讲平面立体的投影
3立体的投影
3.1 投影实例 3.2 平面立体、曲面立 体的投影 3.3 平面截割立体 3.4 立体的相贯线
3.2.1 平面立体
平面立体简称平面体； 平面立体的特点：
各个表面都是平面图形，各平面图形均由棱线围成， 棱线又由其端点确定。 因此，平面立体的投影是由围成它的各平面图形的 投影表示的，其实质是作各棱线与端点的投影。
圆柱体的投影分析（回转轴垂直于H面）
正面投影的左、右边 线分别是圆柱最左、最右 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为前、 后两半，他们在W面上的投 影与回转轴的投影重合。
侧面投影的左、右边 线分别是圆柱最前、最后 的两条轮廓素线的投影， 这两条素线把圆柱分为左、 右两半，他们在V面上的投 影与回转轴的投影重合。
回转轴 母线
回转曲面的有关概念
O
素线：母线在曲面上
的任意位置都称为素
纬 圆 线。
纬圆：母线上任意点 的运动轨迹都是一个 垂直于回转轴且中心 在回转轴上的圆，这 轮廓素线 种圆就称为纬圆。 O1
3.2.3.1 圆柱及其表面点
OO’ AA’
圆柱的形成： 圆柱面是由两条相互平行的 直线，其中一条直线AA’ （称为直母线）绕另一条直 线OO’（称为轴线）旋转一 周而形成。圆柱体由两个相 互平行的底平面和圆柱面围 成。圆柱面上的与OO’平行 的直线，称为柱面上的素线， 每根素线都与轴线平行且等 距,而且任两根素线都互相平 行，当用一垂直于轴线的平 面截断圆柱面时，每个截断 面都是等直径的圆。
m'
纬圆法
m
§3-3 切割体的投影
一、切割体及截交线的概念
• 切割体——基本体被平面截切后的部分 • 截平面——截切立体的平面 • 截断面——立体被截切后的断面 • 截交线——截平面与立体表面的交线
基本立体的投影及其表面取点
作图。
(a)
图3.5 正三棱锥表面取点
(b)
方法一：过M点在△SAB上作AB的辅助平行线ⅠM，即1’m’‖a’b’，再作1m‖ab，求出m， 再根据m、m求出m″（如图3.5a）所示；
方法二：过锥顶S和点M作一辅助线SⅡ，然后求出点M的水平投影m（如图3.5b）。 可见性判断：同棱柱。
2.圆锥 (1) 圆锥的形成 如图3.8a可知，圆锥的表面由圆锥曲面和底面圆组成。圆锥面可以看成是一直线OA绕与 其相交的轴线OO1旋转而成。圆锥面上通过锥顶S的任一直线都是圆锥面的素线。
(a) (c)
(b) 图3.8 圆锥的投影
(2)投影分析 由图3.8b可知，底面平行于H面的圆锥，其正面投影和侧面投影
(3)画法 首先画出圆柱在各个投影位置上的轴线和底圆的对称中心线，其 次画出投影为圆的圆的视图——俯视图，最后根据圆柱高及投影的 外形轮廓素线画出其余两个视图。注意：绘制回转体投影时，必须 画出轴线和对称中心线。根据国家标准的规定，轴线和对称中心线 应采用细点画线画出，且要超出轮廓线2～5 mm，如图3.6c所示。 (4)圆柱表面上取点 轴线处于特殊位置的圆柱，其圆柱面在与轴线垂直的投影面上的
1.2曲面立体的投影及其表面上取点 表面均为曲面，或由曲面和平面共同围成的基本立体称为曲面立体。常见的曲面立体多为
回转体。回转体是由一母线（直线或曲线）绕以固定的轴线ห้องสมุดไป่ตู้回转运动所形成。常见的回 转体包括圆柱、圆锥、圆环和球等。
1.圆柱 （1）圆柱的形成 圆柱体表面是由圆柱面和上下两圆形底面所组成。圆柱面可以看成是由直线AA1绕与它平 行的轴线OO1旋转而成的回转面，如图3.6a所示。直线AA1为母线，它在圆柱面上任一位 置称为素线。
初中数学 立体图形的投影有哪些种类
初中数学立体图形的投影有哪些种类立体图形的投影有多种类型，下面将详细介绍常见的立体图形投影种类及其特点。
1. 平行投影：平行投影是将立体图形在平行投影平面上投影的一种方法。
在平行投影中，投影线与投影平面平行，保持了立体图形的形状和大小不变。
平行投影常见的类型有水平投影和垂直投影。
-水平投影：将立体图形在水平投影平面上的投影表示。
水平投影平面与水平面平行，可用于绘制建筑平面图、地图等。
-垂直投影：将立体图形在垂直投影平面上的投影表示。
垂直投影平面与竖直面平行，常用于绘制柱体、棱柱等图形的投影。
2. 透视投影：透视投影是将立体图形在透视投影平面上投影的一种方法。
在透视投影中，投影线汇聚到一个点，即透视中心。
透视投影能够呈现出逼真的立体感。
-单点透视投影：将立体图形在单点透视投影平面上的投影表示。
透视投影平面与图形所在平面垂直，透视中心位于水平方向上的中心位置。
单点透视投影常用于绘画、建筑设计等领域。
-双点透视投影：将立体图形在双点透视投影平面上的投影表示。
透视投影平面与图形所在平面垂直，透视中心位于水平方向上的两个点。
双点透视投影常用于绘制建筑物、室内设计等。
3. 立体视图：立体视图是将立体图形在三个相互垂直的投影平面上的投影表示。
立体视图包括前视图、俯视图和侧视图。
-前视图：将立体图形在正面投影平面上的投影表示。
前视图能够清晰地显示出立体图形的形状和尺寸。
-俯视图：将立体图形在上方投影平面上的投影表示。
俯视图能够展示出立体图形的平面形状和布局。
-侧视图：将立体图形在侧面投影平面上的投影表示。
侧视图能够展示出立体图形的高度和厚度。
立体图形的投影种类多样，每种投影方法都有其特点和应用领域。
通过选择合适的投影方法和投影平面，可以准确地表示立体图形在二维投影平面上的形状和尺寸。
平面立体的投影 棱锥的投影特性及绘制
棱锥的投影特性及绘制
1、棱锥的组成
(1)定义： 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点 的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
(2)组成： 棱锥的底面:棱锥中的多边形叫做棱锥的底面。 棱锥的棱面:棱锥中除底面以外的各个面都叫做棱锥的侧面。 棱锥的侧棱:相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。 棱锥的顶点:棱锥中各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 棱锥的高:棱锥的顶点到底面的距离叫做棱锥的高。
棱锥的投影特性及绘制
2、棱锥的投影特性
两个三角形
一个多边形
棱锥的投影特性及绘制
2、棱锥的投影特性
两个三角形
一个多边形
棱锥的投影特性及绘制
2、棱锥的投影特性
sபைடு நூலகம்
s
b b
ac s
c (b ) c
a
S
a
B
C
A
一个投影为多边形，另外
两个投影轮廓线为三角形。
棱锥的投影特性及绘制
3、棱锥的投影绘制
棱锥的投影标注
棱锥的投影特征及绘制
目录 CONTENTS
棱锥的投影特征及绘制 棱锥表面上的点的投影及绘制
棱锥的投影特性及绘制
绘制平面立体的投影，只要找出属于平面立体上的各棱面、 棱线和顶点的投影，并判别可见性，就能绘制其投影图。实质就 是绘制出平面图形、直线和点的投影。
判断可见性的方法，是按各个投影方向将那些处于可见位置 的轮廓线用粗实线表示，而不可见位置的轮廓线用虚线表示。
课程总结
课后小结
01 棱锥的组成 02 棱锥的投影特性 03 棱锥的投影绘制
初中数学 立体图形的投影有哪些种类
初中数学立体图形的投影有哪些种类立体图形的投影是几何学中的重要概念之一，它描述了一个三维物体在二维平面上的影像。
在初中数学中，我们通常学习了三种常见的立体图形投影，分别是平面投影、正交投影和斜投影。
下面我将为你详细介绍这三种投影的概念和特点。
一、平面投影平面投影是指将一个三维物体的影像投影到一个平面上。
根据投影方向的不同，平面投影又可以分为正射投影和斜投影两种。
1. 正射投影：正射投影是指投影线与投影面垂直的投影方式。
在正射投影中，投影线与物体表面的夹角保持不变，因此在投影图中能够保持物体的真实形状和大小。
常见的正射投影包括俯视图、正视图和侧视图。
-俯视图：俯视图是指将物体从正上方看向投影面，也就是将物体在垂直方向上的投影。
在俯视图中，物体的顶面和底面都能够完整地显示出来，而侧面则只能看到一部分。
-正视图：正视图是指将物体从正前方看向投影面，也就是将物体在水平方向上的投影。
在正视图中，物体的正面和背面都能够完整地显示出来，而侧面则只能看到一部分。
-侧视图：侧视图是指将物体从正侧方向看向投影面，也就是将物体在垂直方向上的投影。
在侧视图中，物体的侧面能够完整地显示出来，而顶面和底面则只能看到一部分。
2. 斜投影：斜投影是指投影线与投影面不垂直的投影方式。
在斜投影中，投影线与物体表面的夹角发生变化，因此在投影图中无法准确地表示物体的真实形状和大小。
常见的斜投影包括等角斜投影和等距斜投影。
-等角斜投影：等角斜投影是指投影线与投影面夹角相等的投影方式。
在等角斜投影中，物体的各个面都能够完整地显示出来，但是由于投影线与物体表面夹角的改变，导致物体的形状和大小在投影图中发生了畸变。
-等距斜投影：等距斜投影是指投影线与投影面不夹角相等的投影方式。
在等距斜投影中，物体的各个面在投影图中都能够保持相等的比例关系，但是由于投影线与物体表面夹角的改变，导致物体的形状在投影图中发生了畸变。
二、正交投影正交投影是指将三维物体的各个面分别投影到与其平行的投影面上。
工程图学平面立体的投影及截切
平面立体及其截切
平面立体的投影
平面立体的截切
正六棱柱－投影
正六棱柱－投影
正六棱柱－截切
４' 3' ２' １' ４" 3" ２" １" 3" ２"
截平面
２ 3
１
４
截交线
２
3
正六棱柱－截切
正六棱柱－截切
五棱柱的截切
１' １' ２'
１" ２" 3' 3"
２'
3' ４'
４"
１(2)
１(2)
3
3
４
五棱柱的截切
平面立体的截切
平面立体的截切
平面立体的截切
平面立体的截切
三棱锥的投影
三棱锥－表面找点
三棱锥－表面找点
长方体挖切,补画各视图上的缺线。
长方体挖切,补画
长方体挖切,补画各视图上的缺线。
长方体挖切,补画各视图上的缺线。
长方体挖切,补画各视图上的缺线。
长方体挖切,补画各视图上的缺线。
长方体挖切,补画各视图上的缺线。
棱锥棱台等平面体的投影
分析其三面投影图。 H投影：为三个大小相等三角形。 V投影：为两个三角形。 W投影：为一个三角形。 正棱锥体投影特征为： 当底面平行于某一投影面时， 在该面上投影为实形正多边形 及其内部的n个共顶点等腰三角形， 另两个投影为一个或多个三角形。
2.棱台
分析其三面投影图： W投影：投影为三角形。 棱柱表面定点和定线 【例4-1】 如图4-5所示，已知三棱柱上直线AB、BC的V投影， 求另外两个投影。
【例4-2】 如图4-5所示，已知四棱柱表面上点K的V投影和点M的V投影， 求它们的另外两投影。
【例4-3】 如图4-10-1所示，已知三棱锥表面上点K的V投影k′ 和点M的H投影m′，求它们的另外两投影
【例4-4】 如图4-10-2所示已知三棱锥表面上线KL、LM的H投 影，求它们的另外两投影。
平面体投影图的识读：
1. 棱柱的三个投影，其中一个投影为多边形，另两 个投影分别为一个或若干个矩形，满足这样条件的 投影图为棱柱体的投影。 2. 棱锥的三个投影，一个投影外轮廓线为多边形， 另两个投影为一个或若干个有公共顶点的三角形， 满足这样条件的投影是棱锥体的投影。 3. 棱台的三个投影，一个投影为两个相似的多边形， 另两个投影为一个或若干个梯形，满足这样条件的 投影为棱台的投影 。
4.2.1 园柱
4.2.1.1 园柱投影特性及作图方法 圆柱的形成：直线AA1绕着与它平行的直线OO1旋转， 所得圆柱体如图4-11所示 。
4.2.1.2园柱表面定点和定线 对于回转曲面，就是利用回转曲面上的素线
（ 直母线 在 回转 面 上的 任 意位 置 ）或纬圆 （母线上任何一点的旋转轨迹皆是回转曲面 上的圆周）确定在其上的点的投影位置。前 者称为素线法，后者称为纬圆法。
8基本平面立体及其切割体投影
高平齐
长对正
宽相等
宽相等
三视图的形成
二、三视图的位置关系和投影规律
三面视图的投影对应关系是： 保持“三等”关系，即 主视图、左视图高度相等； 主视图、俯视图长度相等； 左视图、俯视图宽度相等。
长对正；高平齐；宽相等。
§7-2
平面立体
平面立体
棱柱
棱锥 （由多个平面围成的立体）
主要研究立体的投影，立 体表面取点、取线，平面与 立体相交（切割体），两立 体相交（相贯）.
第七章
一、三视图的形成
立体
由点、线、面等几何元素组成的空间图形。 §7-1 立体的投影——三视图
用正投影法在三个投影面（V、H、W） 上获得形体的三面投影图，在工程上叫作 三视图。其中：正面投影叫做主视图，水 平投影叫做俯视图，侧面投影叫做左视图。 从投影原理上讲，形体的形状一般用三面 投影均可表示。三视图的排列位置以及它 们之间的“三等关系”如图。
截交线的形状：封闭的、平面的多边形。
截交线的求法 ： 交点法-平面立体的棱与 截平面的交点。 交线法-平面立体的平面 与截平面的交线。 即求解截平面与立体表面的 共有点。
Ⅱ
Ⅰ
Ⅲ
例8-15 八棱柱被一正垂面P截切，已知其 主视图和左视图，求作俯视图。
3d动画
例 四棱锥切割体的投影
投影规律：长对正、高平齐、宽相等 作图： Pv—水平面,Qv—正垂面 正面投影是两 条直线 有积聚性 （定位） 水平投影取点连线 侧面投影取点连线 将切割体投影补齐 Pv Qv
1、分析（补全立体投影，弄清截平面性质）； 2、求解（逐一求解截交线投影，用交点法方便）； 3、连线并判别可见性； 4、整理轮廓线，完成做图。
3、掌握平面立体切割体投影的连线原则：
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第8讲 第三章 立体的投影及表面交线
3-1 平面立体的投影及其表面取点
教学目标：
1、掌握平面立体如棱柱棱锥的作图方法；
2、掌握平面立体表面求点的方法；
教学重点：引导学生在掌握投影原理的基础上来求立体及其表面的点
教学难点：利用辅助线求立体表面的点
教学手段：结合实例课堂讲解
教学用具：多媒体
教学过程：
由于平面立体的表面四有若干个多边形平面所围成，因此，绘制平
面立体的投影可归结为求它的各表面的投影。平面立体各表面的交线称
为棱线。平面立体的各表面是由棱线所围成，而每条棱线可由其两端点
确定，因此，绘制平面立体的投影可归结为绘制各棱线及各顶点的投
影。作图时，应判别其可见性，把可见棱线的投影画成粗实线，不可见
棱线的投影画成虚线。
一、棱柱
（1） 棱柱的投影
图3-1所示为一正放（立体的表面、对称平面、回转轴线相对于投影
面处于平行或垂直的位置）的正六棱柱直观图及投影图。正六棱柱
由顶面、底面和六个侧棱面围成。顶面、底面分别由六条底棱线围
成（正六边形）；每个侧棱面又由两条侧棱线和两条低棱线围成的
（矩形）。
1.投影分析
（1）正六棱柱的顶面、底面 均为水平面，其水平投影反映顶面、
底面的真形，且互相重合；正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投
影轴的直线。
（2）六个侧棱面 其前后两个棱面为正平面，其水平投影重合，且
反映真形；水平投影和侧面投影都积聚成平行于相应轴的直线。其余四
个侧棱面都为铅垂面，其水平投影分别积聚成倾斜直线；正面投影和侧
面投影均为类似形（矩形），且两侧棱面投影对应重合。由于六个侧棱
面的水平投影均有积聚性，故与顶面、底面边线（底棱线）的水平投影
重合。
（3）棱线 顶、底面各有六条底棱线，其总前、后两条为侧垂线，
四条为水平线；而六条侧棱线均为铅垂线。它们的三面投影，请读者自
行分析。
2.作图步骤
画正放棱柱（如正六棱柱）的投影图时，一般先画出对称中心线，
对称线，再画出棱柱水平投影（如正六边形）；然后根据投影关系画出
它的正面投影和侧面投影。应注意当棱线投影与对称重合（如图中棱线
AAo侧面投影a〃a〃o）时应画成粗实线.
(二)棱柱表面上取点
在平面立体表面上取点,其原理和方法与平面上取点相同,由于正放
棱柱的各个表面都处于特殊位置,因此,在其表面上取点均可利用平面投
影积聚性作图,并表面可见性.例如,在增六棱柱表面上有一点M,已知其
正面投影m〃,要作出水平和侧面投影(图3-2).由于点M的正面投影是可
见的,所以点M必定的左前方的AaoBoB上(参阅3-1a).而该棱面的铅垂面,
因此点M的水平投影m必在该棱面有积聚性的水平投影aa%b b直线上,再
根据投影关系由m’和(m)求出m’.由于棱面AAoBoB处于左前方，侧面投
影可见，所以其上的点M的侧面投影也可见，它的水平投影（m）不可
见。又如，已知点N的水平投影n，求n’和n〃.由于n可见,所以点N必定
在顶面上,而顶面为水平面,其正面投影和侧面投影都具有积聚性.因此,
(n’)、（n〃）也必分别在顶面的正面投影和侧面投影所积聚的直线
上，均不可见。
二、棱锥
（一）棱锥的投影
图3-3所示为一正放的正三棱锥直观图及投影图。正三棱锥有地面和
三个侧棱面围成。底面又由三条棱线围成（正三角形），三个侧棱
面由三条侧棱线和三条底棱线围成（三个真形大小相等的等腰三角
形）。
1.投影分析
（1）正三棱锥底面△ABC为水平面，其水平投影△a b c反映真
形，正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影轴的直线a′b′c′
和a〃（c〃）b〃。
（2）三个侧棱面中的左右两个侧棱面△SAB和△SBC为一般位置平
面，其三面投影均不反映真形，且侧面投影重合。
（3）后侧棱面△SAC为侧垂面（因含侧垂线AC），其侧面投影积聚
成斜向直线s〃a〃（c〃）,正面投影△s′a′c′和水平投影△sac均不
反映真形，且正面投影△s′a′c′与△s′a′b′、△ s′b′c′重
合。
（4）三个侧棱面△SAB、△SBC、△SCA的水平投影△s a b、△s b
c、△s c a与底面△ABC的水平投影△a b c重合。
（5）底面的三条底棱线中有两条是水平线AB和BC，一条是侧垂线
AC；而三条侧冷县总，有两条是一般位置直线SA和SC，一条是侧平线
SB，它们的三面投影，请读者自行分析。
2.作图步骤
画正放的正三棱锥的投影图是哦，一般可先画出底面的水平投影
（正三角形）和底面的另两个投影（均积聚为直线）；再画出锥顶的三
个投影；然后将锥顶和底面三个顶点的同面投影连接起来，即得正三棱
锥的三面投影。也可先画出三棱锥（底面和三个侧棱面）的一个投影
（如水平投影），再依照投影关系画出另两个投影。
（2） 棱锥表面上取点
在棱锥表面上取点，其原理和方法与在平面上取点相同，如果点在
立体的特殊平面上，则可利用该平面投影有积聚性作图；如果点在立体
的一般位置平面上，则可利用辅助线作图，并表明可见性。如图3-4所
示，并参阅图3-3a，在正三棱锥表面上有一点E，已知其正面投影e’,
要作出e和e〃。其作图原理与在平面上取点时相同。由于e可见，所以
点E在左棱面△SAB（一般位置平面）上，欲求点E的另两个投影e、e
〃，必须利用辅助线作图，具体方法可有以下三种：
（1）过点E和锥顶作辅助直线s I,其正面投影s′I′必通过e’;求
出辅助线sI的水平投影s I和侧面投影s〃I〃，则点E水平投影e必在s I
上，侧面投影也必在s〃I〃上。
（2）也可过点E作底棱AB的平行线ⅡⅢ，则2’3’//a’b’且通过
e’,求出ⅡⅢ的水平投影(23//ab,必通过e)和侧面投影(2〃3〃//a〃b
〃,也必通过e〃).
（3）也可过欲求点在该点所在的棱面上作任意直线.先求出该辅助
直线的投影,再求出点的投影(为使图形清晰,图中未示出).
由于侧棱面△SAB处于左方,侧面投影可见,故其上的点E的侧面投影
e〃水平投影e也可见.又如已知点F的水平投影f,求f’和f〃.由于f可
见,所以知点F是在后棱面△SAC上,而不是在底面△ABC上.侧棱面△SAC
是侧垂面,其侧面投影具有积聚性,故f〃可利用积聚性直接求出,即(f
〃)必在s〃a〃(c〃)直线是行,再由f和(f〃)求处(f’).由于侧棱面
△SAC处于后方,正面投影不可见,故其上的点F的正投影(f〃)不可见,侧
面投影(f〃)也不可见.
作业：P37-P38