数学建模之模拟退火
中国数学建模-编程交流-模拟退火算法
中国数学建模-编程交流-模拟退火算法模拟退火算法模拟退火算法来源于固体退火原理，将固体加温至充分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小。
根据Metropolis准则，粒子在温度T 时趋于平衡的概率为e-ΔE/(kT)，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变量，k为Boltzmann 常数。
用固体退火模拟组合优化问题，将内能E模拟为目标函数值f，温度T演化成控制参数t，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初始解i和控制参数初值t开始，对当前解重复“产生新解→计算目标函数差→接受或舍弃”的迭代，并逐步衰减t值，算法终止时的当前解即为所得近似最优解，这是基于蒙特卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。
退火过程由冷却进度表(CoolingSchedule)控制，包括控制参数的初值t及其衰减因子Δt、每个t值时的迭代次数L和停止条件S。
3.5.1 模拟退火算法的模型模拟退火算法可以分解为解空间、目标函数和初始解三部分。
模拟退火的基本思想:(1) 初始化：初始温度T(充分大)，初始解状态S(是算法迭代的起点)，每个T值的迭代次数L(2) 对k=1，……，L做第(3)至第6步：(3) 产生新解S′(4) 计算增量Δt′=C(S′)-C(S)，其中C(S)为评价函数(5) 若Δt′<0则接受S′作为新的当前解，否则以概率exp(-Δt′/T)接受S′作为新的当前解.(6) 如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结束程序。
终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时终止算法。
(7) T逐渐减少，且T->0，然后转第2步。
算法对应动态演示图：模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步骤：第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，因而对冷却进度表的选取有一定的影响。
模拟退火算法简单易懂的例子
模拟退火算法简单易懂的例子
模拟退火算法是一种基于概率的算法，来源于固体退火原理。
下面以一个简单的例子来说明模拟退火算法：
想象一个有十个元素的数组，代表一个能量状态，每个元素都有一个能量值。
开始时，所有元素都处于最高能量状态。
我们的目标是找到最低能量的状态，即最优解。
模拟退火算法的工作原理如下：
1. 从最高温度开始，逐渐降低温度。
在每个温度下，算法会尝试各种元素的组合方式，并计算其能量。
2. 在温度较高时，算法会尝试各种组合，并接受能量增加的“移动”，因为这些增加的能量对应于更高的温度，所以被接受的概率更大。
3. 随着温度的降低，算法开始更多地考虑能量的减少。
如果一个状态比前一个状态的能量更低，那么它一定会被接受。
但如果一个状态的能量比前一个状态的能量高，那么它会被以一定概率接受。
这个概率随着温度的降低而减小。
4. 重复上述过程，直到达到终止温度。
这时，算法已经找到了最低能量的状态。
模拟退火算法可以找到全局最优解，而不是局部最优解。
这是因为算法在搜索过程中会接受一些次优解（即能量增加的“移动”），以便跳出局部最优解，探索更广阔的解空间。
以上内容仅供参考，如果需要更多信息，建议查阅相关文献或咨询专业人士。
数学建模模拟退火算法
数学建模模拟退火算法
数学建模是一种将实际问题转化为数学问题，通过建立数学模型来分析和解决问题的方法。
而模拟退火算法则是一种基于概率的全局优化算法，常被用于求解复杂问题的最优解。
在数学建模中，模拟退火算法可以应用于各种领域，如图像处理、目标识别、路线规划等。
模拟退火算法的基本思想是从一个随机解开始，通过随机扰动和接受策略来探索可能解空间，并逐渐降温，使得随机扰动的程度逐渐减小，最终达到全局最优解。
在应用模拟退火算法时，需要确定初始温度、温度下降速度以及接受策略等参数。
在数学建模中，模拟退火算法可以应用于很多问题。
例如，在图像处理中，可以通过模拟退火算法对图像进行优化，如图像的平滑处理、边缘检测等。
在目标识别领域，模拟退火算法可以用于对目标进行跟踪和识别。
在路线规划问题中，模拟退火算法可以用于求解最优路径。
在应用模拟退火算法时，需要考虑算法的效率和精度。
为了提高效率，可以采用多种优化技巧，如快速随机数生成、启发式信息引导等。
为了提高精度，可以适当增加迭代次数和初始温度，以便探索更广泛的解空间。
总之，模拟退火算法是一种非常有用的全局优化算法，可以应用于很多数学建模问题中。
在实际应用中，需要根据具体问题的特点和需求来选择算法参数和优化技巧，以达到最佳效果。
- 1 -。
数学建模 模拟退火
例已知敌方100个目标的经度、纬度如下：我方有一个基地，经度和纬度为（70,40）。
假设我方飞机的速度为1000公里/小时。
我方派一架飞机从基地出发，侦察完敌方所有目标，再返回原来的基地。
在敌方每一目标点的侦察时间不计，求该架飞机所花费的时间（假设我方飞机巡航时间可以充分长）。
这是一个旅行商问题。
我们依次给基地编号为1，敌方目标依次编号为2，3，…，101，最后我方基地再重复编号为102（这样便于程序中计算）。
距离矩阵102102)(⨯=ij d D ，其中ij d 表示表示j i ,两点的距离，102,,2,1, =j i ，这里D 为实对称矩阵。
则问题是求一个从点1出发，走遍所有中间点，到达点102的一个最短路径。
上面问题中给定的是地理坐标（经度和纬度），我们必须求两点间的实际距离。
设B A ,两点的地理坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，过B A ,两点的大圆的劣弧长即为两点的实际距离。
以地心为坐标原点O ，以赤道平面为XOY 平面，以0度经线圈所在的平面为XOZ 平面建立三维直角坐标系。
则B A ,两点的直角坐标分别为：)s i n ,c o s s i n ,c o s c o s(11111y R y x R y x R A )s i n ,c o s s i n ,c o s c o s(22222y R y x R y x R B 其中6370=R 为地球半径。
B A ,两点的实际距离⎫⎛=R d arccos ， 化简得]s i n s i n c o s c o s )(a r c c o s [co s 212121y y y y x x R d +-=。
求解的模拟退火算法描述如下：（1）解空间解空间S 可表为{102,101,,2,1 }的所有固定起点和终点的循环排列集合，即}102,}101,,3,2{),,(,1|),,{(102101211021===ππππππ的循环排列为 S其中每一个循环排列表示侦察100个目标的一个回路，j i =π表示在第i 次侦察j 点，初始解可选为)102,,2,1( ，本文中我们使用Monte Carlo 方法求得一个较好的初始解。
数学建模之模拟退火算法PPT69页
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·
数学建模优秀方法-模拟退火算法简介
模拟退火算法算法简介模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。
统计力学表明材料中粒子的不同结构对应于粒子的不同能量水平。
在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和重新排列。
在低温条件下，粒子能量较低。
如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。
当系统完全被冷却时，最终形成处于低能状态的晶体。
如果用粒子的能量定义材料的状态，Metropolis 算法用一个简单的数学模型描述了退火过程。
假设材料在状态i 之下的能量为)(i E ，那么材料在温度T 时从状态i 进入状态j 就遵循如下规律：（1）如果)()(i E j E ≤，接受该状态被转换。
（2）如果)()(i E j E >，则状态转换以如下概率被接受：其中K 是物理学中的波尔兹曼常数，T 是材料温度。
在某一个特定温度下，进行了充分的转换之后，材料将达到热平衡。
这时材料处于状态i 的概率满足波尔兹曼分布：∑∈--==Sj KTj E KT i E T eei x P )()()(其中x 表示材料当前状态的随机变量，S 表示状态空间集合。
显然||1lim )()(S eeSj KTj E KT i E T =∑∈--∞→ 其中||S 表示集合S 中状态的数量。
这表明所有状态在高温下具有相同的概率。
而当温度下降时，∑∑∑∉--∈----→∈----→+=minminminminminminmin)()()(0)()(0limlimS j KTE j E S j KTE j E KTE i E T Sj KTE j E KT E i E T eeeee⎪⎩⎪⎨⎧∈==∑∈----→其它若 0 ||1limmin min )()(0minminminS i S eeS j KTE j E KT E i E T 其中)(min min j E E Sj ∈=且})(|{min min E i E i S ==。
数学建模——模拟退火
e
f
Tk
0.9632 0.3413
i j i j
f 26
k
③ j 4 3 2 1 f j 119 e T 0.8825 0.9286 i i 注释： 1. ①有条件转移； 2. ②为无条件转移； 3. 在③中，停在4-3-1-2状态，目标值仍为109；
1 1 1
3 4 2
1 3 1 4 1 4
32
五.SA的收敛性分析 （4）
t时刻处在各状态的概率向量 t 1 t , 2 t ,, n t 是行向量，假设系统在t+1时达到稳态，则
t 1 t T t
扩大
11
二.退火过程和Bolzman方程（5）
② 当 Tk 0 时， i E
Tk
E i与 E j 的小差别带来 Pi Tk 和 Pj Tk 的巨大差别
例如： E i=90， j =100， E
12
二.退火过程和Bolzman方程（6）
I.
当 Tk =100时
Pi Tk Ck e
三.SA的算法构造及步骤（4）
③ 若 f 0, 令 i j 转步④
(j比i好无条件转
k
移) ；否则产生 U 0,1 , 若 exp f , T
则令 i j (j比i好，有条件转移)。
注：Tk 高时，广域搜索； Tk低时，局域搜索
④ 若达到热平衡(内循环次数大于 nTk )转步⑤，
可见青蛙是跳到第三块石头上的机会多一些
34
五.SA的收敛性分析 （6）
2. SA的收敛性分析 ① 问题：
min f x ，x S，S是有限集，设 S N (S集中的 元素个数是N) 将状态按目标值进行升序编号，
(优选)模拟退火算法第一节课件
Z(T )kBT 2
E
(r
)
sD
E
(
s ) exp
Z(T )
E(s) kBT
(2.3)
当 rmin 是 D中具有最低能量的状态时，得
PE E(rmin ) 0单调下降的．又有
PE
E(rmin )
1 exp( Z(T )
E(rmin )) kBT
Pr
1D T
O (b) 在非能量最低状态
从上面的讨论得到，在温度很低时，能量越低的 状态的概率值越高，在极限状况，只有能量最低的 点概率不为０．即有
1. 系统在 T 平衡时，系统状态的概率分布趋于(2.1)
式，
PE E(r) 1 exp( E(r))
Z(T )
kBT
1
2.
PE
E(r )
D0
T 00
先研究由(2.1)确定的函数随 T 变化的趋势．选 定两个能量 E1< E2，在同一个温度 T ，有
P(E
E1 )
P(E
E2 )
1 Z (T
exp( )
E1 kBT
)[1
exp(
E2 E1 kBT
)]
因为 exp( E2 E1 ) 1 , T 0 kBT
所以 P(E E1) P(E E2 ) 0 T 0 （2.2）
Pr
1 D0
1D
O
T
(a) 在能量最低状态
对于非能量最小的状态，由(2.2)和分子在能量最小状 态的概率是单调减小的事实，在温度较高时，分子在
这些状态的概率在
1 D
附近，依赖于状态的不同，
可能超过 1 D ; 由(2.3)和(2.4)可知存在一个温度t，
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退火是将金属和合金加热到适当温度，保持一 定时间，然后缓慢冷却的热处理工艺。退火后 组织亚共析钢是铁素体加片状珠光体；共析钢 或过共析钢则是粒状珠光体。总之退火组织是 接近平衡状态的组织。 退火的目的: ①降低钢的硬度，提高塑性，以利于切削加工 及冷变形加工。 ②细化晶粒，消除因铸、锻、焊引起的组织缺 陷，均匀钢的组织和成分，改善钢的性能或为 以后的热处理作组织准备。 ③消除钢中的内应力，以防止变形和开裂
不再改变时。
初使化设定
随机产生一个初始解
扰动产生一个新解 No
是否接受? Yes
修改目前解
降温
Yes
缩减温度
No
No 是否达到中止条件?
Yes 最佳解
模拟退火法以扰动的机制来产生一个解，我 1 们称此解为扰动解，在以几率函数判断是否
接受此扰动解为此次迭代的新解。
2 若不被接受，就再以扰动重新产生一个扰 动解，并以几率函数重新判断。每代重复 以上的步骤，直到接受为此次迭代的新解 为止。
扰动的作法就是以目前解为中心，对部分或整个 解空间随机取样一个解。
工作步骤
1
设定当前解（即为最优解）
2
产生新解与当前最优解差值
3
判断新解是否被接受
4
当新解被确定接受时
5
循环以上四个步骤
6
找到最后全局最优解
怎样计算两个城市间的距离 。 怎样计算每条路径的距离 。 扰动的技巧怎样实现 。
简求 函 数 的 最 大 值
1
假设所求解的问题是目标函数最小化问题f f ( X ') f (x) ，
若 f 0 ，则透过机率函数接受 f ( X ') 为新解。
2 接着判断是否满足降温条件，若是，则透过冷却机制降
温，T T ， [0,1] 。
反之，维持目前温度。之后判断是否达到终止条件， 3 例如达到设定的迭代次数或是连续几次迭代目前解都
单
z 3* 1 x 2 *ex2 y12 10 * x / 5 x3 y5 *ex2y2 1/ 3*ex12y2
的
例
子
谢谢！
两个城市间的距离
例：求A ，B，C，D，E，A之间的环路距离。已知A到B之间为5，B到C之间为 8,C到D之间为6，D到E之间为7，E到A之间为10，其他两点之间的距离均为9.
A A0 B5 C9 D9 E 10
BC 59 08 80 96 99
DE 9 10 99 69 0间的距离，即为环路距离
扰动步骤
（A B C D E）
扰动后
（A D C B E）
temp1 = ceil(n*rand); temp2 = ceil(n*rand); tem1 = min(temp1,temp2); tem2 = max(temp1,temp2); route_temp = fliplr(route(tem1:tem2)); route_new = [route(1:(tem1-1)) route_temp route((tem2+1):n)]; long_new = route_long(route_new,d);
模拟退火算法的思想最早是由Metropo比等 (1953)提出的，1983年Kirkpatrick等将其用于 组合优化。SA算法是基于Mente Calro迭代求 解策略的一种随机寻优算法，其出发点是基于物 理中固体物质的退火过程与一般组合优化问题之 间的相似性。模拟退火算法在某一初温下，伴随 温度参数的不断下降，结合概率突跳特性在解空 间中随机寻找目标函数的全局最优解．即在局部 优解能概率性地跳出并最终趋于全局最优。模拟 退火算法是一种通用的优化算法，目前己在工程 中得到了广泛应用，诸如VLSI、生产调度、控制 工程、机器学习、神经网络、图像处理等领域。
模拟退火算法是随机数找寻邻近的点。 ---若找到的点比立足点好，则取之。 ---否则依照机率决定是否取之。
需先设定一些参数，接着随机产生一个初始的目前
1 解 x ，并计算他的目标函数值f x 。
2
以目前解为中心对解空间做随机扰动，产生一个
扰动解 x，, 其目标函数值为f x, 。
3 若接受，则以该扰动解取代目前解作为该次迭 代的解。
攀登算法（Hill-climbingAlgorithm）是一 种迭代增进的算法，它利用单一解在解空间 作搜寻，并在每一次迭代中，在目前解的邻 近解空间选择出一个邻近解。
当邻近解的目标函数值比目前解的目标函 数值来的佳时，就以邻近解取代目前解； 否则，就重新在目前解的邻近解空间选择 一个邻近解。
攀登算法是挑选邻近点中最好的点，但这样 会有局部最大值的问题。