稳恒磁场的安培环路定理公式
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2安培环路定理
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
v B1
v B2
v d l1
r1
dα
v dl2
θ1
I
●
r2
2
o θ
L
v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v µ0I v B 1 ⋅ d l1 = dα 2π v v µ0I B2 ⋅ dl2 = − dα 2π
v B1
v B2
L1
L
µ0 I
0
（闭合回路包围电流） 闭合回路包围电流） 闭合回路不包围电流） （闭合回路不包围电流）
表明：沿闭合环路的线积分，等于穿过以闭合环路 表明：沿闭合环路的线积分， 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 为边界的所围曲面的所有电流的代数和乘以 代数和
µ0
如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 如果闭合回路不在垂直长直电流平面内， 情况又如何？ 情况又如何？
r r ∫ B ⋅ d l ≠ 0 说明稳恒磁场不是保守场
L
——磁场是“有旋场” 磁场是“有旋场” 磁场是
例：如图，流出纸面的电流为 2I ， 如图， 流进纸面的电流为 I ， 则下述各式中那一个是正确的? 则下述各式中那一个是正确的 r r r r (B) ∫ L 2 B ⋅ d l = µ 0 I (A) ∫ L B ⋅ d l = 2µ0 I r r r r (C) ∫ L B ⋅ d l = − µ0 I (D) ∫ L B ⋅ d l = − µ 0 I
如图， 如图，闭合曲线 L 不在垂直直电流的平面内
L
o
v dl||
v dl
v dl⊥
v v v dl = dl|| + dl⊥
L⊥
安培环路定理
无限长圆柱面电流，圆柱外磁场分布与电流集中在轴线上的 直线电流产生的磁场相同；圆柱内处处磁场为0。 B分布曲线为：
I
B
0 I 2R
R
1
r
B0
0 I 1 B 2r r
2
r
L
o
R
r
例 15.7 一环形载流螺绕环，匝数为
N ，螺绕环轴线半径为R ，通有电 流 I ，求管内磁感应强度。
分析对称性,作积分回路如图 计算环流
Bdl I
0 l
i
B
空间所有电流共同产生 在场中任取的一闭合线 L绕行方向上的任一线元 环路所包围的电流 与L套连的电流
L dl
I3
I1
Ii
L
I 2 dl
电流分布
比较
静电场
?
l
磁 场
E dl 0
l
Bdl I
0 i
i
电场有保守性，它是 保守场，或有势场.
环管内截面上宽为dr、高为h的一窄条面积通过的磁通量为：
0 NIh d Bhdr dr 2r
0 NIh R 1 0 NIh R2 dr ln 全部截面的磁通量为： d R 2 r 2 R1
2 1
本次课结束
课后作业
15.7 15.15
谢谢！
15.15 在长直导线近旁放一矩形线圈与其共面，线圈各边分别平 行和垂直于长直导线。线圈长度为l，宽为b，近边距长直导线距 离为a，长直导线中通有电流I。当矩形线圈中通有电流I1时，它受 到的磁力的大小和方向如何？它又受到多大的磁力矩？
磁场没有保守性，它是 非保守场，或无势场.
1 E d S qi 0 S
大学物理,稳恒磁场10-4安培环路定理概述.
0I B
2πR
R
oR r
12
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
例：求无限长载流圆柱面的磁场分布。
L1
r
IR
L2 r
0I B
2π R
oR r
解 0 r R, B d l 0 l r R, l B d l 0I
B0 B 0I
2π r 13
LB dl μ0 I
B d l
L
μ0 ( I1
I1
I1
I2)
μ（0 I1
I
）
2
I1
I2 I3
I1
L
I1
思考：
1） B 是否与回路 L 外的电流有关？
2）若 B d l 0 ，是否回路 L 上各处 B 0 ？ L
是否回路 L 内无电流穿过？
2πR
当 2R d 时，
螺绕环内可视为均匀场。
令：n N
2R
B μ0nI
第10章 稳恒磁场
d
R
10
10.4 安培环路定理
第10章 稳恒磁场
例：无限长载流圆柱体的磁场。
I
解：1）对称性分析
2）选取回路
r R :
Bdl
l
μ0 I
RR
L
r
B
2 π rB 0I,
B μ0 I 2πr
电流共同产生的。
3）环路定理适用于闭合稳恒电流的磁场。而有限电 流（如一段不闭合的载流导线）不适用环路定理。
4）安培环路定理说明磁场性质 —— 磁场是非保守场，是涡旋场。
磁场的安培环路定理
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
P. 26 / 31 .
例 ∞载流平板，截面上电流线密度为 j ，求平板两侧
的磁感应强度。 解 ( 电流线密度： j I ) b 磁场分布关于平板对称！ b c d a B dl
I
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
P. 25 / 31 .
课堂练习 密绕环形螺线管载流 I ，总匝数为N，求管内
磁感应强度。 提示：磁感线为同心圆。作如图圆形安培回路。
B dl B 2 r 0 N I
L
r o
L
0 N I 1 B 2 r r
B0
B
L
I
L
0 0 I 2 r
(r R) (r R)
B dl B 2 r
r
r
B dl 0 I
L
L
0 I B 2 r
可等效成 ……
rr R
L L
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
P. 19 / 31 .
0 I dl 0 I 2 r L
B
Chapter 7. 恒定磁场
§7.6 安培环路定理 作者：杨茂田
P. 4 / 31 .
在磁感线平面内作一闭合回路L：
L I I
r dl
d
L
B dl
0 I 2 r | dl | cos L
P. 6 / 31 .
对任意闭合回路L，由于：
安培环路
B d l B d cos l Brd 0I 0 I d B dl rd 2π 2πr
d
l
I
dl
B
r
I r1
r2
l
B d l B d l 0 1 1 2 2 结论： d l 0 B
l
(3) 多电流情况
I1
B 0nI
无限长载流螺线管内部磁场处处相等 , 外部磁场为零.
2、求无限长载流圆柱导体内外的磁场。设圆柱体半 径为R，面上均匀分布的总电流为I。 I
解：沿圆周L的B环流为
(L )
R
I d l B 2 r 0 内 B
dB
P
dB d B
当 r R 时 , I I B 2 r I 内 0 0I B 2 r I 2 当 r R 时 , I r 内 2 R r2 I 0 B2 r I B r 0 2 2 R 2 R
d l I 0 B
l
R
l
I
B
若电流反向时，则：
I 0 l B dl 2πRl dl 0I
对任意形状的回路 B 0 I 2 r
I
l 2 I 0 B d l d 结论： B d l I 0 l 0 l 2 0I 0 I (2) 闭合曲线不包围长直电流： B2 B1 B2 2 π r2 2 π r1 B1 μ μ 0I 0I B d l1 d φ B dφ l2 d φ 1 2 d dl 2 π 2 π 2 dl1
dB1
解 1)对称性分析 2）选取回路 设：面电流密度为j
d dB
P
安培环路定理
l
r R, B d l 0 I
l
第10章 稳恒磁场
10–2 安培环路定理
12
例10.2 如图所示，一无限大导体薄平板垂直于纸 面放置，其上有方向指向读者的电流，通过与电流 方向垂直的单位长度的电流大小为i，求其磁场分布 .
第10章 稳恒磁场
10–2 安培环路定理
13
解：
ab cd l
a b c d
b c d a B dl B dl B dl B dl B dl 0li
L
2Bl 0li
1 B 0i 2
以上结果说明：在无限大均匀平面电流两侧的磁场 是匀强磁场，且大小相等、方向相反.其磁感应线在 无限远处闭合，与电流亦构成右螺旋关系.
L L
2 rB 0 I
0 I B (r R ) 2 r
2）圆柱体内任一点Q
I 2 L B d l 2 rB 0 R2 r 0 Ir B (r R2 安培环路定理
10
B
的方向与
r R,
第10章 稳恒磁场
10–2 安培环路定理
B d l 0 ( I1 I1 I1 I 2 )
L
I1 I1
L
I2 I 3 I1
（ 0 I1 I 2）
问 1） B是否与回路 L 外电流有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L上各处 B 0？ L 是否回路 L 内无电流穿过？
第10章 稳恒磁场
r R,
I
I 构成右手螺旋关系 0 Ir B 2 2 R 0 I B 2 r
0 I 2 R
r R, B d l 0 I
l
第10章 稳恒磁场
10–2 安培环路定理
12
例10.2 如图所示，一无限大导体薄平板垂直于纸 面放置，其上有方向指向读者的电流，通过与电流 方向垂直的单位长度的电流大小为i，求其磁场分布 .
第10章 稳恒磁场
10–2 安培环路定理
13
解：
ab cd l
a b c d
b c d a B dl B dl B dl B dl B dl 0li
L
2Bl 0li
1 B 0i 2
以上结果说明：在无限大均匀平面电流两侧的磁场 是匀强磁场，且大小相等、方向相反.其磁感应线在 无限远处闭合，与电流亦构成右螺旋关系.
L L
2 rB 0 I
0 I B (r R ) 2 r
2）圆柱体内任一点Q
I 2 L B d l 2 rB 0 R2 r 0 Ir B (r R2 安培环路定理
10
B
的方向与
r R,
第10章 稳恒磁场
10–2 安培环路定理
B d l 0 ( I1 I1 I1 I 2 )
L
I1 I1
L
I2 I 3 I1
（ 0 I1 I 2）
问 1） B是否与回路 L 外电流有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L上各处 B 0？ L 是否回路 L 内无电流穿过？
第10章 稳恒磁场
r R,
I
I 构成右手螺旋关系 0 Ir B 2 2 R 0 I B 2 r
0 I 2 R
11-6 安培环路定理
d
B1
I
r1
B2 dl 2 dl1
0 I 0 I B1 dl1 r1d d 2 r1 2π
r2
0 I 0 I B2 dl2 r2 d d 2 r2 2π
l
B1 dl1 B2 dl2 0 B d l 0
L4
第十一章 恒定磁场
11 – 6 安培环路定理
B dl 0
L
④ 穿过 L 的电流： 对 B 和 LB dl 均有贡献 不穿过 L 的电流： 对 L 上各点 B 有贡献 对 LB dl 无贡献 B : 与空间所有电流有关 B 的环流： 只与穿过环路的电流代数和有关
(1) 回路 L 内的 I (2) 回路 L 内的 I (3) 回路 L 内的 I (4) 回路 L 内的 I
第十一章 恒定磁场
不变， L 上各点的B 不变. 不变， L 上各点的B 改变. 改变， L 上各点的B 不变. 改变， L 上各点的B 改变.
11 – 6 安培环路定理
l
R R
L
r
2π r 2 πr 0 r R B d l 0 I 2 l πR 2 0 Ir 0 r B 2π rB 2 I 2 2π R R
第十一章 恒定磁场
B
0 I
B
dB
I
.
dI
B
11 – 6 安培环路定理
B
的方向与 I 成右螺旋
0 r R,
例 如图，流出纸面的电流为 2 I ，流进纸面的电 流为 I ，则下述各式中哪一个是正确的? （） (1)
(2) (3) (4)
大学物理稳恒磁场
B2
0
r
r2 R2
I
rR
I
0I rR p r
B20R I2r rR
rp
B 0I rR 2r
B
无限长圆柱导体电流外面的磁场与电流
都集中在轴上的直线电流的磁场相同
.
R
r
无限长通电柱面
B2r 0 rR
0I rR p r I
B0 rR
rp
B 0I rR 2r
B
思考：有人说：“环路不环绕
电流时，环路上磁场必处处为
o
( D ) 20I R
B
( E ) 20I 8R
.
[A]
5.如图所示，电流由长直导线 1 经 a 点流 入电阻均匀分布的正方形线框，再由 b 点 流出，经长直导线 2 返回电源（导线 1、2 的延长线均通过 o 点）。设载流导线 1、2 和正方形线框在框中心o 点产生的磁感应 强度分别用 B1、B2、B3 表示，则 o 点的感 应强度大小
单位长度的电流）到处均匀。大小为 j
解：视为无限多平行
长直电流的场。 B
p
分析场点p的对称性
B
因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。
.
作一安培回路如图： bc和 da两边被电流平 面等分。ab和cd 与电 流平面平行,则有
L B d lB 2 lojl
(A )BR2B r. (B)BRBr. (C )2BRB r. (D )BR4Br.
.
[B]
4.两半径为R的相同导体细圆环,互相垂直放 置,且两接触点A、B连线为环的直径,现有 电流1沿AB连线方向由A端流入,再由 B端流 出,则环中心处的磁感应强度大小为:
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稳恒磁场的安培环路定理公式
稳恒磁场的安培环路定理公式揭示了电流在磁场中所受到的力和
磁感应强度之间的关系。
这个定理在物理学中扮演着重要的角色。
本
文将以通俗易懂的方式介绍这个定理的公式以及其背后的物理原理，
希望能够给读者带来指导意义。
安培环路定理的公式是通过一条封闭的路径来描述电流在磁场中
所受到的力的总和。
这个路径被称为安培环路，通常采用一个简单的
闭合曲线来表示。
具体而言，公式可以表达为：$\sum
\overrightarrow{B} \cdot \overrightarrow{dl} = \mu_0 \cdot
I_{enc}$，其中$\sum \overrightarrow{B} \cdot
\overrightarrow{dl}$表示安培环路上磁感应强度与微小路径元素的
内积之和，$\mu_0$是真空中的磁导率，$I_{enc}$表示通过安培环路
所围成的面积的电流。
从这个公式可以看出，磁感应强度与路径元素之间的内积是电流
所受到的力的量度。
如果磁感应强度和路径元素之间的内积为正值，
那么电流将受到一个向内的力；反之，如果内积为负值，电流将受到
一个向外的力。
这里需要注意的是，安培环路定理只对稳恒磁场成立，也就是说磁场的强度和方向在空间中不发生变化。
安培环路定理的公式可以通过一个具体的例子来更加生动地说明。
假设有一根直导线通有电流$I$，而周围存在一个磁场
$\overrightarrow{B}$。
我们可以通过一个半径为$r$的圆形安培环路
来观察这个过程。
根据公式，我们可以计算出磁感应强度在安培环路
上的线积分。
在这个例子中，由于磁场的方向与路径元素的方向相同，内积将永远为正值。
因此，电流在环路上将受到一个向内的力。
这个
力的大小可以由公式计算得出。
安培环路定理不仅在理论上有重要意义，它还在实际中广泛应用。
例如，当我们需要设计电磁铁时，可以根据安培环路定理来确定所需
的电流和磁感应强度，从而使电磁铁能够产生所需要的磁场。
此外，
在电子学、电力系统和电磁感应等领域，安培环路定理也发挥着关键
的作用。
总结来说，安培环路定理的公式通过磁场中的安培环路来描述电
流所受到的力和磁感应强度之间的关系。
这个公式在稳恒磁场中适用，并通过路径元素与磁感应强度之间的内积来计算力的大小。
了解安培
环路定理的公式和背后的物理原理有助于我们更好地理解和应用磁场
的知识。
希望这篇文章能够给读者带来对安培环路定理的深入理解和
启发。