2020-2021南京市高一数学下期中试题附答案
此时直线在两坐标轴上的截距都为 0，满足题意；
当
2
a
0 ，即 a
2 时，直线 ax
y
2a
0 化为
2
x
a
2
y
a
1，
a
由直线在两坐标轴上的截距相等，可得 2 a 2 a ，解得 a 1； a
2．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形
状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已
知网格纸中小正方形的边长为 1，则该陀螺模型的体积为（ ）
A． 107 3
B． 32 45 3
C． 16 32 3
D． 32 33 3
是与 x 轴平行的线段仍然与 x 轴平行且相等；二是与 y 轴平行的线段仍然与 y 轴平行且长
度减半.
4．B
解析：B 【解析】 该几何体是一个正方体与半圆柱的组合体，表面积为
S 5 22 2 1 12 1 2 20 3 ，故选 B． 2
5．B
解析：B 【解析】
由 f x 为偶函数得 m 0,所以
3
3
3
故选： D .
【点睛】
本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.
3．B
解析：B
【解析】 【分析】
依题意由 △A1B1C1 的面积为 2 2 ，解得 B1C1 4 ，所以 BC 8 ， AC 2 ，根据勾股定理 即可求 AB ．
【详解】
依题意，因为 △A1B1C1 的面积为 2 2 ，
2．D
解析：D 【解析】
【分析】
由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、 锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.
【详解】
由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.
所以该陀螺模型的体积V 1 42 2 32 3 1 32 2 32 33 .
三棱锥 O ABC 的体积为 4 ，则球 O 的表面积为（ ） 3
A． 22
12．如图在正方体
B． 74 3
C． 24
D． 36
中，点 为线段 的中点. 设点 在线段 上，直
线 与平面
所成的角为 ，则 的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将
面 CFG ;（2）求多面体 CDEFG 的体积
22．如图，正方形 ABCD 所在平面与三角形 CDE 所在平面相交于 CD ， AE⊥平面 CDE ，且 AE 1, AB 2 . (Ⅰ)求证： AB 平面 ADE ；
(Ⅱ)求凸多面体 ABCDE 的体积.
23．如图，在三棱锥 S ABC 中， SAC 为等边三角形， AC 4 ， BC 4 3 ，
D 正六边形
可以画出三角形但不是直角三角形；
故选 A．
用一个平面去截正方体，则截面的情况为： ①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角 形、直角三角形； ②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直 角梯形； ③截面为五边形时，不可能是正五边形； ④截面为六边形时，可以是正六边形． 故可选 A．
2
4
分别为 、 ．
17．已知直线 l : x my m 0，且与以 A(-1,1)、B(2,2)为端点的线段相交，实数 m 的取值
范围为___________.
18．已知点 A1, 0 ， B2,0 ，直线 l ： kx y 5k 0 上存在点 P ，使得
PA2 2PB2 9 成立，则实数 k 的取值范围是______. 19．已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所在平面，若 PC BD ，则平行四边形 ABCD 一
角 A BD C 为120 ，则点 A 到 BCD 所在平面的距离等于
．
15．已知正三棱锥 P ABC，点 P，A，B，C 都在半径为 3 的求面上，若 PA，PB，PC 两
两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为________．
16．若圆的方程为 (x k )2 ( y 1)2 1 3 k 2 ，则当圆的面积最大时，圆心坐标和半径
定是___________.
20．如图，已知圆锥的高是底面半径的 2 倍，侧面积为 ，若正方形 ABCD 内接于底面圆 O ，则四棱锥 P ABCD 侧面积为__________．
三、解答题 21．如图，梯形 ABCD 中， AB ∥ CD , E,F 是线段 AB 上的两点,且 DE AB, CF AB , AB 12 , AD 5 , BC 4 2 , DE 4 .现将△ ADE ,△ CFB 分别沿 DE , CF 折起,使两点 A, B 重合于点 G ,得到多面体 CDEFG （1）求证：平面 DEG 平
所以 2
2
1 2
A1C1 B1C1
sin
45
1 2
2
B1C1
2 ，解得 B1C1 4 ， 2
所以 BC 8 ， AC 2 ，又因为 AC BC ，
由勾股定理得： AB AC2 BC2 82 22 68 2 17 ．
故选 B． 【点睛】 本题考查直观图还原几何图形，属于简单题. 利用斜二测画法作直观图，主要注意两点：一
综上所述，实数 a 2 或 a 1．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了直线方程的应用，以及直线在坐标轴上的讨论求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能
力，属于基础题.
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
【详解】
画出截面图形如图
显然 A 正三角形 C 正方形：
四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥 P ABC 为鳖臑， PA 平面
ABC ， PA AB 2, AC 4 ，三棱锥 P ABC 的四个顶点都在球 O 的球面上，则球 O
的表面积为__________.
14．已知菱形 ABCD 中， AB 2 ， A 120 ，沿对角线 BD 将△ABD 折起，使二面
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知可得三角形 ABC 为直角三角形，斜边 BC 的中点 O 就是 ABC 的外接圆圆心， 利用三棱锥 O ABC 的体积，求出 O 到底面的距离，可求出球的半径，然后代入球的表
3．水平放置的 ABC 的斜二测直观图如图所示，若 A1C1＝2 ， △A1B1C1 的面积为 2 2 ，
则 AB 的长为（ ）
A． 2
B． 2 17
C．2
4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
D．8
A． 20 2π
B． 20 3π
C． 24 2π
D． 24 3π
5．已知定义在 R 上的函数 f (x) 2 xm 1(m为实数) 为偶函数,记
26．设直线 l 的方程为 a 1 x y 5 2a 0a R.
(1)求证:不论 a 为何值，直线 l 必过一定点 P ;
(2)若直线 l 分别与 x 轴正半轴， y 轴正半轴交于点 A xA, 0 ， B0, yB ，当 AOB 而积最
小时，求 AOB 的周长;
(3)当直线 l 在两坐标轴上的截距均为整数时，求直线 l 的方程.
又由
2x x y
y 1
0
0
，解得
x
y
1 2
，即直线恒过定点
P1,
2
，圆心
C
1,
2
，
2
当
CP
l
时弦长最短，此时
CP
2
AB
2
r 2 ，解得
AB min
6，
再由 l 经过圆心时弦长最长为直径 2r 10 ，
所以弦长 AB 的取值范围是6,10 .
故选：D. 【点睛】 本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利 用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重 考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
8．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】 正四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心在它的高 PO1 上，
记为 O，PO=AO=R， PO1 4 ， OO1 =4-R， 在 Rt△ AOO1 中， AO1 2 ，
由勾股定理 R2 2 4 R2 得 R 9 ，
4 ∴球的表面积 S 81 ，故选 A.
a f (log0.5 3), b f (log2 5), c f (2m) ,则 a,b, c ,的大小关系为（ ）
A． a b c
B． c a b
C． a c b
D． c b a
6．已知直线 ax y 2 a 0 在两坐标轴上的截距相等，则实数 a ( )
A．1
B． 1
C． 2 或 1
7．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）
D．2 或 1
A．直角三角形
B．等边三角形
C．正方形
D．正六边形
8．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积
为（ ）
A． 81 4
B．16
C． 9
D． 27 4
9．在梯形 ABCD中， ABC 90， AD / /BC ， BC 2AD 2AB 2 .将梯形 ABCD 绕 AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
V圆柱
V圆锥
12
2
1 3
12
1
江苏省南京市鼓楼区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
南京市鼓楼区2020~2021学年度第二学期高一(下)期中试卷数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自已的姓名､准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.计算：sin105=（）2.计算：复数21ii-=+（）A.1322i+ B.1322i- C.1322i-- D.1322i-+3.在△ABC中，角A､B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：7，则其最大角的大小为（）A.60°B.75°C.120°D.150°4.托勒密(C.Ptolemy，约90-168)，古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（）A.0.0017B.0.0454C.0.5678D.0.57365.在下列向量组中，可以把向量()1,3m =-表示出来的是（ ）A.()()1,2,3,2a b =-=B.()()0,0,1,4a b ==-C.()()5,1,10,2a b ==D.()()4,3,4,3a b =-=-6.ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则a b ⋅=（）A.1B.1- D.7.化简22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得（ ） A.4cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.cos 23πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭8.已知ABC 的内角,A B C ､所对的边为,,a b c ，其面积为S ，若2222sin ,S C a b c =+-且ABC 的外接圆ABC 周长的取值范围为（ ）A.(]4,6B.(4,C.(]6,8D.( 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)9.在下列选项中，正确的是（ ） A.3sin17cos13cos17sin132+= B.1cos75cos15sin 75sin152+=C.存在角α，β，使得sin(α+β)<sin α+sin β成立D.对于任意角α，β，式子cos(α+β)<cos α+cos β都成立10已知,,a b c 是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）A.a b b a ⋅=⋅B.()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D.若a b a c ⋅=⋅则b c =11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A B C =+，在下列选项中，正确的是（ ）A.06C π<< B.04C π<<C.sin C 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭D.当6c b =时，则2sin 3C =，12.在下列选项中正确的是（ ）A.若z △C ，|z |2=z 2，则z △RB.若z 1，z 2△C ，|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则z 1z 2=0C.若复数122z =-+，则41122z ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭D.若复数z =(cos25°+i sin25°)(cos65°+i sin65°)，则z =i第Ⅱ卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知α为锐角，且3cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 14.已知复数z 满足|z -1-2i |=2，则|z |的最大值为______.15.作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡.已知F 1=4N ，F 2=5N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则力F 3的大小为______N .16.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，12BF CF =，△BFE =120°，EF =2.若△CEF的面积为3-，则AB =________，sin△BEC =________.四､解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)（1）求m n ⋅的值；（2）求2m n +的值.18.(本小题满分12分)已知z 是复数，z +3i 为实数(i 为虚数单位)，且||z =（1）求z ；（2）若z 和(z +mi )2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m 的取值范围.19.(本小题满分12分)在△a =7；△c sin A =4；△512B π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.问题：是否存在锐角三角形ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =8，cos cos()B A C C +-=，__________？20.(本小题满分12分)设函数2()2cos cos ()f x x x x x R =+∈.（1）求f (x )的最小正周期；（2）设方程5()?2f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两解分别为x 1，x 2，求cos(x 1-x 2)的值. 21.(本小题满分12分)关于公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN 中，点P 在边MN 上，点Q 在边GN 上，QT △HM ，垂足为T ，△HPQ =90°，设HQ =1，△QHP =α，△PHM =β.在直角三角形QHP 中，QP =sin α，PH =cos α，在直角三角形PHM 中，PM =___________，在直角三角形QPN 中，△QPN =β，PN =sin αcos β，在直角三角形HQT 中，QT =___________，因为QT =PM +PN ，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.22.(本小题满分12分)已知向量()()()1,4,,3,,0,0,0,OA OB a OC b a b O =-=-=->>为坐标原点.（1）当2,3a b ==时，求AB 与AC 的夹角的余弦值；（2）若,,A B C 三点共线，求13a b+的最小值.南京市鼓楼区2020~2021学年度第二学期高一(下)期中试卷数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自已的姓名､准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.计算：sin105=（）【答案】D【考点】两角和与差的正弦公式【解析】由题意可知，()321sin105sin6045sin60cos45cos60sin4522224=+=+=⨯+⨯=，故答案选D2.计算：复数21ii-=+（）A.1322i+ B.1322i- C.1322i-- D.1322i-+【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意可知，()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-，故答案选B . 3.在△ABC 中，角A ､B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ：b ：c =3：5：7，则其最大角的大小为（ ）A.60°B.75°C.120°D.150°【答案】C【考点】余弦定理的应用【解析】由题意可知，c 为最大边，且设3,5,7a b c ===，则在ABC 中，由余弦定理可得，222cos 2a b c C ab+-= 22235712352+-==-⨯⨯，又()0,C π∈，所以23C π=，即最大角的大小为120，故答案选.C 4.托勒密(C.Ptolemy ，约90-168)，古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）A.0.0017B.0.0454C.0.5678D.0.5736【答案】C【考点】新情景问题下的文化题：三角函数值求解【解析】由题意可知，查表可得3436︒'的正弦值为0.5678，故答案选C.5.在下列向量组中，可以把向量()1,3m =-表示出来的是（ ）A.()()1,2,3,2a b =-=B.()()0,0,1,4a b ==-C.()()5,1,10,2a b ==D.()()4,3,4,3a b =-=-【答案】A【考点】平面向量的基本定理应用：基底的选取与向量的表示【解析】由题意可知，平面向量的基底不共线，选项B 中，a //b ，所以排除；选项C 中，b =2a ，即a //b ，所以排除；选项D 中，a =-b ，即a //b ，所以排除；选项A 中，a 与b 不共线，则向量m =(-1，3)可以用a 与b 表示出来，所以选项A 正确，故答案选A.6.ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则a b ⋅=（ ）A.1B.1- D.【答案】B【考点】平面向量的数量积运算【解析】在ABC 中，由2AB a =，可得1a =，则()2224242AB AC a a b a a b a b ⋅=+=+⋅=+⋅，且AB AC ⋅=1cos602222AB AC ⋅=⨯⨯=∣，所以422a b +⋅=，解得1a b ⋅=-，故答案选.B 7.化简22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得（ ）A.4cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.cos 23πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【考点】三角恒等变换：二倍角公式､诱导公式的应用 【解析】由题意可知，22222sin sin sin cos cos2cos 2cos 3633333πππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛+--=+-+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝2)sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故答案选.B 8.已知ABC 的内角,A B C ､所对的边为,,a b c ，其面积为S ，若2222sin ,S C a b c=+-且ABC 的外接圆ABC 周长的取值范围为（ ） A.(]4,6B.(4,C.(]6,8D.( 【答案】A【考点】正余弦定理的综合应用：求周长的范围问题【解析】由题意可知，在ABC 中，因为22222222212sin 2sin 2sin ab C S ab C C a b c a b c a b c⋅===+-+-+-，因为()0,C π∈，所以sin 0C >，所以222ab a b c =+-，则由余弦定理可得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又()0,C π∈，所以C 3π=，则23A B π+=，在ABC中，由正弦定理可得，sin sin sin a b c A B C ====2,,3c a A b ==3B =，所以ABC 周长()434343432sin sin 2sin sin 2sin sin 33333l a b c A B A B A π⎡⎛=++=++=++=+- ⎢⎝⎣143)]2sin sin 2sin cos 24sin 23223226A A A A A A A π⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++=++=++ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以A 5,666πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则ABC 周长(]4sin 24,66l a b c A π⎛⎫=++=++∈ ⎪⎝⎭，故答案选.A 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)9.在下列选项中，正确的是（ ）A.3sin17cos13cos17sin132+= B.1cos75cos15sin 75sin152+=C.存在角α，β，使得sin(α+β)<sin α+sin β成立D.对于任意角α，β，式子cos(α+β)<cos α+cos β都成立【答案】BC【考点】两角和与差的公式应用【解析】由题意可知，对于选项A ，()1sin17cos13cos17sin13sin 1713sin302+=+==，所以选项A 错误；对于选项()1,cos75cos15sin75sin15cos 7515cos602B +=-==，所以选项B 正确；对于选项C ，当，,36ππαβ==时()1,sin sin sin 1,sin sin sin sin 1362362πππππαβαβ⎛⎫+=+==+=+=> ⎪⎝⎭，所以()sin sin αβα+<，所以sin()sin sin αβαβ+<+成立，所以选项C 正确；对于选项D ，当,22ππαβ==-时()cos cos 1,cos cos 22ππαβαβ⎛⎫+=-=+= ⎪⎝⎭2cos cos 02ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以选项D 错误；综上，答案选.BC 10已知,,a b c 是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）A.a b b a ⋅=⋅B.()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D.若a b a c ⋅=⋅则b c =【答案】CD【考点】平面向量的运算律应用【解析】由题意可知，对于选项A ，满足数量积的交换律，所以选项A 正确；对于选项B ，满足数量积的分配律，所以选项B 正确；对于选项C ，a ·b 与b ·c 的结果均为数，则(a ·b )·c 与a ·(b ·c )的方向不一定相同，大小不一定相等，所以选项C 错误；对于选项D ，若a =0，则b 与c 不一定相等，所以选项D 错误；综上，答案选C D. 11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A B C =+，在下列选项中，正确的是（ ） A.06C π<< B.04C π<<C.sin C 的取值范围为⎛ ⎝⎭D.当6c b =时，则2sin 3C =， 【答案】BCD【考点】解三角形的综合应用【解析】由题意可知，对于选项AB ，因为3A B C =+，且A B C π++=，所以联立解得24,22B C A C ππ+=-=，则2,22B C A C ππ=-=+，又因为()()0,,0,B A ππ∈∈，所以()()()20,20,,20,C C C πππππ⎧-∈⎪⎪⎪+∈⎨⎪∈⎪⎪⎩解得0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以选项A 正确，选项B 错误；对于选项C ，由0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，可得sin 0,2C ⎛∈ ⎝⎭，所以选项C 正确；对于选项D ，当6c b =时，由正弦定理可得，sin 6sin C B =，又22B C π=-，所以sin C ()26sin 6sin 26cos2612sin 2B C C C π⎛⎫==-==- ⎪⎝⎭，则解得2sin 3C =，所以选项D 正确；综上，答案选BCD .12.在下列选项中正确的是（ ）A.若z △C ，|z |2=z 2，则z △RB.若z 1，z 2△C ，|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则z 1z 2=0C.若复数12z =-+，则4112z ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭D.若复数z =(cos25°+i sin25°)(cos65°+i sin65°)，则z =i【答案】ACD【考点】复数的综合应用【解析】由题意可知，对于选项A ，可设z a bi =+，则)222222222||,()2z b a b z a bi a abi b ==+=+=-+，若，22||z z =，则0b =，所以z a R =∈，所以选项A 正确；对于选项B ，设12,z a bi z c di =+=+，则12z z+12z z =-=1212z z z z +=-，则0ac bd +=，而()12(z z a bi c =++()1d ac bd ac bd i ac bd =-++=-，不一定得到120z z =，所以选项B 错误；对于选项C，若12z =-+，所以234111,22z z z =--==-+，所以41111222222z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选项C 正确；对于选项D ，若()()()()cos25sin25cos6565cos25sin25sin2525sin2525z i isin i icos cos =++=++=-()22sin25cos25sin 25cos 25i i ++=，所以选项D 正确；综上，答案选ACD 第Ⅱ卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知α为锐角，且3cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】17【考点】同角三角函数关系､两角和与差的正切公式【解析】由题意可知，α为锐角，且3cos 5α=，所以4sin 5α==，则sin 4tan cos 3ααα==，所以tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭41tan 11341tan 713αα--===++ 14.已知复数z 满足|z -1-2i |=2，则|z |的最大值为______.【答案】2+【考点】复数的运算以及综合应用【解析】由题意可设，z a bi =+，由122z i --=，可得()122a b i -+-=，2=，即22(1)(2)4a b -+-=，可令12cos ,22sin a b θθ-=-=，所以z ==ϕ=为任意角，且1tan )2ϕ=，当()sin 1θϕ+=时取到最大值，所以z=2=15.作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡.已知F 1=4N ，F 2=5N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则力F 3的大小为______N .【考点】正余弦定理在物理上的应用【解析】由题意可知，三个力123,,F F F 平衡，则1F 与2F 的合力F 与3F 等大反向，所以在1OFF 中，由余弦定理可得，2245245cos12061F ==+-⨯⨯⋅=，即3.F =16.如图，在矩形ACD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，12BF CF =，△BFE =120°，EF =2.若△CEF 的面积为3AB =________，sin△BEC =________.【答案】 【考点】双空题：正余弦定理在平面几何中的应用【解析】由题意，因为120BFE ∠=，所以18012060CFE ∠=-=，则在CEF 中，可得12CEF SEF CF =⋅⋅sin 3CFE ∠=-2EF =，可解得2CF =，在CEF 中，可得132CEF S CF h =⋅⋅=，所以h =231AB -===又12BF CF =，所以1,3BF BC BF CF ==+=，在BEF 中，由余弦定理可得，)222222cos 1)2212cos1206BE BF EF BF EF BFE ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⋅=，解得BE 6=，在CEF 中，由余弦定理可得，()222222cos 2)222CE CF EF CF EF CFE ∠=+-⋅⋅=+-⨯)222cos60241]⨯⋅=-==，解得CE =BCE 中，12BCE S BC h =⋅⋅=1sin 2BE CE BEC ∠⋅⋅，则3sin BC h BEC BE CE ∠⋅====⋅ 四､解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)（1）求m n ⋅的值；（2）求2m n +的值. 【考点】平面向量的数量积的坐标运算､模的求解【解析】（1）由题意，因为(2,m =--，所以m =所以23cos ,43cos 6m n m n m n π⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=-； （2）由（1）知6m n ⋅=-，所以|2m +()2224441646949n m m n n =+⋅+=⨯+⨯-+=，所以|2m +7n =∣.18.(本小题满分12分)已知z 是复数，z +3i 为实数(i 为虚数单位)，且||z =（1）求z ；（2）若z 和(z +mi )2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m 的取值范围.【考点】复数的运算､几何意义【解析】（1）由题意可设z a bi =+，则(),333z a bi z i a bi i a b i =-+=-+=+-，又因为3z i +为实数，所以3b =，因为z =2245a b +=，解得6a =±，所以63;z i =±+（2）若z 和2()z mi +在复平面内对应的点都在第一象限，则()22263,()(63)36(3)123z i z mi i mi m m i =++=++=-+++， 所以有236(3)0m -+>，且()1230m +>，解得一33m <<，则实数m 的取值范围为()3,3.- 19.(本小题满分12分)在△a =7；△c sin A =4；△512B π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.问题：是否存在锐角三角形ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =8，cos cos()B A C C +-=，__________？【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用【解析】在ABC 中，因为()cos cos B A C C +-=，且A B C π++=，所以()()cos cos A C A C C -++-=，即2sin sin A C C =，又因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C >，所以sin 2A =， 在ABC 中，由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3A π=， 选△：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即214964162b b =+-⨯，解得3b =或5b =，所以1sin 2ABC S bc A ==或103；选△：sin 84c A ==≠，故该三角形不存在； 选△：由512B π=可得，4C A B ππ=--=，则由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即sin sin c A a C ==且5sin sin sin sin cos cos sin 12464646B πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 824224ABC S ac B ==⨯⨯=+20.(本小题满分12分)设函数2()2cos cos ()f x x x x x R =+∈.（1）求f (x )的最小正周期；（2）设方程5()?2f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两解分别为x 1，x 2，求cos(x 1-x 2)的值. 【考点】三角函数的图像与性质､三角恒等变换给值求值问题【解析】（1）由题意，()1cos212cos212sin 2126f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则()f x 的最小正周期为22;2T πππω=== （2）由（1）知()2sin 21,6f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以方程()52f x =可化为：3sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由12,x x 为方程3sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根可得，13sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭且23sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内122266x x πππ+++=，解得123x x π+=，即123x x π=-，所以()1222223cos cos cos 2sin 23364x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21.(本小题满分12分)关于公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN 中，点P 在边MN 上，点Q 在边GN 上，QT △HM ，垂足为T ，△HPQ =90°，设HQ =1，△QHP =α，△PHM =β.在直角三角形QHP 中，QP =sin α，PH =cos α，在直角三角形PHM 中，PM =①，在直角三角形QPN 中，△QPN =β，PN =sin αcos β，在直角三角形HQT 中，QT =②，因为QT =PM +PN ，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.【考点】开放性试题：两角和的正弦公式证明【解析】（1）由题意可知，在直角三角形PHM 中，sin cos sin ;PM PH βαβ=⋅=在直角三角形HQT 中，QT =()()sin sin HQ αβαβ⋅+=+（2）由题意可知，在ABE 中，cos cos ,sin sin BE AE AB AE ββββ=⋅==⋅=，且AB BE ⊥， 所以11sin cos 22ABE S AB BE ββ=⋅⋅=， 在ADE 中，()ADE ∠παβ=-+，所以()()11111sin sin 222ADE S AE DE παβαβ⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅⋅-+=+⎣⎦， 在CDE 中，cos cos ,sin sin CE DE CD DE αααα=⋅==⋅=，所以11sin sin cos 22CDE S DE CE ααα=⋅⋅⋅=， 又()()()()()111sin sin cos cos 222ABCD S AB CD BC AB CD BE CE βαβα=⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅+⋅+四边形， 所以()()()12111sin sin cos cos sin cos sin sin cos 222βαβαββαβαα⋅+⋅+=+++， 化简可得，()sin sin cos cos sin .αβαβαβ+=+得证.22.(本小题满分12分)已知向量()()()1,4,,3,,0,0,0,OA OB a OC b a b O =-=-=->>为坐标原点.（1）当2,3a b ==时，求AB 与AC 的夹角的余弦值；（2）若,,A B C 三点共线，求13a b+的最小值. 【考点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量共线的充要条件、基本不等式综合应用【解析】（1）当2,3a b ==时()(),2,3,3,0OB OC =-=-，所以()()()()()()2,31,41,1,3,01,44,4AB OB OA AC OC OA =-=---==-=---=-则()()()1,14,414140AB AC ⋅=⋅-=⨯-+⨯=，所以cos ,0AB AC AB AC AB AC ⋅==；（2）若,,A B C 三点共线，则//AB AC ，又因为()()()()()(),31,41,1,,01,41,4AB OB OA a a AC OC OA b b =-=---=-=-=---=--， 则()()14110a b -⨯-⨯--=，解得43a b +=，则4133a b +=， 因为0,0a b >>，所以130,0a b>>，所以131344474712333333a b a b a a b a b b a b +⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当43a b b a =，即b =时取等号，所以13a b +。
江苏省南京市金陵中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ▲ )．A ．0B ．1C.2D ．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·AC →＝( ▲ )． A ．－3B ．－10C ．9D ．15 3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，c ＝2，cos(B ＋C )＝14，则a 等于( ▲ )．A ．10B ．15C ．4D ．174．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝π3，点D 为边BC 上靠近B 的三等分点，则AD →·BC →的值为( ▲ )． A ．－113B ．－13C ．23D ．435．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若其面积S ＝a 2＋b 2－c 243，则C ＝( ▲ )．A ．π6B ．π3C ．π4D ．π26．若α，β∈(π2，π)，且sin α＝255，sin(α－β)＝－1010，则sin β＝( ▲ )．A ．7210B ．22C ．12D ．1107．已知|AB →|＝3，|AC →|＝2，若对于任意的实数m ，不等式|AB →＋AC →|≤|AB →＋mAC →|恒成立，则 cos ∠BAC ＝( ▲ )． A ．53 B ．－53 C ．－23 D ．238．已知ΔABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A ＝2B ，则c b ＋(2ba)2的最小值为( ▲ )．A ．－1B ．73C ．3D ．103二､选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下列命题为真命题的是( ▲ )．A ．若z 1，z 2互为共轭复数，则z 1z 2为实数B ．若i 为虚数单位，则i 3＝iC ．若复数z ＝1＋i ，则z 2＝2iD ．若复数z ＝－12＋32i ，则1＋z ＋z 2＝010．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点，现在沿AE ，AF及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，那么，在这个空间图形中必有( ▲ )． A ．AG ⊥△EFH 所在平面B ．AH ⊥△EFH 所在平面C ．EF ⊥△AGH 所在平面D ．HG ⊥△AEF 所在平面11．给出下列命题，其中正确的选项有( ▲ )．A ．若非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且同向B ．若非零向量a ､b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为30°C ．若单位向量的e 1､e 2的夹角为60°，则当|2e 1＋t e 2| (t ∈R )取最小值时，t ＝1D ．在△ABC 中，若(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，则△ABC 为等腰三角形12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列四个命题中，正确的命题有( ▲ )．A ．c ＝a cosB ＋b cos A B ．若A ＞B ，则sin2A ＞sin2BC ．若A ＝30º，a ＝4，b ＝6，则满足条件的三角形有两解D ．若△ABC 是钝角三角形，则tan A ·tan C ＜1三､填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知a ＝(sinα，4)，b ＝(1，cosα)，且a ⊥b ，则sin2α＋2sin 2α＝▲________．14．已知函数f (x )＝2cos 2(π2x －π4)－1，g (x )＝x 3，设函数F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )所有的零点之和为▲________．15．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点，若MN →＝λ1AM →＋λ2BN →，λ1，λ2∈R ，则λ1λ2的值为▲________．16．向量是数学中一个很神奇的存在，它将“数”和“形”完美地融合在一起，在三角形中就有很多与向量有关的结论．例如，在△ABC 中，若O 为△ABC 的外心，则AO →·AB →＝12AB →2．证明如下：取AB 中点E ，连接OE ，可知OE ⊥AB ，则AB →·AO →＝2AE →·AO →＝2|AE →||AO →|cos ∠OAE＝2|AE →|(|AO →|cos ∠OAE )＝2AE →2＝12AB →2．利用上述材料中的结论与方法解决下面的问题：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，满足a ＞c 且2b cos A ＝3c ，3(c ＋a )＝2b ． 设O 为△ABC 的外心，若AO →＝x AB →＋yAC →，x ，y ∈R ，则x －2y ＝▲________．DC A B MNEAB·O四、解答题：本题共6小题，第17题10分，其余每小题12分，共70分．17．(本小题10分)已知复数z =b i(b ∈R )，z －21＋i 是实数，i 是虚数单位(1) 求复数z ；(2) 若复数(m +z )2所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围．18．(本小题12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数． ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17° ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12° ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48° ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数．(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一般的三角恒等式，并证明你的结论．19．(本小题12分)设向量a ＝(3cos α，sin α)，b ＝(sin β，3cos β)，c ＝(cos β，－3sin β)． (1)若a 与b －c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b －c |的最小值；20．(本小题12分)如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 四边长为1的菱形，∠ABC ＝π4， OA ⊥平面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点(1)画出平面AMN 与平面OCD 的交线(保留作图痕迹，不需写出作法)； (2)证明：直线MN ||平面OCD ； (3)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．ABCDOM N21．（本小题12分）某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境．如图，准备在道路AB 的一侧进行绿化，线段AB 长为4百米，C ，D 都设计在以AB 为直径的半圆上．设∠COB ＝θ． (1)现要在四边形ABCD 内种满郁金香，若∠COD ＝π3， 则当θ为何值时，郁金香种植面积最大；(2)为了方便游人散步，现要搭建一条道路，道路由线段BC ， CD 和DA 组成，若BC ＝CD ，则当θ为何值时，栈道的总 长l 最长，并求l 的最大值．22．（本小题12分）已知ΔABC 为锐角．．三角形，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．R 为ΔABC 外接圆半径． (1)若R ＝1，且满足sin B sin C ＝(sin 2B ＋sin 2C －sin 2A )tan A ，求b 2＋c 2的取值范围； (2)若b 2＋c 2＝2aR cos A ＋a 2，求tan A ＋tan B ＋tan C 的最小值．江苏省金陵中学2020至2021学年高一第二学期期中考试高一数学试卷一､选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ▲ )．A ．0B ．1 C.2 D ．2答案：D2．在平面直角坐标系xOy 中，已知AB →＝(2，3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·AC →＝( ▲ )．A ．－3B ．－10C ．9D ．15答案：D3．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，c ＝2，cos(B ＋C )＝14，则a 等于( ▲ )．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题～第12题）填空题（第13题～第16题）、解答题（第17题～第22题）四部分。
【常考题】高一数学下期中试题含答案
【常考题】高一数学下期中试题含答案一、选择题1．已知三棱锥A BCD -中，5AB CD ==，2==AC BD ，3AD BC ==，若该三棱锥的四个顶点在同一个球面上，则此球的体积为（ ） A ．32π B ．24π C ．6π D ．6π2．陀螺是汉族民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗，北方叫做“打老牛”.陀螺的主体形状一般是由上面部分的圆柱和下面部分的圆锥组成.如图画出的是某陀螺模型的三视图，已知网格纸中小正方形的边长为1，则该陀螺模型的体积为（ ）A ．1073π B ．32453π+ C ．16323π+ D ．32333π+ 3．已知a ，b 是两条异面直线，且a b ⊥，直线c 与直线a 成30角，则c 与b 所成的角的大小范围是( )A ．[]60,90︒︒B ．[]30,90︒︒C ．[]30,60︒︒D ．[]45,90︒︒4．一正四面体木块如图所示，点P 是棱VA 的中点，过点P 将木块锯开，使截面平行于棱VB 和AC ，则下列关于截面的说法正确的是（ ）．A ．满足条件的截面不存在B ．截面是一个梯形C ．截面是一个菱形D ．截面是一个三角形 5．已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m α⊂，则m β⊥B ．若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥C ．若m α⊄，m β⊥，则//m αD ．若m αβ=，n m ⊥，则n α⊥ 6．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积为 （ ）A 3πB ．3πC ．43πD ．12π8．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，2AB =，72PA =，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A ．812π B ．814π C ．65π D ．652π 9．用一个平面去截正方体，则截面不可能是（ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．正方形D ．正六边形 10．从点(,3)P m 向圆22(2)(2)1x y +++=引切线，则切线长的最小值( )A ．26B ．5C 26D ．4211．若方程21424x kx k -=-+ 有两个相异的实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．13,34⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．13,34⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．53,124⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．53,12412．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC 是等腰三角形，BA BC =，123AC CC ==，，D 是AC 的中点，点F 在侧棱1A 上，若要使1C F ⊥平面BDF ，则1AF FA 的值为( )A ．1B ．12或2C ．22或2D ．13或3 二、填空题 13．若过点(8,1)P 的直线与双曲线2244x y -=相交于A ，B 两点，且P 是线段AB 的中点，则直线AB 的方程为________．14．在平面直角坐标xOy 系中,设将椭圆()2222110y x a a a +=>-绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D ，P 为区域D 内的任一点，射线()02x y x =≥－上的点为Q ，若PQ 的最小值为a ，则实数a 的取值为_____．15．已知圆O ：224x y +=, 则圆O 在点(1,3)A 处的切线的方程是___________.16．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．17．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C --，①AB 与平面BCD 所成角的大小为60②ACD ∆是等边三角形③AB 与CD 所成的角为60④AC BD ⊥⑤二面角B AC D --为120︒则上面结论正确的为_______．18．在平面直角坐标系内，到点A （1，2），B （1，5），C （3，6），D （7，﹣1）的距离之和最小的点的坐标是 ．19．若圆C ：222430x y x y ++-+=，关于直线260ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值为______．20．已知四面体ABCD 的外接球球心O 在棱CD 上，AB=3，CD=2，则A 、B 两点在四面体ABCD 的外接球上的球面距离是________.三、解答题21．如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点．（Ⅰ）求证：//BD 平面FGH ；（Ⅱ）若CF ⊥平面ABC ,,AB BC CF DE ⊥=，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小．22．如图，在以,,,,A B C D E 为顶点的五面体中，O 为AB 的中点，AD ⊥平面ABC ，AD ∥BE ，AC CB ⊥，22AC =，244AB BE AD ===.（1）试在线段BE 找一点F 使得OF //平面CDE ，并证明你的结论；（2）求证：AC ⊥平面BCE ；（3）求直线DE 与平面BCE 所成角的正切值.23．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC BD ⊥于点O ，2BC AD =，9AC =，将ABD ∆沿着BD 折起，使得A 点到P 点的位置，35PC =（Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）M 为BC 上一点，且2BM CM =，求证：//OM 平面PCD .24．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，DC ∥EB ，DC ＝EB ＝1，AB ＝4.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值.25．如图，已知三棱锥A BPC -中，AP PC ⊥，AC BC ⊥，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且PMB △为正三角形.（1）求证：//DM 平面APC ；（2）求证：BC ⊥平面APC ；（3）若4BC =，10AB =，求三棱锥D BCM -的体积.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ADC ∠=︒，12BC AD =，PA PD =，M ，N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，计算出该长方体的体对角线长，即可得出其外接球的半径，然后利用球体体积公式可计算出外接球的体积.【详解】作出三棱锥A BCD -的外接长方体AEBF GDHC -，如下图所示：设DG x =，DH y =，DE z =，则2223AD x z =+=，2224DB y z =+=，2225DC x y =+=，上述三个等式相加得()222222234512AD BD CD x y z ++=++=++=， 2226x y z ++=62R =， 因此，此球的体积为34663ππ⨯=⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，将三棱锥补成长方体，利用长方体的体对角线作为外接球的直径是解题的关键，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 2．D解析：D【解析】【分析】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成.根据柱体、锥体的体积计算公式即得该陀螺模型的体积.【详解】由三视图可知，该陀螺模型是由一个正四棱锥、一个圆柱、一个圆锥组合而成. 所以该陀螺模型的体积222113242333233333V πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选：D .【点睛】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题. 3．A解析：A【解析】【分析】将异面直线所成的角转化为平面角，然后由题意，找出与直线a 垂直的直线b 的平行线，与直线c 平行线的夹角.【详解】在直线a 上任取一点O ，过O 做//c c '，则,a c '确定一平面α，过O 点做直线b 的平行线b '，所有平行线b '在过O 与直线a 垂直的平面β内， 若存在平行线1b '不在β内，则1b '与b '相交又确定不同于β的平面，这与过一点有且仅有一个平面与一条直线垂直矛盾，所以b '都在平面β内，且,l αβαβ⊥=，在直线c '上任取不同于O 的一点P ，做PP l '⊥于P '，则PP β'⊥，POP '∠为是c '与β所成的角为60︒，若b l '⊥，则,b b c α'''⊥⊥，若b '不垂直l 且不与l 重合，过P '做P A b ''⊥，垂足为A ，连PA ，则b '⊥平面PP A '，所以b PA '⊥，即1,cos 2OA OP OA PA AOP OP OP '⊥∠=<=， 60AOP ∠>︒，综上b '与c '所成角的范围为[60,90]︒︒，所以直线b 与c 所成角的范围为[]60,90︒︒.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角，空间角转化为平面角是解题的关键，利用垂直关系比较角的大小，属于中档题.4．C解析：C【解析】【分析】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得即截面为四边形PDEF ，且四边形PDEF 为菱形即可得到答案.【详解】取AB 的中点D ，BC 的中点E ，VC 的中点F ，连接,,,PD PF DE EF ，易得PD ∥VB 且12PD VB =，EF ∥VB 且12EF VB =，所以PD ∥EF ，PD EF =， 所以四边形PDEF 为平行四边形，又VB ⊄平面PDEF ，PD ⊂平面PDEF ,由线面平行 的判定定理可知，VB ∥平面PDEF ，AC ∥平面PDEF ，即截面为四边形PDEF ，又1122DE AC VB PD ===，所以四边形PDEF 为菱形，所以选项C 正确. 故选：C【点睛】本题考查线面平行的判定定理的应用，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.5．C 解析：C【解析】由题设，,αβ⊥ 则A. 若m α⊂，则m β⊥，错误；B. 若m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ 错误；D. 若m αβ⋂=，n m ⊥，当n β⊄ 时不能得到n α⊥，错误.故选C.6．B解析：B【解析】化简圆到直线的距离， 又 两圆相交. 选B7．C解析：C【解析】【分析】 由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，由此可得结论【详解】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为2的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为2，高为2，故三棱锥的外接球与以棱长为2的正方体的外接球相同，其直径为23，半径为3∴三棱锥的外接球体积为()343433ππ⨯=故选C【点睛】 本题主要考查了三视图，几何体的外接球的体积，考查了空间想象能力，计算能力，属于中档题．8．B解析：B【解析】【分析】根据题意可知，该四棱锥的外接球即为其所在长方体的外接球，根据公式即可求得.【详解】根据题意，为方便说明，在长方体中找出该四棱锥如图所示：由图可知在长方体中的四棱锥P ABCD -完全满足题意，故该四棱锥的外接球即是长方体的外接球，故外接球半径2 22722294R⎛⎫++ ⎪⎝⎭==，故该球的表面积为28144S Rππ==.故选：B.【点睛】本题考查四棱锥外接球的问题，关键的步骤是将问题转化为求长方体的外接球.9．A解析：A【解析】【分析】【详解】画出截面图形如图显然A正三角形C正方形：D正六边形可以画出三角形但不是直角三角形；故选A．用一个平面去截正方体，则截面的情况为：①截面为三角形时，可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不可能是钝角三角形、直角三角形；②截面为四边形时，可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形、矩形，但不可能是直角梯形；③截面为五边形时，不可能是正五边形；④截面为六边形时，可以是正六边形．故可选A ．10．A解析：A【解析】【分析】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++再利用二次函数的图像和性质求函数的最小值得解.【详解】设切线长为d ,则2222(2)51(2)24d m m =++-=++, min 26d ∴=.故选:A.【点睛】本题主要考查圆的切线问题,考查直线和圆的位置关系,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 11．D解析：D【解析】 【分析】由题意可得，曲线22(1)4(1)x y y +-=与直线4(2)y k x -=-有2个交点，数形结合求得k 的范围.【详解】如图所示，化简曲线得到22(1)4(1)x y y +-=，表示以(0,1)为圆心，以2为半径的上半圆，直线化为4(2)y k x -=-，过定点(2,4)A ，设直线与半圆的切线为AD ，半圆的左端点为(2,1)B -，当AD AB k k k <，直线与半圆有两个交点，AD 221k =+，解得512AD k =，4132(2)4AB k -==--，所以53,124k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦. 故选：D【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.12．B解析：B【解析】【分析】易证1BD C F ⊥，故要使1C F ⊥平面BDF ，只需1C F DF ⊥，然后转化到平面11AAC C 中，根据勾股定理计算，即可得结果.【详解】1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1BD CC ⊥，又BA BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，又1AC CC C =，所以BD ⊥平面11AAC C ，1C F 平面11AAC C ，所以1C F BD ⊥，因为DF BD D =，故要使1C F 平面BDF ，只需1C F DF ⊥，在四边形11AAC C 中，1231AC CC AD CD ====，，， 设AF x =，则13FA x =-，由22211C D DF C F =+得()()2219143x x ⎡⎤+=+++-⎣⎦， 即2320x x -+=，解得1x =或2x =， 所以112AF FA =或者12AF FA =， 故选：B.【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了空间中直线与平面的垂直的性质，勾股定理，考查空间想象能力和推理能力，属于中档题．二、填空题13．【解析】【分析】设出的坐标代入双曲线方程两式相减根据中点的坐标可知和的值进而求得直线的斜率根据点斜式求得直线的方程【详解】设则直线的方程为即故答案为【点睛】本题主要考查双曲线的方程直线的斜率公式直线 解析：2150x y --=【解析】【分析】设出,A B 的坐标，代入双曲线方程，两式相减,根据中点的坐标可知12x x +和12y y +的值,进而求得直线AB 的斜率，根据点斜式求得直线的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则1216x x +=，122y y +=，2222112244,44x y x y -=-=，()()()()121212120x x x x y y y y ∴+--+-=()()12121680x x y y ∴---=，12121628y y x x -==- 2AB k ∴=，∴直线的方程为()128y x -=-，即2150x y --=，故答案为2150x y --=.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、直线的斜率公式、直线点斜式方程的应用，意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.14．【解析】【分析】先确定轨迹再根据射线上点与圆的位置关系求最值即得结果【详解】所以为以为圆心为半径的圆及其内部设射线的端点为所以的最小值为故答案为：【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系考查数形结解析：12-+ 【解析】【分析】先确定D 轨迹，再根据射线上点与圆的位置关系求最值，即得结果.【详解】2222222(1)1,111,y x c a a c a a =+∴=--=∴=-， 所以D 为以(1,0)F -为圆心，1a +为半径的圆及其内部，设射线()02x y x =≥－的端点为(2,2)A ，所以PQ 的最小值为||(1),12,AF a a a a -+===.【点睛】本题考查动点轨迹以及点与圆位置关系，考查数形结合思想以及基本分析求解能力，属中档题. 15．【解析】【分析】先求出kOA=从而圆O 在点处的切线的方程的斜率由此能出圆O 在点处的切线的方程【详解】kOA=∴圆O 在点处的切线的方程的斜率∴圆O 在点A 处的切线的方程整理得即答案为【点睛】本题考查圆的30y +-=【解析】【分析】先求出k OA ，从而圆O 在点(处的切线的方程的斜率k = ，由此能出圆O在点A 处的切线的方程．【详解】k OA =O 在点(处的切线的方程的斜率k =，∴圆O 在点A (处的切线的方程1y x =-） ，30y +-=．30y +-=.【点睛】本题考查圆的切线方程的求法，属中档题.16．或【解析】【分析】判断直线恒过定点P （0-1）计算PAPB 的斜率再利用数形结合求a 的取值范围【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程判断直线恒过定点P （0-1）如图所示计算且或则或即实数a 的取值范围 解析：32a ≤-或3a ≥ 【解析】【分析】判断直线0ax by c ++=恒过定点P （0，-1），计算PA 、PB 的斜率，再利用数形结合求a 的取值范围．【详解】解：由直线ax+y+1=0的方程，判断直线恒过定点P （0，-1），如图所示，计算513402PA k +==-，21310PB k +==--- 且PA k k ≥或PB k k ≤，则PA a k ≤-或PB a k ≥-，即实数a 的取值范围是：32a ≤-或3a ≥． 故答案为：32a ≤-或3a ≥． 【点睛】本题考查直线的斜率与直线方程的应用问题，是基础题． 17．②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象由图形中所给的位置关系对命题逐一判断即可得出正确结论【详解】作出如图的图象E 是BD 的中点易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB 与平面BCD解析：②③④【解析】【分析】作出此直二面角的图象，由图形中所给的位置关系对命题逐一判断，即可得出正确结论．【详解】作出如图的图象，E是BD的中点，易得∠AED＝90°即为此直二面角的平面角对于命题①AB与平面BCD所成的线面角的平面角是∠ABE＝45°，故AB与平面BCD成60°的角不正确；对于命题②，在等腰直角三角形AEC中AC等于正方形的边长，故△ACD是等边三角形，此命题正确；对于命题③可取AD中点F，AC的中点H，连接EF，EH，FH，则EF，FH是中位线，故∠EFH或其补角为异面直线AB与CD所成角，又EF,FH其长度为正方形边长的一半，而EH是直角三角形AEC的中线，其长度是AC的一半即正方形边长的一半，故△EFH是等边三角形，由此AB与CD所成的角为60°，此命题正确；对于命题④，BD⊥面AEC，故AC⊥BD，此命题正确；对于命题⑤，连接BH，HD,则BH⊥AC, DH⊥AC,则∠BHD为二面角B AC D--的平面角，又BH=DH=3AC,BD=2,AC cos∠BHD=-1,3故二面角B AC D--不是120︒综上知②③④是正确的故答案为②③④【点睛】本题考查与二面角有关立体几何中线线之间的角的求法，线面之间的角的求法，以及线线之间位置关系的证明方法．综合性较强，对空间立体感要求较高．18．（24）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD对角线的交点这个交点到四点的距离之和就是最小值可证明如下：假设在四边形ABCD中任取一点P在△APC中有AP＋PC＞AC在△BPD中有PB＋PD＞BD解析：（2，4）【解析】【分析】【详解】取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下： 假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC ＞AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD ＞BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD.如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点． 易求得P(2,4)．19．4【解析】因为圆=关于直线=对称所以圆心在直线=上所以即又圆的半径为当点(ab)与圆心的距离最小时切线长取得最小值又点(ab)与圆心的距离为=所以切线长的最小值为=故答案为4点睛：本题主要考查直线与解析：4【解析】因为圆22:243C x y x y ++-+=0关于直线26ax by ++=0对称,所以圆心()1,2C -在直线26ax by ++=0上,所以2260a b -++=,即3a b -=,2,当点(a,b )与圆心的距离最小时,切线长取得最小值,又点(a,b )与圆心的距离为()()2212a b ++-()2221832a -+≥所以切线长的最小值为()22(32)2-=4.故答案为4 点睛：本题主要考查直线与圆的位置关系,考查了转化思想.利用勾股关系，切线长取得最小值时即为当点(a,b )与圆心的距离最小时.20．【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点且O A ＝OB ＝OC ＝OD 进而在△A0B 中利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值则∠AOB 可求进而根据弧长的计算方法求得答案【详解】解：球心解析：23π【解析】【分析】根据球心到四个顶点距离相等可推断出O 为CD 的中点，且OA ＝OB ＝OC ＝OD ，进而在△A 0B 中，利用余弦定理求得cos ∠AOB 的值，则∠AOB 可求，进而根据弧长的计算方法求得答案．【详解】解：球心到四个顶点距离相等，故球心O 在CD 中点，则OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝1，再由AB =A 0B 中，利用余弦定理cos ∠AOB 11312112+-==-⨯⨯， 则∠AOB 23π=，则弧AB 23π=•123π=． 故答案为：23π． 【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用、四面体外接球的性质等，考查了学生观察分析和基本的运算能力． 三、解答题21．（Ⅰ）略；（Ⅱ）60【解析】试题分析：（Ⅰ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，先证明//OH BD ，从而由直线与平面平行的判定定理得//BD 平面HDF ；思路二：先证明平面//FGH 平面ABED ，再由平面与平面平行的定义得到//BD 平面HDF .（Ⅱ）思路一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，证明,,GB GC GD 两两垂直, 以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -，利用空量向量的夹角公式求解；思路二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH ，证明MNH ∠即为所求的角，然后在三角形中求解.试题解析：（Ⅰ）证法一：连接,DG CD ，设CD GF O ⋂=，连接OH ，在三棱台DEF ABC -中，2,AB DE G =为AC 的中点可得//,DF GC DF GC =所以四边形DFCG 为平行四边形则O 为CD 的中点又H 为BC 的中点所以//OH BD又OH ⊂平面,FGH BD ⊂平面,FGH所以//BD 平面FGH ．证法二：在三棱台DEF ABC -中，由2,BC EF H =为BC 的中点可得//,,BH EF BH EF =所以四边形BHFE 为平行四边形可得//BE HF在ABC ∆中，G 为AC 的中点，H 为BC 的中点， 所以//GH AB又GH HF H ⋂=，所以平面//FGH 平面ABED 因为BD ⊂平面ABED所以//BD 平面FGH（Ⅱ）解法一：设2AB =，则1CF =在三棱台DEF ABC -中，G 为AC 的中点 由12DF AC GC ==， 可得四边形DGCF 为平行四边形，因此//DG CF又FC ⊥平面ABC所以DG ⊥平面ABC在ABC ∆中，由,45AB BC BAC ⊥∠=，G 是AC 中点， 所以,AB BC GB GC =⊥因此,,GB GC GD 两两垂直,以G 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G xyz -所以())()()0,0,0,2,0,0,2,0,0,0,1G B C D 可得()22,0,2,122H F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 故()22,,0,0,2,1GH GF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭ 设(),,n x y z =是平面FGH 的一个法向量，则 由0,{0,n GH n GF ⋅=⋅=可得0{20x y z +=+= 可得平面FGH 的一个法向量(1,1,2n =- 因为GB 是平面ACFD 的一个法向量，()2,0,0GB = 所以21cos ,222GB nGB n GB n ⋅===⋅ 所以平面与平面所成的解（锐角）的大小为60 解法二：作HM AC ⊥于点M ，作MN GF ⊥于点N ，连接NH 由FC ⊥平面ABC ，得HM FC ⊥又FC AC C ⋂=所以HM ⊥平面ACFD因此GF NH ⊥所以MNH ∠即为所求的角在BGC ∆中,12//,,22MH BG MH BG == 由GNM ∆∽GCF ∆ 可得,MN GM FC GF= 从而66MN =由MH ⊥平面,ACFD MN ⊂平面ACFD得,MH MN ⊥ 因此tan 3HM MNH MN∠==所以60MNH ∠=所以平面FGH 与平面ACFD 所成角（锐角）的大小为60.考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、二面角的求法；3、空间向量在解决立体几何问题中的应用.22．（1）在BE 上取点F ，使得14BF BE =；证明见解析；（2）证明见解析；（3）223【解析】【分析】（1）在BE 上取点F ，使得14BF BE =，根据直线和平面平行的判定定理即得；（2）由线面垂直的判定定理即得；（3）取BE 中点G ，连接AG ，CG ，由//DE AG ，可知AG 与平面CBE 所成的角等于DE 与平面CBE 所成的角，已知AC ⊥平面BCE ，根据所给条件计算即得.【详解】（1）如图，在BE 上取点F ，使得14BF BE =， 理由如下：OF 是ABG 中位线，//,//OF AG FO DE ∴∴，OF ⊄平面CDE ，//OF ∴平面CDE .（2）已知AD ⊥平面ABC ，又//AD BE ，BE ∴⊥平面ABC ，BE AC ∴⊥，又AC CB ⊥AC ∴⊥平面EBC .（3）取BE 中点G ，连接AG ，CG ，//DE AG ，∴AG 与平面CBE 所成的角等于DE 与平面CBE 所成的角，又AC ⊥平面BCE ， AGC ∴∠是AG 与平面CBE 所成的角，在Rt ABC ∆中，4AB =，22AC =，22BC ∴=，∴在Rt BCG ∆中，223CG BC BG =+=，∴在Rt ACG ∆中，22tan AC AGC CG ∠==， 即直线DE 与平面CBE 所成角的正切值为223.【点睛】本题考查直线和平面平行的判定定理，直线和平面垂直的判断定理，以及求直线和平面所成的角的正切值，属于中档题.23．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明【解析】【分析】（Ⅰ）先证明PO ⊥平面BCD ，再证明平面PBD ⊥平面BCD ；（Ⅱ）先证明//OM DC .再证明//OM 平面PCD .【详解】（Ⅰ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2CO AO =，所以6CO =，3AO =.即3PO =，又因为35PC =PO CO ⊥ .因为AC BD ⊥于点O ，所以PO BD ⊥.又因为BD OC O ⋂=，所以PO ⊥平面BCD .又因PO ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面BCD .（Ⅱ）因为//AD BC ，2BC AD =，所以2BO DO =， 又因为2BM CM =，因此BO BM DO CM=，所以//OM DC . 又因为OM ⊄平面PCD ，DC ⊂平面PCD ，所以//OM 平面PCD .【点睛】本题主要考查线面平行和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.24．（1）证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）由BC ⊥AC ，BC ⊥CD 得BC ⊥平面ACD ，证明四边形DCBE 是平行四边形得DE ∥BC ，故而DE ⊥平面ACD ，从而得证面面垂直；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小.【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC ⊥BC ，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC ，又DC ∩AC ＝C ，∴BC ⊥平面ACD ，∵DC ∥EB ，DC ＝EB ，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴DE ∥BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE.（2）当C 点为半圆的中点时，AC ＝BC ＝，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则D （0，0，1），E （0，，1），A （，0，0），B （0，，0）， ∴AB =（﹣，，0），BE =（0，0，1），DE =（0，，0），DA =（0，﹣1），设平面DAE 的法向量为m =（x 1，y 1，z 1），平面ABE 的法向量为n =（x 2，y 2，z 2）， 则00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，00n AB n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11100z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22200z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩， 令x 1＝1得m =（1，0，），令x 2＝1得n =（1，1，0）.∴cos 232m n m n m n ⋅===⨯<，>. ∵二面角D ﹣AE ﹣B 是钝二面角，∴二面角D ﹣AE ﹣B 的余弦值为26-.【点睛】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题.25．（1）见详解；（2）见详解；（353. 【解析】【分析】(1)先证DM AP ∥，可证//DM 平面APC .(2)先证AP PBC ⊥平面，得⊥AP BC ，结合AC BC ⊥可证得BC ⊥平面APC .(3)等积转换，由D BCM M DBC V V --＝，可求得体积.【详解】(1)证明：因为M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，所以MD 是ABP △的中位线，MD AP .又MD APC ⊄平面，AP APC ⊂平面，所以MD APC ∥平面.(2)证明：因为PMB △为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD PB ⊥.又MD AP ，所以AP PB ⊥.又因为AP PC ⊥，PB PC P ＝，所以AP PBC ⊥平面.因为BC PBC ⊂平面，所以⊥AP BC .又因为BC AC ⊥，AC AP A ⋂＝，所以BC APC ⊥平面.(3)因为AP PBC ⊥平面，MD AP ，所以MD PBC ⊥平面，即MD 是三棱锥M DBC -的高.因为10AB =，M 为AB 的中点，PMB △为正三角形，所以3535,22PB MB MD MB ====. 由BC APC ⊥平面，可得BC PC ⊥，在直角三角形PCB 中，由54PB BC ＝，＝，可得3PC ＝.于是111433222BCD BCP S S ⨯⨯⨯=△△＝＝.所以115353333D BCM M DBC BCD V V S MD --⨯⨯=△＝＝＝. 【点睛】本题考查空间线面平行与垂直的证明，体积的计算.空间中的平行与垂直的证明过程就是利用相关定义、判定定理和性质定理实现线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的转换.求三棱锥的体积常采用等积转换的方法，选择易求的底面积和高来求体积.26．（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】（1）通过证明//NQ PA ，即可得到本题结论；（2）由题，先证PM AD ⊥和AD MB ⊥，即可得到AD ⊥平面PMB ，由此即可得到本题结论.【详解】（1）连接AC 交MB 于Q ，连接,NQ MC ．因为//AM BC ，12AM AD BC ==， 所以四边形ABCM 是平行四边形，所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点，所以//NQ PA ，因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ，所以//PA 平面MNB ；（2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥，因为//MD BC ，MD BC =，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以//MB DC ，因为=90ADC ∠︒，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥，因为PM MB M ⋂=，,PM MB ⊂平面PMB ，所以AD ⊥平面PMB ，又AD ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面PMB ．【点睛】本题主要考查线面平行的判定与面面垂直的判定，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.。
南京师范大学附属中学江宁分校2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题(原卷+解析)
D选项，正方体与以 为球心，1为半径的球的公共部分的体积是 ，D错误.
故选：ABC
三．填空题
13.化简： ＝________.
【答案】1
【解析】
【分析】化简得原式为 ，再进一步化简即得解.
【详解】原式＝
.
故答案为：1
【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变(变角变名变式）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
14.某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
泥塑
a
b
c
剪纸
x
y
z
其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 ，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人．
A.-6B.6C.8iD.-8i
【答案】B
【解析】
【分析】首先求得 ，由此求得 .
【详解】依题意 ，
所以 .
故选：B
2.已知向量 ， ，若 ，则实数 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】依题意可得 ，根据平面向量数量积的坐标运算得到方程，解得即可；
【详解】解：因为 ， ，且 ，所以 ，解得
2020-2021学年度第二学期高一年级阶段性调研
数学学科
一．单选题
1.设复数 在复平面内的对应点关于实轴对称， 则 （）
2020年江苏省南京市秦淮区高一下学期 数学 期中考试(附带详细解析)
评卷人
得分
三、解答题
15．在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 ， ， .
（1）求c；
（2）求 .
16．如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点.
（1）求证： 平面ABC；
（2）求证： 平面PAG.
17．已知 ， .
3．C
【解析】
【分析】
根据线线、线面和面面平行和垂直的有关定理，对选项逐一分析即可.
【详解】
对于A，未说明 ，故错误；
对于B，垂直于同一平面的各平面位置情况不确定，故错误；
对于C，因为 ， ，所以 ，又 ，则 ，故正确；
对于D，垂直于同一平面的各平面位置情况不确定，故错误.
故选：C
【点睛】
本题主要考查空间中平行和垂直有关定理的运用，考查学生的逻辑推理能力和空间想象能力，属于基础题.
9．已知某圆锥底面直径为2，侧面展开图扇形的圆心角为 ，则该圆锥体积为_______.
10．在 中， ， ，则C的值是_______.
11．已知 ，则 的值为_______.
12．一个正六棱锥的体积是 ，底面边长为2，则该六棱锥的侧面积是_______.
13．在 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ，则 ______.
12．
【解析】
【分析】
由底面边长求得底面正六边形的面积，再由棱锥的体积公式求得高，再计算侧面上高，最后求侧面积即可.
【详解】
根据题意，底面边长为 ，底面积 ，
体积 ，所以高 ，
所以侧棱长 ，侧面上的高
所以侧面积 .
故答案为：
【点睛】
江苏省南京市第十三中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含答案
四、解答题：本大题共6小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分．
17. 平面四边形 中， .
（1）求 的面积；
（2）设 为 的中点，且 ，求四边形 周长的最大值.
【答案】（1） （2）
18.如图， 是正方形， 是正方形的中心， 底面 ， 是 的中点．求证：
（1） 平面 ；
（2）平面 平面 ．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.设 ， ，则
A. B.
C. D.
【答案】B
2.已知实数 满足 若 恒成立，那么k的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
3.在 中， 、 、 对边分别是 、 、 .若 ， ，则 的最大值为
A.3B. C. D.
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.设 ， ，则
A. B.
C. D.
2.已知实数 满足 若 恒成立，那么k的取值范围是（）
A. B. C. D.
3.在 中， 、 、 对边分别是 、 、 .若 ， ，则 的最大值为
A. ，且直线 是相交直线
B. ，且直线 是相交直线
C. ，且直线 是异面直线
D. ，且直线 是异面直线
【答案】B
8.定义在 上 偶函数 对任意实数都有 ，且当 时， ，则函数 的零点个数为（）
A. B. C. D.
【答案】C
二、多项选择题：本大题共4题，每小题5分，共20分．
9.正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以 为顶点的多边形为正五边形且 ，下列关系中正确的是（）
2020-2021学年江苏省南京师大附中高一(下)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题）.1．已知O、A、B是平面上三点，直线AB上有一点C满足+3＝，则＝（）A．﹣B．+C．D．+2．已知正方形ABCD的边长为3，＝（）A．3B．﹣3C．6D．﹣63．已知平面向量＝（2，4），＝（﹣1，2），若＝﹣（•），则||等于（）A．4B．2C．8D．84．已知α﹣β＝，且cosα+cosβ＝，则cos（α+β）等于（）A．B．﹣C．D．﹣5．已知sinθ＝，＜θ＜3π，那么tan+cos的值为（）A．﹣3B．3﹣C．﹣3﹣D．3+6．已知a为正整数，tanα＝1+lga，tanβ＝lga，且α＝β+，则当函数（θ∈[0，π]）取得最大值时，θ＝（）A．B．C．D．7．△ABC中若有，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形8．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．二、多项选择题（共4小题）.9．已知复数z1＝2+i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足是纯虚数，则（）A．＝1﹣2i B．＝1+2iC．z2的虚部为﹣2D．z2的虚部为210．下列四个等式其中正确的是（）A．tan25°+tan35°+tan25°tan35°＝B．＝1C．cos2﹣sin2＝D．﹣＝411．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（）A．若a＝5，b＝10，A＝，则符合条件的三角形不存在B．若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC为直角三角形C．若A＞B，则tan A＞tan BD．若A＞B，则cos2B＞cos2A12．已知（ω＞0），则下列说法正确的是（）A．若y＝|f（x）|的最小正周期为π，则ω＝2B．若f（x）在（0，π）内无零点，则C．若f（x）在（0，π）内单调，则D．若ω＝2时，直线是函数f（x）图象的一条对称轴三、填空题（共4小题）.13．在复平面内，对应的复数是1﹣i，对应的复数是2i﹣3，则对应的复数是．14．cos271o+cos249o+cos71°cos49°＝．15．如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45o，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则BC＝海里，cosθ＝．16．对于集合{θ1，θ2，θ3，⋅⋅⋅，θn}和常数θ0，定义：为集合{θ1，θ2，θ3，⋅⋅⋅，θn}相对θ0的“余弦方差”．集合相对常数θ0的“余弦方差”是一个常数T，则T＝．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．18．已知平面向量．（1）若，且，求的坐标；（2）当k为何值时，与垂直；（3）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．19．已知向量＝（cosα，sinβ+2sinα），＝（sinα，cosβ﹣2cosα），且∥．（1）求cos（α+β）的值；（2）若α，β∈（0，），且tanα＝，求2α+β的值．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）．（1）求cos A的值；（2）求sin（2B﹣A）的值．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求角C的大小；（2）若△ABC是锐角三角形，且b＝1，求△ABC面积的取值范围．22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求tan A+tan B的值；（2）求cos2A+cos2B的最大值．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．已知O、A、B是平面上三点，直线AB上有一点C满足+3＝，则＝（）A．﹣B．+C．D．+解：＝，∴．故选：D．2．已知正方形ABCD的边长为3，＝（）A．3B．﹣3C．6D．﹣6解：如图；因为正方形ABCD的边长为3，＝2，则•＝（+）•（﹣）＝（+）•（﹣）＝﹣•﹣＝32﹣×32＝3．故选：A．3．已知平面向量＝（2，4），＝（﹣1，2），若＝﹣（•），则||等于（）A．4B．2C．8D．8解：∵向量＝（2，4），＝（﹣1，2）∴∴＝（2，4）﹣（﹣6，12）＝（8，﹣8）∴故选：D．4．已知α﹣β＝，且cosα+cosβ＝，则cos（α+β）等于（）A．B．﹣C．D．﹣解：因为cosα+cosβ＝2cos cos＝cos＝，则cos（α+β）＝2cos2﹣1＝2×﹣1＝﹣．故选：D．5．已知sinθ＝，＜θ＜3π，那么tan+cos的值为（）A．﹣3B．3﹣C．﹣3﹣D．3+解：∵sinθ＝，＜θ＜3π，∴cosθ＝﹣＝﹣，∈（，），∴sin＝﹣＝﹣，cos＝﹣＝﹣，∴tan＝＝3，∴tan+cos＝3﹣，故选：B．6．已知a为正整数，tanα＝1+lga，tanβ＝lga，且α＝β+，则当函数（θ∈[0，π]）取得最大值时，θ＝（）A．B．C．D．解：已知α＝β+，所以，所以tan（α﹣β）＝1＝＝1，解得a＝1或a＝（舍去）．则f（x）＝sin＝，由于θ∈[0，π]，所以．则当，即时，函数f（x）取得最大值．故选：C．7．△ABC中若有，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【解答】证明：∵在△ABC中，∴sin（A+B）＝∴2sin cos＝∴2cos2﹣1＝0∴cos（A+B）＝0∴A+B＝，即C＝，∴△ABC是直角三角形．故选：B．8．如图，在平行四边形ABCD中，DE＝EC，F为BC的中点，G为EF上的一点，且，则实数m的值为（）A．B．C．D．解：∵，F为BC的中点，∴，，设＝＝＝，又，∴，解得m＝．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分.9．已知复数z1＝2+i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足是纯虚数，则（）A．＝1﹣2i B．＝1+2iC．z2的虚部为﹣2D．z2的虚部为2解：设z2＝1+bi（b∈R），∵z1＝2+i，∴，则＝（2﹣i）（1+bi）＝2+2bi﹣i﹣bi2＝（2+b）+（2b﹣1）i，由题意，，解得b＝﹣2．∴，故A错误，B正确；z2的虚部为﹣2，故C正确，D错误．故选：BC．10．下列四个等式其中正确的是（）A．tan25°+tan35°+tan25°tan35°＝B．＝1C．cos2﹣sin2＝D．﹣＝4解：对①：tan60°＝tan（25°+35°）＝＝，故tan25°+tan35°+tan25°tan35°＝，故正确；对②：＝tan45°＝1，故＝，故错误；对③：cos2﹣sin2＝cos＝，故错误；对④：﹣＝＝＝＝4，故正确．故选：AD．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（）A．若a＝5，b＝10，A＝，则符合条件的三角形不存在B．若b cos C+c cos B＝a sin A，则△ABC为直角三角形C．若A＞B，则tan A＞tan BD．若A＞B，则cos2B＞cos2A解：对于A：由于a＝5，b＝10，A＝，则利用正弦定理：，解得sin B ＞1，与三角函数的值的范围矛盾，故该三角形不存在，故A正确；对于B：若b cos C+c cos B＝a sin A，利用正弦定理：sin B cos C+sin C cos B＝sin A sin A，故sin （B+C）＝sin A＝sin2A，由于sin A＞0，故sin A＝1，所以A＝，故△ABC为直角三角形，故B正确；对于C：当时，tan A＜tan B，故C错误；对于D：由于A＞B，所以a＞b，整理得sin A＞sin B，故sin2A＞sin2B，整理得1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，所以cos2B＞cos2A，故D正确；故选：ABD．12．已知（ω＞0），则下列说法正确的是（）A．若y＝|f（x）|的最小正周期为π，则ω＝2B．若f（x）在（0，π）内无零点，则C．若f（x）在（0，π）内单调，则D．若ω＝2时，直线是函数f（x）图象的一条对称轴解：函数＝＝sin（ωx﹣），对于A：当ω＝2时，f（x）＝sin（2x﹣）的最小正周期为π，由于函数|f（x）|的周期减半，则最小正周期为，故A错误；对于B：令x＝0，，由于x∈（0，π），所以，由于f（x）在（0，π）内无零点，x＝0是sin x的零点，所以，故，故B正确；对于C：由于sin x在[]上单调递增，所以，所以，故C正确；对于D：当ω＝2时，函数f（）＝sin（﹣）＝1，故直线是函数f（x）的一条对称轴，故D正确．故选：BCD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在复平面内，对应的复数是1﹣i，对应的复数是2i﹣3，则对应的复数是4﹣3i．解：∵对应的复数是1﹣i，对应的复数是2i﹣3，∴＝（3﹣2i）+（1﹣i）＝4﹣3i．故答案为：4﹣3i．14．cos271o+cos249o+cos71°cos49°＝．解：设x＝cos271o+cos249o+cos71°cos49°，y＝sin271o+sin249o+sin71°sin49°，所以x+y＝2+cos22°，①，x﹣y＝﹣﹣cos22°，②，①+②得：x＝．故答案为：．15．如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45o，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则BC＝10海里，cosθ＝．解：如图所示，在△ABC中，AB＝30，AC＝20，∠BAC＝90°+45°＝135°，由余弦定理得，BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos135°＝+202﹣2×30×20×（﹣）＝3400，解得BC＝10，正弦定理得＝，所以sin∠ACB＝＝＝，由∠BAC＝135°知∠ACB为锐角，所以cos∠ACB＝＝＝＝．所以cosθ＝cos（∠ACB+45°）＝cos∠ACB cos45°﹣sin∠ACB sin45°＝×﹣×＝．故答案为：10，．16．对于集合{θ1，θ2，θ3，⋅⋅⋅，θn}和常数θ0，定义：为集合{θ1，θ2，θ3，⋅⋅⋅，θn}相对θ0的“余弦方差”．集合相对常数θ0的“余弦方差”是一个常数T，则T＝．解：集合相对常数θ0的“余弦方差”是一个常数T，可得μ＝＝＝＝．所以此时“余弦方差”是一个常数，且常数为．故答案为：．四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17．在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．（1）求cos∠ADB；（2）若DC＝2，求BC．解：（1）∵∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5．∴由正弦定理得：＝，即＝，∴sin∠ADB＝＝，∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，∴cos∠ADB＝＝．（2）∵∠ADC＝90°，∴cos∠BDC＝sin∠ADB＝，∵DC＝2，∴BC＝＝＝5．18．已知平面向量．（1）若，且，求的坐标；（2）当k为何值时，与垂直；（3）若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．解：（1）平面向量，∵，∴＝λ•（﹣1，2），由＝，∴λ＝±2，当λ＝2时，的坐标为（﹣2，4）；当λ＝﹣2时，的坐标为（2，﹣4）．（2）由于与垂直，＝（k﹣3，2k﹣2），＝（10，8），∴（）•（）＝（k﹣3，2k﹣2）•（10，8）＝10k﹣30+8（2k﹣2）＝0，∴k＝．（3）∵与的夹角为锐角，+λ＝（1﹣3λ，2﹣2λ），∴•（+λ）＞0 且与不平行，∴1﹣3λ+2（2﹣2λ）＞0，且≠，解得λ＜且λ≠0．19．已知向量＝（cosα，sinβ+2sinα），＝（sinα，cosβ﹣2cosα），且∥．（1）求cos（α+β）的值；（2）若α，β∈（0，），且tanα＝，求2α+β的值．解：（1）因为∥，所以cosα（cosβ﹣2cosα）﹣sinα（sinβ+2sinα）＝0，所以（cosαcosβ﹣sinαsinβ）＝2（sin2α+cos2α）＝2，所以cos（α+β）＝2，即cos（α+β）＝．（2）因为α，β∈（0，），所以0＜α+β＜π，因为cos（α+β）＝，所以sin（α+β）＝，所以tan（α+β）＝，因为tanα＝，所以tan（2α+β）＝＝＝1，因为0＜α+β＜π，且cos（α+β）＝＞0，所以0，因为，所以0＜2α+β＜π．因为tan（2α+β）＝1，所以2α+β＝．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a sin A＝4b sin B，ac＝（a2﹣b2﹣c2）．（1）求cos A的值；（2）求sin（2B﹣A）的值．解：（1）由，得a sin B＝b sin A，又a sin A＝4b sin B，得4b sin B＝a sin A，两式作比得：，所以a＝2b．由ac＝（a2﹣b2﹣c2），得b2+c2﹣a2＝﹣ac，由余弦定理，得cos A＝＝＝﹣；（2）由（1），可得sin A＝，代入a sin A＝4b sin B，得sin B＝＝．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，所以cos B＝＝，于是sin2B＝2sin B cos B＝，cos2B＝1﹣2sin2B＝，故sin（2B﹣A）＝sin2B cos A﹣cos2B sin A＝sin（2B﹣A）＝sin2B cos A﹣cos2B sin A＝﹣＝﹣．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求角C的大小；（2）若△ABC是锐角三角形，且b＝1，求△ABC面积的取值范围．解：（1）已知，利用正弦定理整理得：，所以，化简得：，由于A∈（0，π），所以sin A≠0，整理得tan C＝，所以C＝．（2）由正弦定理得：，且b＝1，故，整理得＝，所以，由于△ABC是锐角三角形，故，解得，故tan A，则，故a＝，则．22．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．（1）求tan A+tan B的值；（2）求cos2A+cos2B的最大值．解：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．整理得，所以两边同除以cos A cos B，所以tan A+tan B＝2．（2）cos2A+cos2B＝＝＝，＝＝，由于（tan A tan B﹣1）2+12＞0，所以14﹣2tan A tan B＞0，令t＝14﹣2tan A tan B，则t＞0，tan A tan B＝，所以＝．当且仅当t＝时，等号成立，故最大值为．。
2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区高一(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷1.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，则图中阴影部分表示的集合为()A. {2,4}B. {2,6}C. {2,4,6}D. {1,2,3,4}2.命题∀x∈R，x2−1<0的否定为()A. ∀x∈R，x2−1≥0B. 不存在x∈R，x2−1≥0C. ∃x∈R，x2−1<0D. ∃x∈R，x2−1≥03.若集合A={x|(x−2)(x−9)<0}，B={x|x<5}，则A∪B=()A. (2,5)B. (2,9)C. (−∞,9)D. (2,+∞)4.下面各组函数中表示同一个函数的是()A. f(x)=x，g(x)=(√x)2B. f(x)=|x|，g(x)=√x2C. f(x)=x2−1x−1，g(x)=x+1D. f(x)=|x|x ，g(x)={1,x≥0,−1,x<0.5.已知m=lg2，n=lg3，用m，n表示lg15=()A. 1+m+nB. 1−m+nC. 1+m−nD. 1−m−n6.平流层是指地球表面以上10km～50km的区域，则在下述不等式中，最适合表示平流层高度的是()A. |x+10|<50B. |x−10|<50C. |x+10|<20D. |x−30|<207.已知函数f(x)=ax2+bx+c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<−3或x>1}，则函数y=f(−x)的图象可以为()A. B.C. D.8.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(−∞,0)上是减函数，f(3)=0，则不等式(x−1)f(x+2)≤0的解集是()A. (−∞,−5]∪[−2,+∞)B. (−∞,−2]∪[1,+∞)C. (−∞,−5]∪[1,+∞)D. [−5,−2]∪[1,+∞)9.下列四个命题中，是真命题的是()A. 若x>y，则x2>y2B. 两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件C. 若A∪B=A，则B⊆AD. ∀x∈R,x2+1x2+1≥110.下列各图中，可能是函数图象的是()A. B.C. D.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”如下：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数．例如[−2.1]=−3，[3.1]=3，已知函数f(x)=x 2|x|+1，若函数y= [f(x)]的值域集合为Q，则下列集合是Q的子集的是()A. [0,+∞)B. {0,2}C. {1,2}D. {1,2,3}12.已知函数f(x)满足：∀x∈R，f(x+3)=f(1−x)，且∀x1,x2∈[2,+∞),f(x1)−f(x2)x1−x2< 0(x1≠x2),则()A. f(0)>f(3)B. ∀x∈R，f(x)≤f(2)C. f(−a2+a+1)≤f(54) D. 若f(m)<f(3)，则1<m<313.函数y=√4−x2的定义域是．14.十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即a b=N⇔b=log a N，现在已知a=log48，b=log24，则4a=，a+b=.(用最简结果作答)15.设函数f(x)={x 2+x,x≤0−|x|,x>0，则f(f(−2))=．16.当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合A={−1,−12,12,1}，B={x|ax2+1=0,a≤0}，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则a的取值集合为．17.计算；(1)(279)0.5+2log12√2的值；(2)已知m=lg2，10n=3，计算103m−2n2的值．18.已知f(x)=x2−4ax+3a2，其中a为实数．(1)当a=2时，判断命题p：∃x∈R，f(x)≤0的真假，并说明理由；(2)若∀x∈[1,2]，f(x)≤0，求a的取值范围．19.中华人民共和国第十四届全运会将于2021年在陕西省举办，全运会会徽以及吉祥物已于2019年8月2日晚在西安市对外发布．某公益团队计划联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价−供货价格．(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？20.(1)已知f(x)=(x−a)4+3时，当实数a为何值时，f(x)是偶函数？(2)已知g(x)是偶函数，且g(x)在[0,+∞)是增函数，如果当x∈[1,2]时g(x+a)≤g(x−6)恒成立，求实数a的取值范围．21.已知函数f(x)=|x2−ax|，其中a为实数．(1)当a=2时，画出函数f(x)的图象，并直接写出递增区间；(2)若f(x)在x∈[1,3]时的取值范围为[0,f(3)]，求a的取值范围．+a．22.已知a∈R，f(x)=1x(1)若关于x的方程f(x)=(2−a)x+1的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围；,1]，函数f(x)在区间[t,t+1]上最大值不超过最小值的2倍，求a的取(2)若∀t∈[12值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查维恩图，交集定义等基础知识，是基础题．图中阴影部分表示的集合为A∩B，由此能求出阴影部分表示的集合．【解答】解：∵集合A={1,2,3,4}，B={2,4,6}，∴图中阴影部分表示的集合为：A∩B={2,4}．故选：A．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称量词命题，则命题的否定为：∃x∈R，x2−1≥0，故选：D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．【解答】解：∵A={x|2<x<9}，B={x|x<5}，∴A∪B=(−∞,9)．故选：C．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查同一函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决本题的关键．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可求解．【解答】解：A.g(x)的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不相同，不是相同函数．B.g(x)=|x|，两个函数的定义域，对应法则相同是同一函数．C.f(x)=x+1，(x≠1)，g(x)=x+1的定义域为R，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．D.f(x)的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．故选：B．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了对数的运算性质，是基础题．利用对数的运算性质求解．【解答】解：lg15=lg(3×5)=lg3+lg5=lg3+(1−lg2)=n+(1−m)=1−m+n，故选：B．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的应用，属于基础题．由题意可得10≤x≤50，即−20≤x−30≤20，即|x−30|≤20，从而得出结论．【解答】解：平流层是指地球表面以上10km到50km的区域，若x能表示平流层高度，则10≤x≤50，所以−20≤x−30≤20，即|x−30|≤20，故选：D．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数的图象，二次函数的性质的应用，涉及函数的零点，不等式的解集．利用二次函数与不等式的解集，判断开口方向，利用对称性推出所求函数的图象即可．【解答】解：函数f(x)=ax2+bx+c，不等式f(x)<0的解集为{x|x<−3或x>1}，所以a<0，并且−3，1是函数的零点，函数y=f(−x)的图象与函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数y=f(−x)的图象可以是B．故选：B．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．根据函数奇偶性和单调性之间的关系列不等式，即可求解． 【解答】解：∵定义在R 上的函数f(x)是奇函数，且f(x)在(−∞,0)上是减函数，f(3)=0， ∴f(x)在(0,+∞)上是减函数，f(−3)=0，f(0)=0，∴x <−3或0<x <3时，f(x)>0，当−3<x <0或x >3时，f(x)<0，x =3或−3时f(x)=0，由(x −1)f(x +2)≤0可得，{x >1f(x +2)≤0或{x <1f(x +2)≥0或x =1，即{x >1−3≤x +2≤0或x +2≥3或{x <1x +2≤−3或0≤x +2≤3或x =1， 解得x ≤−5或x ≥−2． 故选：A ．9.【答案】CD【解析】 【分析】本题考查命题的真假的判断，考查充分、必要条件，不等式的性质，基本不等式的应用，是基础题．反例判断A ；充分、必要条件判断三角形面积与全等关系，判断B ；并集的性质判断C ；基本不等式判断D 即可． 【解答】解：对于A ，若x =0>y =−1，则x 2<y 2，所以A 是假命题；对于B ，两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，所以B 是假命题；对于C ，若A ∪B =A ，则B ⊆A ，是真命题； 对于D ，∀x ∈R ，x 2+1x 2+1=x 2+1+1x 2+1−1≥2√(x 2+1)⋅1x 2+1−1=2−1=1．当且仅当x =0时，取等号，所以D 是真命题． 故选：CD ．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题主要考查函数的定义，函数的图象特征，属于基础题．根据函数的定义，当自变量x在定义域内任意取一个值，都有唯一的一个函数值y与之对应，由此可得结论．【解答】解：B选项，x>0时有两个y值与之对应，不为函数，B错误，其它均符合函数的定义，故选：ACD．11.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查了函数奇偶性和基本不等式的应用，还考查了对新定义的正确理解，属于中档题．利用新定义，根据函数的奇偶性及基本不等式求解即可．【解答】解：当x≥0时：f(x)=x21+x =(x+1)2−2(x+1)+11+x=(x+1)+11+x −2≥2√(x+1)×1x+1−2=0，当且仅当x=0时等号成立，即x≥0时，f(x)的值域是：[0,+∞)，又∵f(x)是偶函数，∴f(x)的值域是：[0,+∞)，∴Q=N，故BCD正确，A错误．故选：BCD．12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查了函数的单调性，对称性问题，考查转化思想．求出函数的对称轴，根据函数的对称性和单调性判断各个选项即可．【解答】解：由∀x∈R，f(x+3)=f(1−x)，则x+3+1−x2=2，故函数f(x)的图象关于x=2对称，由∀x1,x2∈[2,+∞),f(x1)−f(x2)x1−x2<0(x1≠x2)，可得f(x)在[2,+∞)递减，结合函数的单调性和对称性得距x=2越近函数值越大，则显然A错误，B正确；对于C：|−a2+a+1−2|=|a2−a+1|≥34=|54−2|，故C正确；对于D：f(m)<f(3)时，m距x=2更远，则m>3或m<1，故D错误，故选：BC．13.【答案】[−2,2]【解析】【分析】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意，得4−x2≥0，解得−2≤x≤2，故函数的定义域是[−2,2]，故答案为：[−2,2]．14.【答案】872【解析】【分析】本题考查了对数运算、换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用对数运算、换底公式即可得出．【解答】解：a =log 48，b =log 24，则4a =4log 48=8，a +b =log 28log 24+2=32+2=72． 故答案为：8，72．15.【答案】−2【解析】【分析】本题考查函数值的求法，是基础题．推导出f(−2)=(−2)2−2=2，从而f(f(−2))=f(2)，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f(x)={x 2+x,x ≤0−|x|,x >0， ∴f(−2)=(−2)2−2=2，f(f(−2))=f(2)=−|2|=−2．故答案为：−2．16.【答案】{0,−1,−4}【解析】【分析】本题考查了对新定义的理解以及子集的概念，分类讨论的思想，容易忽略B =⌀的情况，但难度不大，属于基础题．理解利用新定义和子集的定义求解即可．【解答】解：(1)B =⌀，则a =0，A 与B 构成“全食”满足题意，(2)B ≠⌀，则a ≠0，B ={−√−1a ,√−1a}，此时应构成“全食”， ∴√−1a =1或12，∴a =−1或−4，综上a 的取值集合为：{0,−1,−4}，故答案为：{0,−1,−4}．17.【答案】解：(1)原式=(259)12+log 122=53−1=23; (2)∵m =lg2，∴10m =2，∴103m−2n 2=1032m−n =1032m10n =[(10m )3(10n )2]12=(89)12=2√23．【解析】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．(1)利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解;(2)先由m =lg2得到10m =2，把原式化为103m−2n 2=[(10m )3(10n )2]12，代入即可计算出结果．18.【答案】解：(1)该命题为真命题，当a =2时，f(x)=x 2−8x +12，当x =2时，f(2)=0，则命题p ：∃x ∈R ，f(x)≤0，为真命题；(2)二次函数f(x)关于x =2a 对称，在(−∞,2a)上单调递减，在(2a,+∞)上单调递增， 则当32≤2a 时，f(x)的最大值为f(1)，当32>2a 时，f(x)的最大值为f(2)，则对∀x ∈[1,2]，f(x)≤0恒成立，只需满足{f(1)≤0f(2)≤0，即{3a 2−4a +1≤03a 2−8a +4≤0, 整理得：{13≤a ≤123≤a ≤2，即23≤a ≤1． 故a 的取值范围为[23,1]．【解析】本题考查的知识要点：命题真假的判定，特称量词命题，二次函数性质的应用，恒成立问题和全称量词命题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．(1)直接利用存在性问题的应用求出命题的真假；(2)利用全称量词命题的应用和恒成立问题的应用求出参数的取值范围．19.【答案】解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15−0.1×100=5(万套)，供货单价为50+105=52(元)，总利润为5×(100−52)=240(万元)，答：总利润为240万元．(2)销售量为15−0.1x，供货单价为50+1015−0.1x，单套利润为x−50−1015−0.1x =x−50+100x−150，因为15−0.1x>0，所以0<x<150，所以单套利润为y=x−50−1015−0.1x =−[(150−x)+100150−x]+100≤100−2√(150−x)×100150−x =80，当且仅当150−x=100150−x即x=140时，等号成立，所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．【解析】(1)先求出每套会徽及吉祥物售价为100元时的销售量，再求出供货单价，即可求出总利润．(2)由题意可知销售量为15−0.1x，供货单价为50+1015−0.1x，从而求出单套利润为x−50−1015−0.1x，再利用基本不等式即可求出单套利润的最大值．本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．20.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=3+x4是偶函数，当a≠0，a≠−a，而f(a)−f(−a)=−(2a)4≠0，此时f(x)不可能是偶函数，所以a=0，(2)由g(x)为偶函数可知g(x+a)=g(|x+a|)，g(x−6)=g(|x−6|)且|x+a|≥0，|x−6|≥0，由g(x)在[0,+∞)上单调递增及g(x+a)≤g(x−6)可知1≤x≤2时，|x+a|≤|x−6|=6−x恒成立，即1≤x≤2时，x−6≤x+a≤6−x恒成立，故−6≤a≤6−2x，又2≤6−2x≤4，所以−6≤a≤2．【解析】本题主要考查了函数奇偶性的判断及利用函数单调性及奇偶性解不等式，属于函数性质的综合应用，属于中档题．(1)由已知及偶函数的定义代入可求a ，(2)结合偶函数的定义及单调性，可列出不等式，求解即可得答案．21.【答案】解：(1)当a =2时，f(x)={x 2−2x,x ≤0或x ≥2−x 2+2x,0<x <2， ∴函数f(x)递增区间为(0,1)和(2,+∞)；(2)解方程f(x)=0，可得x =0或x =a ，结合条件可知a 在[1,3]上，①当a =1时，符合题意，②当a =3时，不符合题意．③当1<a ≤2，f(x)={−x 2+ax,1≤x <a x 2−ax,a ≤x ≤3， f(x)在[1,a)上单调递减，在[a,3]上单调的递增，值需要f(3)≥f(1)，解得a ≤52， 所以1<a ≤2；④当2<a ≤3时，f(x)={−x 2+ax,1≤x <a x 2−ax,a ≤x ≤3， ∴f(x)在[1,a 2)单调递增，在[a 2,a)上单调递减，在[a,3]上单调递增，显然f(1)≥0=f(a)，所以只需要f(3)≥f(a 2)，解得−6−6√2≤a ≤−6+6√2，所以2<a ≤−6+6√2，综上所述a 的取值范围为[1,−6+6√2].【解析】本题考查了分段函数，考查分类讨论思想，是一道拔高题．(1)当a =2时，f(x)={x 2−2x,x ≤0或x ≥2−x 2+2x,0<x <2，画图即可，并由图象可得函数的单调区间，(2)先求出方程的根，再分类讨论，根据函数单调性，即可求出a 的范围．22.【答案】解：(1)方程f(x)=(2−a)x +1，即方程1x +a =(2−a)x +1，其中x ≠0， 整理可得：(2−a)x 2+(1−a)x −1=0，显然x =0不是方程的根，所以方程(2−a)x 2+(1−a)x −1=0在R 上只有一解，当2−a =0即a =2时，符合题意，当2−a ≠0即a ≠2时，Δ=(1−a)2+4(2−a)=0，解得a =3，所以a ∈{2,3}；(2)因为函数f(x)在(0,+∞)是单调递减，而任意t ∈[12,1]，[t,t +1]⊆(0，+∞)， 所以函数f(x)在[t,t +1]上单调递减，所以在[t,t +1]上，f(x)的最大值为f(t)=a +1t ，最小值为f(t +1)=a +1t+1， 由题意可得：任意t ∈[12,1]，a +1t ≤2(a +1t+1)恒成立，即任意t ∈[12,1]，g(t)=1t −2t+1−a ≤0恒成立，下面来说明g(t)的单调性， 任意t 1，t 2∈[12,1]，且t 1<t 2，则g(t 1)−g(t 2)=(1t 1−2t 1+1−a)−(1t 2−2t 2+1−a)=1t 1−1t 2−(2t 1+1−2t 2+1)=(t 2−t 1)(t 1+t 2−t 1t 2+1)t 1t 2(t 1+1)(t 2+1)， 因为12≤t 1<t 2≤1，所以t 1t 2(t 1+1)(t 1+1)>0，t 2−t 1>0，−t 1t 2+t 1+t 2+1>−1+t 1+t 2+1>0，所以g(t 1)−g(t 2)>0，即g(t)在[12,1]上单调递减，所以只需g(t)的最大值即g(12)=2−43−a ≤0，解得a ≥23，故a 的取值范围为[23,+∞)．【解析】本题考查了函数的最值问题以及恒成立问题，涉及到函数的单调性以及一元二次方程根的情况，考查了学生的运算能力，属于拔高题．(1)化简方程，根据二次方程的性质求解即可；(2)先求出函数的最大值和最小值，然后根据已知最值的关系建立不等式，整理化简建立新函数，求出新函数的单调性，利用恒成立思想即可求解．。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到 ，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ．
解得 ， ，
， ；
（2） ，
，
又 ，由题得 ，即 ，
，即
由题知 且 ，故 ，
故 ，
故只需考虑 ， 时 ， 时 ， 时 ，
17.（10分）已知 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）求 的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量 ， .
（1）若 ，其中 ，求 坐标；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故 ，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将 变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】 ，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3} 2．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣1＜0B．∃x0∈R，x02﹣1≤0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜03．（5分）函数y＝+的定义域为（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（﹣1，]4．（5分）函数f（x）＝的最小值为（）A．3B．2C．2D．15．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，﹣]B．[，4]C．[﹣3，4]D．[3，]7．（5分）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）8．（5分）若非空数集G满足“对于∀a，b∈G，都有a+b，a﹣b，ab∈G，且当b≠0时，∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题：①0是任何“理想数集”的元素；②若“理想数集”M有非零元素，则N*⊆M③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个“理想数集”；④集合T＝{x|x＝a+b，a，b∈Z}是“理想数集”．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．（5分）以下说法中正确的有（）A．“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“存在x∈R，使得f（﹣x）＝f（x）”B．“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f （x2）”C．设M，P是两个非空集合，则M⊆P的含义是“对于∀x∈M，x∈P”D．设f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有（）A．若ac2＞bc2，则a＞bB．若，则a＞bC．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞dD．若，则a＜b11．（5分）下列说法中不正确的有（）A．设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝BB．函数y＝与y＝为同一个函数C．函数y＝+的最小值为2D．设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝xf（|x|）是奇函数12．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域内的∀x，都有f（x）+f（﹣x）＝0；②对于定义域内的∀x1，x2当x1≠x2时，都有＜0则称函数f（x）为“颜值函数”．下列函数中，是“颜值函数”的有（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝D．f（x）＝﹣2x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（1）+g（1）＝．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝a与函数y＝|x﹣a|+2﹣a的图象有且只有一个公共点，则实数a的值为．16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（10分）计算：（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2；（2）π0﹣（8）﹣2+×（4）﹣1．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|＜0}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B和（∁U A）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．19．（12分）设函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），已知f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）．（1）求b，c的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间[0，2]上的最小值为﹣4，求实数a的值．20．（12分）根据试验检测，一辆P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为L/h．已知A，B两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从A地转运至B地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？21．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数．（1）求实数a的值；（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．22．（12分）设f（x）是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）；函数g（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若a＝﹣1，b＝5，且______．（①存在t∈[﹣3，2]；②对任意t∈[﹣3，2]），不等式f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＞0成立，求实数m的取值范围；请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{2，3}．故选：B．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣1＜0B．∃x0∈R，x02﹣1≤0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜0【分析】根据特称命题的否定形式进行判断【解答】解：命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是∀x∈R，x2﹣1＜0，故选：D．【点评】本题考查了命题的否定，属于基础题．3．（5分）函数y＝+的定义域为（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（﹣1，]【分析】可看出，要使得原函数有意义，需满足，然后解出x的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且x≠﹣1，∴原函数的定义域为：．故选：D．【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，区间的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）函数f（x）＝的最小值为（）A．3B．2C．2D．1【分析】先研究函数在每一段的单调性，分别求出它们的最值，然后求解函数的最值，就是大中取大，小中取小．【解答】解：对于函数函数f（x）＝，当x≤1时，f（x）＝x2﹣2x+3．在（﹣∞，1]上递减；所以此时y min＝f（1）＝2，当x＞1时，f（x）＝x+≥2＝2，当且仅当x＝，取等号，综上可知原函数的最小值为：2．故选：C．【点评】本题考查分段函数的性质，一般来讲分段函数的处理原则：分段函数，分段处理．如本题求最值，应先在每一段上求它们的最大（小）值，最后大中取大．小中取小．5．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除A，C，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除D，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．6．（5分）若函数f（x）＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，﹣]B．[，4]C．[﹣3，4]D．[3，]【分析】根据分段函数的单调性的判断方法建立不等式组，即可求解．【解答】解：要满足已知题意，只需，解得，故选：B．【点评】本题考查了分段函数的单调性，考查了学生解不等式的能力，属于基础题．7．（5分）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）【分析】讨论a＝0、a＜0和a＞0时，求出不等式有解时a的取值范围．【解答】解：a＝0时，不等式为2x+1＜0，有实数解，满足题意；a＜0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，不等式对应的二次函数开口向下，所以有实数解；a＞0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，应满足△＝4﹣4a＞0，解得a＜1；综上知，a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：D．【点评】本题考查了不等式有解的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．8．（5分）若非空数集G满足“对于∀a，b∈G，都有a+b，a﹣b，ab∈G，且当b≠0时，∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题：①0是任何“理想数集”的元素；②若“理想数集”M有非零元素，则N*⊆M③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个“理想数集”；④集合T＝{x|x＝a+b，a，b∈Z}是“理想数集”．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用已知条件中理想数集的定义判断命题的真假，题目中给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证．【解答】解：对于①，设a＝b∈G，显然有a﹣a∈G，即0∈G，故0是任何“理想数集”的元素，故①正确；对于②：当a＝b时，显然有，则1+1，2+1，…，N+1∈M，所以N*∈M，故②正确；对于③：易知2∈P，而，故③错误；对于④：a，b∈Z，故1+2∈T，而，故④错误．故选：B．【点评】本题考查学生对于新定义题型的理解和把握能力，理解“理想数集”的定义是解决该题的关键，题目着重考察学生的构造性思维，属于难题．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．（5分）以下说法中正确的有（）A．“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“存在x∈R，使得f（﹣x）＝f（x）”B．“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f （x2）”C．设M，P是两个非空集合，则M⊆P的含义是“对于∀x∈M，x∈P”D．设f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件【分析】根据偶函数的定义即可判断A；由增函数的定义即可判断B；由子集的定义即可判断C；由充分必要条件的定义即可判断D．【解答】解：对于A，“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“对任意的x∈R，都有f（﹣x）＝f（x）”，故A错误；对于B，“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”，故B正确；对于C，由子集的定义可知C正确；对于D，若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，若f（x）是定义在R上的函数，且f（0）＝0，不能得出f（x）为奇函数，例如f（x）＝x2，故“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查函数奇偶性单调性的定义，考查子集的定义，充要条件的定义，属于中档题．10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有（）A．若ac2＞bc2，则a＞bB．若，则a＞bC．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞dD．若，则a＜b【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：对于A，若ac2＞bc2，则a＞b，故A正确；对于B，若＜0＜，则a＜0＜b，故B错误；对于C，取a＝9，b＝1，c＝2，d＝3，满足a＞b＞0，ac＞bd＞0，但c＜d，故C错误；对于D，若，则﹣＝＞0，则b＞a，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．11．（5分）下列说法中不正确的有（）A．设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝BB．函数y＝与y＝为同一个函数C．函数y＝+的最小值为2D．设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝xf（|x|）是奇函数【分析】由集合的基本运算即可判断A；判断定义域与解析式是否相同即可判断B；利用换元及对勾函数的性质即可判断选项C；由函数的奇偶性的定义即可判断D．【解答】解：对于A，设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝B，故A正确；对于B，函数y＝＝|x|，函数y＝＝x，两函数定义域相同，解析式不同，故不是同一函数，故B错误；对于C，令t＝≥，则y＝+t在[，+∞）上单调递增，所以当t＝时，取得最小值为，所以函数y＝+的最小值为，故C错误；对于D，函数y＝g（x）＝xf（|x|），g（﹣x）＝﹣xf（|﹣x|）＝﹣xf（|x|）＝﹣g（x），所以函数y＝xf（|x|）是奇函数，故D正确．故选：BC．【点评】本题主要考查即可得基本运算，同一函数的判断，函数最值的求法，以及函数奇偶性的判断，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域内的∀x，都有f（x）+f（﹣x）＝0；②对于定义域内的∀x1，x2当x1≠x2时，都有＜0则称函数f（x）为“颜值函数”．下列函数中，是“颜值函数”的有（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝D．f（x）＝﹣2x【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的减函数，由此判断各选项是否同时具备两个性质即可．【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f （x）为定义域上的减函数，对于A，f（x）＝为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故A不是“颜值函数”；对于B，f（x）＝x2为定义域上的偶函数，故B不是“颜值函数”；对于C，函数f（x）＝的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故C是“颜值函数”．对于D，f（x）＝﹣2x为定义域上的奇函数，且是定义域上的减函数，故D是“颜值函数”．故选：CD．【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的必要且不充分条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要且不充分条件，即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要且不充分条件故答案为：必要且不充分．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（1）+g（1）＝2．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）2﹣1+2＝2，结合函数的奇偶性可得f（﹣1）﹣g（﹣1）＝f（1）+g（1），即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）2﹣1+2＝2，又由函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝f（1）+g（1）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝a与函数y＝|x﹣a|+2﹣a的图象有且只有一个公共点，则实数a的值为1．【分析】由已知可转化为函数y＝2a﹣2与函数y＝|x﹣a|的图象只有一个交点，利用函数的图象性质即可求解．【解答】解：由已知可令a＝|x﹣a|+2﹣a，可得：2a﹣2＝|x﹣a|，可看成函数y＝2a﹣2与函数y＝|x﹣a|图象只有一个公共点，而函数y＝|x﹣a|是以x＝a为对称轴，最小值为0的函数，所以要满足题意只需令2a﹣2＝0，即a＝1，故答案为：1【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于基础题．16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则的最小值为16．【分析】由＝+++＝++（+）（x+2y），利用基本不等式即可求得最小值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝2，∴＝+++＝++（+）（x+2y）＝++4≥4+2＝16，当且仅当＝时，取得最小值16．故答案为：16．【点评】本题考查了利用基本不等式性质求最值问题，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（10分）计算：（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2；（2）π0﹣（8）﹣2+×（4）﹣1．【分析】（1）利用对数的运算性质求解．（2）利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答】解：（1）原式＝2lg5+2lg2+lg5•lg20+（lg2）2＝2+lg5•（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+（lg5）2+2lg5•lg2+（lg2）2＝2+（lg5+lg2）2＝2+1＝3．（2）原式＝1﹣+×＝1﹣16+2＝﹣13．【点评】本题主要考查了对数的运算性质和有理数指数幂的运算性质，是基础题．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|＜0}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B和（∁U A）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．【分析】（1）可以求出集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|1＜x＜5}，然后进行交集、并集和补集的运算即可；（2）根据B∩C＝C可得出C⊆B，然后讨论C是否为空集：C＝∅时，m﹣1＞2m；C≠∅时，，然后解出m的范围即可．【解答】解：（1）A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|1＜x＜5}，U＝R，∴A∩B＝{x|3≤x＜5}，∁U A＝{x|﹣2＜x＜3}，（∁U A）∪B＝{x|﹣2＜x＜5}；（2）∵B∩C＝C，∴C⊆B，①C＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1；②C≠∅时，，解得；综上得实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）设函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），已知f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）．（1）求b，c的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间[0，2]上的最小值为﹣4，求实数a的值．【分析】（1）由f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）可知x＝﹣1，x＝3是x2+bx+c＝0的解，然后结合方程的根与系数关系可求；（2）g（x）＝f（x）﹣ax＝x2﹣（a+2）x﹣3开口向上，对称轴x＝，然后结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论可求．【解答】解：（1）由f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）可知x＝﹣1，x＝3是x2+bx+c ＝0的解，故，解得，b＝﹣2，c＝﹣3，（2）g（x）＝f（x）﹣ax＝x2﹣（a+2）x﹣3开口向上，对称轴x＝，（i）即a≥2时，函数g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）min＝g（2）＝﹣2a ﹣3＝﹣4，解得，a＝（舍），（ii）即a≤﹣2时，函数g（x）在[0，2]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝﹣3≠﹣4，（舍），（iii）当0即﹣2＜a＜2时，函数g（x）在[0，2]上先减后增，g（x）min＝g （）＝﹣3﹣＝﹣4，解得，a＝4（舍）或a＝0，综上，a＝0．【点评】本题主要考查了二次函数与二次不等式的相互转化关系的应用及二次函数闭区间上最值的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．20．（12分）根据试验检测，一辆P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为L/h．已知A，B两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从A地转运至B地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？【分析】设车速为xkm/h，用x表示出油耗和行车时间，得出总费用关于x的函数，根据基本不等式求出费用最小值．【解答】解：设车速为xkm/h，耗油率m（x）＝kx2，则由题意可得m（100）＝10000k ＝，∴k＝＝．∴从A地到B地消耗汽油的价钱为，司机的工资为＝，故从A地到B地的总费用f（x）＝≥2＝300元．当且仅当，即x＝80∈[60，120]时取等号．∴从A地到B地的车速是80km/h时，转运一次的总费用最低为300元．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查函数解析式求解，函数最值的计算，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数．（1）求实数a的值；（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（x）为奇函数，结合奇函数的定义代入可求；（2）结合单调性定义，设2≤x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（3）结合（2）中单调性即可求解函数最值．【解答】解：（1）因为f（x）＝为奇函数，x≠0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以，整理可得，ax＝0，所以a＝0，（2）证明：由（1）可得f（x）＝＝x+，设2≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+，＝x1﹣x2+＝（x1﹣x2）（1﹣）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）由（2）可得f（x）＝x在[2，4]上单调递增，故f（x）max＝f（4）＝5，f（x）min＝f（2）＝4，若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，所以1≤m2﹣2m﹣2，解得m≥3或m≤﹣1．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用及判断，还考查了函数单调性在求解最值中的应用．22．（12分）设f（x）是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）；函数g（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若a＝﹣1，b＝5，且______．（①存在t∈[﹣3，2]；②对任意t∈[﹣3，2]），不等式f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＞0成立，求实数m的取值范围；请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．【分析】（1）令x＝y＝0，可得f（0），再令y＝﹣x，结合奇偶性的定义，即可得到结论；（2）分别选①②，将原不等式转化为﹣m＞t2+2t+4对t∈[﹣3，2]成立或恒成立，结合参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围；（3）考虑g（x）＝0与g（g（x））＝3的解集相等，求得b＝3，再由g（x）≤0的解集，结合判别式的符号和因式分解，可得所求范围．【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），即f（0）＝0，再令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为R上的奇函数；（2）①存在t∈[﹣3，2]．f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＝f[（g（t）﹣1）+（3t+m）]＞0＝f（0），由f（x）是R上的减函数可得g（t）﹣1+（3t+m）＜0，即t2﹣t+4+3t+m＜0，也即t2+2t+4+m＜0，可得﹣m＞t2+2t+4对t∈[﹣3，2]成立，y＝t2+2t+4＝（t+1）2+3在t＝﹣1时取得最小值4，则﹣m＞3，即m＜﹣3；选②任意t∈[﹣3，2]，f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＝f[（g（t）﹣1）+（3t+m）]＞0＝f（0），由f（x）是R上的减函数可得g（t）﹣1+（3t+m）＜0，即t2﹣t+4+3t+m＜0，也即t2+2t+4+m＜0，可得﹣m＞t2+2t+4在任意t∈[﹣3，2]恒成立，y＝t2+2t+4＝（t+1）2+3在t＝2时取得最大值12，则﹣m＞12，即m＜﹣12；（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，可得g（x）＝0与g（g（x））＝3的解集相等，可得g（0）＝3，即b＝3，g（x）＝x2+ax+3≤0，可得△＝a2﹣12≥0，即a≥2（a≤﹣2舍去），又g（g（x）﹣3＝（x2+ax+3）2+a（x2+ax+3）+3﹣3＝（x2+ax+3）（x2+ax+3+a），由题意可得x2+ax+3+a≥0恒成立，可得△＝a2﹣4（a+3）≤0，解得﹣2≤a≤6，又a＞0，可得0＜a≤6，综上可得2≤a≤6．【点评】本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立和成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。