横截面上的应力
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河海大学 材料力学 杆件横截面上的应力应变分析
2
4
= 149 MPa
§3-2 直杆轴向拉压时横截面上的正应力
一、横截面上的应力公式推导 三个问题
(1)应力形式？ (2)应力分布？ (3)应力大小？ 从几何(变形)、物理、静力学三个方面分析
1 、几何(变形)关系 F
F
变形现象
F (1)杆件拉长，纵线、横线
仍为直线。
(2)横线仍垂直于轴线。
FF
s
平截面假设(plane assumption): 变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于 轴线。
例3-1 等直杆，F1=10kN，F2=40kN，F3=50kN，
F4=20kN，截面直径d=16mm。试求杆内的最大应力。
F1
F2
F3
F4
A
B
10kN (+)
CD
20kN (+)
FN图
(–) 30kN
|FN| max=30kN
smax=
|—FN—| m—ax A
=
30×10 3
————
p —
×16
(1)所有纵向纤维伸长都相等，即e =常量。
(2)横截面上各点处只产生正应力，无切应变(切应力)
2、物理关系：s = Hale Waihona Puke e = 常量。 t = Gg= 0
横截面上各点处的正应力相等(s 沿横截面均匀分布)
3、静力学关系
F
FN =
sdA = s A
A
s
s = —F—N
A
s(x) = —FN—(x—)
A(x)
公式应用说明：
(1)适用于横截面为任意形状的直杆。
(2)正应力与轴力具有相同的正负符号。
杆件横截面上的应力课件
02 03
横截面应力的计算方法
根据材料力学中的弹性力学方程，横截面应力的计算方法包括利用已知 的应力分量和位移分量之间的关系进行计算，以及利用已知的应变分量 和位移分量之间的关系进行计算。
横截面应力的分布规律
横截面上的应力分布规律取决于物体的形状、大小、材料以及作用在物 体表面的力等因素。
复杂受力情况的应力计算
扭转应力
由于杆件受到扭转力矩的 作用产生的应力，通常在 杆件横截面上产生扭转应 力的分布。
02
拉伸与压缩杆件的应力
拉伸杆件的应力
01 定义
拉伸应力是指杆件在拉伸过程中，横截面上承受 的最大拉应力。
02 计算公式
σ=FbA，其中F为拉力，b为杆件的宽度，A为杆 件的横截面积。
03 特点
随着外力的增加，拉伸应力也逐渐增加，当超过 材料的承受能力时，杆件就会发生断裂。
详细描述
在桥梁结构中，杆件横截面上的应力分布情况受到多种因素的影响，包括材料性质、截面形状和尺寸、荷载大小 和分布等。通常情况下，杆件横截面上的应力分布是不均匀的，存在明显的应力集中现象。这种现象在桥梁的细 部构造中尤为明显，例如梁柱连接处、支座处和伸缩缝处等。
房屋结构中的杆件横截面上的应力分析
总结词
房屋结构中杆件横截面上的应力分布较为复杂，与荷载传递路径和支撑体系密切相关。
详细描述
在房屋结构中，杆件横截面上的应力分布受到房屋结构类型、荷载传递路径和支撑体系等因素的影响 。不同部位杆件横截面上的应力分布差异较大，如墙体、柱、梁等部位。此外，房屋结构的整体性能 和稳定性也受到杆件横截面上应力的影响。
在拉伸与压缩过程中，杆件横截面上的应力分布 02 是不均匀的，最大值出现在杆件的两端。
各轴横截面上的最大切应力
强度条件的应用
（1）校核强度
max
Tmax Wt
max
Tmax Wt
（2）设计截面
Wt
Tmax
（9）确定载荷
Tmax Wt
§9.4 圆的汽车传动
轴，外径D=89mm、壁厚=2.5mm，
材料为20号钢，使用时的最大扭矩
§9.4 圆轴扭转时的应力
§9.4 圆轴扭转时的应力
一、横截面上的应力
几
何
关 系
Me
Me
物 理
关
几何关系
系
静
从三方面考虑 物理关系
力 关
静力关系
系
观察变形 提出假设 变形的分布规律
应力的分布规律
建立公式
§9.4 圆轴扭转时的应力
公式适用于： 1）圆杆
2） max p
横截面上某点的切应力的方向 与扭矩方向相同，并垂直于半径。 切应力的大小与其和圆心的距离 成正比。
16T
d13
7640N m
4580N m
3
d1
16T
π[ ]
3
16 7640 π 70106
82.2103 m 82.2mm
不同截面上的应力状态
圆轴扭转的控制方程
几何关系
物理关系
d
dx
G
G
d
dx
圆轴扭转的应力和变形
max
T Wt
静力学关系
T
GI p
d
dx
第九章 扭 转(II)
建筑工程技术 教材 梁横截面上的切应力
解 求A、B支座反力 FBy= FAy= 36N
弯曲应力
1 求C偏左截面上各点的切应力 1）确定C偏左截面上的剪力 FQCL=36－4×4=20N 2）求截面的惯性矩及d点对应的S* 。
Iz
1 12
bh3
1 100 2003= 12
667×106mm4
d点对应的S*
S
z
50100 75
3.75105 mm3
弯曲应力
第五节 梁的切应力及切应力强度计算
一、梁横截面上的切应力
1 矩形截面梁
切应力的计算公式
FQ
S
* z
Izb
式中，FQ为需求切应力处横截面上的剪力；I为横截面对中 性轴的惯性矩；S*为横截面上需求切应力处平行于中性轴的 线以上（或以下） 部分的面积对中性轴的静矩；ｂ为横截面
的宽度。
弯曲应力
切应力的分布规律如下： １）切应力的方向与剪力同向平行。 ２）切应力沿截面宽度均匀分布， 即同一横截面上，与中性轴等距离 的点切应力均相等。
1.5
FQ max bh
36 103 1.5
=
100 200
３）切应力沿截面高度按二次抛物
线规律分布。距中性轴最远的点处
切应力等于零；中性轴上切应力取
得该截面上的最大值，其值为
max
1.5
FQ bh
弯曲应力
例10-17 一矩形截面简支梁受荷载作用，截面宽度 b=100mm，高度h=200mm，q=4N/m，Fm。试求 ⑴ 求C偏左 截面上a、b、c、d四点的切应力。⑵ 该梁的最大切应力发生 在何处，数值等于多少？
3）求各点的切应力
a c 0
b
1.5
FQLC bh
弯曲应力
1 求C偏左截面上各点的切应力 1）确定C偏左截面上的剪力 FQCL=36－4×4=20N 2）求截面的惯性矩及d点对应的S* 。
Iz
1 12
bh3
1 100 2003= 12
667×106mm4
d点对应的S*
S
z
50100 75
3.75105 mm3
弯曲应力
第五节 梁的切应力及切应力强度计算
一、梁横截面上的切应力
1 矩形截面梁
切应力的计算公式
FQ
S
* z
Izb
式中，FQ为需求切应力处横截面上的剪力；I为横截面对中 性轴的惯性矩；S*为横截面上需求切应力处平行于中性轴的 线以上（或以下） 部分的面积对中性轴的静矩；ｂ为横截面
的宽度。
弯曲应力
切应力的分布规律如下： １）切应力的方向与剪力同向平行。 ２）切应力沿截面宽度均匀分布， 即同一横截面上，与中性轴等距离 的点切应力均相等。
1.5
FQ max bh
36 103 1.5
=
100 200
３）切应力沿截面高度按二次抛物
线规律分布。距中性轴最远的点处
切应力等于零；中性轴上切应力取
得该截面上的最大值，其值为
max
1.5
FQ bh
弯曲应力
例10-17 一矩形截面简支梁受荷载作用，截面宽度 b=100mm，高度h=200mm，q=4N/m，Fm。试求 ⑴ 求C偏左 截面上a、b、c、d四点的切应力。⑵ 该梁的最大切应力发生 在何处，数值等于多少？
3）求各点的切应力
a c 0
b
1.5
FQLC bh
一、横截面上的切应力
⼀、横截⾯上的切应⼒⼀、横截⾯上的切应⼒实⼼圆截⾯杆和⾮薄壁的空⼼圆截⾯杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截⾯上的切应⼒象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布导出这类杆件横截⾯上切应⼒计算公式，关键就在于确定切应⼒在横截⾯上的变化规律。
即横截⾯上距圆⼼τp任意⼀点处的切应⼒p与p的关系为了解决这个问题，⾸先观察圆截⾯杆受扭时表⾯的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表⾯上的切应变γp，即γp与p的⼏何关系利⽤切应⼒与切应变之间的物理关系，再利⽤静⼒学关系求出横截⾯上任⼀点处切应⼒τp 的计算公式实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表⾯上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其⼤⼩和形状均不变，⽽且在⼩变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变图8-56扭转时的平⾯假设：等直圆杆受扭时它的横截⾯如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截⾯上任⼀根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆⼼旋转了⼀个⾓度φ图8-57现从等直圆杆中取出长为dx的⼀个微段，从⼏何、物理、静⼒学三个⽅⾯来具体分析圆杆受扭时的横截⾯上的应⼒图8-581.⼏何⽅⾯⼩变形条件下dφ为dx长度内半径的转⾓，γ为单元体的⾓应变图8-59或因为dφ和dx是⼀定的，故越靠近截⾯中⼼即半径R越⼩，⾓应变γ也越⼩且γ与R成正⽐例(或线性关系)由平⾯假设：对同⼀截⾯上各点θ表⽰扭转⾓沿轴长的变化率，称为单位扭转⾓，在同⼀截⾯上其为常数所以截⾯上任⼀点的切应⼒与该点到轴⼼的距离p成正⽐p为圆截⾯上任⼀点到轴⼼距离，R为圆轴半径图8-60上式为切应⼒的变化规律2.物理⽅⾯(材料在线性弹性范围内⼯作)由剪切胡克定律由于G和为常数，所以上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内⼯作时，横截⾯上的切应⼒在同⼀半径p 的圆周上各点处⼤⼩相同，但它们随p做线性变化同⼀横截⾯上的最⼤切应⼒在横截⾯的边缘处。
这些切应⼒的⽅向均垂直于各⾃所对应的半径，指向与扭矩对应3.静⼒学⽅⾯前⾯已找出了受扭等直圆杆横截⾯上的切应⼒τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。
杆件横截面上的应力课件
分类
根据作用力的方向与截面法线的 关系，应力可分为正应力与剪应 力。正应力是指垂直于截面的力 ，剪应力是指与截面相切的力。
杆件横截面上的应力分布
均匀分布
在均匀受力的杆件横截面上，应力分 布是均匀的。
不均匀分布
在非均匀受力的杆件横截面上，应力 分布是不均匀的，可能存在应力集中 现象。
应力对杆件性能的影响
当杆件横截面上的拉压应力达到最大 拉压应力值时，杆件发生拉压破坏。
最大弯曲应力准则
当杆件横截面上的弯曲应力达到最大 弯曲应力值时，杆件发生弯曲破坏。
校核方法与步骤
静力校核
根据杆件承受的静力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
较，判断是否满足强度要求。
动力校核
根据杆件承受的动力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
扭转变形引起的应力分析
扭转变形
当杆件受到垂直于其轴线的扭矩作用时 ，会在其横截面上产生扭转变形。扭转 变形的大小与扭矩和横截面面积有关， 计算公式为θ=T/GIP，其中T为扭矩， GIP为截面对主轴z的抗扭截面模量。
VS
扭转变形引起的切应力
在扭转变形过程中，除了扭转变形外，还 会在横截面上产生扭转变形引起的切应力 。扭转变形引起的切应力的大小与扭矩和 杆件截面的转动惯量有关，计算公式为 τ=T/It，其中It为截面对主轴t的抗扭截面 模量。
计算分析
根据建立的模型，进行计算和 分析，得出杆件横截面上的应 力分布和大小。
结果评估
将计算结果与设计规范和标准 进行对比，评估结构的应力和
安全性能。
案例分析结论与建议
结论
通过对实际工程中的杆件横截面应力问题进 行案例分析，可以得出杆件横截面上的应力 分布和大小，评估结构的应力和安全性能。
根据作用力的方向与截面法线的 关系，应力可分为正应力与剪应 力。正应力是指垂直于截面的力 ，剪应力是指与截面相切的力。
杆件横截面上的应力分布
均匀分布
在均匀受力的杆件横截面上，应力分 布是均匀的。
不均匀分布
在非均匀受力的杆件横截面上，应力 分布是不均匀的，可能存在应力集中 现象。
应力对杆件性能的影响
当杆件横截面上的拉压应力达到最大 拉压应力值时，杆件发生拉压破坏。
最大弯曲应力准则
当杆件横截面上的弯曲应力达到最大 弯曲应力值时，杆件发生弯曲破坏。
校核方法与步骤
静力校核
根据杆件承受的静力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
较，判断是否满足强度要求。
动力校核
根据杆件承受的动力荷载，计算 出杆件横截面上的应力和应变， 并与许用应力和安全系数进行比
扭转变形引起的应力分析
扭转变形
当杆件受到垂直于其轴线的扭矩作用时 ，会在其横截面上产生扭转变形。扭转 变形的大小与扭矩和横截面面积有关， 计算公式为θ=T/GIP，其中T为扭矩， GIP为截面对主轴z的抗扭截面模量。
VS
扭转变形引起的切应力
在扭转变形过程中，除了扭转变形外，还 会在横截面上产生扭转变形引起的切应力 。扭转变形引起的切应力的大小与扭矩和 杆件截面的转动惯量有关，计算公式为 τ=T/It，其中It为截面对主轴t的抗扭截面 模量。
计算分析
根据建立的模型，进行计算和 分析，得出杆件横截面上的应 力分布和大小。
结果评估
将计算结果与设计规范和标准 进行对比，评估结构的应力和
安全性能。
案例分析结论与建议
结论
通过对实际工程中的杆件横截面应力问题进 行案例分析，可以得出杆件横截面上的应力 分布和大小，评估结构的应力和安全性能。
3.2轴向拉压杆横截面上的正应力
轴向拉压杆的平面假设：
受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两 平面相对的位移了一段距离。
正应力
说明：轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分
布。
FN A
正应力与轴力有相同的正、负号，即：拉应力为正，
压应力为负。
例题讲解
例6.2一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为 A1 400mm2 , A2 300mm2 , A3 200mm2
AB
F1 50 103 MPa 125MPa A1 400
BC
F2 30 103 MPa 100MPa A2 300
CD
DE
F3 10 103 MPa 33.3MPa A2 300
F4 20 103 MPa 100MPa A3 200
小结
你学到了什么？
作业：习题3-3
谢谢聆听！
第三章 轴向拉伸和压缩
第二节 轴向拉压杆横截面上的正应力
一、应力
联想：粗绳和细绳
一根筷子和一把筷子 1、概念：单位面积上的内力称为应力 2、表示：σ（读西格玛） 3、单位：Pa（帕斯卡）Mpa（兆帕） 1Pa=1N/m2 1MPa=106Pa=106N/m2=1N/mm2
二、横截面上的正应力
试求各横截面面法可求得阶梯杆各段的轴力为F1=50kN,
F2=-30kN, F3=10kN, F4=-20kN。轴力图如下。
2 2 A1 400mm2 , A2 300mm , A3 200mm
求各截面正应力：
AB段:
BC段: CD段: DE段:
受轴向拉伸的杆件，变形后横截面仍保持为平面，两 平面相对的位移了一段距离。
正应力
说明：轴向拉压等截面直杆，横截面上正应力均匀分
布。
FN A
正应力与轴力有相同的正、负号，即：拉应力为正，
压应力为负。
例题讲解
例6.2一阶梯形直杆受力如图所示，已知横截面面积为 A1 400mm2 , A2 300mm2 , A3 200mm2
AB
F1 50 103 MPa 125MPa A1 400
BC
F2 30 103 MPa 100MPa A2 300
CD
DE
F3 10 103 MPa 33.3MPa A2 300
F4 20 103 MPa 100MPa A3 200
小结
你学到了什么？
作业：习题3-3
谢谢聆听！
第三章 轴向拉伸和压缩
第二节 轴向拉压杆横截面上的正应力
一、应力
联想：粗绳和细绳
一根筷子和一把筷子 1、概念：单位面积上的内力称为应力 2、表示：σ（读西格玛） 3、单位：Pa（帕斯卡）Mpa（兆帕） 1Pa=1N/m2 1MPa=106Pa=106N/m2=1N/mm2
二、横截面上的正应力
试求各横截面面法可求得阶梯杆各段的轴力为F1=50kN,
F2=-30kN, F3=10kN, F4=-20kN。轴力图如下。
2 2 A1 400mm2 , A2 300mm , A3 200mm
求各截面正应力：
AB段:
BC段: CD段: DE段:
横截面上切应力计算公式的推导
Me (N m) 9549 P (kW ) 常用公式 n (r / min)
Me (N m) 7024 P n
P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（r/m）
Me (N m) P
2 n
P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/秒（r/s）
60 103 9549
D
[ 14 ]
你做对了吗？ 2kN·m
5kN·m 3kN·m
A
B
C
D
3 T（kN·m）
0 2
x
[ 15 ]
§圆轴扭转切应力计算§
[ 16 ]
实验现象和平面假设
M
圆周线
纵向线
ห้องสมุดไป่ตู้
M
实验：绘纵向线、圆周线，然后施加一对外力偶 M
[ 17 ]
变形前
圆周线
变形后
M
圆周线 g
纵向线
纵向线
M
所有纵向线仍近似为直线，但都倾斜了相同角度 g 。
9549
60 200
2859N m
[ 10 ]
MB
1
MC 2 MA 3 MD
将外力矩转换为力矩矢量
MB
B1
1
MC
C 2A 3D
2
3
MA
MD
B
分析各特征截面扭矩
取1-1截面左侧 MB
1C T1
2A 3 D
x
将扭矩预设为截面外法方向
列方程 M x 0 M B T1 0 T1 M B 4300 N m
[1]
工程中常把产生扭转为主要变形的构件称为轴。 如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆等。