密码学答案2

《密码学原理与实践(第三版)》课后习题参考答案(由华中科技大学信安09级提供)第二章2.1（何锐）解：依题意有：x ∈{2,…,12}，y ∈{D ，N} 计算Pr[x ，y]：Pr[2，D]=1/36 Pr[3，D]=0 Pr[4，D]=1/36 Pr[5，D]=0 Pr[6，D]=1/36 Pr[7，D]=0 Pr[8，D]=1/36 Pr[9，D]=0 Pr[10，D]=1/36 Pr[11，D]=0 Pr[12，D]=1/36Pr[2，N]=0 Pr[3，N]=1/18 Pr[4，N]=1/18 Pr[5，N]=1/9 Pr[6，N]=1/9 Pr[7，N]=1/6 Pr[8，N]=1/9 Pr[9，N]=1/9 Pr[10，N]=1/18 Pr[11，N]=1/18 Pr[12，N]=0 计算Pr[x | y]：有Pr[D]=1/6 Pr[N]=5/6Pr[2 | D]=1/6 Pr[3 | D]=0 Pr[4 | D]=1/6 Pr[5 | D]=0 Pr[6 | D]=1/6 Pr[7 | D]=0 Pr[8 | D]= 1/6 Pr[9 | D]=0 Pr[10 | D]= 1/6 Pr[11 | D]=0 Pr[12 | D]=1/6Pr[2 | N]=0 Pr[3 | N]=1/15 Pr[4 | N]=1/15 Pr[5 | N]=2/15 Pr[6 | N]=2/15 Pr[7 | N]=1/5 Pr[8 | N]=2/15 Pr[9 | N]=2/15 Pr[10 | N]=1/15 Pr[11 | N]=1/15 Pr[12 | N]=0 计算Pr[y | x]：Pr[D | 2]=1 Pr[D | 3]=0 Pr[D | 4]=1/3 Pr[D | 5]=0 Pr[D | 6]=1/5 Pr[D | 7]=0 Pr[D | 8]=1/5 Pr[D | 9]=0 Pr[D | 10]=1/3 Pr[D | 11]=0 Pr[D | 12]=1Pr[N | 2]=0 Pr[N | 3]=1 Pr[N | 4]=2/3 Pr[N | 5]=1 Pr[N | 6]=4/5 Pr[N | 7]=1 Pr[N | 8]=4/5 Pr[N | 9]=1 Pr[N | 10]=2/3 Pr[N | 11]=1 Pr[N | 12]=0 有上面的计算可得：Pr[D | x]Pr[x] = Pr[D]Pr[x | D] Pr[N | x]Pr[x] = Pr[N]Pr[x | N] 显然符合Bayes 定理。

2.2（王新宇）证明： 由P=C=K=z n ，对于1≤i ≤n,加密规则e i (j)=L(i,j)（1≤j ≤n)， 且每行的加密规则不同。

首先，计算C 的概率分布。

假设i ∈z n ，则)](Pr[i ]Pr[]Pr[dKj Z k K y y nk ∑∈====)](Pr[i n1d K j Z n k ∑∈==)](Pr[i n 1d K j Z nk ∑∈==由L 是n ×n 的矩阵，且n 个整数的每一个在L 的每一行和每一列中恰好出现一次。

则固定j ，有1)](Pr[i dK==∑∈j Z nk则对任意的i ∈zn，有n j 1]Pr[=对于任意的i ，j ，由满足e i(j)=L(i,j)的K 是唯一的，有]Pr[]|Pr[K i j =n 1=由Bayes 定理]Pr[]|Pr[]Pr[]|Pr[j i j i j i =nni 11]Pr[=]Pr[i =所以拉丁方密码体制具有完善保密性。

2.3（邹超第）(a)在仿射密码中，= =26,对于任意的K =(a,b)x,y26,加密函数e k (x )=(ax+b)mod26.解密函数d k (y)=a -1(y-b)mod26 首先计算的概率分布。

假设y26，则Pr[y =y ]=]=]=]固定y,a,则构成26的一个置换。

固定y,b,则构成26的另一个置换。

因此有=]= 1因此对于任意的Pr[y]=又对于任意的x,y，满足ek(x)=(ax+b)mod26的K是唯一的,所以Pr[y|x]=Pr[k=(a,b),使得(d k(y)=a-1(y-b)mod26)]=又由贝叶斯定理,可得:Pr[x|y]== Pr[x].因此改密码体制是完善保密性的.(b)由信息安全数学知识可以证明:a在26上存在乘法逆,当且仅当gcd（a,26）=1，并且其如果存在，则必唯一。

由数学知识可知Pr[a]=（见课本第八页。

）则Pr[a,b]=.同理可得：Pr[y=y]=]= ]=]=因此对于任意的Pr[y]=又Pr[y|x]=Pr[k=(a,b),使得(d k(y)=a-1(y-b)mod26)]=又由贝叶斯定理,可得:Pr[x|y]== Pr[x].因此在该密钥空间上,仿射密码密是完善保密性的.2.4（李亮）解：设该密码体制为（P，C，K，ε，D），P={a1,a2,……，an},K={K1,K2,……,Km},事先选取的固定的密钥概率分布为Pr[K1],Pr[K2],……,Pr[Km],且一个特定的明文概率分布为Pr0[a1],Pr0[a2],……,Pr[an],则：因为该密码体制对这个特定的明文概率分布具有完善保密性，所以对任意的x∈P,y∈C(y=ek(x),k∈K)有：Pr0[x|y]=(Pr0[x]Pr0[y|x])/Pr0[y]=Pr0[x]所以Pr0[y|x]=Pr0[y] 又Pr0[y|x]=Pr[k] 所以Pr0[y]=Pr[k]而密钥的概率是事先选定的所以y的概率分布固定对任意的明文概率分布Pr[a1],Pr[a2],……,Pr[an]选取任意的x∈P，y∈C且y=ek(x),k∈KPr[x|y]=(Pr[x]Pr[y|x])/Pr[y]=Pr[x]×Pr[k]/Pr[y]因为是同一个密码体制且y的概率分布固定所以Pr[k]/Pr[y]=1 即Pr[x|y]=Pr[x]所以对任意的明文概率分布这个密码体制仍然具有完善保密性2.5(陈佳）解：P定理2.4分析：参考书上41对于任意的P x ∈ 和 C y ∈，一定至少存在一个密钥k 满足y x e k =)(。

因此有不等式：|||}:)({|||K K k x e C k ≤∈=又因为||||K C =，因此|||}:)({|K K k x e k =∈也就是说，不存在两个不同的密钥1k 和2k 使得y x e x e k k ==)()(21。

因此对于P x ∈和C y ∈，刚好存在一个密钥k 使得y x e k =)(。

设||K n =。

设}1:{n i x P i ≤≤=并且固定一个密文C y ∈。

设密钥为n k k k ,...,,21，并且n i y x e i k i ≤≤=1,)(。

使用Bayes 定理，我们有]Pr[]Pr[]Pr[ ]Pr[]Pr[]|Pr[]|Pr[y x k K y x x y y x i i i i i ===考虑完善保密的条件]Pr[]|Pr[i i x y x =。

可得，n i y k i ≤≤=1],Pr[]Pr[。

也就是所所有密钥都是等概率使用的，即n k i /1]Pr[=。

对于任意C y ∈，则)](Pr[1)](Pr[1)](Pr[]Pr[]Pr[y d x n y d x n y d x k K y Y Kk k k K k Kk k ∑∑∑∈∈∈========因为对于P x ∈和C y ∈，刚好存在一个密钥k 使得y x e k =)(，所以1)](Pr[==∑∈y dx Kk k即： ny Y 1]Pr[==，每个密文都是等概率 2.5 解：由题知，对于任意的x ∈P 和y ∈C,一定至少存在一个密钥K 满足e k (x)=y, ∴有|C|=|{e k (x):k ∈K}|≤|K| 又∵|C|=|K| ∴一定有|{e k (x):k ∈K}|=|K|∴不存在两个不同的密钥k 1和k 2，使 e k1(x)=e k2(x)=y∴对于x ∈P ，y ∈C ，刚好存在一个密钥K 使得e k (x)=y 令n=|K|，设P=｛x i :1≤i ≤n ｝，并且固定一个密文y ∈C ，设密钥为k 1，k 2，.........K n ， 且有e ki (x i )=y ，1≤i ≤n ，由贝叶斯定理得： P r [x i |y]=﹙P r [y|x i ] P r [x i ]﹚／P r [y] 又已知明文、密文条件下，密钥固定 ∴P r [y|x i ]=P r [k=k i ]∴P r [x i |y]=﹙P r [k=k i ] P r [x i ]﹚／P r [y] 由完善保密性得： P r [x i |y]=P r [x i ]∴﹙P r [k=k i ] P r [x i ]﹚／P r [y]=P r [x i ] ∴P r [k=k i ]=P r [y]∴每个密钥等概率使用，P r [k]=1／n ∴每个密文都是等概率的 2.6 （范郢）解：由一次一密体制可知()mod 2'(')mod 2y x k y x k ≡+≡+两式相加得'('2)mod 2y y x x k +≡++所以有'(')mod 2y y x x +≡+因此'(')mod 2x x y y +≡+2.7（李渠）a.b．由一次一密有e k(X)=（X1+K1,……,X n+K n）mod2，明文、密文、密钥都是n位二进制数，共2n种，所以行列数都为2n，该矩阵为2n X2n矩阵。

且该矩阵中每行都是0至2n-1这2n个二进制数。

又由于该矩阵是定义在（Z2）n上的“一次一密”密码体制加密矩阵，所以对于e km(X n)而言，不会存在e ki(X n)或者e km(X j)等于e km(X n)，即对于矩阵中第m行、第n列的密文在该行与该列内没有与其相同的密文。

所以该矩阵是2n X2n矩阵，2n个元素在每一行和每一列恰好出现一次的阶为2n的拉丁方。

2.8（熊磊）A:编码方案：X={x1,x2, ……x n-1,x n,}对于x1到x 2k+1-n的x i，将i转化成k位的二进制数，作为x i的编码对于x 2k+1-n到x n的x i，将i-（2k+1-n）转化成k位的二进制数，再在前面加上一位置1，B:当n=6时，H(x)= -∑p[x i]㏒p[x i]= ㏒6≈2.5822≤6≤23，故k=2,其中2k+1-n=2,x1,x2编码为00,01，x3,x4,x5,x6依次编码为100,101,110,111，L(f)= (2*2+4*3)/6=8/3=2.62.9（靳淑蕉）解： Huffman编码得到的编码树如下：（令左分支编码为1，右分支编码为0)x ∈Xdbc该编码最后的平均长度为：L=0.32×2+0.23×2+0.20×2+0.15×3+0.10×3=0.25 和熵比较：H （X ） = - ∑ Pr[x]lbPr[x]= -（0.32lb0.32+0.23lb0.23+0.20lb0.20+0.15lb0.15+0.10lb0.10）≈ 0.221可以看出，编码的平均长度和熵很接近。