二次函数与二次方程、二次不等式的关系
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数,一元二次不等式,一元二次方程的联系和区别
二次函数、一元二次不等式和一元二次方程都是数学中与二次项相关的概念，它们之间存在联系和区别。
首先，二次函数是指形如y=ax+bx+c的函数，其中a≠0，是一个二次项的函数。
与一元二次方程类似，二次函数也有顶点、轴对称性、开口方向等性质。
但与一元二次方程不同的是，二次函数可以是图像连续的曲线，而一元二次方程则只有两个解或无解。
其次，一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0或ax+bx+c<0的不等式，其中a≠0。
一元二次不等式的解集是实数集中满足不等式条件的部分。
与一元二次方程和二次函数不同的是，一元二次不等式的解集不一定是连续的，可能是一段区间或分离的几个点。
最后，一元二次方程是指形如ax+bx+c=0的方程，其中a≠0。
一元二次方程的解可以通过求根公式或配方法等方式求得。
与二次函数和一元二次不等式不同的是，一元二次方程的解只有两个，或者没有实数解。
综上所述，二次函数、一元二次不等式和一元二次方程虽然有一些共同点，但它们之间的区别也十分明显。
深入理解这些概念之间的联系和区别，有助于我们更好地掌握二次函数、一元二次不等式和一元二次方程的基本知识和应用。
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一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
bds04_2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课题名称 2.2(3) 一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系课时 2 课型新授一教学目标知识与技能：1. 通过二次函数的图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的内在联系.2. 能通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，直观地求出一元二次不等式的解集.3. 理解转化的思想，即理解一元二次不等式是如何转化为用相应的二次函数图像与一元二次方程的根来进行求解的.过程与方法：1. 教学过程中注重知识的形成过程，把握学生的认知规律.2. 强调数形结合的解题方法.情感态度与价值观：1.借助图像来求解抽象的问题，提高学生学习的兴趣和解题的正确率.2.通过学习使学生学会分析和归纳复杂事物的能力，结合工学交替等途径，为日后进入职场奠定基础.二教学重点与难点教学重点：1.一元二次函数的图像.2. 通过二次函数的图像与对应的一元二次方程，解一元二次不等式. 教学难点：1. 数形结合的方法.三教学方法启发式教学. 类比的方法，归纳的方法. 四教学手段利用多媒体课件bds04、黑板等.五教学过程【新课导入】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系：解一元二次不等式是否一定要转化为一元一次不等式组来解呢? 其实不然！因为一元二次不等式与二次函数、一元二次方程三者之间存在着密不可分的“亲缘”关系, 你可以借助二次函数的图像及相应一元二次方程的根，解决一元二次不等式的解的问题. 【示范例题】 例4 已知二次函数223y x x =--(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y =0；(3) 求当x 在何范围内取值时，y <0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y >0. 解 (1) 图像如下图所示：(2) 由y =0，得 2-2-30xx =解此一元二次方程，得11x =-，23x = ∴当1x =-或3x =时，y =0.(3) 由图可知，当-1<x <3时，二次函数图像在x 轴的下方. ∴当-1<x <3时，y <0.(此时，2230xx --<)(4) 由图可知，当x <-1或x >3时，二次函数图像在x 轴的上方. ∴当 x <-1或x >3时，y>0.(此时，2-2-30x x >)提问：不等式2230x x --<的解集是？ 不等式2230xx -->的解集是？例5 利用在例题4学到的知识，解不等式：28230x x -->解 不等式对应的二次函数为2823y x x =--令y=0,对应方程28230x x --=的根为： 121324x x =-=， 当12x <-或 34x >时，y >0. ∴不等式28230x x -->的解集为13,,24⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例6 解不等式：22-20x x -+>解二次项系数为负，∴原不等式两边同乘以-1，得：2220x x -+<对应方程: 2220xx -+=的判别式()2241240∆=--⨯⨯=-<对应二次函数：222y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆<，图像位于x 轴上方；∴不等式222<0x x -+的解集为φ.即原不等式22-20x x -+>的解集为φ.例7 解不等式：2440x x -+>解 对应方程: 244=0xx -+的判别式()244140∆=--⨯⨯=对应二次函数:244y x x =-+的图像如图所示:a >0开口向上，0∆=，图像与x 轴有一个交点；∴不等式2440x x -+>的解集为()(),22,-∞+∞.【双基讲解】一元二次不等式的解法：解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像.这种方法解一元二次不等式：20ax bx c ++>或()200ax bx c a ++<>的步骤是：(1)计算判别式24b ac ∆=-；(2)根据判别式的值的情况分别求解. 这里涉及的情况如下表所示：例8 解不等式：(1) 22520x x -+≤；(2) ()()841x x x +>-；(3)()()2124x x +-<-.解 (1) 解不等式: 22520x x -+≤()254229∆=--⨯⨯=方程22520xx -+=的两个根为：12122x x ==，∴不等式的解集为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. (2) 解不等式: ()()841xx x +>-解 原不等式化简得：2440x x ++>244140∆=-⨯⨯=方程2440x x ++=有两个相等的实数根：122x x ==-∴不等式的解集为()(),22,-∞--+∞.(3) 解不等式：()()2124x x +-<-解 原不等式化简得： 22320x x -+<()2342270∆=--⨯⨯=-< ∴方程22320x x -+=没有实数根，∴原不等式的解集为φ.【巩固练习】 课堂练习2.2(3)1. 写出下列一元二次不等式对应的二次函数和一元二次方程. (1) 23100xx -->； (2) ()()2130x x -+<；(3)251360x x -+-≥； (4) ()24221x x x +-<-.2. 已知二次函数2-3-10y x x =(1) 画出此二次函数的图像； (2) 求当x 取何值时，y = 0； (3) 求当x 在何范围内取值时，y < 0； (4) 求当x 在何范围内取值时，y > 0. 3. 解下列不等式： (1) 27120xx -+>； (2) 22530x x +-<；(3)22150x x --+≥； (4) ()24421x x x +-<-.六 课堂小结1. 利用二次函数的图像、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系求解一元二次不等式；2. 利用上述关系给出了一个一般性的求解方法.七 布置作业由老师根据学生的具体情况灵活布置八 教学后记根据上课的具体情况，由老师书写教案编制人：周芸辉。
二次函数与方程不等式的关系
X1 =X2 ＝－b/2a
x ≠ x1的一切实 数
没有实数根
x<x1或x>x2 x1<x<x2
所有实数 无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
-1
0 y
<1>
2
X
y= -x2+x+2 y
<2>
①x2-4x+4=0;
y
(-2,2)
-1 O
2
(4,2)
3 x
思考2:
如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集
是x≠2 的一切实数，那么函数 1 y=ax2+bx+c的图像与 x轴有______ 个交 (2,0) 点，坐标是________________ x=2 方程ax2+bx+c=0的根是______________.
结论3
1.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x轴上方的条
件是
a＞ 0
2.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象全部在x轴下方的条
b
2 -4ac＜0
件是
a＜ 0
b
2
-4ac＜0
判别式： b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）
图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 有两个不同的 解x=x1，x=x2
二次函数与二元方程、二次不等式的关系
2.若抛物线 y = ax2+bx+c，当 a>0，c<0时，图象与 x轴交点情况是（ C ） A. 无交点 C. 有两个交点 B. 只有一个交点 D. 不能确定
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
x y＝x2－2x－3
例题精讲 3.已知二次函数y=-x2+3x+4的图象如图； (1)方程-x2+3x+4=0的解 是__ ___ x=-1,x=4 (2)不等式-x2+3x+4>0的解集
4 3 2 1 -2 -1 o -1 -2 -3 -4
-5 y
-1<x<4 是__ __
(3)不等式-x2+3x+4<0的解集
结论一： 若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 A（ X1，0 ）， B（X2，0 ）
问题一 结论： 二次函数 二次函数y=ax y=ax22+bx+c +bx+c的图象与 的图象与x x轴的 轴的 交点个数取决于什么？ 交点个数取决于： 抛物线与轴有２个交点． 抛物线与轴有１个交点． 抛物线与轴有0个交点．
2、已知二次函数y=x2-2kx+k2+k-2. （1）当实数k为何值时，图象经过原点？ （2）当实数k在何范围取值时，函数顶点 在x轴下方？ （3）当实数k在何范围取值时，函数顶 点在第四象限内？
例题精讲 . 判断下列二次函数图象与x轴的交点情况 （1）y＝－2x2＋3x－9； （2）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常 数，a≠0） 解：（1）∵ b2－4ac ＝02 －4×1×（ －1） ＞0 ∴函数与x轴有两个交点
二次函数与不等式知识点总结
二次函数与不等式知识点总结在数学的学习中，二次函数和不等式都是非常重要的知识点。
二次函数是一种数学函数，其表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。
不等式是数学中关系的一种表达方式，用于描述两个数或两个算式之间的大小关系。
本文将对二次函数与不等式的相关知识点进行总结。
1. 二次函数的基本形式二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
其中，a决定了二次函数的开口方向以及抛物线的开口程度，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
b和c分别决定了函数图像在x轴和y轴上的平移。
2. 二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，在数轴上表示为(x,y)。
顶点的横坐标为x=-b/(2a)，纵坐标为y=f(x)。
3. 二次函数的对称轴二次函数的对称轴是通过抛物线顶点并垂直于x轴的一条直线，其方程为x=-b/(2a)。
对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
4. 二次函数的零点二次函数的零点是使函数值为0的x值，可以通过解二次方程ax^2+bx+c=0来求得。
其中，判别式Δ=b^2-4ac可以判断方程的解的情况：当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；当Δ=0时，方程有两个相等的实根；当Δ<0时，方程无实根。
5. 不等式的基本性质不等式中的关系符号包括大于(>)、小于(<)、大于等于(≥)、小于等于(≤)以及不等于(≠)。
不等式的解是满足不等式的数值范围，可以是实数或整数。
6. 不等式的解集表示不等式的解集可以用区间表示，常见的有开区间、闭区间和半开半闭区间。
例如，表示不等式x>1的解集可以表示为(1, +∞)，表示不等式x≥-2的解集可以表示为[-2, +∞)。
7. 一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有二次项及其系数的一元不等式。
常用的解法包括关于不等式的变形、利用不等式的性质以及绘制函数图像等方法。
函数、方程、不等式之间的关系
函数、方程和不等式的关系很多学生在学习中把函数、方程和不等式看作三个独立的知识点。
实际上，他们之间的联系非常紧密。
如果能熟练地掌握三者之间的联系，并在做题时灵活运用，将会有事半功倍的收效。
★函数与方程之间的关系。
先看函数解析式：(0)y ax b a =+≠，这是一个一次函数，图像是一条直线。
对于这个函数而言，x 是自变量，对应的是图像上任意点的横坐标；y 是因变量，也就是函数值，对应的是图像上任意点的纵坐标。
如果令0y =，上面的解析式也就变成了0ax b +=，也就是一个一元一次方程了。
我们知道，一般在求一个函数图像与x 轴交点的时候，令0y =（同理求一个函数图像与y 轴交点的时候，令0x =）。
所以上面的意义可以这样表达：将函数解析式中的y 变为0，那么就得到相应的方程。
这个方程的解也就是原先的函数图像与x 轴交点的横坐标。
这就是函数解析式与方程之间的关系，它适用于所有的函数解析式。
举例说明如下：例如函数23y x =-的图像如右所示： 该函数与x 轴的交点坐标为3(,0)2，也就是在函数 解析式23y x =-中，令0y =即可。
令0y =也 就意味着将一元一次函数23y x =-变成了一元 一次方程230x -=，其解和一次函数与x 轴的交 点的横坐标是相同的。
接下来推广到二次函数：例如函数2252y x x =-+的图像如右图所示： 很容易验证，该函数图象与x 轴的交点的横坐标 正是方程22520x x -+=的解。
如果右边的函数图象是通过列表、描点、连线 的方式作出来的，虽然比较精确，但过程十分繁琐。
在实际中，很多时候并不要求我们把函数图象作得 很精准。
有时候只需要作出大致图像即可。
既然上面讲述了函数图象与对应的方程之间 的关系，我们可不可以通过利用方程的根来绘制 对应的函数图象呢？函数2252y x x =-+对应的方程是22520x x -+=，先求出这个方程的两个解。
很容易根据十字相乘法(21)(2)0x x --=得出该方程的两个解分别为12和2。
二次函数与一元二次方程不等式关系
• 如果方程ax2+bx+c=0 （a≠0）没有 实数根，那么 • 函数y=ax2+bx+c的图像与 x轴有 0 ______ 个交点； • 不等式ax2+bx+c<0的解集是______
（1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解 （2）当a<0时， ax2+bx+c<0的解集是一切实数。
思考4：
x1 1, x2 3 x1 0, x2 2 x1 x2 1
x 1或x 3
1 x 3
1 x 3且x 1
＜
＜
＞
＞
=
＞
＜
x1 3, x2 1
3 x 1
x 3或x 1
x 0或x 4
x 0或x 4
0 x4
是一个 。
X1 =X2 ＝－b/2a
x ≠ x1的一切实 数
没有实数根
x<x1或x>x2 x1<x<x2
所有实数 无解
《二次函数与一元二次方程、不等式》知识点
二次函数与一元二次方程、不等式
1．一元二次不等式的概念
一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如20(0)ax bx c ++>≥或2
0(0)ax bx c ++<≤（其中a ，b ，c 均为常数，)0a ≠的不等式都是一元二次不等式．
2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=∆，它的解按照0>∆，0=∆，0<∆可分三种情况，
相应地，二次函数2y ax bx c =++(0)a >的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或20ax bx c ++<(0)a >的解集． 24b ac ∆=-
0>∆ 0=∆ 0<∆
二次函数 c
bx ax y ++=2（0>a ）的图象
20
(0)ax bx c a ++=>的根
有两相异实根
)(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221-== 无实根 的解集
)0(0
2>>++a c bx ax {}21x x x x x ><或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2 R 的解集
)0(0
2><++a c bx ax {}21x x x x << ∅ ∅。
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二次函数与二次方程、二次不等式的关系
一、知识梳理
知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当y≠0时，就是二次不等式。
知识点2、二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个
数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。研究二次函
数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根的
问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。
知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示：
二、精典题型剖析
例1、已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，
求当PQ最短时△MPQ的面积．
变式训练：1、函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则bacacbcba的值是________
2、已知二次函数y=x2-2x+3.
(1) 若它的图像永远在x轴的上方，则x的取值范围是__________;
(2) 若它的图像永远在x轴的下方，则x的取值范围是__________;
(3) 若它的图像与x轴只有一个交点，则x的取值范围是__________.
3、已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．
△=b2﹣4ac △＞0 △=0 △＜0
二次函数
y=ax2+bx+c(a＞0)的图像
x
y
O
x
y
O
x
y
O
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a＞0)的根
abx2
2,1
abx2
无实数根
一元二次不等式
ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集
x＜ 1x或x
＞2x
（1x＜2x）
abx2
x
为全体实数
一元二次不等
ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集
1x＜x＜2
x
（1x＜2x）
无解 无解
D
Q
图
图1
xyOABCCBAOyx
D
Q
x
y
O
A
B
C
4．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
5．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，
并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．
例2、(本题满分12分) 二次函数26(0)yaxbxa的图像交y轴于C点，交x轴于A，
B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程24120xx的
两个根.
（1）求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式.
（2）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上
一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QD∥AC交于BC点D，设Q点坐标
（m，0），当CDQ面积S最大时，求m的值.
（3）如图3，线段MN是直线y=x上的动线段（点M在点N左侧），且2MN，若M
点的横坐标为n，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线
交于点Q.以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n的值；
若不能，请说明理由．
变式训练：（2012•资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，
由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．1＜x＜5 B．x＞5
C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5
例3、 已知关于x的一元二次方程2220xaxb，0,0ba.
（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；
（2）若a∶b=2∶3，且1222xx，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，二次函数222yxaxb的图象与x轴的交点为A、C（点A
在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D.若点P（x，y）是四边形ABCD边上
的点，试求3x－y的最大值.
变式训练：（2012甘肃兰州10分）设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点
为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB＝|x
1
－x2|＝
2
b4ac=a
。参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶
点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．
例4、（2012广东肇庆10分）已知二次函数2ymxnxp图象的顶点横坐标是2，与x
轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，
tantanCABO1OC
．
（1）求证： n4m0；
（2）求m、n的值；
（3）当p﹥0且二次函数图象与直线yx3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．
变式训练： （2012湖北荆门10分）已知：y关于x的函数
y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足
（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，
请结合函数图象确定y的最大值和最大值．
专题训练
1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，
yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在该抛物线上．
（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P的坐标；②求ABCyyy-的值；
（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求ABCyyy的最小值．
2. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为2yaxbx3a(b0)，若
抛物线C1经过点(0,3)，方程2axbx3a0的两根为1x，2x，且12xx4。
（1）求抛物线C1的顶点坐标.
（2）已知实数x0，请证明：1xx≥2,并说明x为何值时才会有1x2x.
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设1A(m,y)，
2
B(n,y)
是C2上的两个不同点，且满足： 00AOB9，m0，n0.请你用含有
m
的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解
析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若11P(x,y)，22Q(x,y)，则P，Q两点间的距
离222121(xx)(yy)）