模态振型固有频率基本理论
机械结构中的模态振型分析
机械结构中的模态振型分析引言机械结构中的模态振型分析是一种重要的工程手段，它可以帮助工程师深入了解机械结构的动态特性，为优化结构设计提供科学依据。
本文将探讨机械结构中模态振型分析的原理、方法与应用，并结合实例进行说明。
一、模态振型的概念模态振型就是机械结构在其固有频率下的振动形态。
通过模态振型分析，我们可以了解机械结构的固有频率、振动模式以及相应的振动幅值。
模态振型分析是理解结构动力学行为的基础，对于抗震分析、噪声控制、疲劳寿命预测等工程问题具有重要意义。
二、模态振型分析的原理模态振型分析的核心原理是求解结构的特征值和特征向量。
特征值表示结构的固有频率，而特征向量则表示结构的振动模态。
通常，我们可以采用有限元方法、模型投影法等数值方法来进行模态振型分析。
有限元方法是一种常用的模态振型分析方法。
它将结构离散为一系列小单元，并基于有限元理论建立结构的模型。
然后，通过求解结构的特征值问题，得到结构的固有频率和模态振型。
这种方法可以适用于各种不同形态的结构，并可以考虑结构的几何非线性和材料非线性。
模型投影法（或称为物理模态法）是另一种常用的模态振型分析方法。
该方法主要适用于线性结构，并将结构的动力方程以投影矩阵的形式表示。
通过对投影矩阵的分解，可以直接得到特征值和特征向量。
虽然该方法在计算上比有限元方法简化，但其适用范围较窄。
三、模态振型分析的应用模态振型分析在工程实践中有着广泛的应用。
以下几个方面是模态振型分析的主要应用领域。
1. 结构设计优化：通过模态振型分析，可以评估不同结构参数对于结构的固有频率和振动模态的影响，进而指导结构设计的优化。
例如，在飞机设计中，模态振型分析可以帮助工程师选择适当的材料和减震措施，提高飞机的结构强度和稳定性。
2. 抗震分析：模态振型分析在抗震设计中起到至关重要的作用。
通过分析结构的固有频率和振动模态，可以评估结构在地震荷载下的动态响应，为结构的抗震设计提供依据。
模态振型分析还可以帮助确定结构的主要振动模态，从而选择适当的减震措施。
振动系统各阶固有频率及模态测试探究性实验设计
振动系统各阶固有频率及模态测试探究性实验设计1. 引言1.1 引言振动系统是指具有振动特性的物体或系统，它们会在外力作用下发生振动。
振动系统的研究对于理解和分析各种物体或结构的振动行为具有重要意义。
在实际工程中，振动系统的研究和分析通常会涉及到固有频率和模态测试。
固有频率是指一个振动系统在没有外力作用下自发振动的频率。
固有频率的大小与系统的质量、刚度和阻尼等因素有关，它反映了系统振动的特性和稳定性。
固有频率的测定对于系统的性能分析和设计优化具有重要意义。
模态测试是一种用于测定振动系统各阶固有频率和振动模态的方法。
通过模态测试可以获得系统各个振动模态的振幅、相位和频率等信息，从而帮助分析系统的振动特性和优化设计。
本实验旨在探究振动系统各阶固有频率及模态的测试方法和实验设计。
通过实验可以深入理解振动系统的工作原理和特点，为实际工程应用提供参考。
在本文中，将介绍振动系统的概念和特点、固有频率的含义和重要性、模态测试的意义和方法、实验设计的步骤和要点以及实验结果分析与讨论，旨在全面了解振动系统的性能和优化方法。
2. 正文2.1 振动系统的概念和特点振动系统是由质量、弹簧和阻尼器构成的物理系统，当外力作用于系统时，系统会发生振动。
振动系统具有以下特点：振动系统具有固有频率，即系统在没有外力作用下的自然频率，这取决于系统的质量和弹性系数；振动系统可能出现共振现象，即在外力频率接近系统的固有频率时，系统会受到更大的振幅影响；振动系统具有不同的模态，即系统在不同方式振动时呈现不同的振动模式。
振动系统的概念和特点对于工程领域具有重要意义。
通过对振动系统的研究，可以更好地了解系统的动态特性，预测系统的振动响应，并设计有效的振动控制措施。
振动系统的特点也直接影响到系统的性能和稳定性，在工程实践中需要认真考虑和分析。
在进行振动系统的实验设计时，需要充分考虑系统的特点，合理选择实验方法和参数，以获取准确和可靠的实验数据。
模态振型固有频率基本理论
模态振型是一个相对量，通常是一个列向量，二维以上地系统其模态振型不是一个数.一个数对应单模态，其数值无意义.某模态频率下地模态振型反映了在该模态频率下各自由度地相对位移地比值.如果系统地初始位移恰好等于模态频率下地模态振型（或与之成比例），则此时系统地自由响应中只会出现该模态频率.感谢欧阳中华教授地指点，我现在觉得自己当初确实对模态振型概念不清楚.模态振型是系统固有地振动形态，线性响应是振型线性叠加地结果，但振型之间是独立不耦合地.振型是个相对量，所以就有了多种振型归一划地方法.振型是个很重要地固有特征，正如楼上所说用于验证固有频率. 文档来自于网络搜索我觉得振型在判别你计算固有频率正确性是非常有用地，比如，通过有限元计算得到了模型地前十阶固有频率，试验模态分析也得到了低阶地固有频率，假设计算地某阶固有频率与试验地某阶固有频率非常接近，但是并不能马上说明他们是同一阶地，需要通过振型来判断. 文档来自于网络搜索其他地不知道，但是之所以引入模态地概念，之所以从物理坐标变换到模态坐标就是为了解耦，就是为了让其正交，这样方程才能解出来. 从能量角度说，这样各个振型之间就没有能量地交换. 文档来自于网络搜索从数学上看，对响应函数级数展开后，其中地各项构成各阶模态，而级数展开形式本身要求各个基函数是相互正交地，也就是说：其实是把响应函数放到了一个函数空间里，各个展开项系数相当于这个响应在此函数空间里地坐标.文档来自于网络搜索因为个自由度以上地系统往往都有耦合现象，例如方程*^^*中地、不同时为对角阵.但是从求解地角度来说，我们又希望其中地每个方程都是独立地，那样我们就可以像求解单自由度系统一样求解.我们就想能否选到合适地坐标系，使得运动完全不耦合，即系统质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵，称这样地坐标系为主坐标系，而模态坐标正是我们要寻找地主坐标.固有振型地正交性是指（以自由度为例），第一阶固有振动引起地作用力在第二阶固有振动上所做地功为零，即两种固有振动间无弹性势能地交换.同时也可证明振型地各阶导数间也是正交地. 文档来自于网络搜索就像不同地坐标系下，对同一运动系统地表述会很不一样，表述同一运动系统地振型模态也可以有很多物理量地坐标系，当然其中很多都是很复杂地，对解决实际问题是没有实际意义和帮助地，只有那个特殊地正交状态地模态坐标，才是最简单最有用地坐标，因为它能把系统解耦，，这个特殊地坐标称之为主坐标，对应主振型，这个状态可以把方程解开，把问题解决掉，，文档来自于网络搜索各阶模态是互相正交是为了解耦，使问题最简化.类似向量地分解，比方说，一个平面内力向量地分解方式有很多种，但采用直角正交分解最方便. 文档来自于网络搜索主要从以后地解方程组时候要解耦考虑吧模态正交，具体表现在模态振型存在正交，请注意“存在”，而这种正交是线性系统模态地基本特性，准确地说是固有特性，正因为存在这种正交特性，带来了运算时地广义坐标下地耦合矩阵变为模态坐标中.文档来自于网络搜索地解耦，计算变得简单.注：（对上段话地个人理解：线性系统具有正交特性，人们利用线性系统地正交特性，对线性模态进行解耦，使问题简化.）文档来自于网络搜索.任一阶主振型地惯性力在另一阶主振型作为虚位移上所做地虚功之和为零.任一阶主振型地惯性力只在各自地振型上做功，在另外地主振型上不做功这是正交相应地物理解释，是模态振型正交地物理形式，所以不能用物理含义去证明其相应地数学表达.上面模态正交地数学和物理形式和概念有解释清楚了，那么，为什么会正交呢？答：正交是线性系统存在地固有特性，属于地东西，就是非人造地.. .. .. 文档来自于网络搜索其实模态分析就是要认识清楚模态频率、模态阻尼和模态振型这三个模态参数.了解模态频率是模态分析最基本地目地，因为了解了系统地模态频率就可以知道系统在什么频率范围内振动比较敏感；而模态振型则反映了系统在一定地模态频率下以什么样地形式进行振动，其各部位地振动幅值地相对关系如何.（个人见解：模态频率反映地是系统中某特定点地振幅随着该点振动频率地变化而变化地情况，变化最强烈即幅值最大时地振动频率就是固有频率；而模态振型反映地是系统中地所有点在以某一频率振动时各点振幅地相对波动状况.）模态分析地本质是了解系统在动力环境作用下所表现出地特性，但这一文档来自于网络搜索特性是系统地固有特性，与系统所受地外力无关.对于实际地工程，用有限元软件分析需要地频率段，可查找振动原因，或校核.模态分析可以看出在那些频率段需要防止或避免共振时很有用由动力方程, 其中等于地平方，就是固有频率.一般有限元软件中给出地频率单位是赫兹，还要转换为弧度秒. 文档来自于网络搜索首先，频率和振型是结构地固有特性，任何结构都可以进行模态分析；其次，结构地功能是不同地，不同结构对应地模态分析地用途是有差别地.对建筑结构，模态分析可以知道结构地避频设计、用于抗震设计计算以及考虑动力荷载地放大作用等.另外，还可以挖掘振型有关地信息. 文档来自于网络搜索模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中地应用.模态是机械结构地固有振动特性，每一个模态具有特定地固有频率、阻尼比和模态振型.这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析.这个分析过程如果是由有限元计算地方法取得地，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集地系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析.通常，模态分析都是指试验模态分析.振动模态是弹性结构地固有地、整体地特性.如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响地频率范围内各阶主要模态地特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应.文档来自于网络搜索因此，模态分析是结构动态设计及设备地故障诊断地重要方法. 非线性不满足叠加原理，模态分析及其测试难以进行.即使进行，我想也只能对弱非线性系统在平衡点附近采用线性化地方法. 希腊学者，沿用美国学者地思路，将非线性模态定义为系统位形空间中地一条直线（相似模态）或曲线（非相似模态），即所谓地模态线.当系统沿模态线运动时，所有质点将经历一种同步运动，亦即，各质点在某一时刻同时达到各自地最大位移，而在另一时刻同时达到各自地最大速度. 文档来自于网络搜索美国学者和，将（非内共振）非线性模态定义为系统状态空间中地一个二维不变子流形，从而既可对保守系统定义非线性模态（一种驻波），亦可对非保守系统定义非线性模态（一种行波）文档来自于网络搜索。
第3章 实验模态分析的基本理论
实验模态分析第三章：实验模态分析的基本理论振动系统的特性可以用模态来描述:固有频率、固有振型(主振型)、模态质量、模态刚度和模态阻尼等。
建立用模态参数表示的振动系统的运动方程并确定其模态参数的过程使称为模态分析。
—种理解可以认为，振动系统的物理模型、物理参数和以物理参数表示的运动方程都是已知的，引入模态参数、建立模态方程的目的是为了简化计算，解除方程耦合，缩减自由度。
另一种理解可以认为，通过对实际结构的振动测试，识别振动系统的模态参数，从而建立起系统的以模态参数表示的运动方程，供各种工程计算应用。
试验模态分析指的是后一种过程,即通过振动测试(称模态试验),识别模态参数,建立以模态参数表示的运动方程这样一个过程。
1 多自由度系统振动基础回顾&&&++=M x C x K x f t []{}[]{}[]{}{()} 2实模态理论一个n 自由度线性定常振动系统，其运动方程可以如下表示:现对两端作付氏变换得:[]{}[]{}[]{}{()}M x C xK x f t ++=&&&2([][][]){()}{()}M j C K X F ωωωω−++=式中和分别是x(t)和F(t)的付氏变换,并有()X ω()F ω()()j t X x t e dt ωω+∞−−∞=∫()()j t F f t e dtωω+∞−−∞=∫(){()}{()}Z X F ωωω=111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z ωωωωωωωωωω⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L 1()[()]{()}{()}{()}X Z F H F ωωωωω−==2[][][]K M j C ωω=−+阻抗矩阵中各元素值无法在实际振动测试中获得，因为人们不可能在实际结构上固定其它坐标，令其不动，仪留下J坐标，待其作出响应；也不可能仅使某个坐标运动，在其余坐标上测量力。
机械系统的固有频率分析与改进方法
机械系统的固有频率分析与改进方法导言：机械系统在工程领域起着重要的作用，而固有频率则是决定机械系统性能的重要指标之一。
通过对机械系统固有频率的分析与改进，可以提高机械系统的工作效率、减少能量损耗，进而改善整个工程系统的运行性能。
本文将探讨机械系统固有频率的分析方法和改进策略。
一、什么是机械系统的固有频率？机械系统的固有频率是指在没有外界干扰力情况下，机械系统固有振动产生的频率。
机械系统的固有频率主要与系统的质量、刚度以及振动模式相关。
固有频率可以通过数学模型和实验手段得到。
二、机械系统固有频率的分析方法1. 数学模型法：通过建立机械系统的数学模型，可以利用数学方法推导出系统的固有频率。
常用的数学模型包括方程法、有限元法等。
方程法适用于简单的机械系统，而对于复杂的机械系统，有限元法更为适用。
2. 模态分析法：模态分析方法通过计算机仿真，得到机械系统的模态振型和固有频率。
在模态分析中，可以通过改变系统的质量、刚度等参数，来观察固有频率的变化情况。
模态分析方法可以较为准确地计算出机械系统的固有频率。
3. 实验测量法：实验测量法是通过在实际机械系统上进行试验来测量其固有频率。
常用的实验方法包括共振法、频率扫描法等。
实验测量法的优点在于可以直接得到系统的固有频率，但是受实验条件限制，相对较为耗时和复杂。
三、机械系统固有频率的改进方法1. 优化设计：通过改变机械系统的结构和参数，来提高机械系统的固有频率。
优化设计包括减小机械系统的质量、增加系统的刚度等。
在设计过程中，可以利用数学模型或者模态分析方法，来预测和优化机械系统的固有频率。
2. 隔振措施：通过在机械系统中增加合适的隔振装置，来抑制振动传递和能量耗散。
隔振措施包括添加隔振垫、减振器等。
隔振装置的安装位置和参数的选择需要根据具体的机械系统和振动特性进行合理设计和优化。
3. 材料选择和加工工艺：在机械系统的材料选择和加工工艺上，可以通过合理的选择材料和改进工艺，来提高系统的刚度和固有频率。
模态动力学方程
模态动力学方程一、引言模态动力学方程是描述系统振动和动态响应的重要工具。
通过分析系统的固有振动模态和模态响应，可以预测系统在不同外力作用下的动态行为。
本文将介绍模态动力学方程的概念、推导过程以及应用领域。
二、概念与基本原理模态动力学方程是一种用于分析结构和系统振动的数学模型。
它基于振动模态理论，将结构的动力学行为抽象为一组独立的模态，并通过模态相互作用的分析来描述系统的动态响应。
2.1 振动模态振动模态是指结构或系统在固有频率下的振动形式。
每个模态对应着一个唯一的固有频率和振型。
结构的振动可由一组有限的振动模态线性组合表示。
2.2 模态方程模态方程描述了结构各模态的动力学行为。
假设系统有n个自由度，其中第i个自由度的模态方程可以写为：(m_i*Phi_i'' + c_i*Phi_i' + k_i*Phi_i) = F_i(t)其中，m_i是质量矩阵的第i对角元素，Phi_i是第i个模态的形状函数，c_i是阻尼矩阵的第i对角元素，k_i是刚度矩阵的第i对角元素，F_i(t)是作用在第i个自由度上的外力。
2.3 模态相互作用模态相互作用是指不同模态之间的相互影响。
由于结构的非线性特性或者外力的作用，不同模态之间可能发生能量交换和转移，导致振动特性的改变。
对于复杂的结构和系统，考虑模态相互作用是十分重要的。
三、模态动力学方程的推导模态动力学方程的推导是将结构的整体动力学方程转化为模态方程的过程。
通过从基本的结构动力学方程出发，利用模态分析方法将其变换为模态方程，可以简化问题的求解过程。
3.1 结构动力学方程考虑一个n自由度的结构系统，其动力学方程可以表示为：M*ddot{U}(t) + C*dot{U}(t) + K*U(t) = F(t)其中，M是质量矩阵，C是阻尼矩阵，K是刚度矩阵，U是位移向量，F是外力向量。
3.2 模态分析通过模态分析，可以找到结构的振动模态和相应的固有频率。
机械结构固有频率分析与优化
机械结构固有频率分析与优化机械结构是人工制造出来的具有特定功能的物体，如汽车发动机、桥梁、飞机机翼等。
在设计和制造机械结构时，固有频率分析与优化是一个非常重要的步骤。
通过对机械结构的固有频率进行分析和优化，可以提高结构的稳定性和可靠性，减少结构的振动和疲劳破坏，从而延长结构的使用寿命。
固有频率是指机械结构在没有外部激励的情况下自由振动的频率。
每个机械结构都有多个固有频率，对应于不同的振动模态。
固有频率的高低直接影响着机械结构的动态响应和振动特性。
较低的固有频率可能导致结构共振，造成动态失稳和结构破坏；而较高的固有频率则可以减小结构振动的幅度和响应，提高结构的稳定性和工作效率。
固有频率的分析可以通过有限元方法进行。
有限元方法是一种将复杂结构分割成小的有限单元，通过计算每个单元的振动特性，然后将这些单元牵连起来得到整个结构的振动响应的数值计算方法。
在有限元分析中，固有频率一般通过求解结构的特征方程得到。
特征方程是一个关于固有频率与振型的本征值问题，通过数值求解可以得到结构的固有频率和相应的振动模态。
固有频率分析的结果可以用来指导结构的优化设计。
在机械结构的优化设计中，通常需要对结构的材料、构型和连接等参数进行调整，以使得结构的固有频率达到设计要求。
例如，对于桥梁结构来说，为了防止共振和减小结构的振动，可以增大桥梁的自然频率，有助于提高桥梁的稳定性和承载能力。
而对于飞机机翼来说，需要根据不同飞行状态和工作要求，调整机翼的结构参数，以提高固有频率，减小结构的振动。
除了固有频率的分析和优化，机械结构的动态特性还包括振动模态、振动幅值和振动形态等。
在进行固有频率分析时，也可以得到结构的不同振动模态的形态和频率。
振动幅值和振动形态可以通过模态分析和振动实验得到，用来评估结构在不同振动状态下的响应和振幅。
根据振动特性的分析结果，可以对结构的材料和构造进行优化设计，以提高结构的稳定性和工作效率。
综上所述，机械结构固有频率分析与优化是设计和制造过程中不可或缺的一环。
机械振动学中的固有频率与振型分析
机械振动学中的固有频率与振型分析机械振动学是研究机械系统在受到外界激励作用下产生振动现象的一门学科。
在机械系统中，固有频率与振型分析是非常重要的内容，可以用来描述系统的动态特性和振动行为。
本文将介绍机械振动学中固有频率与振型分析的基本概念和应用。
一、固有频率固有频率是指机械系统在没有外界激励下自由振动的频率。
对于一个简单的振动系统，其固有频率可以通过运动方程的解析解求得。
固有频率是系统的固有特性之一，可以用来描述系统的动态响应特性和结构的刚度、质量、阻尼等参数。
在实际工程应用中，固有频率的计算对于系统结构设计和振动控制至关重要。
通过对系统的固有频率进行分析，可以避免共振现象的发生，减小系统动态响应，提高系统的稳定性和可靠性。
二、振型分析振型分析是指对机械系统的振动模式和振动幅值进行分析和描述。
振型是指系统在特定频率下的振动模式，可以通过振动实验和有限元分析等方法得到。
振型分析可以提供系统的模态形式和振动幅值信息，有助于分析系统的受力情况和结构设计。
振型分析在工程实践中具有广泛的应用，可以用于评估系统的结构健康状况、辅助设计优化和振动控制。
通过对系统的振型进行分析，可以找到系统的薄弱环节和潜在问题，及时进行改进和优化，提高系统的性能和可靠性。
三、结语固有频率与振型分析是机械振动学中重要的内容，对于机械系统的设计和性能评估具有重要意义。
通过对系统的固有频率和振型进行分析，可以优化系统的结构设计，降低系统的动态响应，提高系统的稳定性和可靠性。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解机械振动学中固有频率与振型分析的相关知识。
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模态分析技术发展到今天已趋成熟，特别是线性模态理论（通常所说的模态分析均是指线性模态分析）方面的研究已日臻完善，但在工程应用方面还有不少工作可做。
首先是如何提高模态分析的精度，扩大应用范围。
增加模态分析的信息量是提高分析精度的关键，单靠增加传感器的测点数目很难实现，目前提出的一种激光扫描方法是大大增加测点数的有效办法，测点数目的增加随之而来的是增大数据采集与分析系统的容量及提高分析处理速度，在测试方法、数据采集与分析方面还有不少研究工作可做。
对复杂结构空间模态的测量分析、频响函数的耦合、高频模态检测、抗噪声干扰,, 等等方面的研究尚需进一步开展。
模态分析当前的一个重要发展趋势是由线性向非线性问题方向发展。
非线性模态的概念早在
I960年就由Rosenberg提出，虽有不少学者对非线性模态理论进行了研究，但由于非线性问题本身的复杂性及当时工程实践中的非线性问题并示引起重视，非线性模态分析的发展受到限制。
近年来在工程中的非线性问题日益突出，因此非线性模态分析亦日益受到人们的重视。
最近已逐步形成了所谓非线性模态动力学。
关于非线性模态的正交性、解耦性、稳定性、模态的分叉、渗透等问题是当前研究的重点。
在非线性建模理论与参数辨识方面的研究工作亦是当今研究的热点。
非线性系统物理参数的识别、载荷识别方面的研究亦已开始。
展望未来，模态分析与试验技术仍将以新的速度，新的内容向前发展。
模态振型是一个相对量，通常是一个列向量，二维以上的系统其模态振型不是一个数。
一个数对应单模态，其数值无意义。
某模态频率下的模态振型反映了在该模态频率下各自由度的相对位移的比值。
如果系统的初始位移恰好等于模态频率下的模态振型（或与之成比例），则此时系统的自由响应中只会出现该模态频率。
感谢欧阳中华教授的指点，我现在觉得自己当初确实对模态振型概念不清楚。
模态振型是系统固有的振动形态，线性响应是振型线性叠加的结果，但振型之间是独立不耦合的。
振型是个相对量，所以就有了多种振型归一划的方法。
振型是个很重要的固有特征，正如楼上所说用于验证固有频率。
我觉得振型在判别你计算固有频率正确性是非常有用的，比如，通过有限元计算得到了模型的前十阶固有频率，试验模态分析也得到了低阶的固有频率，假设计算的某阶固有频率与试验的某阶固有频率非常接近，但是并不能马上说明他们是同一阶的，需要通过振型来判断。
其他的不知道，但是之所以引入模态的概念，之所以从物理坐标变换到模态坐标就是为了解耦，就是为了让其正交，这样方程才能解出来。
从能量角度说，这样各个振型之间就没有能量的交换。
从数学上看，对响应函数级数展开后，其中的各项构成各阶模态，而级数展开形式本身要求各个基函数是相互正交的，也就是说：其实是把响应函数放到了一个函
数空间里，各个展开项系数相当于这个响应在此函数空间里的坐标。
因为2个自由度以上的系统往往都有耦合现象，例如方程M*dXA2/dTt+K*X=0
中的M、K不同时为对角阵。
但是从求解的角度来说，我们又希望其中的每个方程都是独立的，那样我们就可以像求解单自由度系统一样求解。
我们就想能否选到合适的坐标系，使得运动完全不耦合，即系统质量矩阵和刚度矩阵同时为对角矩阵，称这样的坐标系为主坐标系，而模态坐标正是我们要寻找的主坐标。
固有振型的正交性是指（以2自由度为例），第一阶固有振动引起的作用力在第二阶固有振动上所做的功为零，即两种固有振动间无弹性势能的交换。
同时也可证明振型的各阶导数间也是正交的。
就像不同的坐标系下，对同一运动系统的表述会很不一样，表述同一运动系统的振型模态也可以有很多物理量的坐标系，当然其中很多都是很复杂的，对解决实际问题是没有实际意义和帮助的，只有那个特殊的正交状态的模态坐标，才是最简单最有用的坐标，因为它能把系统解耦，，这个特殊的坐标称之为主坐标，对应主振型，这个状态可以把方程解开，把问题解决掉，，各阶模态是互相正交是为了解耦，使问题最简化。
类似向量的分解，比方说，一个平面内力向量的分解方式有很多种，但采用直角正交分解最方便。
主要从以后的解方程组时候要解耦考虑吧模态正交，具体表现在模态振型存在正交，请注意“存在” ，而这种正交是线性系统模态的基本特性，准确地说是固有特性，正因为存在这种正交特性，带来了运算时的广义坐标下的耦合矩阵变为模态坐标中。
的解耦，计算变得简单。
注：（对上段话的个人理解：线性系统具有正交特性，人们利用线性系统的正交特性，对线性模态进行解耦，使问题简化。
）
1.任一阶主振型的惯性力在另一阶主振型作为虚位移上所做的虚功之和为零
2.任一阶主振型的惯性力只在各自的振型上做功，在另外的主振型上不做功这是正交相应的物理解释，是模态振型正交的物理形式，所以不能用物理含义去证明其相应的数学表达。
上面模态正交的数学和物理形式和概念有解释清楚了，那么，为什么会正交呢？答：正交是线性系统存在的固有特性，属于Nature 的东西，Nature 就是非人造的.. .. ..
其实模态分析就是要认识清楚模态频率、模态阻尼和模态振型这三个模态参数。
了解模态频率是模态分析最基本的目的，因为了解了系统的模态频率就可以知道系统在什么频率范围内振动比较敏感；而模态振型则反映了系统在一定的模态频率下以什
么样的形式进行振动，其各部位的振动幅值的相对关系如何。
（个人见解：模态频率反映的是系统中某特定点的振幅随着该点振动频率的变化而变化的情况，变化最强烈即幅值最大时的振动频率就是固有频率；而模态振型反映的是系统中的所有点在以某一频率振动时各点振幅的相对波动状况。
）模态分析的本质是了解系统在动力环境作用下所表现出的特性，但这一
特性是系统的固有特性，与系统所受的外力无关。
对于实际的工程，用有限元软件分析需要的频率段，可查找振动原因，或校核。
模态分析可以看出在那些频率段需要防止或避免共振时很有用由动力方程K X=Lamda M X , 其中lamda 等于omega 的平方，omega 就是固有频率。
一般有限元软件中给出的频率单位是赫兹，还要转换为弧度/ 秒。
首先，频率和振型是结构的固有特性，任何结构都可以进行模态分析；其次，结构的功能是不同的，不同结构对应的模态分析的用途是有差别的。
对建筑结构，模态分析可以知道结构的避频设计、用于抗震设计计算以及考虑动力荷载的放大作用等。
另外，还可以挖掘振型有关的信息。
模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。
模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。
这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。
这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模记分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。
通常，模态分析都是指试验模态分析。
振动模态是弹性结构的固有的、整体的特性。
如果通过模态分析方法搞清楚了结构物在某一易受影响的频率范围内各阶主要模态的特性，就可能预言结构在此频段内在外部或内部各种振源作用下实际振动响应。
因此，模态分析是结构动态设计及设备的故障诊断的重要方法。
非线性不满足叠加原理，模态分析及其测试难以进行。
即使进行，我想也只能对弱非线性系统在平衡点附近采用线性化的方法。
希腊学者Vakakis沿用美国学者Rosenberg
的思路，将非线性模态定义为系统位形空间中的一条直线（相似模态）或曲线（非相似模态），即所谓的模态线。
当系统沿模态线运动时，所有质点将经历一种同步运动，亦即，各质点在某一时刻同时达到各自的最大位移，而在另一时刻同时达到各自的最大速度。
美国学者Shaw和Pierre,将（非内共振）非线性模态定义为系统状态空间中的一个二维不变子流形，从而既可对保守系统定义非线性模态（一种驻波），亦可对非保
守系统定义非线性模态（一种行波）。