离散数学(三)

一、判断题1、偏序集合的哈斯图一定是连通图（错）2、任意一个谓词公式都与一个前束范式等到价。

（对）3、设R 是非空集合A 上的关系，R 在A 上是传递的，当且仅当RR R R ⊆4、若有向图D 是强连通，则D 必为欧拉图。

5、设R 是集合A 上的传递关系，则R 是传递的.6、设A*、Ｂ*分别是命题公式Ａ和Ｂ的对偶式，若Ａ⇒Ｂ，则Ａ*⇒Ｂ*7、在推理中：“如果你上课用心听讲，那么你考试及格：你上课不用心听讲，所以你考试不及格”，中的结论是有效的8、Ａ、Ｂ为集合，Ａ-B=A 当且仅当Ｂ＝Φ9、若Ａ、Ｂ为集合，当Ａ∪Ｂ＝Ａ∪C 且Ａ∩Ｂ＝Ａ∩Ｃ时，则Ｂ＝Ｃ11、集合Ａ上的恒等关系，I A 是对称的反对称的.12、可数个可数集的并一定是可数的 13、在推理“如果我参加马拉松赛，那么我很疲劳；但我不疲劳，所以我没有参加比赛中，结论是有效的14、A 、Ｂ是非空集合，若｛Ａ－Ｂ，Ｂ－Ａ｝是集合，Ａ∪Ｂ的一个划分，则Ａ∩Ｂ＝Φ15、设Ａ，Ｂ分别是命题公式Ａ、Ｂ的对偶式，若Ａ⇔Ｂ，则Ａ⇔Ｂ16、Ｒ、Ｓ是Ａ上的二元关系，若Ｒ和Ｓ是自反的，则ＲS 也是自反的17、设Ａ是集合，Ｐ（Ａ）是Ａ的幂集，则Ａ⊆Ｐ（Ａ）18、偏序集合的哈斯图一定是连通图 19、若Ｒ１∙Ｒ２是非空集合Ａ上的等价关系，则Ｒ１Ｒ2也是Ａ上的等价关系20、若Ｒ、Ｓ是Ａ上的二元系，若Ｒ和Ｓ是对称的，则RS 也是对称的21、设Ｒ、Ｓ是集合Ａ上的关系，若Ｒ和Ｓ是传递的，则Ｒ∩Ｓ是传递22、设Ａ*是命题公式Ａ的对偶式，则（Ａ*）*＝Ａ23、不是自反的关系一定是反自反的 24、集合（0，1）和集合（∞-，０）是等势的。

25、设<A,≤>是偏序集，B ⊆A ，若b ∈B是B 的最小元，则b 是B 的极小元，下界，下确界。

26、若有向图Ｄ是欧拉图，则Ｄ必是强连通图 27、设<A,≤>是偏序集，B⊆A ，，则a是B 的上确界，且a ∈B ，则a 是B 的最大元。

则a 是B 的极大元、上界、上确界。

28、设<A, ≤>是偏序集，B ⊆A ，若b ∈B 是B 的最大元，b 是B 的极大元，上界，上确界。

29、设Ｒ是Ａ上的二元系，若Ｒ是对称的，则r(R),t(R)也是对称的30、若图Ｇ中恰有两个奇度数结点，则这两个结点是连通的。

31、若集合Ａ上的关系Ｒ是对称的，则Ｒ的逆关系Ｒ-1也是对称的32、若Ｒ和Ｓ是集合Ａ上的两对称关系，则RS 也是对称的。

33、设Ｒ和Ｓ是集合Ａ上的关系，Ｒ和Ｓ是传递的，则Ｒ∪Ｓ是传递。

34、对于代数系统<Ｒ，*>,Ｒ是实数集合，＊是普通乘法运算，则每个元素均有逆元 35、若Ｒ和Ｓ是集合Ａ上的两传递关系，则RS 也是传递的。

36、设R 和S 是集合A 上的等价关系，则R ∪S 一定是等介的。

37、设R 、S 是集合A 的关系，由s(R ∪S)=s(R)∪s(S) 38、设R 、S 是集合A 的关系，由s(R ∪S)=r(R)∪r(S)39、任意一个谓词公式都与一个前束范式等价。

40、若无向图中恰有两个度为奇数的结点，则这两个结点必连能。

41、在有向图中，结点间的可达关系是等价关系。

42、若图G 不连通，则G 必连通。

二、选择题1.对任意集合A,B,C 下属正确的是：A .若A ∈B,B ⊆C 则A ∈C2.设A-B=Φ,则有:C.A ⊆B3.设A=则有:C.{{4，5}}⊆A4.设A={a,{a}}下列选项错误的是: B.{a}⊆P(A)5.集合A={1,2,.,10 }上的关系R={<x,y>︱x+y=10,x,y ∈A}则R 有性质: B.对称的 6.设A={a,b,c},B={1,2},f:A→B,则不同的函数个数为：B.32个 7.函数的复合满足:B.结合律 8.,f g为满射,则f g 必是：C. 满射9.若f g 是满射则:C.g 是满射10.Z 是整数集合,f 定义为z →z()2f x x x =-则:A.单射公倍数12.任何无向图中结点间的连通关系是: B.等价1,,D V E >=<>是强连通图，当且仅当：D. D 中有通过美各界的至少一次的回路 三、填空题6.集合A 的基数为m ，则其幂集P(A)的基数为:2m7.一棵树上有两个结点度数为2，一个基点度数为3，三个结点度数为4,度数为1的结点有 9个.8.R 是集合A 上的等价关系则对任一元素a ∈A,由a 形成R 等价类[]R a ={x ︱a ∈A,aRx}四、证明下列各题3.证明:对于任意集合A,B,C ，(A ∩B)∪C=A ∩(B ∪C)的充要条件是C⊆A.证:""⇒x ∀∈C,则x ∈(A ∩B)∪C ⇔x ∈A ∩(B ∪C)⇒x ∈A 即C ⊆A ""⇐若C ⊆A,则(A ∩B)∪C=(A ∪C)∩(B ∪C) = A ∩(B ∪C) ∴结论成立。

5.若A ∩B ≠Φ,证明:(A B)(B A)= (A A)(B B)=(A B)(B A)⨯⨯⨯⨯⨯ 证: (1)<x,y>(A B)(A B)(A )(A )(A)()(A) ()(,)(, )<x,y>()()(A B)(B )= (A A) (B B)x B y B x x B y y B x y A A x y B B A A B B A ∀∈⨯⇔∈∧∈⇔∈∧∈∧∈∧∈⇔<>∈⨯∧<>∈⨯⇔∈⨯⨯∴⨯⨯⨯ (2)同理可证：<x,y>(A B)(A B)(A )(A )(A)()(A) ()(,)(, )<x,y>()()(A B)(B A)= (A B) (B A)x B y B x x B y y B x y A B x y B A A B B A ∀∈⨯⇔∈∧∈⇔∈∧∈∧∈∧∈⇔<>∈⨯∧<>∈⨯⇔∈⨯⨯∴⨯⨯⨯ .6.若A ∩B ≠Φ,证明:(A B)(B C)= (A A)(B B)⨯⨯⨯证:()()<x,y>(A B)(A B)(A )(A )(A)()(A) ()(A)(A) (B)()(,)(, )<x,y>()()(A B)(A B)= (A A) x B y B x x B y y B x y x y B x y A A x y B B A A B B ∀∈⨯⇔∈∧∈⇔∈∨∈∧∈∧∈⇔∈∧∈∨∈∧∈⇔<>∈⨯∧<>∈⨯⇔∈⨯⨯∴⨯⨯ (B B)⨯7.设R.S.T 均为A 上的二次关系，证明()R S T R S R T = 证:x,y A ∀∈,()()(<x,u>R <u,y>)()<x,u>R (<u,y) <u,y>()<x,u>R (<u,y>) (<x,u>,)()<x,u>R (<u,y>) ()(<x,u>,)<x,y>,<x,y>x y R S T u S T u S T u S R u y T u S u R u y T R S x y R T <>⇔∃∈∧∈⇔∃∈∧∈∨∈⇔∃∈∧∈∨∈∧<>∈⇔∃∈∧∈∨∃∈∧<>∈⇔∈∨<>∈⇔ （）（）（）()R S R T R S T R S R T∈= 即8.设A.B.C 是集合,证明:A B （）-C=（A-C ）（B-C ） 证:A B A B CC C （）-C=（） =（A ）（B ） =（A-C ）（B-C ）9.A,B 为任意集合,证明: (1)()()()P A P B P A B ⊆(1)()()()P A P B P A B ⊆证:(1)()()(())(())()()()()()()x P A P B x P A x P B x A x B x A B x P A B P A P B P A B ∀∈⇔∈∨∈⇔⊆∨⊆⇔⊆⇔⊆∴⊆(2)()()(())(())()()()()()()x P A P B x P A x P B x A x B x A B x P A B P A P B P A B ∀∈⇔∈∧∈⇔⊆∧⊆⇔⊆⇔⊆∴⊆11.设R 是A 上的关系,证明R 是对称的1R R -=证:12.证明:(1)若R 是自反的则s(R) t(R)也是自反的(2)若R 是对称的则r(R),t(R)也是对称的(3) 若R 是传递的则r(R) 也是传递的证:(1)若R 是自反的，则(),()(),()A A A I R R s R R t R I s R I t R ⊆⊆⊆∴⊆⊆又即s(R),t(R)是自反的(2) (1)若R 是对称的()1111 ()()()R R R R r R r R ----==== -1A A A 即又r(R)=R I I I 即对称(3)R 传递⇔t(R)=R 要证明r(R)传递只需证tr(R)=r(R)11)() ()=r(R)ii i i R R R R t R R ∞=∞===== A A A A A 又t()=t(I I I I I五、应用题1.某班学生学习PASCAL 语言.C 语言.COBOL 语言的学生分别是110人,98人,75人,同时学习PASCAL 语言和C 语言的有35人，同时学习PASCAL 语言和COBOL 语言的有50人，三门都学的有6人，同时学习C 语言和COBOL 语言的有19人，求同有多少学生。

解:设A.B.C 分别是选学PASCAL. C 语言和COBOL 的人数的集合。

则A=110,B=98,C=75且A B =35,B C=19 A C=50,A B C=6则易求A B C=185人2.设学校有58个学生爱好体育运动,其中15人参加篮球队,20人组成排球队,38人组成足球队,其中有3人同时参加三个球队,求同时参加两个球队的学生共有多少人.解:设A.B.C 是组成篮球.排球.足球队的人数的集合。

则A=15,B=20,C=38A B C=3,A B C=58同时参加两个球队的人数为:A B C A B C A B C A B C +++ =A B A C B C ++2A B C-=A B C A B C A B C ++--=15+20+38-58-3=12人 六、简答题。

1.设全集E={1,2...,12},A={1,3,5,7,9,11},B={2,3,5,7,11},C={2,3,6,12},D={2,4,8}求A B,A C,A-B,A⊕D解:A B ={1,2,3,5,7,9,11}A C={3}A-B=A ⊕D=2.设A={a,b,c}举出A 上的关系R 的例子，使它具有如下属性:(1)R 既是对陈又是反对称的 (2)R 既不是对称又不是反对称 (3)R 既不是自反也不是反自反 解:(1)(2) (3)3.集合A={1,2,3,4,5,6},R={,,x y x y A <>∈,x 整除y} (1)确定R 是A 上的偏序关系,并画出哈斯图。