构造几何图形解决代数问题
高考数学----解决以几何图形为背景的代数问题典型例题讲解
高考数学----解决以几何图形为背景的代数问题典型例题讲解【典型例题】例8．（2023·全国·高三专题练习）已知3,||,||AB AC AB t AC t ⊥==，若点P 是ABC 所在平面内的一点，且3||||AB ACAP AB AC =−，则PB PC ⋅的最大值等于（ ） A ．8B ．10C ．12D ．13【答案】C【解析】∵AB AC ⊥，∴可以A 为原点，,AB AC 所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设()30,,(,0)B t C t ，则(0,1)3(1,0)(3,1)AP =−=−，故点P 坐标为(3,1)− 则()33,1,(3,1)PB t PC t =−−=−−，∴()333(3)1310PB PC t t t t ⋅=−−−+−=−++ 令3()310,0f t t t t =−++>，则2()333(1)(1),0f t t t t t =−+=−+−≥'，则当(0,1)t ∈时，()0f t '>，当(1,)t ∈+∞时，()0f t '<，则函数()f t 在[0,1)递增，在(1,)+∞上递减，则max ()(1)12f t f ==，即PB PC ⋅的最大值为12． 故选：C ．例9．（2023春·浙江杭州·高二学军中学阶段练习）2≤的解集为[],a b ，则ab 的值是（ ）A ．5B．C ．6 D ．7【答案】D【解析】设23y =，则y =2≤．2=．2=±2，两边平方可得，()()2222154x y x y −+=−+±，整理可得，27x =−，两边平方整理可得()22313y x −−=．2=表示的点(),x y 在双曲线()22313y x −−=上．2≤表示的点(),x y 在双曲线()22313y x −−=上及其内部． 2≤与不等式组()2223133y x y ⎧−−≤⎪⎨⎪=⎩同解， 整理可得2670x x −+≤．由已知可得，不等式2670x x −+≤的解集是[],a b ，所以2670x x −+=的两个解为a 、b ，根据韦达定理有7ab =．故选：D ．例10．（2023春·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）(0)kx k >的解集为区间[,]a b ，且2b a−=，则k =（ ）AB C D ．2【答案】C【解析】如图所示：因为y =4为半径位于x 轴上方（含和x 轴交点）的半圆， (0)y kx k =>表示过坐标原点及第一三象限内的直线，(0)kx k ≤>的解集为区间[,]a b ，且2b a −=， 即半圆位于直线下方的区间长度为2， 所以2,4a b ==，所以直线与半圆的交点(2,，所以k == 故选：C ．。
构造几何图形解决代数问题 (1)
构造几何图形解决代数问题摘要 数与行是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
因此，数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。
数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。
关键词 数形结合 解题 以形助数 教学1.“以形助数”的思想应用1.1解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
例:已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A B 。
分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚地知道结果。
如下图，由图我们不难得出AB=[0,3]例:（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为分析：如下图，设所求人数为x ,则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5,15530812x x x x --=-+-=-⇒=故。
B=[-2,3] A=[0,4]评价：通过上面两个典型例题的学习，我们基本了解了构造几何图形在代数问题中的简单应用，将抽象的集合问题形象地用图形表现出来，形象生动便于思考，找出问题中条件间的相互关系进而方便快捷地解答。
1.2解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
例:（2009山东理）若函数()(01)x f x a x a a a a =-->≠且有两个零点，则实数的取值范围是分析：设函数(0,1)x y a a a =>≠且和函数y x a =+，则函数()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，就是函数(0,1)x y a a a =>≠且与函数y x a =+有两个交点，由图象可知当01a <<时两函数只有一个交点，不符合，当1a >时，因为函数(1)x y a a =>的图象过点（0，1），而直线y x a =+所过的点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是1a >0<a<1a>1例:若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，求()0f x <的x 的取值范围。
浅议构造法在数学中的作用
浅议构造法在数学中的作用1. 引言1.1 构造法的定义构造法是数学中一种重要的解题方法，它是通过构造出具体的对象或者结构来解决问题的方法。
在数学中，构造法通常包括直接构造出所需对象、通过归纳法逐步构造出解、通过反证法推导出矛盾等方式。
构造法的基本思想是通过建立数学对象之间的关系，从而达到解决问题的目的。
通过构造法，我们可以更清晰地理解问题的本质，找到问题的解决方案。
构造法在数学中具有广泛的应用，涉及代数、几何、组合数学、数论、概率论等多个领域。
构造法的核心是通过建立有效的构造方法和技巧，解决一系列复杂的数学问题。
通过构造法，我们可以深入理解数学的内在规律，提高解决问题的效率和准确性。
构造法在数学领域中具有重要的地位和作用，对于推动数学的发展和教育具有积极的意义。
1.2 构造法在数学中的重要性构造法在数学中起着至关重要的作用。
它不仅是数学研究中常用的方法，也是数学教学中的重要内容。
构造法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，促进数学领域的发展。
构造法在数学中的重要性体现在它对解决问题的作用上。
通过构造法，我们可以借助具体的步骤和方法找到问题的解决方案，为数学理论的发展提供实际的指导。
构造法不仅可以用于证明定理和命题，还可以用于解决实际问题，推动数学领域的研究进展。
构造法在数学教育中的重要性也不可忽视。
通过教授构造法，可以帮助学生培养逻辑思维和创造性思维能力，提高他们解决问题的能力和数学素养。
构造法可以激发学生对数学的兴趣，让他们更好地理解和掌握数学知识，为将来深入研究数学打下坚实的基础。
2. 正文2.1 构造法在代数中的应用构造法在代数中的应用是一种重要的数学方法，通过构造法，我们可以更好地理解和解决代数问题。
在代数中，构造法常常被用于证明存在性和唯一性问题，以及构造出满足特定条件的对象。
一种常见的代数问题是求解某种结构的存在性问题，比如群、环、域等代数结构。
通过构造法，我们可以构造出满足特定条件的结构，从而证明其存在性。
代数题用几何求解的最值问题例子
代数题用几何求解的最值问题例子初中数学的最值问题一直都是大家学习当中公认的比较困难的一部分内容。
这部分内容的难度相对于其他知识点来说存在很多的不确定性，特别是其中出现做辅助线等方法来辅助解题时不知道从何入手，今天我们将针对几何代数的最值问题进行分类讲解，希望在这过程当中能帮大家理清楚这类题型的大致解题思路。
首先，几何最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。
收到最大值或最小值，那么很多同学就会联想到线段和线段差或者是周长，面积等的最大值和最小值问题。
在中考中常以填空选择及解答题形式出现，可见其出现的形式还是比较多样化的，难易程度多为难题、压轴题。
同学们务必掌握以下几种求几何最值的基本方法：（1）特殊位置及极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情况下的推理证明。
这种特殊的位置。
一般都会通过题目的条件或者是初级的推论就可以得出。
同学们在读取条件的过程当中，一定要重点关注。
（2）几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理。
常见几何性质有：两点之间线段最短；点到直线垂线段最短；三角形两边之和大于第三边；斜边大于直角边等，这类型的应用就相对来说比较简单。
只要根据已学的内容，那么就可以进行解决，其难度不大。
（3）数形结合法：分析问题变动元素的代数关系，构造二次函数等。
树形结合来解决二次函数的最值问题，那么通过图形和代数求解的方式相结合，可以很快的也就能得到。
最后的结果，这是我们在初中学习二次函数时就重点学习的对象。
其次，代数最值问题一般以应用题形式出现，常见题型为求一个花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大的方案。
这类型的最值问题作为各地中考必考题之一，难度以中档为主，是所有学生必拿之分。
他主要考察的是二次函数或一次函数的实际应用，结合真实生活中的应用场景来解决实际问题。
解这类题目的关键点在于合理建立函数模型，理解题意的基础上，合理设出未知量，分析题中等量关系，列出函数解析式或方程，求解、讨论结果意义并以“答：……”做结尾。
几何问题代数化
几何问题代数化全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：几何问题代数化是一种将几何问题转化为代数问题的方法，通过代数化的处理，可以更加简便地解决复杂的几何问题。
在数学研究和实际应用中，几何问题代数化被广泛使用，为解决难题提供了一种有效的思路。
在几何问题代数化的过程中，通常需要将几何图形的特征、性质或关系转化为代数式或方程，从而获得更加直观和便捷的计算方法。
这种方法在解决几何问题时具有一定的普适性和灵活性，适用于不同类型的问题求解。
在接下来的文章中，我们将详细介绍几何问题代数化的基本方法和应用技巧，希望对读者能够有所帮助。
一、几何问题代数化的基本步骤1. 先分析几何问题的核心要点，确定问题的关键性质和特征。
2. 将几何图形的特征或关系转化为代数式或方程，建立数学模型。
3. 利用代数方法解决问题，求解方程得到问题的解答。
4. 最后验证答案，确保解答符合几何题意。
1. 计算三角形的面积：设三角形的底边长为a，高为h，则三角形的面积S=1/2*a*h。
通过代数化可将三角形的面积计算问题转化为代数式求解。
2. 求解直线与平面的交点：设直线的方程为y=ax+b，平面的方程为mx+ny+p=0，通过代数化可求解直线与平面的交点坐标。
3. 计算圆的周长和面积：设圆的半径为r，通过代数化可以求解圆的周长和面积的表达式。
三、几何问题代数化的优点和局限性1. 优点：代数化简化了几何问题的计算过程，提高了问题的求解效率和准确性。
2. 局限性：代数化不能完全替代几何推理和证明，有些几何问题需要辅助几何知识进行解答。
（以上文章仅为模拟示例，实际所需内容可能有所不同。
）第二篇示例：几何问题一直是数学中的一个重要领域，它涉及到空间的形状、大小和位置关系等内容。
在学习几何问题的过程中，很多学生会遇到一些代数化的问题，即如何将几何问题转化为代数问题，并通过代数方法来解决。
几何问题代数化，就是将几何问题中的线段、角度、面积等几何概念用代数符号表示，并通过代数运算来解决几何问题。
利用代数式解几何问题如何利用代数式解决几何问题
利用代数式解几何问题如何利用代数式解决几何问题在数学中，代数式是一种将数、变量和运算符结合起来进行数学运算的表达式。
它在解决几何问题时具有重要的作用。
本文将介绍如何利用代数式解决几何问题，并探讨其优势和应用场景。
一、代数式在几何问题中的应用几何问题通常涉及到图形的面积、周长、体积等属性的计算。
传统的几何解题方法主要采用几何图形的性质和定理进行推导和证明，但对于一些复杂的问题，可能需要借助代数式来进行求解。
例如，假设我们需要求解一个矩形的面积。
根据几何的定义可知，矩形的面积等于长乘以宽。
若将矩形的长记为x，宽记为y，则可用代数式表示为xy。
通过代数式的运算，我们可以直接计算出矩形的面积，而无需借助于几何证明过程。
二、代数式解决几何问题的优势1. 灵活性：代数式能够将几何问题抽象为数学方程，使得问题的求解过程更加灵活。
通过引入变量，我们可以调整图形的属性，并对问题进行变形和推广。
2. 精确性：代数式具有数学符号和运算法则，能够进行精确计算，避免了几何推导过程中的近似和估算误差。
3. 推广应用：代数式解决几何问题的思路可以应用于其他领域，如物理、工程等。
它为解决一些实际问题提供了新的思路和方法。
三、代数式解决几何问题的实例1. 长方形问题现有一个长方形，其周长为20cm，要求计算出其面积。
假设长方形的长为x，宽为y，根据周长的定义可知2x + 2y = 20。
通过解这个代数方程组，我们可以求解出长方形的长和宽。
进而，利用面积的定义进行计算，即可得到长方形的面积。
2. 三角形问题已知一个三角形的底边长度为x，高为y，要求计算出其面积。
根据三角形的面积定义可知，面积等于底边长度乘以高再除以2，即xy/2。
通过代入具体数值或保持未知数的形式，我们可以得到三角形的面积。
3. 圆形问题已知一个圆形的半径为x，要求计算出其面积和周长。
根据圆形的定义和性质可知，面积S等于πr²，周长C等于2πr。
通过代入具体数值或保持未知数的形式，我们可以得到圆形的面积和周长。
构造法在中学数学问题中的解题应用
构造法在中学数学问题中的解题应用摘要：本文主要是在前人研究的基础上通过收集大量资料，对用构造法解题的形式进行分类，介绍在中学数学中用构造思想方法解题的典型例子，并归纳整理出构造法在代数和几何中的应用,使得构造法在解题的应用有一个比较系统、清晰且全面的结论。
关键词：构造法中学数学问题思想方法应用一、构造法在代数问题中的应用1.构造函数解代数问题。
如何构造一个函数，构造一个什么样的函数才能解决问题？关键在于分析问题的结构，充分利用问题所提供的信息，善于进行联想。
(1)构造函数证明不等式。
根据代数式的特征(如结构的对称性)，构造适当的函数，借助函数的性质，来证明不等式，是一种常用的构造方法。
构造函数证明不等式是不等式证明的一种重要方法，它要求我们能敏锐地观察不等式的结构特征，联想一些特殊函数所蕴涵的不等式关系，从而合理选择恰当的函数模型。
利用构造函数证明不等式，不仅能使解题过程简捷、明快，而且使解题方法新颖、精致，使数学解题思路突破常规，具有很强的创造性，体现独特的数学价值。
(2)构造函数证明等式。
例2 已知 a，b，c互不相等，求证：分析：如果把式子左边展开来证，是非常繁琐的,注意到a，b，c互不相等这一特性，巧构函数f(x)能富有创造性地证明本题.证明：构造函数f(x)=由于a，b，c互不相等，可知-a，-b，-c也互不相等。
因为f(x)是二次函数，而f(-a)=f(-b)=f(-c)=0，故f(x)=0恒成立，即原式成立。
2.构造方程解代数问题。
在应用方程思想解题时，主要是运用方程的两个性质，即韦达定理及其逆定理、一元二次方程根的判别式。
根据韦达定理及其逆定理构造一元二次方程解代数题。
有些数学问题未必是方程问题，但我们可以构造辅助的方程进行求解。
用方程思想构造方程解题非方程问题有一定的规律性：已知两个或多个数之和、之积的对称式，利用韦达定理的逆定理构造两次或高次方程；当问题中出现形如“b2-4ac”的式子时，可构造出以“b2-4ac”为判别式的二次方程ax2+bx+c=0的形式。
运用几何图形解决简单的代数方程
运用几何图形解决简单的代数方程代数方程是数学中一种常见的问题形式，通过运用几何图形的方法来解决代数方程问题，不仅可以提高问题的可视化程度，还可以帮助我们更好地理解和解决问题。
本文将通过几个简单的例子，探讨如何运用几何图形解决代数方程。
例一：解一元一次方程假设我们要解方程2x + 3 = 7，可以通过几何图形的方法来求解。
我们可以将该方程转化为一个几何问题：找到一条直线，使得直线上的点的横坐标乘以2再加上3的结果等于7。
我们可以将直线的横坐标设为x，纵坐标设为y，那么直线上的点可以表示为(x, y)。
根据题目要求，我们可以得到方程y = 2x + 3。
现在，我们可以画出这条直线的图形。
通过观察图形，我们可以发现直线与y轴的交点为(0, 3)，与x轴的交点为(2, 0)。
而题目要求的解即为直线与x轴的交点的横坐标，即x = 2。
通过几何图形的方法，我们成功地解决了一元一次方程2x + 3 = 7，得到了x =2的解。
例二：解一元二次方程接下来，我们来解决一个稍微复杂一些的问题，解一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0。
同样地，我们可以通过几何图形的方法来求解。
首先，我们可以将该方程转化为一个几何问题：找到一条抛物线，使得抛物线上的点的横坐标的平方再减去4倍横坐标再加上3的结果等于0。
我们可以将抛物线上的点表示为(x, y)。
根据题目要求，我们可以得到方程y = x^2 - 4x + 3。
现在，我们可以画出这条抛物线的图形。
通过观察图形，我们可以发现抛物线与x轴的交点为(1, 0)和(3, 0)。
而题目要求的解即为抛物线与x轴的交点的横坐标，即x = 1和x = 3。
通过几何图形的方法，我们成功地解决了一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，得到了x = 1和x = 3的解。
例三：解多元方程组最后，我们来解决一个多元方程组的问题，解方程组2x + y = 5x - y = 1同样地，我们可以通过几何图形的方法来求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
构造几何图形解决代数问题摘要 数与行是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。
因此，数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一。
数形结合的应用大致可分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
本课题调查研究中主要研究“以形助数”的情形。
关键词 数形结合 解题 以形助数 教学1.“以形助数”的思想应用1.1解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn 图处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
例:已知集合A=[0，4]，B=[-2，3]，求A B 。
分析：对于这两个有限集合，我们可以将它们在数轴上表示出来，就可以很清楚地知道结果。
如下图，由图我们不难得出A B=[0,3]例:（2009湖南卷文）某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为分析：如下图，设所求人数为x ,则只喜爱乒乓球运动的人数为10(15)5,155308x x x x --=-+-=-⇒=故。
B=[-2,3] A=[0,4]评价：通过上面两个典型例题的学习，我们基本了解了构造几何图形在代数问题中的简单应用，将抽象的集合问题形象地用图形表现出来，形象生动便于思考，找出问题中条件间的相互关系进而方便快捷地解答。
1.2解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
函数图像的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
例:（2009山东理）若函数()(01)x f x a x a a a a =-->≠且有两个零点，则实数的取值范围是分析：设函数(0,1)x y a a a =>≠且和函数y x a =+，则函数()(01)x f x a x a a a =-->≠且有两个零点，就是函数(0,1)x y a a a =>≠且与函数y x a =+有两个交点，由图象可知当01a <<时两函数只有一个交点，不符合，当1a >时，因为函数(1)x y a a =>的图象过点（0，1），而直线y x a =+所过的点一定在点（0，1）的上方，所以一定有两个交点，所以一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是1a >0<a<1a>1例:若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(,0]-∞上是减函数，且(2)0f =，求()0f x <的x 的取值范围。
分析：由偶函数的性质，y=f(x)关于y 轴对称，由y=f(x)在(,0]-∞上为减函数，且f(-2)=f(2)=0，做出如图，由图象可知发f(x)<0，所以x ∈(-2,2)评价：函数问题是高考中主打题型，往往又是比较难解的问题。
在解决这类问题时，若只采用代数的方法思考问题，往往会太过于抽象或无从下手。
但如果根据函数的定义，引入图象，使所求的问题具体化，可从图中一目了然，则达到事半功倍的效果。
1.3解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图像的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
例:若方程2lg(3)lg(3)x x m x -+-=-在(0,3)x ∈内有唯一解，求实数m 的取值范围。
分析：原方程可化为2(2)1(03)x m x --+=<<，设212(2)1(03),y x x y m =--+<<=在同一坐标系中画出它们的图像，如下图，由原方程在（0，3）内有唯一解，知12y y 与的图象只有一个公共点，可见m 的取值范围是-1<m 0≤或m=1。
例:已知不等式22(1)(2)x x m ++->对一切实数x 恒成立，求实数m 取值。
分析： 2(1)x +表示数轴上点x 到点（-1）的距离，2(2)x -表示数轴上点x 到点2的距离。
数轴上点x 到点（-1）的距离与点x 到点2的距离的和的最小值为3，即22(1)(2)3x x ++-≥，所以实数m 的范围是：m<3.评价：方程问题和不等式问题归根结底也就是函数问题的变形，只要我们根据题意条件循序渐进地找出突破口，便可同样很好地利用图象简捷地解决。
1.4解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
例:求sin +2cos 2x y x =-最值 分析：我们可以把（cosx,sinx ）看成是单位圆周上的一点，sin +2cos 2x x -可以理解为点（cosx,sinx ）与点（2，-2）连线的斜率。
由图可知，斜率的最大值与最小值应为通过点（2，-2）且与单位圆相切的两条切线的斜率，设点（2，-2）且与单位圆相切的直线方程为：+2(-2)y k x =，利用圆心（0，0）到切线的距离为圆的半径1，可以求出斜率k 的范围：-47-4733k -+≤≤，所以m a x m i n -47-47,33y y +-==评价：三角函数的图象和性质是高考的热点，在解题时要灵活运用数形结合的思想，把图像和性质结合起来，通过图象直观地感受题目的要义，为解题提供方便。
1.5解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。
从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。
例:（08年高考湖南卷理改编）已知变量x,y 满足条件1,0,290x x y x y ≥-≤+-≤，求x y +的最大值。
分析：本题实质是线性规划问题，运用图象画平面区域，再求线性目标函数的最值。
如图所示，可行域为图中阴影部分（包括边界线），则z=x+y 在A 点处取得最大值，由0,290x y x y -=+-=联立得A （3，3），故最大值为3+3=6.评价：线性规划位于不等式和直线方程的结合点，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。
1.6解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n 项和公式可以看作关于正整数n 的函数。
用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。
例:若数列{}n a 为等差数列，,p q a q a p ==，求p q a +分析：如图，由于等差数列中n a 的图象是一条直线上均匀排开的孤立的点，故三点A(p,q)，B(q,p)，C(p+q,m)共线，所以AB AC k k =，即p q m p q p p q q--=-+-，得m=0,即0p q a +=评价：人们在解决数列问题时，习惯用代数的思维方法，如果将数形结合的数学思想渗透到数列中，运用数形结合的思想和方法看待和解决数列问题，往往会有异样的收获。
2.“以形助数”的思想总结2.1“数”转化为“形”问题的途径和基本思路2.1.1数量问题转化为图形问题一般有三种途径：应用平面几何知识，应用立体几何知识，应用解析几何知识将数量问题转化为图形问题。
2.1.2对于“数”转化为“形”这类问题，解决问题的基本思路：明确题中所给的条件和所求的目标，从题中已知条件或结论出发，先观察分析其是否相似（相同）于已学过的基本公式（定理）或图形的表达式，再做出或构造出与之相适合的图形，最后利用已经做出或构造出的图形的性质、几何意义等，联系所要求解（求解）的目标去解决问题。
2.1.3常见“以形助数”的方法：（1）借助于数轴，运用数轴的有关概念，解决与绝对值有关的问题，解决数集的交、并、补、运算等问题是非常有效的。
（2）借助于函数图像，利用函数图象分析问题和解决问题是数形结合的基本方法。
2.2“数形结合”思想在解题过程中注意点数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
2.3数形结合的意义数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，也就是数与形，数与形是中学数学主体，是中学数学论述的两个重要内容。
“数”与“形”既有区别，又有联系，“坐标法”实现了它们之间的转化。
“数形结合”的思想不仅使几何、代数、三角知识相互渗透融于一题，又能提示问题的裨益，在解题方法上简洁明快，独辟蹊径，能开发智力，培养创造性思维提高分析问题和解决问题的能力。
华罗庚教授曾指出：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”由此可见数形结合思想在教学中的重要地位，它是数学思想方法的核心。
因此，应用数行结合的思想，可以解决许多复杂的代数问题。
2.4数形结合思想在教学中的重要性2.4.1加强数形结合思想的概念教育数学中的“数形结合”思想大部分源于概念教学过程，加强对基本概念的教学，是掌握数形结合的基础。
在正常的教学活动中，教师要有意识的将抽象概念知识形象化，使学生加深对概念的理解和掌握，为以后利用概念不同的表达形式来解决复杂多变的数学问题打下坚实的基础。
特别是一些明显具有几何意义的概念，如复数的模、直线的斜率、导数等，这些就需要老师在讲解其文字意义的同时赋予图形表征，这样学生便能更容易接受，而且记忆深刻，遇到题目时能够想到相关知识进而灵活应用。
因此，我觉得对数形结合的概念教育也是不可忽视的环节，它不仅可以帮助教师得心应手地进行课堂教学，而且也有助于学生开发其创新意识和提高思维能力。
2.4.2如何应用好“数形结合”思想？（1）结合学生的认真结构循序渐进地逐步渗透数学思想。
教学不是对角戏，而是教师与学生进行沟通交流的过程，教师的责任不仅仅是将知识填鸭式的写在黑板上让学生记住，而是以学生为主体，根据他们的需要和能力制定适当的教学目标和教学计划。
数学教育亦是如此，鉴于数学本身就是一门较为难学的科目，所以更要循序渐进地向学生传授数学思想。
在解决问题的过程中，潜移默化地理解“数形结合”思想，所以不仅要结合问题，而且要考虑学生的认知结构。
在学习中不断积累数形结合的素材，让学生逐步体会数形结合的优点。
这样学生就可以循序渐进地理解运用这一数学思想，从而不断提高学生的数学品质和素养。