《二次根式的加减》
《二次根式的加减》_完美课件
第三步的依据是：合并同类项．
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例2 计算：
讲授新课
（1）（ 2+3）（ 2-5） ；（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）．
解：（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）=（ 5）2 -（ 3）2
= 5-3= 2 ．
思考1：（2）中，每一步的依据是什么？
（2）先算除，再化简，若有相同的二次根 式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．
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讲授新课
例2 计算： （1）（ 2+3）（ 2-5） ；（2）（ 5+ 3）（ 5- 3）．
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
化为最简 二次根式
用分配 律合并
整式 加减
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讲授新课
二次根 式性质
分配律
整式加 减法则
8+ 18=2 2+3 2 =（2+3） 2=5 2
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讲授新课
算式 8+ 18与算式 3 2- 2 有什么相同点与不同
点？ 请化简算式
8+
18 ，并说出每一步化简的理由.
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人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》说课稿
人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级下册16.3《二次根式的加减》这一节，是在学生已经掌握了二次根式的性质和运算法则的基础上进行讲解的。
本节内容主要让学生学会如何进行二次根式的加减运算，进一步培养学生的运算能力和数学思维能力。
教材通过例题和练习题的形式，让学生在实际操作中掌握二次根式加减的计算方法，并能够灵活运用。
二. 学情分析在教学这一节之前，学生已经学习了二次根式的性质，包括根号下的数可以分为完全平方数和非完全平方数，以及二次根式的乘除运算。
但是，对于二次根式的加减运算，学生可能还存在一定的困难，特别是在处理含有同类项和非同类项的二次根式加减时，容易出错。
因此，在教学过程中，需要引导学生理清思路，明确二次根式加减的规则。
三. 说教学目标1.让学生掌握二次根式的加减运算法则，能够正确进行二次根式的加减运算。
2.培养学生的运算能力和数学思维能力，使学生在解决实际问题时，能够灵活运用二次根式的加减运算法则。
3.通过二次根式的加减运算，让学生体会数学的规律性和逻辑性，提高学生的数学素养。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次根式的加减运算法则，能够正确进行二次根式的加减运算。
2.教学难点：如何引导学生理解并处理含有同类项和非同类项的二次根式加减问题。
五. 说教学方法与手段1.采用启发式教学法，引导学生通过观察、分析、归纳总结，发现二次根式加减的规律。
2.使用多媒体教学手段，通过动画、图片等形式，直观地展示二次根式的加减过程，帮助学生理解。
3.学生进行小组讨论和合作交流，让学生在讨论中解决问题，提高学生的团队协作能力。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出二次根式的加减运算，激发学生的学习兴趣。
2.新课讲解：讲解二次根式的加减运算法则，并通过例题演示如何进行二次根式的加减运算。
3.学生练习：让学生独立完成一些二次根式的加减运算题目，巩固所学知识。
二次根式的加减PPT课件
1＋912＋1102
人教版 九年级上
第十九章 生活用电
第1节 家庭电路
课堂导练
3．下图是家庭电路的组成，请填出各组成部分的名称。
①__电__能__表__；②_总__开__关__；③_保__险__装__置__；④_三__孔__插__座__； ⑤__火__线____；⑥__零__线____；⑦___地__线___。
19 见习题
15 C
答案显示
1．同类二次根式：将几个二次根式化成_最__简__二__次__根__式___， 如果被开方数__相__同____，那么这样的二次根式称为同类 二次根式．
2．二次根式的加减，与整式的加减类似，关键是将 _同__类__二__次__根__式_ 合 并 ． 其 步 骤 为 先 将 二 次 根 式 化 为 最__简__二__次__根__式__，再将同类二次根式合并．
课后训练
13．(2020·常州)请以笔画线代替导线，将三孔插座、开关控 制的电灯接入电路。 解：如图所示。
课堂导练
【点拨】开关应安装在火线上，当断开开关时，用电器与 火线断开，不会发生触电事故； 空气开关“跳闸”后，电 流无法形成通路，故家庭电路整体上处于断路状态；零线、 地线和大地间的电压都是0 V，用试电笔分别接触零线与 地线时，氖管都不发光，所以试电笔不能辨别零线与地线， 但试电笔可以辨别火线和零线。 【答案】火；断路；不能
【答案】会；44
课后训练
1．下列各式中，与 2 是同类二次根式的是( C ) A. 3 B. 4 C. 8 D. 12
2.下列二次根式中，与 a 是同类二次根式的是( C ) A. a2 B. 2a C. 4a D. 4＋a
3.下列二次根式中，与 20是同类二次根式的是( B )
二次根式的加减法
概念
例子
异类二次根式是指根指数或被开方数不同 的二次根式。
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是异类二次根式 。
减法运算
加法运算
两个异类二次根式相减，先进行化简，再 进行减法运算。
两个异类二次根式相加，先将它们化成最 简二次根式，再进行加法运算。
运算结果化为最简二次根式
概念
最简二次根式是指被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式 。
乘法运算
$\sqrt{a} \times \sqrt{b}$在$ab \geq 0$ 时成立。
减法运算
$\sqrt{a} - \sqrt{b}$在a=b或ab=0时成立 。
除法运算
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$在$ab \geq 0$ 且$a \neq 0$时成立。
二次根式的加减法
总结词
掌握含加减法的二次根式混合运算法则，能 够准确进行运算。
详细描述
含加减法的二次根式混合运算涉及到根式和 整式的加减法，运算顺序是先乘方，再乘除 ，最后加减。在运算中，需要注意各项均需 乘以平方数，根式外的数要移到根号内，相
加减时根式部分不变。
复杂二次根式混合运算的步骤和技巧
总结词
掌握复杂二次根式混合运算的步骤和技巧，能够准确 快速地进行运算。
02
同类二次根式的加减法
概念
同类二次根式是指根指数相同且被开 方数相同的二次根式。
例子
$\sqrt{4}$ 和 $\sqrt{9}$ 是同类二 次根式。
减法运算
两个同类二次根式相减，直接进行减 法运算。
加法运算
两个同类二次根式相加，先将它们化 成最简二次根式，再进行加法运算。
人教版八年级下册数学《二次根式的加减》说课教学课件
二次根式的加减
目录
学习目标
01
LEARNING OBJEC
1、了解同类二次根式的意义。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
3、在探索中培养学生分析、转化、归纳、总结的能力。
02
03
重点
A KEY
二次根式加减法的运算。
难点
DIFFICUL
熟练进行二次根式加减法的运算。
学习目标
01
= (2 + 1) 3 + (2 − 1) 5
=3 3+ 5
02
练一练
1．下列各式中，与 是同类二次根式的是（
A．
B．
C．
D．
） 2．下列计算中正确的是（ ）
A． + =
C． ÷ =
B．
−
【答案】D
【详解】
【详解】
A、 9＝3，与 3不是同类二次根式；
= 14 3
1
3
4)( 12+ 20)+( 3- 5)
+ 3 48
+ 3 48
6× 1
+ 3 16
3
6× 1× 3
+3
3× 3
×3
16 × 3
4)( 12+ 20)+( 3- 5)
= 12+ 20+ 3- 5
= 4 × 3+ 4 × 5 + 3- 5
= 2 3+2 5 + 3- 5
= 2 3 + 3 +2 5 - 5
3.14 −
42 =4
52 =5
2
《二次根式的加减法》优质课件
通过化简根式，将复杂的二次根式加 减法转化为简单的加减运算。
练习题与答案解析
题目1
计算$\sqrt{18} + \sqrt{72}$
答案
$3\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$
解析
首先化简根式，$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$，$\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$，然后进行加法运算，$3\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$。
二次根式具有非负性，其他根式则没有此性质。
易错点
在进行二次根式的加减运算时，容易忽略二次根式的非负性，导致结果错误。
03
典型例题解析与练习
简单例题解析
01
题目
计算$\sqrt{12} + \sqrt{27}$
02 03
解析
首先化简根式，$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$， $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$，然后进行加法运算， $2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$。
拓展阅读材料推荐
《数学简史》
一本介绍数学发展史的书 籍，其中涵盖了二次根式 的重要性和应用。
《数学之美》
一本介绍数学在各个领域 中的应用的书籍，包括二 次根式在物理学和经济学 中的应用。
《数学杂志》
一本学术期刊，上面有许 多关于二次根式的论文和 研究文章，可以深入了解 该领域的最新进展。
05
总结回顾与展望未来
二次根式的加减法
二次根式的加减法二次根式是数学中的一种特殊类型，由一个根号和一个数构成。
在这篇文章中，我们将讨论二次根式的加减法运算。
通过理解二次根式的性质和运算规则，我们能够有效地计算和简化这类数学表达式。
一、二次根式的定义二次根式是指具有形如√a的数学表达式，其中a为一个非负实数。
根号下的数称为被开方数，√a读作a的二次根。
例如，√4和√9分别等于2和3，因为2²等于4，3²等于9。
这些数都是被开方数的平方根。
二、二次根式的加法与减法原则1. 加法原则：当两个二次根式具有相同的根号下数时，我们可以将它们合并为一个根号下，然后在对应的系数上进行加法运算。
例如，√5 + 2√5 = 3√5解释：这里的√5和2√5具有相同的根号下数5，所以可以将它们合并为3√5。
2. 减法原则：与加法类似，在两个二次根式具有相同的根号下数时，我们可以将它们合并为一个根号下，然后在对应的系数上进行减法运算。
例如，3√7 - √7 = 2√7解释：这里的3√7和√7具有相同的根号下数7，所以可以将它们合并为2√7。
三、示例与应用让我们通过几个示例来进一步了解二次根式的加减法运算。
示例1：计算：√8 + 3√2解答：√8 = √4 × 2 = 2√2所以，√8 + 3√2 = 2√2 + 3√2 = 5√2示例2：计算：5√10 - 2√10解答：5√10 - 2√10 = 3√10示例3：计算：√18 + 4√3 - 2√12解答：√18 = √9 × 2 = 3√2√12 = √4 × 3 = 2√3所以，√18 + 4√3 - 2√12 = 3√2 + 4√3 - 2√3 = 3√2 + 2√3四、简化与合并在进行二次根式的加减法运算后，我们可以进一步将结果进行简化与合并。
具体而言，可以将相同根号下数的二次根式合并为一个根号下，并且对应的系数进行加减运算。
例如，2√5 + 3√5 = (2+3)√5 = 5√5在这个步骤中，我们将2√5和3√5合并为5√5，并对应的系数2和3进行加法运算。
16.3 二次根式的加减
(3)原式 16 - 9 4 - 3 1
例题
(1) (2 - 2)(3 2 2)
原式 6 4 2 - 3 2 - 4 2 2
(2) (2 2 - 3 3)(3 3 2 2)
原式 （2 2）（3 3） 8 - 27 -19
2 2
(3) (2 3 3 2)
交换律在 二次根式运算 中仍然成立。
2 32 5 3- 5 2 3 32 5- 5
3 3 5
注意
（2）如果所给的二次根式不是最简二 次根式，应该先化简，再进行加减运算。
1、下列计算哪些正确，哪些不正确？
⑴
3 2 5
（不正确） （不正确） （不正确）
⑵
a b a b
a - b a -b
a a b b
（a ≥0 ， b＞0）
做一做
１.计算：
（１）( 3 ) ______ ３
2
(1 -
2)
2
2 -1 ______
（２）
a a ( a > 0 ) _____;
2
几个二次根式化成最简二次根式以 后，如果被开方数相同，这几个二次 根式就叫做同类二次根式.
判断同类二次根式的关键是什么？
又 ∵ 6 14
2
0
7 13
7 13
0
6 14
拓展提高
2 2 3 2 2 , 3
3
观察下列各式及其验证过程：
验证：
2 2 (2 - 2) 2 2(2 - 2) 2 2 2 2 2 2 3 3 2 -1 2 -1 3
3 2
3
3 3 3 3 8 8 3 验证：3 3 3 8 8
二次根式的加减说课稿
二次根式的加减说课稿（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《21_3 二次根式的加减》重难点精讲精练
21.3 二次根式的加减【知识梳理】知识点01：同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.知识点02：二次根式的加减1.二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.要点诠释：（1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.（2）二次根式加减运算的步骤：1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；3)合并同类二次根式.知识点03：二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果要写成最简形式.【精讲精练】考点1 二次根式的加减法【典例分析01】（2022秋•九龙坡区校级期末）下列计算正确的是（）A．a4+a6＝a10B．C．D．【思路引导】根据合并同类项法则、二次根式的性质、二次根式的加法运算即可求出答案．【规范解答】解：A、a4与a6不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．B、原式＝3，故B不符合题意．C、原式＝4，故C符合题意．D、与不是同类二次根式，故不能合并，故D不符合题意．故选：C．【考察注意点】本题考查合并同类项法则、二次根式的性质、二次根式的加法运算，本题属于基础题型．熟练掌握这些知识点是解题的关键．【典例分析02】（2022春•沂水县期中）下列计算正确的是（）A．B．C．2D．2＝2 【思路引导】根据二次根式的加减运算法则计算判断即可．【规范解答】解：﹣＝2﹣＝，A选项正确；+≠，B选项错误；2﹣2≠，C选项错误；2﹣＝，D选项错误．故选：A．【考察注意点】本题考查二次根式的加减运算，做题关键要掌握二次根式的加减运算法则．【随堂演练01】（2022•南岗区校级开学）计算：（1）（2a+b）（b﹣5a）；（2）2．【随堂演练02】（2022春•武隆区校级期中）计算：（1）+（）﹣2﹣|﹣2|；（2）+2﹣（﹣）．考点2：二次根式的混合运算【典例分析03】（2022春•东莞市校级期中）下列计算不正确的是（）A．•＝B．+＝C．÷＝3 D．＝2【思路引导】直接利用二次根式的性质以及二次根式的乘除运算法则、二次根式的加减运算法则分别计算，进而得出答案．【规范解答】解：A．•＝，故此选项不合题意；B．+无法计算，故此选项符合题意；C．÷＝3，故此选项不合题意；D．＝2，故此选项不合题意．故选：B．【考察注意点】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【典例分析04】（2022秋•渠县校级期末）计算：（）（）（）＝．【随堂演练03】（2022秋•惠济区校级期末）（1）解方程组：；（2）计算：．【随堂演练04】（2022秋•碑林区校级期末）计算：（1）3﹣﹣；（2）（3+）（3﹣）．考点3：二次根式的化简求值【典例分析05】（2022春•藁城区校级月考）已知a＝+1，b＝﹣1，则的值为（）A．B．C．D．【思路引导】由题意可得ab＝2，a﹣b＝2，a+b＝2，再整理所求的式子，代入运算即可．【规范解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，∴ab＝（+1）×（﹣1）＝2，a﹣b＝+1﹣（﹣1）＝2，a+b＝+1+﹣1＝2，∴＝＝＝＝．故选：A．【考察注意点】本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【典例分析06】（2022秋•海淀区校级期末）已知a+b＝3，ab＝2，则+的值为．【思路引导】先将所求根式化简，再整体代入求值即可．【规范解答】解：当a+b＝3，ab＝2时，+＝+＝＝＝＝．故答案为：．【考察注意点】本题考查二次根式化简求值，解题的关键是将所求二次根式化简，再整体代入求值．【随堂演练05】（2022秋•丰城市校级期末）先化简，再求值：a+，其中a＝2020．如图是小亮和小芳的解答过程．（1）的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；（2）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2．（2022秋•城关区校级期末）先化简，后求值：，【随堂演练06】其中．考点4：二次根式的应用【典例分析07】（2022春•许昌期末）已知矩形的面积为4，一条边长a为，则相邻的另一边长b为（）A．B．C．D．4【思路引导】根据矩形的面积公式计算即可．【规范解答】解：由题意可得：S＝ab，即，∴b＝＝．故选：B．【考察注意点】本题考查二次根式的应用，解题关键是掌握矩形面积公式．【典例分析08】（2022春•潮安区校级月考）设长方形的面积为S，相邻两边分别为a，b，已知a＝，b＝，则S＝（）A．B．C．D．【思路引导】运用矩形的面积公式直接计算，即可解决问题．【规范解答】解：（1）∵a＝，b＝，∴S＝ab＝×＝3，故选：C．【考察注意点】该题主要考查了二次根式的化简、求值问题；解题的关键是正确运用二次根式运算法则及运算公式来化简、计算．【随堂演练07】（2022秋•宁德期末）如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；（2）求阴影部分的面积．【随堂演练08】（2022春•周至县期末）在一个长为4，宽为3的矩形内部挖去一个边长为（2﹣）的正方形，求剩余部分的面积．。
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教师活动 学生活动 设计意图
温故知新：
1、 下列根式中，哪些是最简二次根式？
233xy ab 15a ,18,x 1,5x y,24abc,
,33-
答：
23xy
15a,x 1,
3
-是最简二次根式
2、请把上题中非最简二次根式化简。
3、计算
b
a b a a a 22
4
12)2(53)1(-+
学生能独立思考迅速回答问题
通过复习最简二次根式、二次根式的化
简。
同时，复习整式
运算中合并同类项，
为后面学习同类二次根式与二次根式的加减法奠定基础。
为
任务一：同类二次根式的概念 一、新课导入 问题一：
（1）如图，两块矩形玻璃的宽都是
2米，它们的长分别
为2米和3米。
分别求这两块玻璃的面积？
（2）观察两块玻璃的面积表达式，他们有何共同之处？ （3）
123与有以上特征吗？
师：类比同类项的概念，得出同类二次根式的概念。
同类二次根式的定义：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式. 二、下列各式中，哪些是同类二次根式？
自主观察、小组交流、师生共同总结出二次根式的特征。
让每组3、4号同学抢答判断是否为同类二次根
式，并说明理由
类比着同类项的概念引导学生得出同类二次根式的定义，
提升学生对知识的迁移能力。
通过练习提高学生
准确判断同类二次。