基于模拟退火的选区划分问题 数学建模

1. 问题重述
在—个遥远的国家，Sark Mevo 所领导的政党最终击败了 Reguel Tekris 王子领导的联合 党派。Mevo 希望巩固他在首都地区的席位。首都由 14 个街区组成，这些街区将分组为多 个选区。图 1 是首都地区的示意图。在图中用数字 1 到 14 对这些街区进行了编号。每个街 区中的另外两个数字是预计该街区会投票给 Mevo 的选民数和该街区的选民总数。 所有选民 都必须投票，且选举胜出方必须得到绝对多数选票。一个选区可以由多个相邻的街区组成， 且选区内总选民数应在 30,000 到 100,000 之间。如果两个街区不相邻，例如 12 和 13，则它 们不能组成一个选区。 如果某个街区选民人数不少于 50,000， 则允许此街区单独作为一个选 区。但是由于 Mevo 本人就居住在街区 10 内，因此迫于舆论压力，他不能将这个街区单独 作为一个选区。 设计一个将首都划分为 5 个选区的方案，以使 Mevo 得到的席位数最多。如果这样做有 困难，可以尝试划分为 6 个选区。
6 9000 40000 0.225 13 29000 40000 0.725
7 12000 30000 0.4 14 15000 40000 0.375
如果不划分选区，Mevo 获得的支持率为
∑ 0.5R ( j )(sign( R ( j ) − 0.5) + 1) = 0.5185
j =1 0 0
14
∑ R ( j ) = 540000
j =1 0
（3）
题目认为， 一个合理的分区方案应该满足： 选区内总选民数应在 30,000 到 100,000 之间。 那么，分区的总数 n 应该满足
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30, 000 ≤
∑ R0 ( j )
j =1
14
n
⎧ ⎡ 14 ⎧ ⎢ 14 ⎤ ⎫ ⎥ ⎫ R ( j ) ⎪⎢ ∑ 0 ⎥ ⎪ ⎪ ⎢ ∑ R0 ( j ) ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ j =1 ⎥ ,1⎪ ⎥ ,14 ⎪ ≤ 100, 000 ⇒ max ⎨ ⎢ j =1 ⎬ ≤ n ≤ min ⎨ ⎢ ⎬ （4） 100, 000 30, 000 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
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强烈反对意见的街区（如 6 街区） ，在大的选区中的抵制作用将可能被完全清除，同时该街 区仍然按照与总选民数成比例地选出支持 Mevo 的议员， 在最终的抉择上， 他们将站在 Mevo 的立场上，而不是按以前那样选出对 Mevo 持反对意见的议员。 所以，将相近街区合并成大的选区，有利于 Mevo 获得绝大多数的选票。建立选区对 Mevo 是有利的。
pi = ∑ xij R0 ( j )
j =1
14
（9）
假设，各选区选出议员的人数与该选区的总选民数成正比，比例系数为 λ 。Mevo 只能
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够得到他获胜选区的议员的席位。总的来说，他获得的总席位为
14 ⎡ ⎤ xij R1 ( j ) ∑ ⎢ ⎥ 6 6 14 j =1 ⎢ ⎥ b p 0.5 x R ( j ) sign ( 0.5) 1 λ = − + ∑ ∑∑ i i ij 0 14 ⎢ ⎥ i =1 i =1 j =1 xij R0 ( j ) ∑ ⎢ ⎥ j =1 ⎣ ⎦
ri =
∑ x R ( j) ∑ x R ( j)
j =1 ij 0 j =1 14 ij 1
14
（5）
自然地，有
⎧ri > 0.5 ⎨ ⎩ri < 0.5Mevo在i选区源自出 Mevo在i选区失败（6）
为了表述的简洁我们列写如下的布尔变量 b 来描述 Mevo 在第 i 选区的胜负情况
14 ⎡ ⎤ xij R1 ( j ) ∑ ⎢ ⎥ ⎧1 Mevo在i选区胜出 j =1 − 0.5) + 1⎥ = ⎨ bi = 0.5 ⎢ sign( 14 ⎢ ⎥ ⎩0 Mevo在i选区失败 xij R0 ( j ) ∑ ⎢ ⎥ j =1 ⎣ ⎦
图1
首都地区示意图
2. 基本假设
1、各选区选出议员的人数与该选区的总选民数成正比，比例系数为 λ 。
-1-

2、该国采用美国现行的“选举团”制度作为其选举制度。 3、每个选民均必须投票，且不存在弃权或选择两个候选人的选票。 4、各街区内支持 Mevo 的选民数在讨论问题期间是恒定不变的常数。
j =1 0
那么 Mevo 获得的席位数为 540000λ 。即是，在首都的总选民数一定的情况下，讨论席位 数与总的支持率是等效的。另外，未划分选区时，Mevo 的支持率已经达到 0.5185。划分选 区后，Mevo 的支持率会大于这个数值吗？我们拭目以待。 4.2.2 问题 2：划分多少个选区才合适 既然，分区对 Mevo 有利，分多少个区才合适呢？从政治民主的角度来看，分的区不益 过多；从另一个方面来看，要尽可能削弱反对力量，分区又不能过少。题目给出了相关的约 束条件，我们做如下的定量分析。 首都的总选民数为
表 1 各个街区选民的统计情况
街区数 j 选民数 R0 ( j ) 投票给 Mevo 的选民数 R1 ( j ) Mevo 获得的选票率 街区数 j 选民数 R0 ( j ) 投票给 Mevo 的选民数 R1 ( j ) Mevo 获得的选票率
1 17500 30000 0.583333 8 10000 30000 0.333333
14
R1 ( j )
（1）
其中，
⎧ R1 ( j ) ⎪1 − 0.5) + 1) = ⎨ 0.5( sign( R0 ( j ) ⎪0 ⎩
R1 ( j ) > 0.5, Mevo获胜 R0 ( j ) else
14
（2）
如果按照 λ 的比例（比如 λ = 0.2‰）选举议员，首都的总选民数为
∑ R ( j ) = 540, 000 ，
R0 ( j ) ：第 j 街区的总选民数； R1 ( j ) ：第 j 街区支持 Mevo 的人数； pi ：第 i 选区的总选民数； Ti ：第 i 个选区所含有街区的矩阵； C j ：第 j 个街区的相容矩阵；
D ：街区之间的邻接矩阵；
ρ ：稳定储备系数，用来描述 Mevo 领导人地位的稳定程度。
所以， 6 ≤ n ≤ 14 ，也即是说：最少的分区数是 6。这样，我们将从 6 开始讨论分区方案。
5. 模型的建立与求解
5.1 规划模型的建立与求解
选举分区问题，可以抽象成经典的组合优化模型：划分子集问题，在本问题中即是将 14 个节点按照多个约束条件划分到 6 个集合中。同时，该问题也是 NP 难问题。由于，该问 题的规模不大， 我们首先尝试建立简单的 0—1 规划模型， 如果模型不能够圆满地解决问题， 我们再考虑对模型进行转化，该用其他的近似算法来求解。 5.1.1 优化目标的确立 Mevo 建立大的选区的目的就在于巩固他在首都地区的席位。这些席位来自那些支持他 的选区议员，而这些议员的产生直接缘于在某选区支持 Mevo 的选民占多数。在某选区内， 支持 Mevo 的选民占总选民的比例用 ri 表示，则
max
（11）
5.1.2 约束条件的确立 1. 每个选区的总选民数应在 30,000 到 100,000 之间，这很简单地表述为
30, 000 ≤ ∑ xij ≤ 100, 000 (i = 1, 2," , 6)
j =1
14
（12）
2. 选区内的相临约束。只有相临的街区才能被划分在一个选取内，我们称能够被划分 在某个选区内的街区的集合为相容矩阵，第 j 个街区的相容矩阵记为 C j 。从图 1 可以得到， 相容街区如表 2 所示。
2 15000 50000 0.3 9 26000 40000 0.65
3 14200 20000 0.71 10 34000 60000 0.566667
4 42000 70000 0.6 11 2500 10000 0.25
5 18000 20000 0.9 12 27000 60000 0.45
注：还有一些局部变量，在使用时将作相关说明。
4. 问题分析
4.1 选举制度的猜想
从问题的描述来看，这个遥远的国家以两个政党（包含联合政党）之间的角逐，最终由 一个政党来统领国家政权的方式来实现国家的政治制度。 这与美国的政治制度极其相似。 这 里，我们不妨假定该国的政治制度与美国现行的政治制度相当。所以，在选举制度问题上， 我们认为该国采用美国的选举团制度。 选举团(Electoral College)[1]：当某国选民前往投票站投票选举领导人时，很多人认为自 己是在直接选举领导人。采用“选举团制度”时，情况并非如此。选举团是一组"选举人"的总 称，他们由各选区政党成员在选区内提名产生。在大选日，选民实际是把票投给承诺支持某 位领导人候选人的"选举人"。哪位候选人赢得的选民票数最多，支持这位候选人的"选举人" 就将作为这个选区的代表， 出席于确定时间分别在各选区举行的选举领导人的投票。 领导人 候选人必须在总的选区中获得至少半数的“选举人”票才可当选。出于方便起见，下文称这些 “选举人”为议员。
4.2 选区总数的分析
4.2.1 问题 1：为什么要划分选区 我们可以从表 1 看出，Mevo 在各个街区获得选票的概率是有很大悬殊的，在第 5 街区 可以获得最高的选票率 0.9， 在第 6 街区获得最低的选票率 0.225。 同时各个街区的总选民数 也是不同的。 由于我们在假定中已经认为： 各选区选出议员的人数与该选区的总选民数成正 比，这样就有可能削弱 Mevo 获得绝大多数议员支持的可能性。 如果将各个相近的街区按照 Mevo 的意愿连接成大的选区，直观地有：某些对 Mevo 持
表2 各个街区的相容街区 C j
街区 j 相容街区 C j 街区 j 相容街区 C j