立体几何三视图体积表面积(学生)
高考数学(文)《立体几何》专题复习
(2)两个平面垂直的判定和性质
✓ 考法5 线面垂直的判定与性质
1.证明直线 与平面垂直 的方法
2.线面垂直 的性质与线 线垂直
（1）判定定理（常用方法）： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线
与此平面垂直.判定定理中的两条相交直线必须保证“在平面 内相交”这一条件. （2）性质： ①应用面面垂直的性质（常用方法）：若两平面垂直,则在一 个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面，是证明线 面垂直的主要方法； ②（客观题常用）若两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直于这个平面.
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✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法 2.空间平行关系 之间的转化
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✓ 考法3 面面平行的判定与性质
1.证明平面 与平面平行 的常用方法
这是立体几何中证明平行关系常用的思路,三 种平行关系的转化可结合下图记忆
2.空间平行关系 之间的转化
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600分基础 考点&考法
定义 判定方法
2.等角定理
判定定理 反证法 两条异面直线所成的角
✓ 考法2 异面直线所成的角
常考形式
直接求 求其三角函数值
常用方法
作角
正弦值 余弦值 正切值
证明 求值 取舍
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600分基础 考点&考法
➢ 考点46 线面、面面平行的判定与性质 ✓ 考法3 线面平行的判定与性质 ✓ 考法4 面面平行的判定与性质
1.计算有关 线段的长
2.外接球、内切 球的计算问题
观察几何体的特征 利用一些常用定理与公式 (如正弦定理、余弦定理、勾股定理、 三角函数公式等) 结合题目的已知条件求解
空间几何体的三视图-表面积和体积经典讲义(学生版)
空间几何体的三视图，表面积和体积考点一空间几何体的三视图1.如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、Ｃ1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为( )2.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0)，（０，1,1),(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以ｚOx平面为投影面,则得到的正视图可以为( )3. 在如图所示的空间直角坐标系O-ｘyz中,一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,２),(2,2,0),(1，2，1)，(２,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( ）(A)①和②(Ｂ)③和① (C)④和③ﻩ（D）④和②4.如图所示，在正方体ABCD A1Ｂ1C1D１中，点P是上底面A1Ｂ1Ｃ1D1内一动点,则三棱锥P ABC的正视图与侧视图的面积的比值为.５.已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( )(A)１（Ｂ（Ｃ6.一条长为2的线段，的三条线段,则ab的最大值为（）ﻩﻩ(C）52ﻩ (D)3考点二空间几何体的表面积和体积1．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,由此几何体的体积为( )(A)6 （B）9 (Ｃ)１2 （D）１82.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于 cm3．3.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是（ ) (A)1+3(B)2+3 (C)1＋22 (D ）２24．有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影,其投影面积的最大值是（ )(A)1 ﻩ(B)32ﻩ (C ）2 (D)35．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ )(A ）16+８π ﻩ(B)8+8π (C ）16+１６πﻩ（D)８+1６π6.一四面体的三视图如图所示,则该四面体四个面中最大的面积是（ )(A)２ (Ｂ)２(C) (D)27.如图,网格纸上小正方形边长为１，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（) (A）６+4+2ﻩ（B)8＋4 (Ｃ)6+6ﻩ（D）6+2+48．已知三棱锥SＡBC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SＣ为球O的直径,且SC=２,则此棱锥的体积为( ）(A)错误!ﻩ9.如图,正方体ＡBＣD-A1B1Ｃ１D１的棱长为1,E,Ｆ分别为线段AＡ1,B１C上的点,则三棱锥Ｄ1-ＥDF的体积为___＿__＿__＿＿__.1０.如图所示,已知正四棱锥S AＢCD所有棱长都为1，点Ｅ是侧棱ＳＣ上一动点,过点Ｅ垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE=x(0＜x＜1),截面下面部分的体积为V （x)，则函数y＝V（x)的图象大致为( )考点三与球有关的表面积和体积问题1.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为ａ,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( )(Ａ)πａ２ﻩ（Ｂ）73πa2(C)113πa2ﻩ (D）5πa22.设OＡ是球O的半径,M是OＡ的中点,过M且与OA成４5°角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面积等于7π4，则球O的表面积等于 .3.已知球的直径SＣ=４，A,Ｂ是该球球面上的两点，AB=3,∠ＡＳC=∠BＳC=30°,则棱锥S ABC的体积为( )(A)（Ｂ)ﻩ（C (Ｄ）14.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4，底面边长为２,则该球的表面积为（ )(A)81π4错误!未定义书签。
立体几何三视图体积表面积(学生)
-- -- z - 立体几何三视图体积表面积一、选择题1．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为（ ）（A ）48122+ （B ）48242+（C ）72122+ （D ）72242+2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ）22 （B ）43 （C ）83 （D ）43．一个几何体的三视图如图，则其体积为（ ）A ．203 B ．6 C ．163 D ．54．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于 （ ）侧视图正视图 俯视图 2 22试卷第2页，总7页A． 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．6 35．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ）A ．34π B ．23π C ．π D ．π3 6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是为（ ）A ．80B ．40C ．803D ．403 7．某几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的体积为正视图 侧视图俯视图-- -- z - （A ）200+9π（B ）200+18π（C ）140+9π（D ）140+18π8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）侧（左）视图俯视图正视图111122A B CD9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．π2B ．2π2C ．3π D ．23π 10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．16πC ．32πD ．64π试卷第4页，总7页二、填空题11．一个四棱柱的三视图如图所示，则其体积为_______．12．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是______.13．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为，外接球的表面积为 ．14．用18m 长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长方体的最大体积是_____3m ．15．一个球的接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为__________．16．如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）1111ABCD A B C D 中，E 是BC 的中点，F 是1C D 的中点，P 是棱1CC 所在直线上的动点．则下列四个命题：-- -- z -①CD PE ⊥ ②EF //平面1ABC③111P A DD D ADE V V --=④过P 可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．三、解答题17．如图所示，一圆柱挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆锥的母线长为6，底面半径为2，求该几何体的表面积．18．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（Ⅰ）若M 为CB 中点，证明：1//MA CNB 平面；（Ⅱ）求这个几何体的体积．C D D 1C 1B 1 1F E试卷第6页，总7页19．（12分）如图，P AB '∆是边长为31+的等边三角形，31P C P D ''==-现将P CD '∆沿边CD 折起至PCD 得四棱锥P ABCD -, 且PC BC ⊥（1）证明：BD ⊥平面PAC ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）求证：//PB 平面AEC ;（2）设1,3,2,PA AB AD ===求三棱锥B PCD -的体积。
2019数学(理)二轮精选讲义专题五 立体几何 第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积 含答案
专题五立体几何第一讲空间几何体的三视图、表面积与体积考点一空间几何体的三视图与直观图1．三视图的排列规则俯视图放在正（主)视图的下面,长度与正（主）视图的长度一样，侧（左）视图放在正(主）视图的右面，高度与正（主）视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系S′＝错误!S。
[对点训练]1．(2018·全国卷Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是(）［解析］两个木构件咬合成长方体时，小长方体（榫头)完全嵌入带卯眼的木构件，易知俯视图可以为A.故选A。
[答案］A2．（2018·河北衡水中学调研）正方体ABCD－A1B1C1D1中,E 为棱BB1的中点(如图),用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）[解析］过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C。
［答案］C3．（2018·江西南昌二中模拟）一个几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积为()A．8 B．4 C．4错误!D．4错误![解析］由三视图可知该几何体的直观图如图所示，由三视图特征可知，P A⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，AB⊥AC，P A＝AB ＝AC＝4，DB＝2，则易得S△P AC＝S△ABC＝8，S△CPD＝12，S梯形ABDP ＝12，S△BCD＝错误!×4错误!×2＝4错误!，故选D。
［答案]D4．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积为________．[解析]直观图的面积S′＝错误!×（1＋1＋错误!)×错误!＝错误!.故原平面图形的面积S＝错误!＝2＋错误!.[答案]2＋错误![快速审题］（1)看到三视图，想到常见几何体的三视图，进而还原空间几何体．(2）看到平面图形直观图的面积计算，想到斜二侧画法,想到原图形与直观图的面积比为错误!.由三视图还原到直观图的3步骤(1）根据俯视图确定几何体的底面．(2）根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．（3）确定几何体的直观图形状．考点二空间几何体的表面积与体积1．柱体、锥体、台体的侧面积公式（1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高）；(2)S锥侧＝错误!ch′(c为底面周长,h′为斜高)；(3）S台侧＝错误!（c＋c′）h′（c′,c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．2．柱体、锥体、台体的体积公式(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高）；(2)V锥体＝错误!Sh（S为底面面积，h为高）；(3)V台＝错误!(S＋错误!＋S′）h(不要求记忆）．3．球的表面积和体积公式S表＝4πR2(R为球的半径）,V球＝43πR3(R为球的半径）．[对点训练]1．(2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示(单位:cm）,则该几何体的体积(单位:cm3）是（）A．2 B．4 C．6 D．8［解析]由三视图可知该几何体是直四棱柱，其中底面是直角梯形，直角梯形上，下底边的长分别为1 cm，2 cm，高为2 cm,直四棱柱的高为2 cm.故直四棱柱的体积V＝1＋22×2×2＝6 cm3.[答案]C2．（2018·哈尔滨师范大学附中、东北师范大学附中联考）某几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（)A.错误!＋2B.错误!＋2C.错误!＋3 D。
高考数学复习：空间几何体的三视图、表面积及体积
V＝13×3×6×3＝18.
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专题五 立体几何
空间几何体的三视图与直观图的对应关系
典题例析 例 1 (1)下列三视图所对应的直观图是
二 轮 复 习
(C )
数 学
[解析] 由题意可知，几何体的直观图下部是长方体，上部是圆柱，并且高 相等，所以C选项符合题意．
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专题五 立体几何
(2)如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为
学
习
(r，r′为底面半径，h 为高)
球 V 球＝__43_π_R_3_____(R 为球的半径) S 球＝___4_π_R_2___(R 为球的半径)
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专题五 立体几何
2．空间几何体的三视图和直观图
(1)空间几何体的三视图
三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上
方看到的物体轮廓线的正投影围成的平面图形，三视图的画法规则为“长对
＝π4.
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专题五 立体几何
7．(2019·北京卷，11)某几何体是由一个正方体去 掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上 小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__4_0___.
数 学
二 轮 复 习
[解析 ] 由题意知去掉的四棱柱的底面为直角梯形，底面积S＝(2＋4) ×2÷2＝6，高为正方体的棱长4，所以去掉的四棱柱的体积为6×4＝24.又正方 体的体积为43＝64，所以该几何体的体积为64－24＝40.
(1)加强对空间几何体结构特征的理解，掌握各种几何体的体积、表面积公式．
(2)掌握空间几何三视图的画法规则，掌握几何直观图中各个元素之间的关系以
及三视图中长宽之间的关系．
数
高考数学 专题八 立体几何 1 空间几何体的三视图、表面积和体积课件 理
注意 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成 已知体积公式的几何体进行解决. (2)求与三视图有关的体积问题注意几何体和数据还原的准确性.
12/10/2021
考向突破 考向一 空间几何体的表面积 例1 (2018广东广州3月调研,7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗 线画出的是某个几何体的三视图,则该几何体的表面积为 ( )
S侧=π(r'l+rl) S表=π(r'2+r2+r'l+rl)
S表=② 4πR2
2.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积. 注意 (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积 与所有底面面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
12/10/2021
R. 2 d2 3.三视图和直观图 (1)三视图的定义 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图. 三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左 方、正上方观察几何体画出的轮廓线. 注意 画三视图时,能看见的线用实线表示,不能看见的线用虚线表示. 同一物体,若放置的位置不同,则所得的三视图可能不同.
12/10/2021
例1 (2017河北衡水中学七调,5)正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的 中点(如图),用过点A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何 体的左视图为 ( )
12/10/2021
解题导引 解析 过点A,E,C1的截面为AEC1F,如图,则剩余几何体的左视图为选项 C中的图形.故选C.
①外接球:球心是正四面体的中心,半径r= 6 a(a为正四面体的棱长);
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专题05 空间几何体的三视图、表面积和体积(解析版)
专题05 空间几何体的三视图、表面积和体积【要点提炼】1.空间几何体的两组常用公式(1)柱体、锥体、台体、球的表面积公式：①圆柱的表面积S＝2πr(r＋l)；②圆锥的表面积S＝πr(r＋l)；③圆台的表面积S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)；④球的表面积S＝4πR2.(2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝13Sh(S为底面面积，h为高)；③V球＝43πR3.2.球的简单组合体中几何体度量之间的关系，如棱长为a的正方体的外接球、内切球、棱切球的半径分别为32a，a2，22a.考点考向一空间几何体的表面积【典例1】(1)如图所示的几何体是从棱长为2的正方体中截去以正方体的某个顶点为球心，2为半径的18球体后的剩余部分，则该几何体的表面积为()A.24－3πB.24－πC.24＋πD.24＋5π(2)(多选题)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A.2πB.(1＋2)πC.22πD.(2＋2)π解析(1)由题意知该几何体的表面积S＝6×22－3×14×π×22＋18×4×π×22＝24－π.故选B.(2)如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为2，所以所形成的几何体的表面积S＝π×1×2＋π×12＝(2＋1)π.如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥，圆锥的半径是直角三角形斜边上的高22，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S′＝2×π×22×1＝2π.综上可知，形成几何体的表面积是(2＋1)π或2π.故选AB.答案(1)B(2)AB探究提高 1.求空间几何体的表面积，首先要掌握几何体的表面积公式，其次把不规则几何体分割成几个规则的几何体.2.(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理.(2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.【拓展练习1】(1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为() A.122π B.12πC.82πD.10π(2)(2020·衡水金卷)一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，在该圆锥中有一个内接圆柱(下底面在圆锥底面上，上底面的圆周在圆锥侧面上)，则当该圆柱侧面积取最大值时，该圆柱的高为()A.1B.2C.3D. 3解析(1)因为过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，所以圆柱的高为22，底面圆的直径为2 2.所以S表面积＝2×π×(2)2＋2π×2×22＝12π.(2)如图，设圆柱底面半径为r (0＜r ＜2)，高为h ，则h4sin 60°＝2－r 2，即h ＝3(2－r )，其侧面积为S ＝23πr (2－r )＝23π(－r 2＋2r )，根据二次函数性质，当r ＝1时，侧面积取得最大值，此时h ＝ 3. 答案 (1)B (2)D考向二 空间几何体的体积【典例2】 (1)(2020·济南模拟)已知三棱锥S －ABC 中，∠SAB ＝∠ABC ＝π2，SB ＝4，SC ＝213，AB ＝2，BC ＝6，则三棱锥S －ABC 的体积是( ) A.4B.6C.4 3D.6 3(2)(2020·长沙模拟)如图，在四面体PBCD 中，点A 是CD 的中点，P A ＝AD ，△ABC 为等边三角形，边长为6，PB ＝8，PC ＝10，则△PBD 的面积为________，四面体P ABC 的体积为________.解析 (1)∵∠ABC ＝π2，AB ＝2，BC ＝6，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝22＋62＝210.∵∠SAB ＝π2，AB ＝2，SB ＝4，∴AS ＝SB 2－AB 2＝42－22＝2 3.由SC ＝213，得AC 2＋AS 2＝SC 2，∴AC ⊥AS .又∵SA ⊥AB ，AC ∩AB ＝A ，∴AS ⊥平面ABC ，∴AS 为三棱锥S －ABC 的高，∴V 三棱锥S －ABC＝13×12×2×6×23＝4 3.故选C.(2)因为△ABC 为等边三角形，边长为6，点A 为CD 的中点，所以AD ＝AB ＝6，所以△ADB 为等腰三角形.又∠DAB ＝180°－∠CAB ＝120°， 所以∠ADB ＝12(180°－120°)＝30°，所以∠ADB ＋∠DCB ＝90°，所以∠DBC ＝90°，所以CB ⊥DB ，所以DB ＝CD 2－BC 2＝144－36＝6 3.因为PB ＝8，PC ＝10，BC ＝6，所以PC 2＝PB 2＋BC 2，所以CB ⊥PB .又DB ∩PB ＝B ，DB ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以CB ⊥平面PBD .因为DA ＝AC ＝AP ＝6，所以△PDC 为直角三角形，且∠DPC ＝90°，所以PD ＝CD 2－PC 2＝144－100＝211.又DB ＝63，PB ＝8，所以DB 2＝PD 2＋PB 2，即△PBD 为直角三角形，所以S △PBD ＝12×8×211＝811.因为点A 为DC 的中点，所以V P －ABC ＝12V P －CBD ＝12V C －PBD ＝12×13×S △PBD ×CB ＝12×13×811×6＝811，即四面体P ABC 的体积为811. 答案 (1)C (2)811 811探究提高 1.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上.2.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.【拓展练习2】 (1)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( ) A.πB.3π4C.π2D.π4(2)(2020·东北三校一联)如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED ⊥平面ABCD ，FC ⊥平面ABCD ，ED ＝2FC ＝2，则四面体ABEF 的体积为( )A.13B.23C.1D.43解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离为OM ＝12.∴底面圆半径r ＝AM ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝ ⎛⎭⎪⎫322×1＝3π4.(2)∵ED ⊥平面ABCD 且AD ⊂平面ABCD ， ∴ED ⊥AD .∵在正方形ABCD 中，AD ⊥DC ，而DC ∩ED ＝D ， ∴AD ⊥平面CDEF .易知FC ＝ED2＝1，V A －BEF ＝V ABCDEF －V F －ABCD －V A －DEF .∵V E －ABCD ＝ED ×S 正方形ABCD ×13＝2×2×2×13＝83，V B －EFC ＝BC ×S △EFC ×13 ＝2×2×1×12×13＝23，∴V ABCDEF ＝83＋23＝103.又V F －ABCD ＝FC ×S 正方形ABCD ×13＝1×2×2×13＝43， V A －DEF ＝AD ×S △DEF ×13＝2×2×2×12×13＝43，V A －BEF ＝103－43－43＝23.故选B. 答案 (1)B (2)B考向三 多面体与球的切、接问题【典例3】 (1)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球.若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4πB.9π2C.6πD.32π3(2)在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图，若四棱锥P －ABCD 为阳马，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝3，BC ＝AB ＝4，设该阳马的外接球半径为R ，内切球半径为r ，则R ＝________；内切球的体积V ＝________.解析 (1)由AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，得AC ＝10.要使球的体积V 最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC 的内切圆的半径为r . 则12×6×8＝12×(6＋8＋10)·r ，所以r ＝2. ∴2r ＝4＞3不合题意.球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R 最大. 由2R ＝3，即R ＝32.故球的最大体积V ＝43πR 3＝92π.(2)在四棱锥P －ABCD 中，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且底面为矩形，将该“阳马”补成长方体，则(2R )2＝AB 2＋AD 2＋AP 2＝16＋16＋9＝41， 因此R ＝412.依题意Rt △P AB ≌Rt △P AD ，则内切球O 在侧面P AD 内的正视图是△P AD 的内切圆，故内切球的半径r ＝12(3＋4－5)＝1，则V ＝43πr 3＝43π. 答案 (1)B (2)412 43π探究提高 1.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P ，A ，B ，C 且P A ，PB ，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.【拓展练习3】 (1)(2020·太原模拟)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面ABC 是等腰直角三角形，AB ＝BC ＝1，点D 为侧棱BB 1上的动点.若△ADC 1周长的最小值为3＋5，则三棱锥C 1－ABC 的外接球的体积为( )A.2πB.32π C.5π2 D.3π(2)(2020·烟台诊断)已知点A，B，C在半径为2的球面上，满足AB＝AC＝1，BC ＝3，若S是球面上任意一点，则三棱锥S－ABC体积的最大值为________. 解析(1)将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开在同一平面内，示意图如图所示，易知当D为侧棱BB1的中点时，△ADC1的周长最小，此时设BD＝x(x＞0)，则21＋x2＋2＋4x2＝3＋5，解得x＝12，所以CC1＝1，AC1＝ 3.又三棱锥C1－ABC的外接球的球心为AC1的中点，所以外接球的半径R＝32，于是三棱锥C1－ABC的外接球的体积为V＝43πR3＝43π×⎝⎛⎭⎪⎫323＝32π.(2)设球心为O，△ABC的外心为D，则OD⊥平面ABC.在△ABC中，由余弦定理，得cos A＝12＋12－（3）22×1×1＝－12，则sin A＝32.所以S△ABC＝12AB·AC sin A＝12×1×1×32＝34，且△ABC的外接圆半径DA＝BC2sin A＝32×32＝1.因此在Rt△OAD中，OD＝OA2－DA2＝22－12＝ 3.当三棱锥S－ABC的高最大时，三棱锥S－ABC的体积取最大值，而三棱锥S－ABC的高的最大值为3＋2，所以三棱锥S－ABC的体积的最大值为13×34×(3＋2)＝3＋2312.答案(1)B(2)3＋2312【专题拓展练习】1．已知四面体ABCD 中，二面角A BC D --的大小为60，且2AB =，4CD =，120CBD ∠=，则四面体ABCD 体积的最大值是（ ）A B C ．83D ．43【答案】D 【详解】在BCD △中，由余弦定理可得2222cos120CD BC BD BC BD =+-⋅22BC BD BC BD =++⋅因为222BC BD BC BD +≥，所以23CD BC BD ≥⋅， 所以163BC BD ⋅≤，当且仅当BC BD =时等号成立，1116sin120223BCDSBC BD =⋅≤⨯= 因为二面角A BC D --的大小为60，所以点A 到平面BCD 的最大距离为2sin 603h ==所以114333A BCD BCDV S h -=⋅≤=， 所以四面体ABCD 体积的最大值是43，2．如图是某个四面体的三视图，则下列结论正确的是（ ）A ．该四面体外接球的体积为48πB ．该四面体内切球的体积为23π C ．该四面体外接球的表面积为323π D ．该四面体内切球的表面积为2π 【答案】D 【详解】由三视图得几何体为下图中的三棱锥A BCD -，AB ⊥平面BCD ,42AB =2CE DE ==,2BE =,由题得2CBD π∠=.设外接球的球心为,O 外接球的半径为R ，则OE ⊥平面BCD , 连接,OB OA ,取AB 中点F ,连接OF .由题得1222OE BF AB ===,所以222(22)2,3R R =+∴=所以外接球的体积为34(23)3233ππ⨯=，所以选项A 错误；所以外接球的表面积为24(23)48ππ⨯=，所以选项C 错误； 由题得22(42)(22)210AC AD ==+= 所以△ACD △24026-=， 设内切球的半径为r ，则1111111(422242222446)24423222232r ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ 所以22r， 所以内切球的体积为3422)323ππ⨯=（，所以选项B 错误； 所以内切球的表面积为224()22ππ⨯=，所以选项D 正确. 故选：D3．已知三棱锥P ABC -的底面是正三角形，PA a =，点A 在侧面PBC 内的射影H 是PBC 的垂心，当三棱锥P ABC -体积最大值时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．33a B ．23a πC 33aD ．212a【答案】B 【详解】如下图所示，延长PH 交BC 于点D ，连接AD ，H 为PBC 的垂心，则BC PD ⊥，AH ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC AH ∴⊥， AHPD H =，BC ∴⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，BC AD ∴⊥，连接BH 并延长交PC 于点E ，连接AE ，AH ⊥平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，AH PC ∴⊥，BE PC ⊥，AHBE H =，PC ∴⊥平面ABE ，AB ⊂平面ABE ，AB PC ∴⊥，设点P 在平面ABC 内的射影为点O ，延长CO 交AB 于点F ，连接PF ，PO ⊥平面ABC ，AB 平面ABC ，PO AB ∴⊥， PO PC P =，AB ∴⊥平面PCF ，PF 、CF ⊂平面PCF ，则PF AB ⊥，CF AB ⊥， AD CF O =，O ∴为正ABC 的中心，且F 为AB的中点，PO ⊥平面ABC ，OA 、OB 、OC ⊂平面ABC ， PO OA ⊥，PO OB ⊥，PO OC ⊥，且OA OB OC ==，所以，POA POB POC ≅≅，PA PB PC a ∴===， 当PB PC ⊥时，PBC 的面积取最大值，当PA ⊥平面PBC 时，三棱锥P ABC -的体积取得最大值， 将三棱锥A PBC -补成正方体AEMN PBDC -，所以，三棱锥A PBC -的外接球的直径即为正方体AEMN PBDC -的体对角线长， 设三棱锥A PBC -的外接球直径为2R ，则22223R PA PB PC a =++=，因此，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为()222423R R a πππ=⨯=. 4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．24B ．28C ．32D ．36【答案】B 【详解】根据三视图可知，该几何体是由长宽高分别为4,3,2的长方体和一个高为1的正四棱锥组合而成的组合体，如图：其体积为1432431283⨯⨯+⨯⨯⨯=.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．13B．16C．1 D．23【答案】A【详解】由三视图知原几何体是三棱锥A BCD-，AB与底面垂直，底面BDC是等腰直角三角形，棱锥的体积为111112323V⎛⎫=⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，故选：A．6．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为83π，则球的表面积为（ ） A ．16π B ．32πC ．36πD ．48π【答案】C 【详解】设球的半径为R ，圆锥的底面半径为r ，因为球心到截面的距离为1， 所以有：221r R =-， 则题中圆锥体积()2181133V R ππ=⨯⨯-=，解得3R =，故球的表面积为2436R ππ=. 故选：C7．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2AP =，AB =4AC =，45BAC ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积是（ ） A ．14π B ．16πC ．18πD ．20π【答案】D 【详解】在BAC 中，45BAC ∠=︒，AB =4AC =，由余弦定理可得2222cos 8162442BC AB AC AB AC π=+-⋅=+-⨯⨯=，则222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 由PA ⊥平面ABC ，则PA BC ⊥，PA AB A =，所以BC ⊥平面PAB ， 所以BC PB ⊥，所以PBC 为直角三角形， 又PAC △为直角三角形，所以PC 是外接球直径，O 是PC 的中点，即为球心， 又22,2AB BC PA ===，所以()()2222222225PC =++=5所以球O 的体积245)20V ππ=⨯=.8．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点,M N ，若线段MN 31，则下列结论不正确的是（ ） A ．正方体的外接球的表面积为12π B ．正方体的内切球的体积为43π C ．正方体的棱长为2 D ．线段MN 的最大值为23【答案】D 【详解】设正方体的棱长为a 3， 内切球半径为棱长的一半，即2a . ∵M N ，分别为外接球和内切球上动点，∴min 33131222a a a MN --===-， 解得：2a =.即正方体棱长为2，C 正确；∴正方体外接球表面积为24(3)12ππ⨯=，A 正确； 内切球体积为43π，B 正确； 线段MN 的最大值为33122aa +=+，D 错误. 9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一个数学问题：“现有刍甍，下宽3丈，长4丈；上长2丈，无宽，高1丈.问：有体积多少？”本题中刍甍是如图所示的几何体EF ABCD -，底面ABCD 是矩形，//AB EF ， 4AB =， 3AD =， 2EF =，直线EF 到底面ABCD 的距离1h =，则该几何体EF ABCD -的体积是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．52【答案】A 【详解】沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直， 则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱， 则三棱柱的体积1131232V =⨯⨯⨯=，两个四棱锥的体积2111131313()2333V DM CN DM CN =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+=，所以该几何体EF ABCD -的体积是3+2=5.10．已知长方体的两个底面是边长为1的正方形，长方体的一条体对角线与底面成45角，则此长方体的外接球表面积为（ ） A ．4π B ．6πC ．12πD ．24π【答案】A 【详解】记该长方体为1111ABCD A B C D -，1BD 为该长方体的一条体对角线，其与底面所成角为45，因为在长方体1111ABCD A B C D -中，侧棱1DD ⊥底面ABCD ，则1D BD ∠为1BD 与底面所成角，即145D BD ∠=， 因为长方体的两个底面是边长为1的正方形，所以222BD AD AB =+=，则12DD BD ==，所以1222BD =+=， 又长方体的外接球直径等于其体对角线的长， 即该长方体外接球的直径为12222R BD ==+=， 所以此长方体的外接球表面积为244S R ππ==.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，三棱锥11A B CD -的表面积为43，则正方体外接球的体积为（ ） A ．43π B ．6πC ．323πD ．86π【答案】B 【详解】解：设正方体的棱长为a ，则1111112B D AC AB AD B C D C a ======， 由于三棱锥11A B CD -的表面积为43， 所以()12133442242AB CS Sa==⨯⨯=所以2a =()()()2222226++=， 所以正方体的外接球的体积为346632ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭12．某几何体的三视图均为如图所示的五个边长为单位1的小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积分别为（ ）A ．18,3πB ．20,3πC ．30,11πD ．32,11π【答案】C 【详解】解：由三视图的几何体如图所示，可知几何体的表面积为115630S =⨯⨯⨯=，设该几何体外接球的半径为R ，则222211311R ++=所以该几何体外接球的表面积为2114112S ππ⎛'=⨯= ⎝⎭. 13．已知三棱锥P ABC -，3BAC π∠=，3BC =PA ⊥平面ABC 且23PA =此三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．163πB ．3πC ．16πD ．323π【答案】D 【详解】如图，设球心为O ，三角形ABC 外接圆心为1O ，PA⊥平面ABC，∴1132OO PA==，设球半径为R，圆1O的半径为r，则在三角形ABC中，由正弦定理可得322sin32BCrBAC===∠，即1r=，在直角三角形1AOO中，22211OO AO OA+=，即()2223r R+=，解得2R=，则外接球的体积为343233Rππ=.故选：D.14．已知正三棱柱111ABC A B C-的各棱长均为2，底面ABC与底面111A B C的中心分别为O、1O，P是1OO上一动点，记三棱锥P ABC-与三棱锥111P A B C-的体积分别为1V、2V，则12V V⋅的最大值为（）A．13B3C．23D23【答案】A【详解】∵正三棱柱111ABC A B C-的各棱长均为2，∴111122sin 6032ABC A B C S S ∆∆==⨯⨯⨯=，且12OO =， ∴11112111111123()33333ABC A B C ABC ABC V V S OP S O P S OP O P S OO ∆∆∆∆+=⋅+⋅=⋅+=⋅=， 由12122323V V V V ⋅≤+=得：1213V V ⋅≤，当且仅当点P 为1OO 的中点时等号成立， ∴12V V ⋅的最大值为13，故选：A. 15．如图，正四棱锥P ABCD -的底面边长和高均为2，M 是侧棱PC 的中点，若过AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱PB ､PD 于点E ､F (可与端点重合)，则四棱锥P AEMF -的体积的取值范围是（ ）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．8,19⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【答案】D【详解】设,PE PF x y PB PD==,则,PE xPB PF yPD == 所以412,323P AEF P ABD P MEF P BCD V xy V xy V xyV xy ----=⋅===， 1212,2323P AFM P ACD P AEM P ABC V y V y V x V x ----=⋅==⋅=， ()223P AEMF P AEF P EMF P AFM P AEM V V V V V xy x y -----=+=+==+， 所以3x y xy +=，则331y x y =-， 令31y t -=，因为1,12y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()221311412, 319992tyty t t+⎛⎫⎡⎤==++∈⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦，所以2238,13319P AEMFyVy-⎡⎤=⋅∈⎢⎥-⎣⎦，故选：D。
空间几何体的三视图直观图表面积与体积
必修2 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积（2月22日）(一)空间几何体的三视图和直观图1．空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征(2)旋转体的形成2.空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，重叠的线只画一条，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．3．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．空间几何体的结构特征[例1](1)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球体D．圆柱、圆锥、球体的组合体(2)下列说法正确的是()A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点空间几何体的三视图1.画三视图的规则长对正、高平齐、宽相等，即俯视图与正视图一样长；正视图与侧视图一样高；侧视图与俯视图一样宽．2．三视图的排列顺序先画正视图，俯视图放在正视图的下方，侧视图放在正视图的右方．[例2](1)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形，按正视图，侧视图，俯视图的顺序排列)()A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤(2)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()空间几何体的直观图直观图与原图形面积的关系按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：(1)S直观图＝24S原图形．(2)S原图形＝22S直观图．[例3]用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()1．如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中，假命题是()A．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上2．一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()3．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为()4．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB平行于y轴，BC，AD平行于x轴．已知四边形ABCD的面积为2 2 cm2，则原平面图形的面积为()A．4 cm2B．4 2 cm2C．8 cm2D．8 2 cm25．如图，在正四棱柱ABCD -A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为()A．1∶1 B．2∶1C．2∶3 D．3∶2突破点(二)空间几何体的表面积与体积1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh(棱柱和圆柱)锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝13(S上＋S下＋S上S下)h球S＝4πR2V＝43πR3空间几何体的表面积[例1](1)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为()A．4π＋16＋4 3 B．5π＋16＋4 3C．4π＋16＋2 3 D．5π＋16＋2 3(2)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋ 3 B．2＋ 3C．1＋2 2 D．2 2空间几何体的体积柱体、锥体、台体体积间的关系[例2](1)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.16 B.13 C.12D．1(2)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋2π B.13π6 C.7π3 D.5π21．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.13＋23π B.13＋23πC.13＋26π D．1＋26π2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.5π3cm3B．2π cm3 C.7π3cm3D．3π cm33.某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为()A．125＋20 B．242＋20C．44 D．12 54．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于()A ．8＋2 2B ．11＋2 2C ．14＋2 2D ．155．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示(单位：寸)：若π取3，其体积为12.6(立方寸)，则图中的x 的值为________．突破点(三) 与球有关的切、接应用问题1.球的表面积和体积是每年高考的热点，且多与三视图、多面体等综合命题，常以选择题、填空题的形式出现.解决此类问题时，一是要善于把空间问题平面化，把平面问题转化到直角三角形中处理；二是要将变化的模型转化到固定的长方体或正方体中.2.与球有关的组合体问题主要有两种，一种是内切问题，一种是外接问题.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关“元素”间的数量关系，并作出合适的截面图.多面体的内切球问题[例1] 若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.多面体的外接球问题处理与球有关外接问题的策略把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．[例2](1)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B．210 C.132D．310(2)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为()A.81π4B．16πC．9π D.27π4(3)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．1．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于()A．1 B．2 C．3 D．42．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A．200πB．150π C．100π D．50π3．如图，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A′-BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面体A′-BCD的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为()A．3π B.32π C．4π D.34π4．设一个球的表面积为S1，它的内接正方体的表面积为S2，则S1S2的值等于()A.2π B.6π C.π6 D.π2全国卷5年真题集中演练——明规律1．(2016·全国卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π2．(2016·全国卷)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球．若AB ⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()A．4π B.9π2C．6π D.32π33．(2015·全国卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18 B.17 C.16 D.154．(2015·全国卷)已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O -ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为() A．36π B．64π C．144π D．256π5．(2015·全国卷)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝()A．1 B．2C．4 D．86．(2015全国卷)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有() A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛7．(2014·全国卷)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.1727 B.59 C.1027 D.138．(2013·全国卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．16＋8π B．8＋8πC．16＋16π D．8＋16π9．(2012·全国卷)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26 B.36 C.23 D.22。
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..
. .. . .
S. . . .
. .. 立体几何三视图体积表面积
一、选择题
1．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积为（ ）
（A ）48122+ （B ）48242+
（C ）72122+ （D ）72242+
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
（A ）22 （B ）4
3 （C ）8
3 （D ）4
3．一个几何体的三视图如图，则其体积为（ ）
A ．20
3 B ．6 C ．16
3 D ．5
4．一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．该四棱锥的体积等于 （ ） 侧视图
正视图 俯视图 2 2
2
试卷第2页，总7页
A
． 3 B ．
2 3 C ．3 3 D ．6 3
5．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ）
A ．3
4π B ．23π C ．π D ．π3 6．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是为（ ）
A ．80
B ．40
C ．803
D ．403 7．某几何体的三视图如下图所示， 则该几何体的体积为
正视图 侧视图
俯视图
..
. .. . .
S. . . . . ..
（A ）200+9π
（B ）200+18π
（C ）140+9π
（D ）140+18π
8．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是（ ）
侧（左）视图俯视图正视图
1
111
22
A B C
D
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．π2
B ．2π2
C ．3
π D ．23π 10．如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（ ）
A ．8π
B ．16π
C ．32π
D ．64π
试卷第4页，总7页
二、填空题
11．一个四棱柱的三视图如图所示，则其体积为_______．
12．若某几何体的三视图如右图所示，则此几何体的体积是
______.
13．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为
，外接球的表面积为 ．
14．用18m 长的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，则该长方体的最大体积是_____3m ．
15．一个球的接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为__________．
16．如图，在正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）1111ABCD A B C D 中，E 是BC 的中点，F 是1C D 的中点，P 是棱1CC 所在直线上的动点．则下列四个命题：
..
. .. . .
S. . . . . ..
①CD PE ⊥ ②EF //平面1ABC
③111P A DD D ADE V V --=
④过P 可做直线与正四棱柱的各个面都成等角．
其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）．
三、解答题
17．如图所示，一圆柱挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆锥的母线长为6，底面半径为2，求该几何体的表面积．
18．（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
C D D 1
C 1B 1 1
F E
试卷第6页，总7页
（Ⅰ）若M 为CB 中点，证明：1//MA CNB 平面；
（Ⅱ）求这个几何体的体积．
19．（12分）如图，P AB '∆是边长为3
1+的等边三角形，31P C P D ''==-现将P CD '∆沿边CD 折起至PCD 得四棱锥P ABCD -, 且PC BC ⊥
（1）证明：BD ⊥平面PAC ；
（2）求四棱锥P ABCD -的体积．
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．
（1）求证：//PB 平面AEC ;
（2）设1,3,2,PA AB AD ===求三棱锥B PCD -的体积。
21．（本小题满分12分）如图：三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,侧棱垂直底面,∠ACB ＝90°,AC ＝BC=12
1AA ,D 是侧棱AA 1的中点．
（Ⅰ）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；
（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比．
22．（本小题满分13分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的
P /
A B D C
P D
A
B
C
.. . .. . . S. . . . . .. 四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 在如图所示的阳马P ABCD -中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD CD =，点E 是PC 的中点，连接,,DE BD BE ．
（Ⅰ）证明：DE ⊥平面PBC ． 试判断四面体EBCD 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（Ⅱ）记阳马P ABCD -的体积为1V ，四面体EBCD 的体积为2V ，求12
V V 的值．。