，共25分.把答案填在答題卡的相应位里）14. 在梯形ABCD 中，Ab//CD ，AB=2CD ，M 、N 分别为CD 、BC 的中点，若AB AM AN λμ=+， 则λμ+=_____15 已知函数f(x)=xlnx ，且x 2>x 1>0，则下列命题正确的是_______(写出所有正确命题的编号).①1212().(()()0x x f x f x --< ②1212()()1f x f x x x -<-； ③1222()()()f x f x x f x +<； ④2112.().()x f x x f x <；⑤当lnx 1=-1时，112221.()()2()x f x x f x x f x +>.三、解答题（本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟）16(本小题满分12分）(I)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(II)在ΔABC 中,角A ,B,C 所对的边是a ，b ,c.若.f(A)=1,b=2,sinA=2sinC ，求边c 的长17 (本题满分12分）某地统计部门对城乡居民进行了主题为“你幸福吗？”的幸福指数问卷调査，共收到1万 份答卷.其统计结果如下表(表中人数保留1位小数）：(I)根据表1画出频率分布直方图；(II)对幸福指数评分值在[50，60]分的人群月平均收人的统计结果如表2，根据表2按 月均收入分层抽样,从幸福指数评分值在[50，60 ]分的人群中随机抽取10人，再从这10 人中随机抽取6人参加“幸福愿景”座谈会.记6人中月均收人在[1000，3000)元的人数 为随机变量X ，求随机变量X 的分布列与期望.18(本题满分13分）已知数列{a n }的前》项和为S n ,且2S n +3=3a n (*n N ∈)(I)求数列{a n }的通项公式；19(本題满分13分）已知函数2()2ln(1)()f x x x ax a R =+++∈.(I)若函数f(x)的图象上任意一点P 处的切线的倾斜角均为锐角,求实数a 的取值范 围；(I I )求函数f(x)的单调区间.20(本题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 的底面四边形ABCD 是边长 为2的正方形，PA =PB ，O 是AB 的中点， PO 丄 AD,PO=2.(I)求二面角O-PC-B 的余弦值； (II)设M为PA的中点，N为四棱银P-ABCD内部或表面上的一动点,且MN//平面PDC,请你判断满足条件的所有的N 点组成的几何图形(或几何体)是怎样的几何图形(或几何体），并说明你的理由.21•(本題满分13分）:的焦点，点(I)试求椭圆C1的方程；(II)若直线l与椭圆C1相交于A,B两点（A，B不是上下顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C1的上顶点.求证：直线l过定点.。
安徽省合肥市2019届高三第一次教学质量检测数学理试题含详解
C. 2
D.
【分析】 本道题结合复数的运算，化简
z，计算虚部，即可。
【详解】
, 故虚部即为 i 的系数，为 -2 ，故选 D。
【点睛】本道题看考查了复数的化简，关键在于化简
z，属于较容易的题。
2. 集合
，
，则
=( )
A.
B.
C.
D.
【答案】 C
【分析】
先化简集合 A,B ，结合并集计算方法，求解，即可。
，所以结合
，可得
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住
难度中等。
5. 已知偶函数 在
上单调递增，则对实数
( ).
-2-
，代入，即可。
，而因为该数列为正项数列，可得
，故选 D。
，即可，
，“
”是“
”的
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】 A
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 互联网行业从业人员中 90 后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的
20%
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数 90 后比 80 前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多
【答案】 D
【分析】 本道题分别将各个群体的比例代入，即可。 【详解】 A 选项，可知 90 后占了 56%，故正确； B 选项，技术所占比例为 39.65%, 故正确；
可 , 属于较容易的题 .
6. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、
90 后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是
( ).
注：90 后指 1990 年及以后出生， 80 后指 1980-1989 年之间出生， 80 前指 1979 年及以前出生 .
安徽省合肥市2019届高三一模数学(理)试题(解析版)
合肥市2019年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知为虚数单位，，则复数的虚部为( ).A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】本道题结合复数的运算，化简z，计算虚部，即可。
【详解】,故虚部即为i的系数，为-2，故选D。
【点睛】本道题看考查了复数的化简，考查了复数的意义，关键在于化简z，属于较容易的题。
2.集合，，则= ( ).A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可。
【详解】解得集合，所以，故选C。
【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B，难度较小。
3.执行如图所示的程序框图，则输出的值为( ).A. 63B. 47C. 23D. 7【答案】C【解析】【分析】本道题不断的代入i,n，直到，退出循环，即可。
【详解】n=15,i=2不满足条件，继续循环，得到n=11,i=3不满足条件,继续循环，n=23,i=4,满足条件，退出循环，输出n，即可。
故选C。
【点睛】本道题考查了程序框图的意义，关键找出当对应的n，输出，即可，难度较容易。
4.已知正项等差数列的前项和为()，，则的值为( ).A. 11B. 12C. 20D. 22【答案】D【解析】【分析】本道题结合等差数列性质，结合，代入，即可。
【详解】结合等差数列的性质，可得，而因为该数列为正项数列，可得，所以结合，可得，故选D。
【点睛】本道题考查了等差数列的性质，关键抓住，即可，难度中等。
5.已知偶函数在单调递增，则对实数是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由函数的单调性以及充分条件和必要条件的定义即可判定出结果.【详解】因为为偶函数，且在单调递增，所以函数在单调递减，且函数关于y轴对称.若时,根据函数单调性可得,即,所以由不能推出；若，根据函数的单调性可得：,也不能推出，综上，是的既不充分也不必要条件.故选D【点睛】本体主要考查充分条件和必要条件的判定，结合函数的单调性即可作答，属于基础题型.6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】【分析】本道题分别将各个群体的比例代入，即可。
2019年合肥市高三教学质量检测理科数学试卷(含答案)
高三数学试题（理科）答案 第1 页（共4页）合肥市2019年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.()1 6-， 14.115.⎭16.222433n n ⎛⎫-⋅+ ⎪⎝⎭三、解答题：17.(本小题满分12分)(I)∵()11cos 22cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为T π=.…………………………5分(II)由()13f α=可得1sin 263πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴72 666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，. 又∵110sin(2, 632πα<+=<∴ 2+,,62ππαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴ cos 263πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴ cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. ………………………12分18.(本小题满分12分)(I)取CD 的中点M ，连结EM ，BM .由已知得BCD ∆为等边三角形，∴BM CD ⊥.∵2,AD AB BD ===，∴30,ADB ABD ∠=∠=︒∴90,ADC ∠=︒∴//BM AD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 中点，∴EM ∥PD .又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD .∴EM ∥平面PAD .∵EM BM M = ，∴平面BEM ∥平面PAD ， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案D C C D A D D D C C B A高三数学试题（理科）答案 第2 页（共4页）∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (II)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO . 由对称性知，O 为BD 中点，且AC BD ⊥，BD PO ⊥ 平面PBD ⊥平面ABCD ,PO BD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.以O 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 则D (0，，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1).易知平面PBD 的一个法向量为()11,0,0n = .设平面PCD 的法向量为()2n x y z = ，，， 则n ⊥2,n ⊥2，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0022n n . ∵)0,3,3(=，)1,3,0(=，∴⎩⎨⎧=+=+03033z y y x . 令3=y ，得3,1-=-=z x ，∴)3,3,1(2--=n∴1313131-=-==n n 设二面角B PD C --的大小为θ，则cos 13θ=. ………………………12分 19.(本小题满分12分) (I)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈；…………………………5分(II)由题意知，39.2 50.8μσμσ-≈+≈，，()39.250.80.6826P t <<=，所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.2 50.8，的人数约为100000.68266826⨯=(人)； …………………………12分20.(本小题满分12分)(I)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为2知，b c a ==，，则椭圆方程为222212x y b b+=.易求得)0A，则点在椭圆上，所以222212b b +=， 解得2263a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22163x y +=. …………………………5分 (II)当过点P 且与圆O相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为x =1）知，M N ，，0OM ON OM ON ==⋅= ，，，∴ OM ON ⊥. 当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线方程为y kx m =+，高三数学试题（理科）答案 第3 页（共4页）()()1122M x y N x y ，，，，=，即()2221m k =+. 联立直线和椭圆的方程得()2226x kx m ++=，∴ ()222124260k x kmx m +++-=，得122212204212621km x x k m x x k ⎧⎪∆>⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩. ∵()()1122 OM x y ON x y == ，，，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++ ()()()22222121222264112121m km k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++()()()()2222222222222126421322663660212121k m k m m k k k m k k k k +--+++----====+++， ∴ OM ON ⊥.综上所述，圆O 上任意点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥.在Rt OMN ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似，可得22OP PM PN =⋅=为定值.…………………………12分21.(本小题满分12分)(I)易知1x >-，且()11x f x e x '=-+. 令()11x h x e x =-+， 则()()2101x h x e x '=+>+，∴ 函数()11x h x e x =-+在()1x ∈-+∞，上单调递增，且()()000h f '==.可知，当()1 0x ∈-，时，()()0h x f x '=<，()()ln 1x f x e x =-+单调递减； 当()0x ∈+∞，时，()()0h x f x '=>，()()ln 1x f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()1 0-，，单调递增区间是()0+∞，.……………………5分(II)∵()()()ln 1x g x f x ax e x ax =-=-+-，∴()()g x f x a ''=-.由(I)知，()g x '在()1x ∈-+∞，上单调递增， 当1x →-时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x . 可知，当()01x x ∈-，时，()0g x '<，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递减； 当()0x x ∈+∞，时，()0g x '>，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递增， ∴ 函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0000ln 1x g x e x ax =-+-，且0x 满足0011x e a x -=+. ∴ ()()()0000011ln 111x g x x e x x =--++-+.高三数学试题（理科）答案 第4 页（共4页）max 2S =2312πθ=令()()()11ln 111xx x e x x ϕ=--++-+，则()()211x x x e x ϕ⎡⎤'=-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦. 可知，当()1 0x ∈-，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；当()0x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， ∴ ()()max 01x ϕϕ==. ∴ 函数()g x 极小值的最大值为1. …………………………12分22.(本小题满分10分)(I)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，则2=2cos ρρθ，∴ 222x y x +=.联立方程组得222212x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得11122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22122x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴ 所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭，1 2⎛ ⎝⎭，.………………………5分 (II)设()B ρθ，，则=2cos ρθ,∴AOB ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 2233S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 26πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴ 当 时， ………………………10分23.(本小题满分10分)(I)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔10101>221>22x x x x x x+≥+<⎧⎧⎨⎨+----⎩⎩或13x ⇔>∴ 实数x 的取值范围是1 3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ………………………5分 (II)∵ 1a >，∴ 11a -<-，()()()(1)211(1)1112a x x g x a x x a a x x a ⎧⎪-+-∈-∞⎪⎪⎡⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎫++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩， ，-， ，， ，， 易知函数()g x 在1x a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，时单调递增，则()min 111g x g a a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. ∴ 1112a -=，解得2a =. …………………………10分。
2019年合肥市第一次教学质量检测(合肥一模)数学试题
）
4
4
A ． x, f ( x)
B． x, f (x)
C．
x, f (x )
4
4
D．
x, f ( x)
4
4
8．在
ABC 中，已知 2a cosB
c ， sin Asin B(2 cosC)
sin 2 C
1
，则
ABC 为（
）
22
A ．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形
D． 钝角三角形
x1
合肥市 2019 年第一次教学质量检测
数学（理）
第Ⅰ卷（选择题 共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题．每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的．
1．已知复数 z 3 4i ， z 表示复数 z 的共轭复数，则 z ＝（
）
i
开始 n＝ 12, i＝1
A．5
B． 6 C． 7 D． 8
4．过坐标原点 O 作单位圆 x2 y 2 1的两条互相垂直的半径
）
OA、 OB ，若
n＝ 4n+1
i＝i＋1
否 n>117?
是 输出 i
在该圆上存在一点 C ，使得 OC aOA bOB （ a、b R），则以下说法正
确的是（
）
A ．点 P a,b 一定在单位圆内
的概率．
（Ⅰ）求 P(1, 15) 的值； （Ⅱ）求所有的 P(i , j ) (1 i j 15) 的和．
6
3
4
32
（Ⅰ） sin 2 ；
（Ⅱ） tan
1
．
tan
· 3·
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【市级联考】安徽省合肥市2019届高三一模数学
（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知为虚数单位，，则复数的虚部为( ).
A．B．C．2 D．
2. 集合，，则=( )
A．B．
C．D．
3. 执行如图所示的程序框图，则输出的值为( ).
A．63 B．47 C．23 D．7
4. 已知正项等差数列的前项和为()，，则的值为( ).
A．11 B．12 C．20 D．22
5. 已知偶函数在单调递增，则对实数是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（）
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A．互联网行业从业人员中90后占一半以上
B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C．互联网行业中从事产品岗位的90后人数超过总人数的5%
D．互联网行业中从事运营岗位的90后人数比80前人数多
7. 平面外有两条直线，，它们在平面内的射影分别是直线，，则下列命题正确的是( ).
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若和相交，则和相交或异面
8. 若展开式的常数项为60，则值为( )
A．B．C．D．
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).
A．
B．C．D．
10. 某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).
A．B．C．D．
11. 设双曲线()的左、右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点，连结，若，，则双曲线的离心率为( ).
A．B．C．D．
12. 已知函数有两个不同的极值点，若不等式
恒成立，则实数的取值范围是( ). A．B．C．D．
二、填空题
13. 设满足约束条件，则的取值范围为_________.
14. 若非零向量满足，则__________．
15. 在锐角中，，，则中线AD长的取值范围是_______;
16. 在平面直角坐标系中，点()()，记
的面积为，则____________.
三、解答题
17. 已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期；
(Ⅱ)若，，求.
18. 在四棱锥中，，．（1）若点为的中点，求证：平面；
（2）当平面平面时，求二面角的余弦
值．
19. 每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区内同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：
(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数(同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；
(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间近似服从正态分布，其中
近似地等于样本平均数，近似地等于样本方差，.假设该辖区内这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.
附：.若随机变量服从正态分布，则
，.
20. 设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点，圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设圆上任意一点处的切线交椭圆于点，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
21. 已知函数(为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数的单调区间；
(Ⅱ)若，，试求函数极小值的最大值.
22. 在直角坐标系中，曲线的方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求，交点的直角坐标；
（2）设点的极坐标为，点是曲线上的点，求面积的最大值.
23. 选修4-5：不等式选讲
设函数.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设，若的最小值为，求的值.。