第一章解直角三角形复习最新版
解直角三角形讲义
解直角三角形初三下册第一章： 知识点总结：1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求位置元素的过程，就是解直角三角形。
（1） 三边关系：222c b a （2） 锐角关系：∠A+∠B=90°； ( 3 ) 边角关系：正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记sinA ,即sinA =c a余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记cosA ,即cosA=c b；正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记tanA ，即tanA=ba；特殊锐角的三角函数值① 同角三角函数的关系：平方关系：1cos sin 22 A A ; 商数关系：tanA=AAcos sin ②互余两角的三角函数关系：sinA=cosB; sinA=cos(90°-A) ; cosA=sin (90°-A ); tanA=cot(90°-A )2.实际问题仰角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角。
俯角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线下方时叫做俯角。
坡度（坡比）：坡面的铅垂高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度，记作i=h:l。
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,即i=h:l=tana.方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角。
方向角：从正北方向或正南方向到目标方向形成的小雨90°的角叫做方向角。
典型例题：题型一：特殊三角函数值1、计算2sin30°-sin245°+cot60°的结果是（）A、B、C、D、2、已知a=3，且（4tan 45°-b）2+=0，以a，b，c为边组成的三角形面积等于（）A、6B、7C、8D、93、已知a为锐角，且sin（a-10°）=，则a等于（）A、50°B、60°C、70°D、80°4、在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA等于（）A、B、C、D、5、如图，如果∠A是等边三角形的一个内角，那么cosA的值等于（）A、B、C、D、16、△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（）A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确定7、计算：sin213°+cos213°+sin60°-tan30°．8、求下列各式的值：（1）a、b、c是△ABC的三边，且满足a2=（c+b）（c-b）和4c-5b=0，求cosA+cosB的值；（2）已知A为锐角，且tanA=，求sin2A+2sinAcosA+cos2A的值．题型二：解直角三角形1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（）A、2B、C、2D、42、等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为（）A、cmB、cmC、2cmD、cm3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠D=120°，AB=8cm，则DC的长为（）A、cmB、cmC、cmD、8cm4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB为90°，CD⊥AB，cos∠BCD=，BD=1，则边AB的长是（）A、B、C、2 D、5、如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A、B、C、D、6、在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A、B、C、D、7、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（）A、5B、5C、5D、108、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值（）A、B、2 C、D、9、如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB=1，AD=2，则S△BCE为（）A、1B、C、D、10、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（）A、16B、18C、6D、711、如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=，点E在AB上，∠AED=45°，DE=6，CE=7．求：AE的长及sin∠BCE的值．12、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC 于F，连接EF．（1）证明：EF=CF；（2）当tan∠ADE=时，求EF的长．题型三：解直角三角形的应用1、如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元2、如图，AB是斜靠在墙上的长梯，D是梯上一点，梯脚B与墙脚的距离为1.6m（即BC的长），点D与墙的距离为1.4m（即DE的长），BD长为0.55m，则梯子的长为（）A、4.50mB、4.40mC、4.00mD、3.85m3、如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长BC为10m，则大树的长为（）m．A、5B、10C、15D、204、如图，小明同学在东西走向的文一路A处，测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上，在A 处往东90米的B处，又测得该服务点P在北偏东30°方向上，则该服务点P到文一路的距离PC为（）A、60米B、45米C、30米D、45米5、如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）6、如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）7、某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°（如图所示）．（1）求调整后楼梯AD的长；（2）求BD的长．（结果保留根号）8、某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝．其半圆形桥洞的横截面如图所示．已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i=1：3.7，桥下水深=5米．水面宽度CD=24米．设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上．求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．（参考数据：π≈3，≈1.7，tan15°=）题型四：坡度坡角问题及仰角俯角问题1、如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（）A、B、C、D、2、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A、5mB、6mC、7mD、8m3、周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A、36.21米B、37.71米C、40.98米D、42.48米4、一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B处测量时，测角器中的∠AOP=60°（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点B，F，D在同一直线上），这时测角器中的∠EO′P′=45°，那么小山的高度CD约为（）（注：数据≈1.732，≈1.414供计算时选用）A、68米B、70米C、121米D、123米5、如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为m，下列结论中，正确的是（）A、由楼顶望塔顶仰角为60°；B、由楼顶望塔基俯角为60°；C、由楼顶望塔顶仰角为30°；D、由楼顶望塔基俯角为30°6、已知小芳站在层高为2.5米的六层楼的屋顶上来估计旁边一支烟囱的高度，当小芳以俯角∠COB=45°向下看时，刚好可以看到烟囱的底部，当小芳以仰角∠AOB=30°向上看时，刚好可以看到烟囱的顶部，若小芳的身高为1.5米，请你估计烟囱的高度（=1.414，=1.732结果保留三个有效数字）（）A、22.1米B、26.0米C、27.9米D、32.8米7、如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于多少度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．8、如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为（即AB：BC=），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．题型五：方向角问题1、如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A、7海里B、14海里C、7海里D、14海里2、在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（）A、北偏东20°方向上B、北偏西20°方向上C、北偏西30°方向上D、北偏西40°方向上3、如图，小亮家到学校有两条路，一条沿北偏东45°方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走100米，到学校后门；若两条路程相等，学校南北走向，学校后门在小明家北偏东67.5°处，学校前门到后门的距离是（）A、100米B、米C、米D、米4、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）5、如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°=0.75）．6、如图所示，一艘轮船以30海里/小时的速度向正北方向航行，在A处得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处时测得灯塔C在北偏西45°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）．7如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里∕时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行，上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C 处在D处得北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里∕时，参考数据≈1.41，≈1.73）8、（2010•陕西）在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离，如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P在点P处测得码头A位于点P北偏西方向30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A与B的距离．练习作业：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）A、7sin35°B、C、7cos35°D、7tan35°2、Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．那么c等于（）A、acos A+bsin BB、asin A+bsin BC、D、3、如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）A、B、C、D、4、如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角α为（）A、15°B、20°C、30°D、45°5、如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值是（）A、B、C、D、6、如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55度．要使A，C，E成一直线．那么开挖点E离点D的距离是（）A、500sin55°米B、500cos55°米C、500tan55°米D、500cot55°米7、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AD的长为（）A、3 B、C、D、8、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．（1）求sin∠DBC的值；（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积．9、路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120°角，锥形灯罩的轴线AD 与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线（D在中心线上）．已知点C与点D之间的距离为12米，求灯柱BC的高．（结果保留根号）10、如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）．11、如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角(教案)
本节课将重点围绕方位角的求解与应用进行复习巩固，提高学生解决实际问题的能力。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标致力于培养学生的以下能力：
1.理解并运用数学知识：通过复习直角三角形的性质和解直角三角形的方法，加深对几何知识的理解和应用，提高解决实际问题的能力；
难点解释：学生在理解三角函数的概念时，容易混淆正弦、余弦、正切函数的定义及其应用场景。
（2）空间想象能力的培养：在求解方位角时，需要学生在脑海中构建直角三角形的空间模型。
难点解释：学生在解决方位角问题时，往往难以在脑海中形成清晰的空间图像，导致解题困难。
（3）实际问题的解决：将数学知识应用于实际情境，解决现实问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调解直角三角形的方法和方位角的计算这两个重点。对于难点部分，我会通过具体例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与方位角相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过测量和计算，演示方位角的基本原理。
第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习-方位角（教案）
一、教学内容
本节课为九年级数学课程，选取教材中“第一章直角三角形的边角关系-解直角三角形的应用复习”部分进行深入讲解。内容包括：
1.复习直角三角形的定义及性质；
2.掌握解直角三角形的方法；
3.介绍方位角的概念及应用；
4.通过实际例题，让学生掌握利用解直角三角形的方法求解方位角；
2.数学思维能力：在方位角的求解过程中，锻炼学生的逻辑推理和空间想象能力，提升数学思维水平；
九年级数学下册 第一章第三节《解直角三角形》复习 课件 浙教版
• 正半轴,终边经过点(3,4),则sinA=
,
• cosA=
,tanA=
.
当堂训练二
1，在Rt△ABC中，如果各边都扩大2倍，则锐角A的正
弦值和余弦值（
A）
A，都不变 B，都扩大2倍 C，都缩小2倍 D，不确定。
2，在△ABC中，若 sinA= √,22tanB=√3，则∠C=
75°
4，如果α和β都是锐角，且sinα= cosβ，
A
D
B
C
坡度i与坡角α之间 具有什么关系？
答：i=hl =t an
一段坡面的坡角为60°，则坡度 i=______；
______，坡角α______度．
创设情景：
同学们，如果你是加固水库大坝的工程
师，现在有这样一个问题请你解决：
水库大坝的横断面是梯 BC
形，坝顶宽6m，坝高23m，
斜坡AB的坡度i=1∶3， i=1:3 斜坡CD的坡度i=1∶2.5，
B
当堂训练二
３，由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘 暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向 240km的B处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙 尘暴中心150km的范围为受影响区域。
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
1 absinα 2
是a，b的夹角
角度
三、特殊角三角函数值
逐渐
增大
正
弦
角度
三角函数
3 0° 45 ° 6 0°
值余
正弦
值何余值何正值何化化如变弦如变切如变??
sinα
浙教版数学九下第1章解直角三角形复习课课件
，β为锐角，则β=__4_0_°
2、已知A是锐角，且tanA=3,则
3、在Rt△ABC中，∠C=90°cosB= ,则sinB的值为__ ；
4、已知锐角A的顶点在原点,始边为x轴的正半轴,终边
经过点(3,4),则sinA= ,cosA=
；tanA= ；
练一练
5、在Rt△ABC中，如果各边都扩大2倍，则锐角A的正弦
C、已知斜边和一个锐角
D、已知两直角边
2、在△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解这个直角三角形。
(1)若∠A=300，b=10,则a=
,c=
;
(2)若sinA= 4 ，c=x+2,a=x,则b= 5
，cosA= ;
(3)∠A=300，斜边上的高CD= 3 ,则AB=
；
例2、如图学校里有一块三角形形状的花圃ABC,现测得 ∠A=30°, AC=40m,BC=25m,请你帮助计算一下这块花 圃的面积?
非直角三角形:添设辅助线转化为 解直角三角形
解直角三角形
h
1、坡度 i＝ ＝ tanα（α为坡角）
l
视线
h α
l
2、仰角和俯角
铅
仰角
直
线
俯角
水平线
视线
解直角三角形
解直角三角形的两种基本图形：
A
A
B
D
C
B
C
D
试一试
1、在下列直角三角形中，不能解的是（ B ）
A、知一直角边和所对的角 B、已知两个锐角
A
D
B
C
二、解直角三角形
1、三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
解直角三角形 一复习教案
解直角三角形 一教学目标1.掌握锐角三角函数的有关性质；2.掌握特殊角的三角函数值，并会利用进行简单的计算；3.会解直角三角形.教学过程师：（画出图形）图中有几个直角三角形？（生答）AC BC 与AEDE的值有何关系？为什么？（一生答）师：由此可见，在直角三角形中，当某个锐角的度数相等时，它的对边与相邻直角边的比值是一个定值，我们把这个定值叫做这个角的正切值.由上图你还发现了什么？（学生说出正弦、余弦的概念）（注意说明：三角函数值只与角的度数有关，与所在的三角形无关）考点一、锐角三角函数【处理办法】1.由图让学生分别表示出A ∠、B ∠的三个三角函数值； 2.得出锐角三角函数的有关性质.【教师说明】1.如何记住三角函数的概念？（正弦值是正对的边与弦的比值，余弦值是余下的直角边与弦的比值，正切值是正对的直角边与相邻直角边的比值）2.三角函数的增减性.如：sinA=ca，当a 不变时，随着点A 向点C 逐渐靠近，A ∠逐渐变大，斜边逐渐变短（让学生从图中直接观察发现），在0°----90°之间，正弦值随着角度的增大而增大；由于a<c, 故 sinA<1.其它类似得出.为便于学生记忆可告知：正弦、正切中有“正”，故成正比，即正弦、正切值随着角度的增大而增大.3.互为余角的三角函数关系：sinA=cosB ，cosA=sinB ；同角的三角函数关系：平方关系sin 2A+cos 2A=1,商数关系：tanA=AAcos sin .(可由直角三角形图形去记） 例（2015•淄博）若锐角α满足cosα＜22且tanα＜3，则α的范围是（ ） A ．30°＜α＜45° B ．45°＜α＜60° C ．60°＜α＜90° D ．30°＜α＜60° 【说明】教师说明思路即可.答案：B.考点二、特殊角的三角函数值【教师说明】可采用两种方法记住：（1）直观法，由左图及三角函数概念记住.(2)规律法，由右图表格中规律记住.（记30°、60°角正切值时，由增减性知角度大时为3）训练：（展示）1.（2013孝感）式子2)60tan 1(45tan 30cos 2︒--︒-︒的值是（ ） A. 23 －2 B. 0 C. 23 D.22.（2014四川凉山）在△ABC 中，若0)tan 1(21cos 2=-+-B A ，则∠C 的度数是（ ） A. 45° B. 60° C. 75° D. 105° 3.（2015•甘肃武威）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣|+ =0，则α+β= ．4.（2011兰州）已知α是锐角，且sin(α+15°)=3计算1184cos ( 3.14)tan 3απα-⎛⎫---++ ⎪⎝⎭的值.【处理办法】前三道题一生回答并说明理由即可，第4题找两生黑板上做，其他学生在练习本上给出解题过程.【参考答案】1.B 2.C 3.75° 4.由sin(α+15°)=32得α=45°后代入求出原式=3. 考点三、解直角三角形【教师说明】解直角三角形就是根据已知条件（除直角外另两个条件其中至少有一个是边）利用锐角三角函数的概念、锐角三角函数间的关系、直角三角形中的边角关系求出未知边、角的过程.若图形中没有直角三角形，可通过作垂线构造出直角三角形.（一）直接求例（2011宜昌）如图是教学用直角三角板，边AC=30cm ，∠C=90°，tan ∠BAC=33,则边BC 的长为( )α 30°45°60°sin α 2122 23cos α 23 2221 tan α33 13A. 303cmB. 203cmC.103cmD. 53cm 【答案】C.（二）构造直角三角形例1（2015•山东日照）如图，在直角△BAD 中，延长斜边BD 到点C ，使DC=BD ，连接AC ，若tanB=，则tan ∠CAD 的值（ ）A ．B ．C ．D ．【说明】引导学生思考∠CAD 在直角三角形中吗？要构造出直角三角形有哪些方法？哪种方法能与已知条件联系起来？【答案】过点C 作AD 的垂线求出.选D.另：本题也可采用度量估算的方法.例2(展示）（2010咸宁市）如图，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离 都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= ．【处理办法】学生思考、讨论、回答. 必要时教师引导.（引导语：1.要求sin α=?,必须放到直角三角形中，如何构造直角三角形？2.题中有“距离”如何应用上距离是1？）【提示】教师讲解时可与基本图形联系起来. 【参考答案】（1）过点D 作平行线的垂线，利用三角形全等、勾股定理求出.（2）利用平行线分线段成比例定理知AB 被平分，在小直角三角形中直接求出.答案：5训练：（展示）1.在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则B sin 的值是( ) A ．1475 B ．53 C ．721 D ．14212.（2014山东威海）如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是（ ）A ．10103 B ．21C ．31D ．10103.（2015•浙江湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2， tan∠OAB=21，则AB的长是( )A. 4B. 23C. 8D. 43【处理办法】学生充分思考、交流后，教师再给以强调说明.【参考答案】1. D（说明：出现120°角时想到60°角，要求Bsin的值必须出现直角三角形）2.D(提示：过点B作AO的垂线，求出垂线段的长即可，注意垂线段的长用面积来求简单.也可延长OB交到第一个格点，连接点A和这个格点，得到直角三角形）（三）等角的转移例（2015•山东聊城改）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BC垂直于PD，交PD的延长线于点C，若PA=2，cosB=53，求⊙O半径的长．【说明】连接OD，把∠B转到∠POD后求出.【答案】3.训练：1.（2011兰州）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC＇B＇，则tanB＇的值为 ( )A．12B．13C．14D．24第1题图第2题图2.（2011芜湖）如图，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O (0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为( ).A．12B．34C．32D．453.（2014苏州）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8.若∠BPC=21∠BAC，则tan∠BPC= . 【答案】1.B 2.C(提示：把B∠转化到直角三角形中） 3.34（提示：①以点A为圆心，AB为半径作圆，然后把∠BPC转移到直角三角形中；②过点A作BC的垂线AD，求∠CAD的正切值即可.）回顾本节内容（学生回顾后教师展示）⎪⎩⎪⎨⎧解简单的直角三角形特殊角的三角函数值性质锐角三角函数的概念与解直角三角形。
浙教版九年级下《第一章解直角三角形》期末复习试卷(含解析)
期末复习：浙教版九年级数学学下册第一章解直角三角形一、单选题（共10题；共30分）1.在△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，BC=3，那么cosB的值是（）A. √32B. √55C. √33D. 122.已知tanA=1，则锐角A的度数是A. 30°B . 45° C.60° D.75°3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AC＝2，则cosA的值为( )A. √55B. 2√55C. 12D. 24.如图，其中A，B，C三地在同一直线上，D地在A地北偏东30°方向、在C地北偏西45°方向．C 地在A地北偏东75°方向．且BD=BC=30cm．从A地到D地的距离是（）A. 30 √3 mB. 20 √5m C. 30 √2m D. 15 √6 m5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=2，BC=1，则sin∠ACD=（）A. √53B. 2√55C. √52D. 236.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海里C到航线AB的距离CD是（）A. 20海里B. 40海里 C. 20√3海里 D. 40√3海里7.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）A. msin35°B. mcos35°C. msin35°D. mcos35°8.若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是（）A. 24°B . 34° C.44° D.46°，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的9.如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C= 34速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A. 18cm2B. 12cm2C. 9cm2D. 3cm210.如图，已知mm是△mmm的角平分线，mm是mm的垂直平分线，∠mmm=90°，mm=3，则mm的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 3√3二、填空题（共8题；共24分）11.计算：3tan30°+sin45°=________．）﹣2﹣|1﹣√3 |﹣（π﹣2015）0﹣2sin60°+ √12 =________．12.计算：（12，那么∠A=________゜．13.如果∠A是锐角，且sinA= 1214.B在A北偏东30°方向（距A）2千米处，C在B的正东方向（距B）2千米处，则C和A之间的距离为________ 千米．15.如图，在平面直角坐标系xOy内有一点Q（3，4），那么射线OQ与x轴正半轴的夹角α的余弦值是________，则BC的长是________16.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=8，sinA=3417.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是________．x于点B1， B2，18.如图，点A1（1，1）在直线y=x上，过点A1分别作y轴、x轴的平行线交直线y= √32x于点B3，…，按过点B2作y轴的平行线交直线y=x于点A2，过点A2作x轴的平行线交直线y= √32照此规律进行下去，则点A n的横坐标为________．三、解答题（共9题；共66分）19.计算：√12−|−2|+(1−√3)0−9tan30°20.甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以12海里/时的速度向北偏东35°航行，乙船向南偏东55°航行，2小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C、B两船相距30海里，问乙船的速度是每小时多少海里？21.某游乐场一转角滑梯如图所示，滑梯立柱mm,mm均垂直于地面，点m在线段mm上.在m点测得点m的仰角为300，点m的俯角也为300，测得m,m间的距离为10米，立柱mm高30米.求立柱mm 的高（结果保留根号）.22.小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°（B,F,D在同一条直线上）。
第一章 直角三角形的边角关系 解直角三角形及其应用复习(含答案)
解直角三角形及其应用1. 定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2. 直角三角形的边角关系：如图:（3）边角之间的关系：3. 解直角三角形的四种基本类型：如下图：已知直角三角形的两个基本元素（至少有一个是边），利用以上关系就可以求出其余的未知元素，其中恰当地选用边角关系是关键。
应注意以下原则：（1）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”。
（2）尽量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法运算求未知元素。
（3）尽量使用原始数据：以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新的误差。
4. 几个常用概念：（1）仰角：在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角。
（2）俯角：在测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角叫俯角。
（3）坡度：（坡比）如图:坡面的铅直高度（h）和水平长度（l）的比，叫做坡面的坡度。
（4）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
坡度越大，坡角越大，坡面越陡。
（5）方向角（如图）OA：北偏东30°OB：东南方（南偏东45°）OC：南偏西70°OD：北偏西60°东西与南北方向线互相垂直。
5. 运用解直角三角形的方法解决实际问题：基本思路：要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。
（即构建数学模型：直角三角形），才能运用解直角三角形的方法求解。
一般有以下几个步骤：（1）审题：根据题意画出正确的平面图或截面示意图，在图形中弄清已知和未知。
（2）将已知条件转化为示意图中的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题。
（3）选择适当关系式解直角三角形。
典型例题例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：（1）a＝8，b＝6（2）c＝16，∠A＝32°分析：略解：例2. 如图某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，可以将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度（精确到1cm）。
九年级下第一章解直角三角形专项练习5
第1章 解直角三角形 专项练习一．填空题（每题4分;计40分)1．已知是等腰直角三角形的一个锐角;则sin α的值为（ ）A ．12 B ．22 C ．32D ．1 2．在Rt ABC △中;90C ∠=;5BC =;15AC =;则A ∠=（ ） A ．90 B ．60 C ．45 D ．303．在△ABC 中;∠C ＝90°;tan A ＝31;则sin B ＝ （ ）A ．1010B ．32C ．43D ．101034．如图;在Rt ABC △中;CD 是斜边AB 上的中线;已知2CD =; 3AC =;则sin B 的值是（ ） A ．23 B ．32 C ．34 D ．435．在正方形网格中;ABC △的位置如右图所示; 则cos B ∠的值为（ ） A ．12B ．22C ．32D ．336、若0°＜α＜90°;则的值等于（ ）。
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）37、下列各式正确的是（ ）（A ）sin20°＋sin20°＝sin40° （B ）ctg31°＝tg （90°－59°）（C ）sin 2A ＋cos 2（90°－A ）＝1 （D ）sin 2B A +＝cos 2C（其中A+B+C ＝180°） 8 如图2所示;Rt △ABC ∽Rt △DEF ;则cosE 的值等于（ ）A.122339．如图;AC 是电杆AB 的一根拉线;测得BC =6米;∠ACB =52°;则拉线AC 的长为( ) A. ︒526sin 米 B. ︒526tan 米 C. 6·cos 52°米 D. ︒526cos 米 10．在△ABC 中;∠A=60°3;那么∠B 为（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°或150°D ．30° 二．填空题（每题5分;计20分）11．如图所示;某河堤的横断面是梯形ABCD ;BC AD ∥;迎水坡AB 长13米;且12tan 5BAE ∠=;则河堤的高BE 为 米． 12．如图;小明同学在东西方向的环海路A 处;测得海中灯塔P 在北偏东60°方向上;在A 处东500米的BC ABD（第4题图） ABC┐第9题处;测得海中灯塔P 在北偏东30°方向上;则灯塔P 到环海路的距离PC ＝ 米（用根号表示）．13． 一棵树因雪灾于A 处折断;如图所示;测得树梢触地点B 到树根C 处的距离为4米;∠ABC 约45°;树干AC 垂直于地面;那么此树在未折断之前的高度约为 米（答案可保留根号）．14.如图;小明在楼顶处测得对面大楼楼顶点C 处的仰角为52°;楼底点处的俯角为13°．若两座楼AB 与CD 相距60米;则楼CD 的高度约为 米．（结果保留三个有效数字）（sin130.2250︒≈;cos130.9744≈;tan130.2309≈;sin 520.7880≈;cos520.6157≈;tan52 1.2799≈） 三．解答题(计90分）15.计算（每题6分;计12分）(1)cos 245°+sin60°·tan30°－)30tan 1(-(2)230sin 430cos 45tan 60sin -+16.（每小题7分;共14分）在Rt △ABC 中;∠C ＝90° (1)、已知∠A ＝60°;b ＝310;求a 、c;(2)c ＝32;b ＝3;求a 、A17（10分）18、如图;三角形△ABC 中;∠B ＝45°;∠C ＝60°;AB ＝23;AD ⊥BC 于D;求CDPA BC30°60°北（第12题）BC DEA 第11题图 DBC1352A60米AB CD第13题图第14题图18..(10分）如图9;山顶建有一座铁塔;塔高CD=30m;某人在点A 处测得塔底C 的仰角为200塔顶D 的仰角为23°;求此人距CD 的水平距离AB 。
解直角三角形(复习课)课件
结合勾股定理和三角函数计算直角三 角形中的未知量。
利用给定的条件，设计合理的方案解 决实际问题，如设计桥梁、建筑等结 构的支撑体系。
06
复习与总结
重点回顾
直角三角形的定义与性质
回顾直角三角形的定义、性质和判定条件，理解其在几何图形中 的重要地位。
求解角度。
常见错误分析
混淆边和角
在解题过程中，有时会混淆边和角，导致计算错误。
忽视勾股定理的条件
在使用勾股定理时，需要确保三角形是直角三角形，否则会导致错 误。
角度范围错误
在计算角度时，需要注意角度的范围，避免出现负角度或超过180 度的角度。
解题方法总结
勾股定理法
适用于已知两边长度， 求第三边长度的情况。
船只安全航行。
物理实验
测量角度
在物理实验中，经常需要测量各 种角度。解直角三角形的方法可 以用来计算这些角度，确保实验
结果的准确性。
计算力的大小
在物理实验中，经常需要计算力的 大小。通过解直角三角形，可以精 确地计算出力的大小，确保实验结 果的可靠性。
确定物体的位置
在物理实验中，物体的位置是非常 重要的。通过解直角三角形，可以 计算出物体的位置，确保实验的准 确性和可靠性。
04
解题技巧与策略
解题思路
01
02
03
04
明确问题要求
首先需要理解题目的要求，确 定需要求解的是什么。
选择合适的三角形
根据问题描述，选择一个合适 的直角三角形来解决问题。
利用勾股定理
在直角三角形中，勾股定理是 一个重要的工具，可以帮助我
们求解边长。
第1章解直角三角形复习2
第24讲┃ 回归教材
回归教材
航海中的数学问题
第24讲┃ 回归教材
如图24－6，海中有一个小岛A，该岛四周10海里内有暗 礁．今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处， 往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处，之后，货轮 继续往东航行．你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危 险吗？你是如何想的？与同伴进行交流．
(2) s同in角A2的A正+t弦a余nA弦平tba方n和B等-2于+C1cos2A=(0)
⑶ tan44°tan46°=( 1 ).
sinA=cos（90°- A ）=(4c)otsa互Bn余2两9°个角ta的n三60角°函t数a关n6系1°=( 3 ).
cosA=sin（90°- A）=(5s)insiBn53°cos37°+cos53°sin37°
增
0<cosA<1
☆ 应用练习
1.已知角，求函数值
求下列各式的值
1. 2sin30°+3tan30°+tan45°
=2 + d3 =2
= 3 - 2o 2
2. cos245°+ tan60°cos30°
cos 45o sin 30o 3. cos 45o sin 30o
☆ 应用练习
1.已知角，求函数值 2.已知函数值，求角
∠A=60°
求锐角A的值
1. 已知 tanA=3 ，求锐角A .
2. 已知2cosA - 3 = 0 ,
求锐角A的度数 .
解：∵ 2cosA - 3 = 0 ∴ 2cosA = 3
∴cosA= 3 ∴∠A= 30°
2
☆ 应用练习
1.已知角，求值 2.已知值，求角 3. 确定函数值的范围
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如果这辆坦克能够爬300 的斜坡，试问：它能不能通过这座
小山？
B
565米
A
1000米
C
2、外国船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的 区域。如图，设A、B是我们的观察站，A和B之间的距离为 160海里，海岸线是过A、B的一条直线。一外国船只在P点， 在A点测得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问此时 是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
A 邻边b
B
对边
a
┏ C
〖达标练习一〗
1在下列直角三角形中，不能解的是（B ）
A 已知一直角边和所对的角 B 已知两个锐角
C 已知斜边和一个锐角
D 已知两直角边
2在△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解这个直角三角形。
⑴⑵∠A=600，斜a+边b=上3+的3高. CD= 3 ； B
C┓
D 600
A
〖达标练习二〗
如图，在△ABC中，已知AC=6，∠C=75°，
A
⌒
∠B=45°，求△ABC的面积。
D 60°
450
75°
B
C
⑵求证: ABCD的面积S=AB ·BC ·sinB(∠B为锐角)。
A
D
┓
B
E
C
〖达标练习三〗
1、 我军某部在一次野外训练中，有一辆坦克准备通过一座
小山，已知山脚和山顶的水平距离为1000米，山高为565米，
P
45° A
┓ 60° B C
3、 山顶上有一旗杆，在地面上一点A处测得杆顶B的俯角α =600，杆底C的俯角β =450，已知旗杆高BC=20米，求山高 CD。
B
C D┓
45° 30° A
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
〖 目
标
抽象出图形，再 三
添设辅助线求解 〗
在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B为锐角，
c a c 它们所对的边分别为 、 、b ，其中除直角 外，
其余的5个元素之间有以下关系：
B
⑴ 三边之间的关系：a2b2c2
c
⑵ 锐角之间的关系：AB90 0
⑶ 边角之间的关系：
A
b
a
┏ C
siA n a,co A sb,tgA a,ct gb;A
c
cb a
siB n b,co B sa,tgB b,ct ga.B
c
ca b
在Rt△ABC中，∠C=90°：
⑴已知∠A、 c, 则a=__c__s__i_nA___;b=_c__c__o__A_s_。
已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦；
求邻边，用锐角的余弦。 b
⑵已知∠A、 b, 则a=__b___t_g__A__;c=___c_o_s__A__。
已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切；
求斜边，用锐角的余弦。 a
⑶已知∠A、 a，则b=__a__c_t_g__A__;c=___s_in__A___。斜边
已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的余切；
c
求斜边，用锐角的正弦。
⑷已知a、b，则c=___a__2___b_2_。
⑸已知a、c，则b=___c_2___a_2__ 。
单元知识网络
知斜边一锐角解
直角三角形
解 直 直角 角 三角 三 形的 角 边角 形 关系
解直 角三 角形
知一边一锐角 解直角三角形
知两边解直角 三角形
知一直角边一锐 〖
角解直角三角形 目
标
知两直角边解 一
直角三角形
〗
Hale Waihona Puke 知一斜边一直角添设辅助线解
边解直角三角形
直角三角形 〖目标二〗
实际应用
直接抽象出直角 三角形