构造法之构造几何图形
中考数学构造法解题技巧
构造法在初中数学中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。
构造法是一种富有创造性的数学思想方法。
运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。
充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。
下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。
在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。
1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。
此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。
3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。
例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。
20，18，5x，-6y的平均数是1。
求的值。
分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。
二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
例谈几何图形构造法
在几何中，构造法是使用规则或原则来绘制几何图形的方法。
下面是几个常见的构造法例子。
1 垂线构造法：在平面内给定一点和一条直线，从该点作垂线与该
直线的交点，就是所求的点。
2 垂足构造法：在平面内给定一点和一条直线，从该点作垂线与该
直线的交点，这个交点称作该点的垂足。
3 垂直平分线构造法：在平面内给定一点和一条直线，从该点作垂
线，并做该垂线的中垂线，这条中垂线称作该点的垂直平分线。
4 垂直于直线的平分线构造法：在平面内给定一点和一条直线，从
该点作垂线，并做该垂线的中垂线，这条中垂线垂直于给定的直线，称作该点的垂直于直线的平分线。
5 直线平分线构造法：在平面内给定一条直线和一个点，从该点作
该直线的平分线，并做该直线的中垂线，这条中垂线称作该点的直线平分线。
6 对称构造法：在平面内给定两点或两条直线，建立一条对称轴，
使得对称轴上的一侧和对称轴的对侧关于对称轴对称，这样就可以使用对称构造法来构造出许多几何图形。
7 图形复制构造法：在平面内给定一个图形，通过将图形复制并移
动到另一个位置来构造出新的图形。
8 线段构造法：在平面内给定两个点，连接这两个点就是所求的线
段。
9 圆构造法：在平面内给定一个点和一条直线，以该点为圆心，该
直线为圆的直径，连接两端点即为圆。
这些只是几何图形构造法的一小部分例子，在几何学中还有许多其他的构造法。
用构造法解题(含解答)+-
用构造法解题归类作者：贺峰当我们在对所碰到的数学命题认真的观察、仔细的分析前提下，依托所掌握的知识背景，充分发挥想像力，进行灵巧的构思，在已知与未知之间建立起一个优美的数学模型。
通过对此模型的研究，达到完成解决命题的目的。
这种方法称为构造法。
一、 构造几何图形通过构造图形去解决数学问题，充分体现了一种非常重要的数学思想方法：数形结合法。
“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，它们是数学的两大支柱。
数量关系抽象、几何图形直观。
将这两个既对立、又统一的概念巧妙地加以沟通，是研究、解决数学问题的一种重要的方法。
（1）构造直角梯形例1 设m ，n ，p 为正整数且的最小值。
求nm p p n m +=-+,0222 解：由题意，运用勾股定理的逆定理构造直角梯形，易知当m ≠n 时，AE ＞CD ，当m=n 时，AE=CD ，所以AE ≥CD 。
即0＜m+n ≤2p ，所以nm p +≥22即 nm p +的最小值为22。
（2）构造直角三角形例1 求22.50的正切函数值。
思路：我们可以借助450角的函数值，通过构造等腰直角三角形支解决。
同样这种题目也可以变为求150的正切值，请同学们自己支思考并解决。
（3）构造矩形例 1 凸八边形ABCDEFGH 的八个内角都相等，且AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FG 的长度为。
、、、、、232231225，求这个八边形的周长。
思路：凸八边形的每个内角都相等，那么它们应等于135度，每个角的外角都等于45度，我们可延长八边形的边AB 、EF 与CD 、GH ，得一矩形，矩形的四个角为等腰直角三角形，据等腰直角三角形的边的关系和矩形对边相等的关系不难求出凸八边形ABCDEFGH 的周长为2910+。
评注：如果是凸八边形的内角都相等，且知道连续四边的长，可借助矩形去解决。
（4）构造等腰三角形例1 如图所示，四边形ABCD 中，AB=CD ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BA 、CD 的延长线分别交FE 的延长线于M 、N ，求证：∠AME=∠DNE 。
构造法在数学解题中的运用
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Байду номын сангаас
初中数学几何图形构造方法梳理
初中数学几何图形构造方法梳理几何图形构造方法梳理在初中数学学习中，几何图形构造是一个重要的部分，它涉及到直线、角度、三角形、四边形等各种图形的构造方法。
本文将梳理一些常见的初中数学几何图形构造方法，帮助学生更好地理解和掌握这些内容。
一、直线图形的构造方法1. 画线段：给定两个不同的点A和B，我们可以使用直尺在点A和B之间画一条直线段AB。
2. 画射线：给定一个起点A和一个方向，我们可以使用直尺在起点A开始，按照给定的方向延伸出一条射线。
3. 画平行线：给定一条直线L和一个点P，在点P处画一条与直线L平行的直线。
4. 画垂直线：给定一条直线L和一个点P，在点P处画一条与直线L垂直的直线。
二、角度的构造方法1. 画角：给定两条射线，将它们的起点重合，通过尺规作图的方法，可以构造出一个特定的角。
2. 以角的顶点为中心，以确定的角度为半径，画弧：给定一个角的顶点O和一个角度a，我们可以使用尺规作图的方法，在以O为中心，以a为半径的圆上选择一点P，然后连接OP，即可得到一个角为a的角。
3. 画平分线：给定一个角，我们可以使用尺规作图的方法，构造出这个角的平分线，即将这个角平分为两个相等的角。
4. 画垂线：给定一条直线L和一个点P，在点P处画一条与直线L垂直的直线。
三、三角形的构造方法1. 画等边三角形：给定一个边长，我们可以使用尺规作图的方法，构造一个边长相等的等边三角形。
2. 画等腰三角形：给定一个底边和两个底角，我们可以使用尺规作图的方法，构造一个具有底边和底角相等的等腰三角形。
3. 画直角三角形：给定一个直角，我们可以使用尺规作图的方法，在直角的一边上任选一点，然后以这个点为顶点，直角的两条边为另外两边，构造一个直角三角形。
4. 画任意三角形：给定三条边长a、b、c，我们可以使用尺规作图的方法，构造一个具有边长分别为a、b、c的任意三角形。
四、四边形的构造方法1. 画平行四边形：给定两条平行线L1和L2，以及一个点P，我们可以使用尺规作图的方法，在点P处作出一条与L1平行的线段，然后再以该线段为边作出一条与L2平行的线段，连接两个线段的两个端点，即可得到一个平行四边形。
高中数学中的常用几何模型及构造方法
全等变换平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。
两边进行边或者角的等量代换，产生联系。
垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。
旋转全等模型半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题旋转半角模型说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型构造方法：遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称共旋转模型说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。
通过“8”字模型可以证明。
模型变换说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。
当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转：说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。
证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
几何最终模型对称最值(两点间线段最短)对称最值(点到直线垂线段最短)说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。
高中数学解题方法之构造法(含答案)
十、构造法解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手。
在这种情况下,经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径。
历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。
数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。
近几年来，构造法极其应用又逐渐为数学教育界所重视，在数学竞赛中有着一定的地位。
构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。
用构造法解题时，被构造的对象是多种多样的，按它的内容可分为数、式、函数、方程、数列、复数、图形、图表、几何变换、对应、数学模型、反例等，从下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。
但可以尝试从中总结规律：在运用构造法时，一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。
再现性题组 1、求证： 31091022≥++=x x y （构造函数） 2、若x > 0, y > 0, x + y = 1，则42511≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x （构造函数） 3、已知01a <<，01b <<，求证：22)1()1()1()1(22222222≥-+-+-+++-++b a b a b a b a（构造图形、复数） 4、求证：9)9(272≤-+x x ，并指出等号成立的条件。
（构造向量）5、已知：a>0、b>0、c>0 ,求证：222222c ac a c bc b b ab a ++≥+-++-当且仅当ca b 111+=时取等号。
初中解题技巧之构造法专题
7.已知 (b-c)2=(a-b)(c-a)且a≠0，则 =______。
8.（2012•郴州）某校为开展好大课间活动，欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个．
（1）设购买排球数为x（个），购买两种球的总费用为y（元），请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
例2当x=_____时，分式 无意义；当x=______时，此分式的值为零。
解要使此分式无意义，只需x2-7x–8=0，解之得x1=8，x2=-1，即当x=8或x=-1时，该分式无意义。
要使该分式的值为零，只须分子x2–1=0且分母x2-7x–8≠0；由x2–1=0，得x=±1，但当x=-1时，分母x2-7x-8=0，分式无意义。故当x=1时，此分式的值为零。
综上所述，知 =2。
8.解：（1）设购买排球x个，购买篮球和排球的总费用y元，
y=20x+80（100-x）=8000-60x；（2）设购买排球x个，则篮球的个数是（100-x），根据题意得：
100-x≥3x 20x+80(100-x)≤6620，
一．某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个“方程” 求解，从而获得问题解决。
例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？
解：原方程整理得（a-4）x=15-b
∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0
分别解得a=4，b=15
二．构建几何图形
对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。
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构造法之构造几何图形
构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。
构造法是一种富有创造性的数学思想方法。
运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。
充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。
下面摘一些典型例题，分成几个专题，方便大家学习。
例1：已知，则x 的取值范围是（）
A 1≤x≤5
B x≤1 C1＜x ＜5 D x≥5
分析：根据绝对值的几何意义可知：表示数轴上到1与
5的距离之和等于4的所有点所表示的数。
如图3，只要表示数 的点落在1和5之间（包括1和5），那么它到1与5的距离之和都等于4，所以1≤ x≤5，故选A 。
例2.求)40()4(4122≤≤-+++x x x 的最小值.
分析：本题单纯用代数方法处理，简直无从下手，注意式中的特征，构造直角三角形，转化为在直线上求一点，使它到两定点的距离之和最小. 解：如图3，作AB=4，AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，且AC=1，BD=2，P 为AB 上一点，设AP=x ，则2
2
)4(4,1x PD x PC -+=+=，问题转化为找出P 点的位置，使PC+PD 最小.如图4，作C 关于AB 的对称点C ′，连结C ′D 交AB 于P ，由⊿PAC ′
∽⊿PBD ，得214=-x x ，求得3
4
=x ，所以22)4(41x x -+++的最小值是5.
例3： 已知x,y,z ∈（0，1），求证： x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1 证：构造边长为1的正△ABC ，D ，E ，F 为边上三点，
D D 图3 A B C B P
图4
A C ′ C
B
D
C
F E
x y
z
并设BD=x ，CE=y ， AF=z ，如图1 显然有S △BDE +S △CEF +S △ADF <
4
3 即
34 x(1-y)+ 34 y(1-z)+ 34 z(1-x)＜34
例4正数a 、b 、c 、A 、B 、C 满足条件a+A=b+B=c+C=k ，求证：aB+bC+cA<k2 此题有多种证法，仅构造法证法就有下列几种，可见数学的魅力。
证明一：由求证的不等式联想到面积关系，由所设条件联想到构造以边长为k 的正三角形，如下图所示：
c b a
C B
A L N M R
Q
P
由S △LRM+S △MPN+S △NQL<S △PQR 即证。
证明二：由求证的不等式联想到面积关系，由题设条件式联想到以边长为k 的正方形。
如下图所示。
bC cA aB
B
b c b
a
C B A
由图即证。
证明三：以上两种证法是联想到面积，那么联想到体积可以吗？ 不妨构造棱长为k 的正方形，则有
k3=(a+A)·(b+B)·(c+C)ss=abc+ABC+k(aB+bC+cA) 显然k3>k(aB+bC+cA) 得证。
证明四：还可联想函数式，构造以c （或a 或b ）为变量字母的一次函数式： f(c)=(k-a-b)c+k(a+b)-ab-k2 (0<c<k)
此函数式的图象是无端点的线段，且f(0)<0，f(k)<0 ∴f(c)<0 得证。
例5： 试证：对任何
，都有
，当有仅当时等号成立。
观察题目特点，从联想到余弦定理，可以构造三角形，同理，另两个根式也可构造三角形，利用几何图形进行证明。
根据题意构造图形（如上图），其中AB=a，BC=c，BD=b，，由余弦定理得：
在中，，则。
但当A、D、C三点共线时等号成立，此时，，即。
，即
例6：已知x、y、z为正数，且xyz（x+y+z）=1，求（x+y）（y+z）的最小值
分析：该题看似无从下手，但（x+y）（y+z）得形式类似与AB形式，与面积公式有相似之处，我们可以构造一个边长为a=x+y，b=y+z，c=z+x的三角形ABC，那么此三角形的面积可以用两种方法来求：
（1）海伦公式：不再大纲范围（略）
因此当sinC 最大等于1时，（x+y ）（y+z ）有最小值为2。
例7如图5，四边形ABCD 中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=6，BC=35-，CD=6，则AD=________.
解：如图构造矩形EFDG.
,6,135=︒=∠AB ABC ∴AE=BE=3，
33,3,6,120==∴=︒=∠GD CG CD BCD .
,83353=+-+=++=∴CG BC EB DF
.32333=-=-=AE EF AF .
1928)32(2222=+=+=
∴DF AF AD
例8：如图6，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BC=b ，AB=AC=AD=a ,求BD 的长.
A F
C
B
E G
图7
分析：求线段的长一般是把线段放到比例式或直角三角形中，根据题意构造⊙A ，根据直径所对的圆周角是直角得到Rt ⊿BDE. 解：以A 为圆心，AB 为半径构造⊙A ，由于AB=AC=AD ， 则C ，D 在⊙A 上，延长BA 交⊙A 于E ，连结DE ，得 Rt ⊿BDE.由于AB ∥DC ，BC=b ，所以ED=BC=b ，又
EB=2AB=a 2，所以 2
2224)2(b a b a BD -=-=.
练习：
1、已知a ，b ，c ，d 为正数，且a^2+b^2=c^2+d^2,ac=bd,求证：a=d,b=c
2、已知0＜a ＜1，0＜b ＜1， 求证：√（a^2+b^2）+√(a-1)^2+b^2+√a^2+(b-1)^2+√(a-1)^2+(b-1)^2>=2√2
3、求证：ac+bd ≤√(a^2+b^2) *√(c^2+d^2)
B A
C D E 图8。