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第三章 杆件横截面上的应力
z
计算任一点的正应力时，可不考虑M、y的正负，一律以绝
y 对值代入。M为正，梁中性轴下边纤维受拉，中性轴以下部分
均为正的正应力，而中性轴以上部分纤维受压，均为负的正应 力；M为负时，应力正负号则相反。
M
max
M z y max Mz Iz Wz
Wz I z / ymax 抗弯截面模量。
目录
例题3-4 已知E轴所传递的功率P1＝14kW, H轴、 C轴所传递的功率 P2= P3=P1/2。n1=n2=120r/min，z1=36，z3=12；d1=70mm， d 2=50mm, d3=35mm。求:各轴横截面上的最大切应力。 解：1、计算各轴的功率与转速
3
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW z1 n3＝n1 ＝360r/min z3
本章重点
杆件基本变形时横截面上应力的计算
第一节 应力、应变极其相互关系
问题的提出
一、正应力、切应力
1. 应力 内力的集度（单位面积上的内力）
F
C
2.一点处的应力 平均应力 令
F4
A
F3
一点处应力
F pm A
F dF p lim A 0 A dA
p
τ
σ
p 垂直于截面的分量σ －－正应力
16 716.2 D2 3 0.046m=46mm 4 6 π 1- 40 10
实心轴
d2＝0.5D2=23 mm M x 16M x max1 40MPa 3 WP1 πd1
2
d1=45 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1 d12 1 45 10 3 2 ＝ .28 1 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
横截面上的最大正应力
B max
4 88 Iz
46.1MPa
例8：简支梁AΒιβλιοθήκη ，在Ｃ截面下边缘贴一应变片，测得其应变ε= 6×10-4，材料的弹性 模量 E=200GPa，求载荷P的大小。
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
解：C点的应力 C E 200 103 6 104
120MPa
C截面的弯矩 MC C Wz 640 N m
第六章
圆环：
复 习
I y I z I z大 I z小
D4 d 4
64 64
D4 (1 4 )
64
其中 d
D
y
z
d D
bh3 I Z 12
d4
I Z 64
WZ
bh2 6
WZ
d 3
32
h
Z
b
d
Z
IZ
(D4
64
d4)
D4
64
(1 4 )
WZ
D3
32
(1 4 )
Z
d D
横截面上的最大正应力：
15 11.25
max
M max Wz
20 103 0.1 0.22
6
30MPa < [ ]
该梁满足强度条件，安全 20
例7：图示铸铁梁，许用拉应力[σ+ ]=30MPa，
许用压应力[σ- ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，
试校核此梁的强度。
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
例2：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力
轴向拉伸与压缩时横截面上的应力
解1计算轴力由截面法可求得杆中各横截面上的轴力均为ffnf20knf20kn1212ffafnff图47nb2计算最大正应力图47bba1hha2h0cahh0b251020mm2300mm2则杆件内的最大正应力则杆件内的最大正应力为为maxmax由于整个杆件轴力相同故最大正应力发生在面积较小的横截面上即开槽部分的横截面上如图47c其面积为maxmpa667mpaa300fn10203?负号表示最大正应力为压应力
例 一正中开槽的直杆，承受轴向载荷F =20kN的作用， 如图4-7a所示。已知h = 25mm，h0 = 10mm，b = 20mm。试求 杆内的最大正应力。
1 2
F
1 2
F
解 (1) 计算轴力 由截面法可求得杆中 各横截面上的轴力均为
a)
FN F
b)
图4-7
FN = -F = -20kN
A1
图4-6
由材料的均匀性、连续性假设可以推断出轴力在横截面 上的分布是均匀的，而且都垂直于横截面，故横截面上的正 应力也是均匀分布的，如图4-6c所示。因此，轴向拉伸与压 缩时的横截面上的正应力计算公式为
FN σ= A
σ 式中， 为横截面上的正应力；FN 为横截面上的内力（轴
力）；A 为横截面面积。 正应力的正负号与轴力的正负号一致。即拉应力正， 压应力为负。
h0 h
A2
h
b b
c)
(2)计算最大正应力 图4-7 由于整个杆件轴力相同，故最大正应力发生在面积较小 的横截面上，即开槽部分的横截面上如图4-7c,其面积为
A = (h-h0 )b = (25-10)
则杆件内的最大正应力 σ max 为
×20mm2 =
300mm2
σ max
例 一正中开槽的直杆，承受轴向载荷F =20kN的作用， 如图4-7a所示。已知h = 25mm，h0 = 10mm，b = 20mm。试求 杆内的最大正应力。
1 2
F
1 2
F
解 (1) 计算轴力 由截面法可求得杆中 各横截面上的轴力均为
a)
FN F
b)
图4-7
FN = -F = -20kN
A1
图4-6
由材料的均匀性、连续性假设可以推断出轴力在横截面 上的分布是均匀的，而且都垂直于横截面，故横截面上的正 应力也是均匀分布的，如图4-6c所示。因此，轴向拉伸与压 缩时的横截面上的正应力计算公式为
FN σ= A
σ 式中， 为横截面上的正应力；FN 为横截面上的内力（轴
力）；A 为横截面面积。 正应力的正负号与轴力的正负号一致。即拉应力正， 压应力为负。
h0 h
A2
h
b b
c)
(2)计算最大正应力 图4-7 由于整个杆件轴力相同，故最大正应力发生在面积较小 的横截面上，即开槽部分的横截面上如图4-7c,其面积为
A = (h-h0 )b = (25-10)
则杆件内的最大正应力 σ max 为
×20mm2 =
300mm2
σ max
第八章 弹性杆件横截面上的正应力分析-2
Iz
I z y 2 dA
A
惯性矩
EIz 梁的抗弯刚度
My Iz
将上式代入 E y
工 程 力 学
第 八 章 弹 性 杆 件 横 截 面 上 的 应 力
在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力最大。
max
Mymax Iz
令:
Iz Wz ymax
max
F
C
Fa
B D
x
Fs
在CD段内，梁的横截面上 剪力为零，而弯矩为常量，这 种情况称为纯弯曲。 梁在纯弯曲变形时，横截面 上只有与弯矩有关的正应力。
F A C
D
B F
x
M A C
Fa D B
x
工 程 力 学
第 八 章 弹 性 杆 件 横 截 面 上 的 应 力
二、梁在纯弯曲时的正应力
1、变形几何关系
工 程 力 学 aa 变形前的长度等于中性层的长度
第 八 aa O1O2 O1 O2 d 章 弹 纵向线aa变形后的长度为: 性 ' ' a a ( y) d 杆 件 纵向线aa的应变为 横 截 y ( y) d d 面 d 上 即：纯弯曲时横截面上各点的纵向线应变沿截面 的 应 高度呈线性分布。 力
作如下假设： (1) 梁的横截面变形后仍保持为平面，且垂直于变形后 的轴线，即弯曲变形的平面假设。 (2) 纵向纤维间无挤压作用，各纵向纤维均处于单向受拉 或受压状态。
工 程 力 学
第 八 章 弹 性 杆 件 横 截 面 上 的 应 力
☆ 中性层
对称轴
中性层
中性轴
中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。 中性轴：横截面与中性层的交线。
第4章杆件横截面上的正应力分析
3 N BC 4 10 6 N 12.7 10 2 m ABC π 202 106 4
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
= 6.4MPa(压)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
30
y1
Ay A
i
i
200
z y1
30 170 170 2 30 170 (139 ) 12 2
3
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A 2m P=20kN C 3m 20kNm 1m D
§4-2 梁的弯曲正应力
一、概述
第4章
杆件横截面上的正应力分析
一般平面弯曲时，梁的横截面上将有剪力和弯矩两个 内力分量。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量， 这种平面弯曲称为纯弯曲。此时由于梁的横截面上只 有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。
c
c
c
c
第4章
杆件横截面上的正应力分析
在垂直梁轴线的横力作用下，梁横截面 上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面 上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为 横向弯曲。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：先确定危险截面
故取b=43mm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。 q =10kN/m A B P=20kN C 1m D
=12.7MPa(拉)
σ AB N AB 3.46 10 6 N 6.4 10 2 6 m AAB 540 10
3
= 6.4MPa(压)
第4章
杆件横截面上的正应力分析
30
y1
Ay A
i
i
200
z y1
30 170 170 2 30 170 (139 ) 12 2
3
85 30 85 y
40.3106 (mm)4 40.3106 m4
第4章
杆件横截面上的正应力分析
(2) 画弯矩图
q =10kN/m
A 2m P=20kN C 3m 20kNm 1m D
§4-2 梁的弯曲正应力
一、概述
第4章
杆件横截面上的正应力分析
一般平面弯曲时，梁的横截面上将有剪力和弯矩两个 内力分量。如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量， 这种平面弯曲称为纯弯曲。此时由于梁的横截面上只 有弯矩，因而便只有垂直于横截面的正应力。
c
c
c
c
第4章
杆件横截面上的正应力分析
在垂直梁轴线的横力作用下，梁横截面 上将同时产生剪力和弯矩。这时，梁的横截面 上不仅有正应力，还有剪应力。这种弯曲称为 横向弯曲。
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
第4章
杆件横截面上的正应力分析
解：先确定危险截面
故取b=43mm
第4章
杆件横截面上的正应力分析
例 求图示梁的最大拉应力和最大压应力。 q =10kN/m A B P=20kN C 1m D
p51-梁弯曲时横截面上的正应力(精)
My max M max Iz Wz 式中，Wz=Iz /ymax ——横截面对中性轴 z 的弯曲截面系数。它只与截面的形 状及尺寸有关，是衡量截面抗弯能力的一个几何量，单位为mm3或m3。
第6章 杆件的应力与强度\梁弯曲时的应力与强度\梁弯曲时横截面上的正应力
对于矩形、圆形及圆环形等常见简单截面的惯性矩和弯曲截面系数
第6章 杆件的应力与强度\梁弯曲时的应力与强度\梁弯曲时横截面上的正应力
如图 a 所示，取一具有纵向对称面的梁，例如矩形截面梁，在其侧面 画两条代表两个横截面的横向线 m m 和 nn，再在两横向线间靠近梁顶面和 底面处画两条代表纵向纤维的纵向线 a a 和 b b ，在梁的两端施加外力偶 Me ， 使梁发生纯弯曲。此时可观察到下列现象：
MC
(b) 横截面
Fl 40 2 20 kN m 4 4
2) 截面对中性轴的惯性矩为
(c) M图
bh3 0.15m 0.33 m3 Iz 3.375 104 m4 12 12
第6章 杆件的应力与强度\梁弯曲时的应力与强度\梁弯曲时横截面上的正应力
3) 计算横截面C上a、b、c、d 四点处的正应力
MC ya 20 103 N m 0.15m 6 a 8 . 89 10 Pa 8.89MPa（拉应力） -4 4 IZ 3.375 10 m
b 0
c
MC yC Iz 20 103 N m 0.075m 6 （压应力） 4 . 44 10 Pa 4.44MPa -4 4 3.375 10 m
d a 8.89MPa（压应力）
▲ a、d 两点处的正应力也可以用
力也比较大，这样的点称为危险点。
拉压杆横截面上的正应力
∑ X = 0 , N 2 − N 1 cos 45
N1 = 2[P]
o
σ
2
=
N2 [P] = A A
=0
N1 45o C [P]
N2 = [ P ]
σ
1
[P]=Min{15,14.14} =14.14kN x
=
N1 = A
2[ P ] A
N2
A
α B
α C
σ max ≤ [ σ ]
N 4N = σ max = A πd 2 4N 4 × 266 × 10 3 d≥ = 6 = 53 .2 mm π[σ ] 3.14 × 120 × 10
P
支架 1、2杆的横截面积均为100mm2,许用拉应力[σ+]=200MPa, 许用压应力[σ-]=150MPa。计算许可荷载[P]。 A
max
为构件设计截面。
A
≤ [σ ] N max σ max = A N max ∴ A ≥ [σ ]
max
σ
∴ N
≤ [σ ] A
作动筒 校核活塞杆的 强度。 p Pmax=300kN, [σ]=300MPa, 退刀槽处的直径 d=44mm.
P
退刀槽
P
P
300 × 103 N max Pmax 解∶ = 197 MPa = 2 = σ max = 2 −6 π × 44 × 10 πd A 4 4 [ σ ] = 300MPa
∴ σ max ≤ [ σ ]
活塞杆符合拉伸的强度要求。
吊环 α=20o,P=500kN,[σ]=120MPa,求杆AB和AC的直径d. y 解∶ P ∑ Y = 0 P − 2 N cosα = 0
P
P N = 2 cos α 500 = = 266kN N 2 cos 20o
N1 = 2[P]
o
σ
2
=
N2 [P] = A A
=0
N1 45o C [P]
N2 = [ P ]
σ
1
[P]=Min{15,14.14} =14.14kN x
=
N1 = A
2[ P ] A
N2
A
α B
α C
σ max ≤ [ σ ]
N 4N = σ max = A πd 2 4N 4 × 266 × 10 3 d≥ = 6 = 53 .2 mm π[σ ] 3.14 × 120 × 10
P
支架 1、2杆的横截面积均为100mm2,许用拉应力[σ+]=200MPa, 许用压应力[σ-]=150MPa。计算许可荷载[P]。 A
max
为构件设计截面。
A
≤ [σ ] N max σ max = A N max ∴ A ≥ [σ ]
max
σ
∴ N
≤ [σ ] A
作动筒 校核活塞杆的 强度。 p Pmax=300kN, [σ]=300MPa, 退刀槽处的直径 d=44mm.
P
退刀槽
P
P
300 × 103 N max Pmax 解∶ = 197 MPa = 2 = σ max = 2 −6 π × 44 × 10 πd A 4 4 [ σ ] = 300MPa
∴ σ max ≤ [ σ ]
活塞杆符合拉伸的强度要求。
吊环 α=20o,P=500kN,[σ]=120MPa,求杆AB和AC的直径d. y 解∶ P ∑ Y = 0 P − 2 N cosα = 0
P
P N = 2 cos α 500 = = 266kN N 2 cos 20o
工程力学 第8章 杆件横截面上的正应力分析
2 A 2 A A
展开后，并利用静矩、惯性矩和惯性积的定义，得
I z1 = I z + 2aS z + a 2 A I y1 z1 = I y z + aS y + bSz + abA I y1 = I y + 2bS y + b 2 A
(8－17)
如果 y、z 轴通过图形形心，则上述各式中的 Sy＝Sz ＝0，于是，由上式得到
S z = AyC S y = Az C
(8－2)
或
ydA A S y ∫AzdA zC = = A A yC = Sz = A
∫
A
(8－3)
这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。 根据上述关于静矩的定义以及静矩与形心之间的关系可以看出：
n 静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对 某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐标轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标 轴，图形对其静矩等于零。 n 如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心在 某一坐标系中的位置，则可计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。
I P = ∫ r 2 dA,
A
(8－7)
为图形对于点 O 的截面二次极矩 或极惯性矩 （second polar moment of an area） 。 定义积分
I yz = ∫A yzd A,
பைடு நூலகம்
(8－8)
为图形对于通过点 O 的一对坐标轴 y、z 的惯性积 (product of inertia) 。 定义
(8－4)
再利用式（8－3） ，即可得组合图形的形心坐标：
S yC = z = A
∑Ay
展开后，并利用静矩、惯性矩和惯性积的定义，得
I z1 = I z + 2aS z + a 2 A I y1 z1 = I y z + aS y + bSz + abA I y1 = I y + 2bS y + b 2 A
(8－17)
如果 y、z 轴通过图形形心，则上述各式中的 Sy＝Sz ＝0，于是，由上式得到
S z = AyC S y = Az C
(8－2)
或
ydA A S y ∫AzdA zC = = A A yC = Sz = A
∫
A
(8－3)
这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。 根据上述关于静矩的定义以及静矩与形心之间的关系可以看出：
n 静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对 某些坐标轴静矩为正；对另外一些坐标轴静矩则可能为负；对于通过形心的坐标 轴，图形对其静矩等于零。 n 如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心在 某一坐标系中的位置，则可计算图形对于这一坐标系中坐标轴的静矩。
I P = ∫ r 2 dA,
A
(8－7)
为图形对于点 O 的截面二次极矩 或极惯性矩 （second polar moment of an area） 。 定义积分
I yz = ∫A yzd A,
பைடு நூலகம்
(8－8)
为图形对于通过点 O 的一对坐标轴 y、z 的惯性积 (product of inertia) 。 定义
(8－4)
再利用式（8－3） ，即可得组合图形的形心坐标：
S yC = z = A
∑Ay