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高数期末机考真题答案解析
高数期末机考真题答案解析高等数学作为一门重要的科学基础课程，对大多数理工科学生来说都是必修的课程。
而期末机考往往是考核学生对高等数学知识的掌握程度和综合运用能力的重要环节。
下面，我们将就一道高数期末机考真题进行详细的解析，帮助大家更好地理解和掌握高等数学的相关知识。
题目：已知函数 f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，有极值点（-1，2）和（3，-4），问 a、b、c 的具体取值是多少？解析：首先，我们根据题目中的已知条件，可以得到两个方程：f(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c = 2 --方程1f(3) = 3^3 + a(3)^2 + b(3) + c = -4 --方程2然后，我们将这两个方程进行整理，化简之后可以得到：a -b +c = 3 --方程39a + 3b + c = -31 --方程4接下来，我们采用消元法来求解方程3和方程4，具体步骤如下：式(4) * (-1) + 式(3)，得到： -10a - 4b = 28式(3) * 9 + 式(4)，得到： 10a - 2b = -46将以上两个方程相加，可得： -6b = -18由此可以得到 b = 3将 b 的值代入方程3，可以得到： a + c = 0将 b 的值代入方程4，可以得到： 21a + c = -40由此可得： a = -2，c = 2综上所述，a 的取值为 -2，b 的取值为 3，c 的取值为 2。
而题目中要求的结果就是 a、b、c 的具体取值。
同时，题目中给出的极值点也可以通过计算得到：极小值点 (x0,y0) = (-1,2) 对应的 y 坐标： f(-1) = (-1)^3 + (-2)(-1)^2 + 3(-1) + 2 = 2极大值点 (x1,y1) = (3,-4) 对应的 y 坐标： f(3) = 3^3 + (-2)3^2 + 3(3) + 2 = -4因此，经过计算可得，a 的取值为 -2，b 的取值为 3，c 的取值为 2，并且对应的极值点分别为 (-1,2) 和 (3,-4)。
高数练习题推荐
高数练习题推荐高数练习题推荐高等数学是大学理工科专业中一门重要的基础课程，它的学习对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力具有重要作用。
然而，由于高数的抽象性和复杂性，许多学生在学习过程中会遇到困难。
为了帮助学生更好地掌握高数知识，下面将推荐几个经典的高数练习题。
1. 极限题极限是高等数学中的重要概念，也是数学分析的基础。
掌握极限的计算方法和性质对于理解和应用数学知识至关重要。
以下是一个经典的极限题：求极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x}$这个极限题是数学分析中的经典题目，它的解法可以通过泰勒展开或利用夹逼准则等方法。
通过求解这个极限题，可以帮助学生理解正弦函数与单位圆的关系，并且掌握极限的计算方法。
2. 微分题微分是高等数学中的重要概念，它是导数的定义和性质的研究。
微分的学习对于理解函数的变化规律和解决实际问题具有重要意义。
以下是一个经典的微分题：设函数$f(x)=x^3-3x^2+2x+1$，求$f'(x)$和$f''(x)$这个微分题要求求解函数的一阶和二阶导数。
通过求解这个微分题，可以帮助学生巩固函数的求导法则和运算规则，并且掌握函数的极值和拐点等重要概念。
3. 积分题积分是高等数学中的重要概念，它是求解曲线下面的面积和求解定积分的方法。
积分的学习对于理解曲线的几何性质和解决实际问题具有重要意义。
以下是一个经典的积分题：求不定积分：$\int e^x \sin{x} dx$这个积分题要求求解指数函数和正弦函数的乘积的不定积分。
通过求解这个积分题，可以帮助学生巩固积分的基本性质和计算方法，并且掌握积分的应用技巧。
4. 级数题级数是高等数学中的重要概念，它是无穷数列的和的研究。
级数的学习对于理解数列的收敛性和解决实际问题具有重要意义。
以下是一个经典的级数题：判断级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$的收敛性这个级数题要求判断级数的收敛性。
《高等数学》同步练习册（下）新答案
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2]1)1[l n()1(xy xy xy xy z y y ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx e x x e 221)1(++(6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223 (4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 217.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
高等数学练习册及答案
由 x2 − 5x + 6 > 0 解得 x < 2或x > 3
[ 故函数的定义域是 −1，2)Υ(3，6].
专业
班级
学号
姓名
成绩
时间
2
3、设f (x) = 22，+ x，xx≥<0．0；则f [ f (x)]＝
解： f [ f (x)] = 42，+ x ，xx≥<−−22；
x → x0
则
A．甲、乙都不成立；
B．甲成立，乙不成立；
C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。
§6 极限存在准则，两个重要极限
一．单项选择题
1、下列极限中，极限值不为 0 的是 Ｄ
。
（A） lim arctan x x→∞ x;
（B） lim 2sin x + 3cos x
x→∞
x
（C） lim x2 sin 1
(A)最小正周期为3π的周期函数； (B)最小正周期为π 的周期函数； 3
(C)最小正周期为 2π 的周期函数； (D)非周期函数。 3
3、下列函数中为非偶数函数的是（ B ）
(A) y = sin x ⋅ 2 x − 1； (B) y = arccos x； 2x +1
(C) y = x2 − 3x + 4 + x2 + 3x + 4；(D) y =
x→ x0
（A）充分条件但非必要条件； （B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件；
（D）既不是充分条件也不是必要条件
5、设f (x)是定义在[a，b]上的单调增函数，x0 ∈ (a，b)，则 C 。
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微积分综合练习题及参考答案精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
《高等数学》同步练习册(下)新答案
参考答案与提示第7章 多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y ----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2 ]1)1[l n()1(xy xy xy xy z yy ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx ex x e 221)1(++ (6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223(4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 21 7.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。
《高等数学》练习题库及答案,DOC
《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数y=112+x 是（） A.偶函数B.奇函数C 单调函数D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（） A2x 2－2B2－2x 2C1＋x 2D1－x 23A ．C ．4.A C.5A C 6．→lim 1x7．设x 8.当x A.x 2A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y=（）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f （x ）=（1-x ）cotx 要使f （x ）在点：x=0连续，则应补充定义f （0）为（）A 、B 、eC 、-eD 、-e -112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续f(x)=0 14、设1516、函数17AC18、AC、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设26、设27、设28、已知29、已知30A、3132、圆A、-1B、0C、1D、233、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x可微的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x0可导是函数f(x)在x可微的（）A、充分条件B、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（）A 、0B 、-dxC 、dxD 、不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（） A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞-∞D 、∞型37、极限012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（） A 、00型38、极限A 39、x x A C 40A C 41、曲线A 42A 、0B 、43A 44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A 、2e x/2B 、4e x/2C 、e x/2+CD 、e x/245、∫xe -x dx=（D ）A 、xe -x -e -x +CB 、-xe -x +e -x +CC 、xe -x +e -x +CD 、-xe -x -e -x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数47、∫-10|3x+1|dx=（）A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线A50、点（A51A、52、平面A53、方程AC54、方程A55、方程A56AC、两发散数列之和必发散D、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x处连续的（）A、.必要条件B、充分条件C、充分必要条件D、无关条件58函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C 、f(x)=x 2-1D 、f(x)=5x 4-4x+160设y=(cos)sinx ，则y’|x=0=（）A 、-1B 、0C 、1D 、不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（） 2、求极限0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（） 3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（） 456、已知78、已知910、函数11、函数12、函数13、函数14、函数15、点（16、∫xx 17、若18、若∫19、d/dx ∫a b arctantdt =（）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x 在点x=0连续，则a=（） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（）22、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（）23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（）1dx/(4-x2)1/2=（）24、∫25、∫л/3лsin(л/3+x)dx=（）9x1/2(1+x1/2)dx=()26、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）27、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）28、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）29、∫49x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49x31、∫9x32、∫43334、设35、函数36、37、383940（）41424344、通过45lim[x/(x+1)]x=（）46求极限∞x→47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）9x1/2(1+x1/2)dx=（）48∫449y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
高等数学(经管类)下及课后习题答案
1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：A (2，1,-6)，B (0，2，0)，C (-3，0,5)，D (1，-1，-7).解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。
2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.解之得z =11，故所求的点为M (0，0，149). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得21214M M =，2213236,6M M M M ==所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.解：所求平面方程为1235y x z++=-。
高等数学教材推荐知乎
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高等数学下考试题库(附答案)
高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。
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高 等 数 学 综 合 练 习 题 （二）一、选择题1. 柱面02=+z x 的母线平行于（ ）A. y 轴B. x 轴C. z 轴D. zox 面 2. 设()()1,1,1,1,1,1--=-=b a ，则有（ ）A. b a //B. b a ⊥C. 3π=⋅∧b aD. 32π=⋅∧b a3. 方程z x y 222=+表示的二次曲面是（ ）A. 圆柱面B. 旋转抛物面C. 圆锥面D. 双曲抛物面 4设⎩⎨⎧≤≤+≤<--=ππx x x x f 0,10,1)(2，则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 收敛于（ ） A. 22π B. 21 C. 2π D. 21π+5. 平面12=-+z y x 与平面0=++z y x 的关系是 ( )A. 平行B. 垂直C. 重合D. 以上结论都不对6. 直线11121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( ) A. 垂直 B.平行 C. 夹角为π4 D.夹角为π4-7. 设曲面224y x z --=上点p 处切平面平行122=++z y x ，则点p 坐标为（ ） A. )2,1,1(- B. )2,1,1( C. )2,1,1(- D. )2,1,1(-- 8. ),(y x f 在点),(00y x 可微分是),(y x f 在点)00,(y x 连续的( ) A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 9. 设xye z =,则z 在点()1,2处的全微分dz 等于（ ）A. 23e()dy dx + B. 23e ()dy dx 2+ C ()dy dx e 22+D. e 2()dy dx +10. 函数),(y x f 在点）（00,y x 的偏导数存在是),(y x f 在该点连续的（ ）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分条件，也非必要条件.11. 已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos -+++为某一函数的全微分，则a 和b 的值分别是（）A.-2和2B.2和-2C.-3和3D.3和-312. 已知在整个xoy 平面22axy dx x ydy +是某个二元函数的全微分,则a =( )A. 0B. 1C. 2D. 3 13. 设平面区域xy x D x y x x D ≤≤≤≤≤≤-≤≤0,10:,,10:1,则⎰⎰=+Ddxdy xy )1(( )A. 0B. 2⎰⎰+1)1(D dxdy xy C. 1 D. 2⎰⎰1D xydxdy14. 设积分区域D 是圆环域1922≤+≤x y ，则二重积分s i n x y d D22+⎰⎰σ可化为（ ） A. d d θρρρπ0203⎰⎰s i n B. dd θρρπ203⎰⎰s i n C. d d θρρπ213⎰⎰s i n D. d d θρρρπ0213⎰⎰s i n 15. 设D 是xoy 平面上的三角形区域，其面积为1，则dxdy D⎰⎰等于（ ）A. 1B. 2C. 4D. 3 16. 设1:22≤+y x D ，则dxdy y x D⎰⎰+22=（ ）A.2π B.32πC. 23πD. π217. 设圆弧段)0,0(sin cos :>≤≤⎩⎨⎧==a t t a y ta x L π,则=++⎰ds y x a L)(22=( )A. a πB. 2a π C. 22a π D. 32a π18. 幂级数∑∞12=n n nn x 的收敛域是（ ）A.()2,2-B.[]2,2-C.[)2,2-D.(]2,2-19. 设幂级数nn nx a∑∞=0在2-=x 收敛，则n n n x a ∑∞=0在1=x 处 ( )A. 绝对收敛B. 发散C. 条件收敛D. 以上结论都不对 20. 级数()-+=∞∑111231n n n（ ）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 收敛性不能判定21. 方程dydxy +=0的通解是（ ） A. ce x - B. ce xC. e c x-+D. e c x +22. 下列曲线积分在整个xoy 面内积分与路径无关的是（ ） A.()()dy y dx y x L-++⎰ B. ()()dy y x dx y xyL366232-+-⎰C.()()dy y dx yxy L-++-⎰324D. ()()dy xy x dx y xy L32442-+-⎰23. 若级数∑∞=12n na 和∑∞12=n n b 都收敛，则级数∑∞1=n n n b a （）A. 条件收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 可能收敛也可能发散 24. 微分方程032='''y y y --的通解是=y （ ）A.321x c xc + B.321xc x c + C.xx ec e c 321-+ D.x xe c ec 321+-25. 设级数∑∞=+111n p n收敛，则有 ( )A.0>pB.1>pC.0<pD. 1≤p 26. 微分方程'''256xy y y e -+=的特解形式是y *=（ ）A. 2xae B. 2xaxe C. 2()xax b e + D. 2()xx ax b e +27. 若级数nn u∞=∑收敛，则lim n n u →∞=（ ）A. ∞B. 1C. 0D. 不存在但不是∞ 28. 函数2)(x ex f -=展开成x 的幂级数为（ ）A. ∑∞=02!n n n x B.∑∞=⋅-02!)1(n n n n x C.∑∞=0!n n n x D.∑∞=⋅-0!)1(n n n n x以下题目为本科考查题，高职高专不考查29. 设0,:22221≥≤++Ωz R z y x ，0,0,0,:22222≥≥≥≤++Ωz y x R z y x ，则有（） A.⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdv xdv B.⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydv ydv C.⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdv zdv D.⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdv xyzdv30. 设ydy x dx y x L⎰+2)(ϕ与路径无关， )(y ϕ有一阶连续导数，0)0(=ϕ，则=+⎰ydy x dx y x 2)2,1()1,0()(ϕ（ ）A. 2B.1C. 4D.331. 设L 为周长为a 的椭圆13422=+y x ，则=++⎰ds y x xy L)432(22（ ） A. a 10 B. a 12 C. a 7 D.a 14 32. 设∑是球面2222R z y x =++取外侧，则=⎰⎰∑dxdy z 2（ ） A. 2R π B. 22R π C. 24R π D. 0二 填空题1. （1）=+→22)1,0(),(-1limy x xy y x ; （2） =++22)0,1(→),()1ln(lim yx e x y x . 2. ()y x f ,在点()y x ,的偏导数存在是()y x f ,在该点可微分的 条件；()y x f ,在点()y x ,可微分是函数在该点的偏导数存在的 条件.3. 函数22y y x z +=的全微分是 .4. 设22y xy x z ++=，则=∂∂∂xy z2 .5. 函数322z y x u ++=在点)1,1,1(A 的梯度=)1,1,1(|gradu __________. 6. 函数22232zy x u ++=在点)1,1,1(A 处沿方向)1,1,1(=l的方向导数=∂∂)1,1,1(|lu__________. 7. 交换积分次序后，=⎰⎰---22111),(y y dx y x f dy.8. 交换积分次序后，()=⎰⎰xx dy y x f dx2,10 .9. 设区域:D 4122≤+≤y x ，则⎰⎰Ddxdy = .10. 设L 为圆周t R y t R x sin ,cos ==上对应t 从0到2π的一段弧，则⎰=+Lxdy ydx _________.11. 设L 是圆周222a y x =+)0(>a ，则=+⎰ds y x L)(22 .12. 曲面1532222=++z y x 在点)1,2,2(处的切平面方程是 ;法线方程是 .13. 通解为x C x C y 2sin 2cos 21+=的二阶常系数线性齐次微分方程为______________. 14. 微分方程044=+'-''y y y 的通解是 . 15. 微分方程xy dxdy2=的通解是 16. 微分方程xy dx dy 21-2=的通解为 . 17.设级数∑∞=-121n p n收敛，则p 的取值范围是 .18. 函数2x e 关于x 的幂级数展开式是 . 19. 幂级数nx n n n ∑∞=--11)1(的收敛域是 .20. 若幂级数nn nx a∑∞=0收敛半径为)0(∞+<R R ，则n n n x a 20∑∞=的收敛半径为_______.21. 设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-取得极值，则a =_______.22. 设c b a ,,都是单位向量，且满足0=++c b a ，则____=⋅+⋅+⋅a c c b b a .23. 设()()a b c b aλ-,-1,10,4,2,1,2===，且a ⊥c，则λ= . 24. 直线72-3z y x ==和平面8723=+-z y x 的关系为 . 25. 设k j i 32++=，k j i λ++=42，则λ= 时，⊥；λ= 时，∥. 26. 平行于y 轴且过点()0,0,11P 及()1,0,02P 的平面方程是 .27. 直线13411:1+=-=-z y x L 与1222:2-=-+=zy x L 的夹角是 . 28. 与直线322112:1-=+=-z y x L 及411221:2-=-+=+z y x L 平行且过原点的平面方程是 .以下题目为本科考查题，高职高专不考查29. 在函数)(- sin )(ππ<≤=x x x f 的傅里叶展开式中，系数=n a ________. 30. 设∑是柱面122=+y x 介于平面0=z 及2=z 之间的部分，则_______22=+⎰⎰∑yx ds. 31. 设:Ω0,2222≥≤++z R z y x ，则=++⎰⎰⎰Ωdxdydz y x )1(____________.32. 设∑是平面1=++z y x 在第一卦限部分取上侧，则⎰⎰∑=++______)(dxdy z y x .填空题答案1.（1）1 （2）)1ln(e +；2. 必要、充分；3.()dy y x xydx 222++；4.1; 5. )3,2,2( ；6. 34；7.⎰⎰-21011-),(x dy y x f dx ；8.⎰⎰1),(ydx y x f dy ； 9.π3；10.0；11.32a π；12.015-342=++z y x , 31-42-22-z y x ==；13.04=+''y y ;14.xx xe C e C 2221+； 15.2x Cey =；16.Cx y y =+-11; 17.3>p ; 18.)( 21242∞<<-∞+++++x nx x x n; 19. [)1,1-；20. R ； 21.5-; 22. -23； 23.3；24.垂直； 25.310-，6； 26.01=++z x ; 27.4π;28. 05211=-+z y x ; 29.0；30. π4; 31. 323R π；32.3.三、计算题1. 求过点(2,3,0)-且以(1,2,3)n =-为法线向量的平面的方程.解 根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为 (2)2(3)30x y z --++=， 即 2380x y z -+-=.2. 设平面通过两点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面方程0x y z ++=，求它的方程. 解 设所求平面的法向量为(,,)n A B C =，12(1,0,2)M M =--，120M M n ⋅=，得20A C --=，又所求平面垂直于已知平面0x y z ++=，所以有0A B C ++=，从而 2A C =-，B C =，由平面的点法式方程可知，所求平面方程为(1)(1)(1)0A x B y C z -+-+-=，将2A C =-及B C =代入上式，并约去C (0)C ≠，便得2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=， 或 20x y z --=，这就是所求平面方程.3. 求与两平面43x z -=和251x y z --=的交线平行且过点(3,2,5)-的直线的方程。