万有引力及应用知识点总结

专题：万有引力定律总复习（人造天体(卫星)的运动）
万有引力及应用：与牛二及运动学公式
1思路(基本方法)：卫星或天体的运动看成匀速圆周运动, F 心=F 万 (类似原子模型)
2方法：F 引=G 2r Mm = F 心= m a 心= m
ωm R
v =2
2 R 地面附近：G
2R
Mm
= mg ⇒GM=gR 2 (黄金代换式) 轨道上正常转：G 2r Mm = m R v 2
⇒ r
GM
v =
【讨论(v 或E K )与r 关系，r 最小
时为地球半径，
v 第一宇宙=7.9km/s (最大的运行速度、最小的发射速度)；T 最小=84.8min=1.4h 】
G
2
r Mm =m 2
ωr = m r T 224π ⇒ M=2324GT r π ⇒ T 2
=2
3
24gR r π⇒
2T 3G πρ=
（M=ρV 球=ρ
π3
4
r 3） s 球面=4πr 2 s=πr 2 (光的垂直有效面接收，球体推进辐射) s 球冠
=2πRh
3理解近地卫星：来历、意义 万有引力≈重力=向心力、 r 最小时为地球半径、 最大的运行速度=v 第一宇宙=7.9km/s (最小的发射速度)；T 最小=84.8min=1.4h 4同步卫星几个一定：三颗可实现全球通讯(南北极有盲区)
轨道为赤道平面 T=24h=86400s 离地高h=3.56ｘ104km(为地球半径的5.6倍) V=3.08km/s ﹤V 第一宇宙=7.9km/s ω=15o
/h (地理上时区) a=0.23m/s 2
5运行速度与发射速度的区别 6卫星的能量：(类似原子模型)
r 增⇒v 减小(E K 减小<E p 增加),所以 E 总增加;需克服引力做功越多,地面上需要的发射速度越大
7. 应该熟记常识：地球公转周期1年, 自转周期1天=24小时=86400s, 地球表面半径6.4ｘ103km 表面重力加速度g=9.8 m/s 2 月球公转周期30天
一、卫星的绕行角速度、周期与高度的关系
（1）由()
()
22
mM
v G
m r h r h =++，得v =h ↑，v ↓
（2）由G
()
2
h r mM
+=m ω2（r+h ），得ω=
()
3
h r GM
+，∴当h ↑，ω↓
（3）由G ()2
h r mM
+()224m r h T π=+，得T=()GM h r 3
24+π ∴当h ↑，T ↑
二、三种宇宙速度：
① 第一宇宙速度（环绕速度）：v 1=7.9km/s ，人造地球卫星的最小发射速度。

也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度。

② 第二宇宙速度（脱离速度）：v 2=11.2km/s ，使卫星挣脱地球引力束缚的最小发射速度。

③ 第三宇宙速度（逃逸速度）：v 3=16.7km/s ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。

三、第一宇宙速度的计算．
方法一：地球对卫星的万有引力就是卫星做圆周运动的向心力． G
()2
h r mM
+=m ()h r v +2，v=h
r GM
+。

当h ↑，v ↓，所以在地球表面附近卫星的速度是它运行的最大速度。

其
大小为r ＞＞h （地面附近）时，1V =
=7．9×103m/s 方法二：在地面附近物体的重力近似地等于地球对物体的万有引力，重力就是卫星做圆周运动的向心力．
()
2
1v mg m
r h =+．当r ＞＞h 时．g h ≈g 所以v 1＝gr =7．9×103m/s 第一宇宙速度是在地面附近h ＜＜r ，卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度．
四、两种最常见的卫星 ⑴近地卫星。

近地卫星的轨道半径r 可以近似地认为等于地球半径R ，由式②可得其线速度大小为v 1=7.9×103m/s ；由式③可得其周期为T =5.06×103s=84min 。

由②、③式可知，它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。

神舟号飞船的运行轨道离地面的高度为340km ，线速度约7.6km/s ，周期约90min 。

⑵同步卫星。

“同步”的含义就是和地球保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期，即T =24h 。

由式G
2
h r mM
+=m ()h r v +2= m 224T π（r+h ）可得，同步卫星离地面高度为 h ＝3224π
GMT －r ＝3·58×107 m 即其轨道半径是唯一确定的离地面的高度h =3.6×104km ，而且该轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致即由西向东。

如果仅与地球自转周期相同而不定点于赤道上空，该卫星就不能与地面保持相对静止。

因为卫星轨道所在平面必然和地球绕日公转轨道平面重合，同步卫星的线速度
v=
h
r GM
+=3.07×103m/s 通讯卫星可以实现全球的电视转播，从图可知，如果能发射三颗相对地面静止的卫星（即同步卫星）并相互联网，即可覆盖全球的每个角落。

由于通讯卫星都必须位于赤道上空3.6×107m 处，各卫星之间又不能相距太近，所以，通讯卫星的总数是有限的。

设想在赤道所在平面内，以地球中心为圆心隔50放置一颗通讯卫星，全球通讯卫星的总数应为72个。

五.了解不同高度的卫星飞行速度及周期的数据
卫星飞行速度及周期仅由距地高度决定与质量无关。

设卫星距地面高度为h ，地球半径为R ，地球质量为M ，卫星飞行速度为v ，则由万有引力充当向心力可得v=½。

知道了卫星距离地面的高度，就可确定卫星飞行时的速度大小。

不同高度处人造地球卫星的环绕速度及周期见下表：
六、卫星的超重和失重
（1）卫星进入轨道前加速过程，卫星上物体超重．(2)卫星进入轨道后正常运转时，卫星上物体完全失重．
七、人造天体在运动过程中的能量关系
当人造天体具有较大的动能时，它将上升到较高的轨道运动，而在较高轨道上运动的人造天体却具有较小的动能。

反之，如果人造天体在运动中动能减小，它的轨道半径将减小，在这一过程中，因引力对其做正功，故导致其动能将增大。

同样质量的卫星在不同高度轨道上的机械能不同。

其中卫星的动能为r
GMm E K 2=，由于重力加速度g 随高
度增大而减小，所以重力势能不能再用E k =mgh 计算，而要用到公式r
GMm
E P -
=（以无穷远处引力势能为零，M 为地球质量，m 为卫星质量，r 为卫星轨道半径。

由于从无穷远向地球移动过程中万有引力做正功，
所以系统势能减小，为负。

）因此机械能为r
GMm
E 2-
=。

同样质量的卫星，轨道半径越大，即离地面越高，卫星具有的机械能越大，发射越困难。

八、相关材料
I ．人造卫星做圆轨道和椭圆轨道运行的讨论
当火箭与卫星分离时，设卫星的速度为v （此即为发射速度），卫星距离地心为r,并设此时速度与万有引力垂直（通过地面控制可以实现）如图所示，则2
Mm
F G
r
万
，若卫星以v 绕地球做圆周运动，则所需要的向心力为：F 向＝2
v
m r
① 当F 万=F 向时，卫星将做圆周运动．若此时刚好是离地面最近的轨道，则可求出此时的发射速度 v ＝7.9 km/s.
②当F 万＜F 向时，卫星将做离心运动，做椭圆运动，远离地球时引力做负功，卫星动能转化为引力势能．（神州五号即属于此种情况）
③当F 万＞F 向时，卫星在引力作用下，向地心做椭圆运动，若此时发生在最近轨道，则v ＜7.9 km/s ，卫星将坠人大气层烧毁。

因此：星箭分离时的速度是决定卫星运行轨道的主要条件． 2.人造卫星如何变轨
卫星从椭圆轨道变到圆轨道或从圆轨道变到椭圆轨道是卫星技术的一个重要方面，卫星定轨和返回都要用到这个技术．
以卫星从椭圆远点变到圆轨道为例加以分析：如图所示，在轨道A 点，万有引力F A ＞2
v
m r
，要使卫
星改做圆周运动，必须满足F A ＝2
v
m r
和F A ⊥v ，在远点已满足了F A ⊥v 的条件，所以只需增大速度，让速
度增大到2
v
m r
＝F A ，这个任务由卫星自带的推进器完成．
这说明人造卫星要从椭圆轨道变到大圆轨道，只要在椭圆轨道的远点由推进器加速，当速度达到沿圆轨道所需的速度，人造卫星就不再沿椭圆轨道运动而转到大圆轨道．“神州五号”就是通过这种技术变轨的，地球同步卫星也是通过这种技术定点于同步轨道上的．
1、处理人造天体问题的基本思路
由于运行中的人造天体，万有引力全部提供人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力，因此所有的人造地球卫星的轨道圆心都在地心．解关于人造卫星问题的基本思路：①视为匀速圆周运动处理；②万有引力充当向心力；③根据已知条件选择向心加速度的表达式便于计算；④利用代换式gR 2=GM 推导化简运算过程。

注意：①人造卫星的轨道半径与它的高度不同．②离地面不同高度，重力加速度不同，
说明：可以看出，绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的轨道半径r 、线速度大小v 和周期T 是一一对应的，其中一个量确定后，另外两个量也就唯一确定了。

离地面越高的人造卫星，线速度越小而周期越大。