金钥匙学校(东城)初二年级寒假数学讲义 梁老师主讲 2月9日
金钥匙学校初二暑假数学测试
1EDC B AB 金钥匙学校数学测试1.如图1，AB ∥CD ，∠ECD =70°，∠E=60°,则图中∠1的大小是（ ）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130°2.如图2，△ABC 中，50B ∠=°，60C ∠=°，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，那么EDF ∠等于（ ）．A . 80°B . 110°C . 130°D . 140°图1 图23.在平面直角坐标系中，点P （-4，3）到x 轴的距离为（ ）Ａ．3 Ｂ．3- Ｃ．4 Ｄ．4-4.若点A （n ，9）在y 轴上，则点B （n －1， n ＋1）在 （ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5.将直线y ＝-x -5向上平移5个单位，得到直线 ；6.若一个多边形的内角和等于720°，则这个多边形的边数是7.商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图3的信息，当有9张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是 cm ．图38．坐标平面内，点A 和B 关于x 轴对称，若点A 到x 轴的距离是3cm ，则点B 到x •轴的距离是_______cm ．9．轴对称图形中任意一组对应点的连线段的_ ___是该图形的对称轴．10.甲、乙两种糖果，售价分别为20元／千克和24元／千克，根据市场调查发现，将两种糖果按一定的比例混合后销售，取得了较好的销售效果．现在糖果的售价有了调整：甲种糖果的售价上涨了8%，乙种糖果的售价下跌了10%．若这种混合糖果的售价恰好保持不变，则甲、乙两种糖果的混合比例应为甲:乙=11.小杰到学校食堂买饭，看到A 、B 两个窗口前面排的人一样多（设为a 人，a>8），就站到A 窗口队伍的后面排队，如图，过了2分钟，他发现A 窗口每分钟有4人买了饭离开队伍，B 窗口每分钟有6人买了饭离开队伍，且B 窗口队伍后面每分钟增加5人。
金钥匙学校初二年级寒假数学讲义梁老
第十讲 综合练习例1、〔06张家界〕假定双曲线y21，y 13，y 2 ，那么有y 1________y 2〔可填“〞、“〞、“〞〕．过两点 ，x例2、〔2007年内江〕△ABC 的三边a ，b ，c 知足：a 2 b|c12|10a2b422，那么△ABC 为〔〕A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形y例3、(06南通〕如图，直线ykx(k0)与双曲线y4A交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2) O两xx点，那么2x 1y 27x 2y 1的值等于．B例4、〔2006兰州课改〕如图，P ，P ，P 是双曲线上的三点，过这三点分别作 y 轴的垂 线，得1 2 3到三个三角形P 1A 1O ，P 2A 2O ， P 3A 3O ，设它们的面积分别是 S 1，S 2，S 3那么〔 〕．Ａ．S 1S 2S 3Ｂ．S 2S 1S 3 Ｃ．S 1S 3S 2 Ｄ．S 1S 2S 3例5、〔08一模西城〕.如图,假定正方形 OABC,ADEF 的极点A 、D 、C 在座标轴上，y 点F 在AB 上，点 B 、E 在函数y1〔x0〕的图象上，那么点E 的坐标是〔〕.xA.5 15 1 5 15 1(,) B.(,)2 222C.(35,3 5) D.(35,3 5)2222BC EFxoAD例6、如图，△OPQ 是边长为 2的等边三角形，假定反比率函数的图象过点P ，那么它的分析式是 _______.y POQx例7、如图：一次函数y axb的图像与反比率函数k的图像交于A(m,1)、B(1y,n)两点，且OA5．x2〔1〕求反比率函数和一次函数的分析式．〔2〕依据图像写出使一次函数的值小于反比率函数的值x的取值范围．yAxOB练习：1、〔2006兰州课改〕一次函数y13xk32k的图象与反比率函数y2的图象订交，此中一个交点的纵坐标为x6．〔1〕求两个函数的分析式；〔2〕联合图象求出y1y2时，x的取值范围．2、〔2006湖北课改〕如图，直线y 1x1分别交x轴，y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线yk在第一象限内2y x的交点，PB x轴，垂足为点B，△APB的面积为4．P〔1〕求点P的坐标；C〔2〕求双曲线的分析式及直线与双曲线另一交点Q的坐标．AxOBQ例8、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证：CD2BE2DE2AB E D C例9、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，知足PA=3，PB=1，?PC=2，求∠BPC的度数．例10、将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=6，OC=10．〔1〕如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落在AB边上的D点，求E点的坐标；〔2〕如图2，在OA、OC边上选用适合的点E、F，将EOF沿E F折叠，使O点落在AB边上的点D，过D作DG∥AO交EF于T点，交OC于G点，求证：TG AE；〔3〕在〔2〕的条件下，设T(x,y)．①探究：y与x之间的函数关系式；②指出变量x的取值范围．图1图2。
学而思初二数学寒假班第1讲.一元二次方程认识初步.尖子班.学生版
围图形漫画释义满分晋级阶梯1一元二次方程的基本解法方程10级 判别式与求根公式方程9级一元二次方程的基本解法 方程8级分式方程题型切片（四个）对应题目题型目标一元二次方程的概念例1；例2；演练1；例8直接开平方法解一元二次方程例3；例4；演练2；配方解一元二次方程例5；例6；演练3；演练4；因式分解法解一元二次方程例7；演练5．模块一一元二次方程的概念知识互联网题型切片定 义示例剖析一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程．⑵方程中只含有一个未知数．⑶化简后方程中未知数的最高次数是2．⑷二次项的系数不为0 22210x x -+=此方程满足： 整式方程；只含有一个未知数x ；x 的最高次数是2，系数是2所以这个方程是一个一元二次方程．一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠． 其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项． 一元二次方程22210x x -+=， 其中221a b c ==-=，，． 一元二次方程的根：如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程20(0)ax bx c a ++=≠的一个根．1满足2110-=，则1是方程20x x -=的一个根．0满足2000-=，则0是方程20x x -=的另一个根．∴0,1是方程20x x -=的两个根，表示为12=0, =1x x一元二次方程都可化成如下形式： 20ax bx c ++=（0a ≠）． 1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．2．一般形式中，b 、c 可以是任意实数，而二次项系数0a ≠，若0a =，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对b 进行讨论．3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定a 、b 、c 的值，不要漏掉符号．．．．． 4．项及项的系数要区分开．建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今后学习基本初等函数时也要使用．夯实基础知识导航【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程．⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵413x =+ ⑶ 210x -=； ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2233x x +=-；⑺ 2320mx x -+=（m 为常数） ⑻ ()()2212150a x a x a ++-+-=（a 为常数）．2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．⑴ 2216x x -=； ⑵ ()()3213x x x -+=-；⑶ ()()()3253115x x x x ++--=； ⑷ 23323x x x ++=-．【例2】 ⑴关于x 的方程()()2293510m x m x m -+++-=，当m ________时，方程为一元二次方程；当m =_________时，方程为一元一次方程；⑵已知m 是方程210x x --=的一个根，求代数式2552008m m -+的值；⑶已知a 是2200910x x -+=的根，求22120082009a a a +--的值．能力提升定 义示例剖析直接开平方法：对于形如2x m =或()2ax b m+=()00a m ≠≥，的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解．()211x +=11x +=或11x +=-1202x x ==-，【例3】 用直接开平方法解关于x 的方程：⑴ ()()323212x x +-=； ⑵()22463x -=；⑶ ()2x m n -=； ⑷ ()2214x b c -=+【例4】 解关于x 的方程：⑴ ()()222332x x +=+； ⑵ ()()225293x x -=+；能力提升夯实基础知识导航模块二 直接开平方法解一元二次方程⑶ ()()22425931x x -=-．定 义实例剖析配方法：通过配方把一元二次方程转化成形如()2ax b m +=的方程，再运用直接开平方的方法求解．⑴220x x += ⑵2+2=1x x -22101x x ++=+ 2+2+1=0x x()211x += ()2+1=0x 11x +=± 12==1x x -11x +=或11x +=- 1202x x ==-，总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为2()x m n +=的形式； ④求解：若0n ≥时，方程的解为x m n =-±，若0n <时，方程无实数解配方法是一种重要的数学方法，运用配方法解一元二次方程，就是通过配方把方程变成2()x m n +=（0n ≥）的形式，再用直接开平方法求解，当0n <时，方程无实数解．．．． （1）“将二次项系数化为1”是配方的前提条件，第三步配方是关键也是难点．（2）配方法是一种重要的数学方法，它不仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数以及到高中学习二次曲线时还会经常用到，应予以重视．避免后续学习二次函数时出错．【例5】 用配方法解方程：⑴ 2420x x ++=； ⑵ 211063x x +-=； ⑶ 23123y y +=；夯实基础知识导航模块三 配方法解一元二次方程⑷ 221233x x += ⑸ 2++5=0x x【例6】 用配方法解关于x 的方程 ⑴ 20x px q ++=（p q ，为已知常数）；⑵ 20ax bx c ++=（a 、b 、c 为常数且0a ≠）模块四 因式分解法解一元二次方程能力提升定 义示例剖析因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，即：若0ab =，则0a =或0b =； 解方程：20x x -= 解：()10x x -= 则0x =或10x -= ∴0x =或1x = 因式分解法的一般步骤：⑴ 将方程化为一元二次方程的一般形式； ⑵ 把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0；⑶ 令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程； ⑷ 解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方 程的两个根． 总结：1．因式分解法把一元二次方程作为两个一元一次方程来求解，体现了一种“降次”的思想．2．将方程右边变形为0，左边化为()()0ax b cx d ++=的形式． 3．因式分解法是比前两种简单的一种方法，若能用此法优先考虑． 4．便于计算，先把方程整理成一般形式且首项为正号．．． 注意：1.解方程时，不能两边同时约去含未知数的代数式2.因式分解法的前提是方程一边等于0，此前提不成立时常得出错误答案【例7】 用因式分解法解方程：⑴ 23x x =； ⑵ 22230x x -=；⑶ ()()21210x x -+-=； ⑷ ()23242x x x -=-夯实基础知识导航⑸ ()()21211x x ---=- ⑹ ()()224320x x +--=【例8】 已知a 是一元二次方程2210x x --=的根，求223352a a a --++的值．真题赏析知识模块一 一元二次方程的概念 课后演练【演练1】 ⑴ 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是___________．⑵ 若方程2220kx x k k +-+=有一个根是0，则k 的值是____________．⑶ 如果12x =是关于x 的方程22320x ax a +-=的根，那么关于y 的方程23y a -=的根是________________．⑷ 已知3-是关于x 的方程22310x x a --+=的一个根，则31a -的值是_____________．⑸ 已知方程20x bx a ++=有一个根是()0a a -≠，则a b -的值是_________________．知识模块二 直接开平方法解一元二次方程 课后演练【演练2】 ⑴已知一元二次方程20ax bx c ++=的一个根为1，且a b 、满足等式223b a a =-+--，求方程2104y c -=的根．⑵用直接开平方法解方程：① ()22340x +-= ② ()241x k +=知识模块三 配方法解一元二次方程 课后演练【演练3】 用配方法解方程：⑴ 2210x x --=； ⑵ 2660y y -+=；⑶ 23610x x -+=； ⑷ 2568x x =+实战演练11 初二寒假·第1讲·尖子班·学生版【演练4】 用配方法解关于x 的方程：220x x k -+=知识模块四 因式分解法解一元二次方程 课后演练【演练5】 选择适当的方法解方程：⑴ ()190x x x +--=； ⑵ 22224x x -=；⑶ ()()222x x x -=-；⑷(20x x -+； ⑸ 2414x x +=；⑹ ()()23230x x x -+-=；第十六种品格：感恩生活是什么？我们苦苦追寻。
金钥匙学校初三寒假班数学讲义(二) 李老师主讲
08-09寒假初三数学讲义-------第二讲图形变换问题（二）学生用1. （07烟台）将n 个边长都为lcm 的正方形按如图所示的方法摆放，点A 1，A 2，……，A n 分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为（）A ．14cm 。
B ．4n cm 2 Ｃ．14n -cm 2 D ．1()4ncm 22．如图，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转n后得到正方形AEFG ，边EF 与CD 交于点O ．（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互．．．．相垂直．．．，并说明这两条线段互相垂直的理由； （2）若正方形的边长为2cm ，重叠部分（四边形AEOD2，求旋转的角度n ． 解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是______和______． 理由如下： （2）3．如图，在等腰三角形ABC 中，120ABC ∠=，点P 是底 边AC 上一个动点，M N ，分别是AB BC ，的中点，若 PM PN +的最小值为2，则ABC △的周长是（ ） A ．2B．2C ．4D．4+ABCPM NCP Q4．O 是正方形ABCD 的中心,O 是CD 上的一点.DP AQ ⊥.PD 交 BC 于P,连OP,OQ,PQ,确定POQ ∆的形状,并证明你的结论.．5．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠= ，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值． 小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值； （2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．D A BE F C P G 图1 D C G PA B F图2（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<< ，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）． 解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是 ；PGPC= ． （2） ．6．如图13，已知△ABC 与△DCE 是两个相似的等腰三角形，底边BC 、CE 在同一条直线上，且∠BAC=21∠ABC ，DC=BC ，连结BD 、AD,BD 与AC 相交于点F.（1）试探究：线段AC 和BD 之间的大小关系.并证明你的结论；（2）试指出两对以点B 为旋转中心通过旋转变换可以互相得到的三角形，并说出旋转角； （3）如果AB=2，试求DE 的长.7.已知，ABC △是等边三角形，将一块含30角的直角三角板DEF 如图放置，让三角板在BC 所在的直线l 上向右平移．当点E 与点B 重合时，点A 恰好落在三角板的斜边DF 上． 问：在三角板平移过程中，图中是否存在与线段EB 始终相等的线段（假定AB AC 、与三角板斜边的交点为G H 、）？如果存在，请指出这条线段，并证明；如果不存在，请说明理由．（说明：结论中不得含有图中未标识的字母）．8．（08福州）如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如E B N C F（第22题）果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．9．(2007北京)如图，已知△ABC ．⑴请你在BC 边上分别取两点D ，E （BC 的中点除外），连结AD ，AE ，写出使此图中只存在两对．．．．．面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB+AC>AD+AE ．CB A。
金钥匙学校(东城)初一年级数学期末串讲讲义
初一期末复习一、 有理数 （一）选择题1．离太阳最远的冥王星和海王星是非常寒冷的世界。
冥王星的背阴面温度低至－2530C ，向阳面也只有－2230C.冥王星背阴面的温度比向阳面的温度低（ ）．A ．-300C B.300C C.-4760C D.4760C2．2007年10月24日中国月球探测工程“嫦娥一号”卫星发射成功.已知地球距离月球表面384000千米，那么这个距离用科学记数法（保留三个有效数字）表示应为 ( ) ．A ．3.84×104千米B ．3.84×105千米C ．3.84×106千米D ．38.4×104千米 3.对于以下几种说法，其中正确的说法个数是（ ）．①平方等于本身的数是1 ； ②任何一个有理数加上它的相反数都等于0；③如果|a|=|b|，那么a=b ； ④两个负数相加一定等于负数；⑤立方等于本身的数是0和1 ； ⑥有理数的平方是非负数. A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个4．若a 、b 为有理数，a>0，b<0，且│a │<│b │，那么a ，b ，—a ，—b 的大小关系是（ ）A.b< —a< —b<aB.b< —b< —a<aC.b< —a< a<—bD.—a< —b < b <a5、下列说法：①正数的绝对值是正数；②两个数比较，绝对值大的反而小；③任何一个数的绝对值都不会是小于0的数；④任何一个整数的绝对值都是自然数其中说法正确的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 6．下列各数互为相反数的是（ ）A.—32与23B.32与(—2)3C.(—3)2与—32D.—32与—(—3)27．当0<x<1时，x 2，x ，1x的大小关系是（ ） A 、x 2＜x ＜1x B 、1x ＜x 2＜x C 、x ＜1x ＜ x 2 D 、x ＜x 2＜1x8、若x+|x|=0，则x 一定是 （ ）A 、正数B 、负数C 、正数或零D 、负数或零 （二）、填空题 1.已知∣a-1∣与(b+2)2互为相反数,则(a+b)2007+a2008的值 .2.有理数a 、b 、c 在数轴上对应的点分别是A 、B 、C ，其位置如图所示，试化简a b c a b c c ++-++-= .3、 有一种"二十四点"的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如1，2，3，4可作运算：(1+2+3)×4=24.（注意上述运算与4×(1+2+3)应视作相同方法的运算）现有四个有理数3，4，-6，10.运用上述规则写出运算式，使其结果等于24，运算式如下： _________4.一张长方形的桌子可坐6人，按下图将桌子拼起来。
金钥匙学校(东城)初二年级寒假数学讲义梁老
O P Q xyA BC DEFxyo第十讲 综合练习例1、（06 张家界）若双曲线2y x=过两点()11y -，，()23y -，，则有1y ________2y （可填“>”、“=”、“<”）．例2、（2007年内江）已知△ABC 的三边a b c ，，满足：2|12|102422a b c a b ++--=+--，则△ABC 为（ ）A ．等腰三角形B ．正三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形例3、(06南通）如图，直线(0)y kx k =>与双曲线4y x=交于1122()()A x yB x y ，，，两点，则122127x y x y -的值等于 ．例4、（2006兰州课改）如图，1P ，2P ，3P 是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形11P A O ，22P A O ，33P A O ，设它们的面积分别是1S ，2S ，3S 则（ ）． Ａ．123S S S <<Ｂ．213S S S <<Ｃ．132S S S <<Ｄ．123S S S ==例5、（08一模西城）.如图,若正方形OABC,ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上， 点F 在AB 上，点B 、E 在函数1y x=（0x >）的图象上，则点E 的坐标是（ ）. A. 5151(,)+- B. 5151(,)-+ C. 3535(,)-+ D. 3535(,)+-例6、如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则它的解析式是_______.yAOBx例7、如图：一次函数b ax y +=的图像与反比例函数xky =的图像交于)n ,21(B )1,(、m A 两点，且5OA =．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．x 的取值范围．练习：1、（2006 兰州课改）已知一次函数132y x k =-的图象与反比例函数23k y x-=的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6．（1）求两个函数的解析式；（2）结合图象求出12y y <时，x 的取值范围．2、（2006湖北课改）如图，直线112y x =+分别交x 轴，y 轴于点AC ，，点P 是直线AC 与双曲线ky x =在第一象限内的交点，PB x ⊥轴，垂足为点B ，APB △的面积为4．（1）求点P 的坐标； （2）求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点Q 的坐标．例8、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在BC 上，且∠DAE=45°，求证：222DE BE CD =+例9、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC 的度数．例10、将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在x 轴上，OA=6，OC=10．（1）如图1，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点，求E 点的坐标；（2）如图2，在OA 、OC 边上选取适当的点E '、F ，将OF E '∆沿E 'F 折叠，使O 点落在AB 边上的点D '，过D '作G D '∥AO 交E 'F 于T 点，交OC 于G 点，求证：E A TG '=； （3）在（2）的条件下，设),(y x T ．①探求：y 与x 之间的函数关系式；②指出变量x的取值范围．图1 图2CBA小学二（2）班班规一、安全方面1、每天课间不能追逐打闹。
学而思寒假八年级尖子班讲义第1讲平行四边形性质、判定
1 平行四边形性质、判定目标1 掌握平行四边形的性质 目标2 掌握平行四边形的判定目标3 应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题【专题简介】与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏观的建筑物、开关自如的栅拦门、别具一格的灵柩••••••现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。
从本讲开始，我们将依次学习平行四边形、举行、菱形、正方形的概念，并在理解她们的基础上，利用已有的几何知识和方法，搜索并证明他们的性质定理和判定定理:进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，即通过观、类比、特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们模块一 平行四边形的性质 知识导航 定义示例剖析平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）:平行四边形的表示：一般按照一定的方向依次表示各项点:如右图的平行四边形不能表示平行四边形ACBD ，也不能表示平行四边形ADBC叫做平行四边形四边形ABCD ⇒⎭⎬⎫BC // AD CD // AB 记作□ABCD性质示例剖析①平行四边形的对边平行；四边形ABCD 为平行四边形⇒AB ∥DC ， AD ∥ BC ．②平行四边形的对边相等：四边形ABCD 为平行四边形⇒AB ∥DC ， AD ∥ BC ．③平行四边形的对角相等∠B=∠D④平行四边形的对角线互相平分四边形ABCD为平行四边形 OA=OC，OB=OD【例1】如图，D为平行四边形ABCD的对角线的交点：过O点作直线EF 分别交CD、AB于点E、F．(1)求证：OE= OF；(2)若AB =5，BC =4，OE= 1.5，求四边形EFBC的周长。
(3)若S四边形CEFB= 10，求S□ABCD．【练】如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F，求证：DE=BF.【总结】：由【练】的结论可知，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离，【思考】：两条平行线之间的距离、点与点之间的距离、点到直线的距离有何区别和联系？【例2】如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E.G两点，CE、BG交于点o.(1)求证：AG= DE：(3)在(2)的条件下，求OE²+OG²的值【练】（2015年汉阳区八下期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6, ∠BAD的角平分线与BC的延长线交于点E、与DC交于点F，且点F 为边DC的中点，∠ADC的角平分线交AB于点M，交AE于点N,连接DE(1)求证：BC-=CE(2)若DM=2，求DE的长【例3】如图，在平行四边形ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O、OE⊥BD交AD于点E点．①求证：OB平分∠CBE：②若平行四边形ABCD的周长为20，求△ABE的周长.【练】（2015年武汉六中八下期中）如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点D，周长为20cm, ABOC的周长比△AOB的周长长2cm，则AB=________．【例4】如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是AD、AB上的点，且BM=DN，其交点为P，设∠CPB=a，∠CPD=β，求α和β的大小关系？【练】如图，由25个点构成的5x5的正方形点阵中，横纵方向相邻的两点之间的距离都是1个单位．定义：由点阵中四个点为顶点的平行四边形叫阵点平行四边形．图中以A、B为顶点，面积为2的阵点平行四边形的个数为______【拓】I、如图，E是平行四边形ABCD内一点，且ED⊥CD，EB⊥CB，∠AED =135．（1）求证：∠ADE= ∠ABE；（2）求∠EAB的度数：（3）求证：EB= BC：（4）猜测AB- DE与AE的数量关系并证明2、（2012年武汉市中考第12题）在面积15的平行四边形ABCD 中，过点A 作AE 垂直于直线BC 于点E ，作AF 垂直于直线CD 于点F ，若AB=5, BC=6，求CE+CF 的值．模块二 平行四边形五大判定 判定实例剖析①定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形叫做平行四边形四边形ABCD ⇒⎭⎬⎫CD // AB BC // AD②一组对边平行且相等的四边形式平行四边形叫做平行四边形四边形ABCD ⇒=⎭⎬⎫CD AB CD // AB③两组对边分别相等的四边形是平行四边 形．叫做平行四边形四边形ABCD ⇒==⎭⎬⎫BC AD CD AB④两组对角分别相等的四边形是平行四边 形．叫做平行四边形四边形ABCD ⇒∠=∠∠=∠⎭⎬⎫D B C A⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形叫做平行四边形四边形ABCD ⇒====⎪⎭⎪⎬⎫BD 21OD OBAC 21OC OA【例5】对于下列说法，正确的请给出证明，错误的请举出反例． （1）—组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形（2）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形（3）一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形（4）一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形 （5）一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（6）凸四边形的每一条对角线都平分四边形的面积，则这个四边形是平行四边形（7）一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平形四边形．【练】如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为AD. BC上的点，且BF=DE，连接AF. CE. BE. DF．AF与BE招交于M点，DF s与CE相交于N点，求证：四边形FMEN为平行四边形．【例6】如图，在平行四边形ABCD的四边上分别取AE= CF，DM=BN，求证：EF与MN互相平分【练】如图，平行四边形ABCD的对角线AC. BD交于O点，点E.F在AC上，点G、H在BD 上，且AF= CE，BH =DG．求证：四边形EHFG为平行四边形．【例7】如图，E ，F 分别为△ABC 的边AB ，AC 的中点，求证：FE ∥BC ，EF=21BC 【练】如图，F 为△ABC 的边AC 的中点，FE ∥BC ，求证：E 为AB 的中点且EF= 21BC【总结】：（1）中位线：在△ABC 中，E ，F 分别为边AB 、AC 的中点，连接EF ，像EF 这样，连接 三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．（2）三角形中位线定理：三角形中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【例7】和【练】是中位线定理及其推论的证明【例8】已知：如图，在等边△ABC 中，D 、F 分别为CB 、BA 上的点，且CD=BF ，以AD 为边 作等边三角形ADE.求证：(1)△ACD ≌△CBF; (2)四边形ＣＤＥＦ为平行四边形如图，△ACD、△ＡＢＥ、△BCF均为直线BC同侧的等边三角形．当ＡＢ≠ＡＣ时，证明四边形ADFE为平行四边形．【拓】(I)如图，平行四边形ABCD，以AC为边在两侧各作一个等边△ACP. △ACQ．求证：四边形BPDQ为平行四边形(2)如图，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，且BC⊥CD．求证：∠AFB=45°且AE=2BD．第一讲平行四边形性质、判定课后作业1.【2014武珞路期中】平行四边形ABCD中，BC=10，AC与BD交于O，A0=4，B0=7，△ABC比△DBC 周长小（）A.3B.4C.5D.62．【2014武珞路期中】下列条件能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A. ∠A=∠B,∠C-=∠DB. AB∥CD,AD=BCC. AB∥CD,∠A=∠CD. AO=BO,CO=DO3．【2014汉阳期中】平行四边形的一边长为10 cm，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（）A．4cm和6 cm B.6 cm和8 cm C. 20 cm和30 cm D.8 cm和12cm4．【2014汉阳期中】lA、B、C、D在同一平面内，从：①AB∥CD;②AB=CD；③BC//AD; ④BC=AD，这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边A．3种B．4种C．5钟 D.6种5．下列说法中错误的是( )．A. 平行四边形的对角线互相平分B．有两对邻角互补的四边形为平行四边形C. 心对角线互相平分的四边形是平行四边形D．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形6.【2014武珞路期中】平行四边形ABCD中，AD=12，BD=10，AC=26，则四边形ABCD的面积是_________.2，7．【2014武珞路期中】在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC= 5则平行四边形ABCD的周长等于______.8.【2014武昌区期中】如图，平行四边形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，且DE= BF.(1)求证：OE=OF (2)求证：AF= CE.9．【2014二中期中】如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC ,DF平分∠ADC，求证：四边形DEBF是平行四边形10. ▱ABCD中，BD8为对角线，点G、H分别在BA、DC的延长线上，且AG=CH，E、F是BD上两点，BE=DF，求证：四边形GEHF为平行四边形.11. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BCD和∠ABC的角平分线交于点O，BO和CD的延长线交于E．(1)求证：C0⊥BE；(2)求证：BO =EO。
平行四边形的性质和判定
平行四边形的性质和判定一、 知识梳理1、 平行四边形的定义、性质及判定2已知条件选择的判定定理边一组对边相等一组对边平行角一组对角相等 对角线平行四边形 定义性质 判定边角对角线（第12题）E OC图3 常见判定方法的辨析()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧)(.7;.6.5,.4.3.2.1条对角线平分；两顶点的对角线被另一一组对角相等该对角的角相等一组对边相等且一组对相平分；角线被另一条对角线互一组对边相等且一条对另一组对边相等；一组对边平行一条对角线；两顶点的对角线平分另一组对角相等该对角的分；角线被另一条对角线平一组对边平行且一条对角相等；一组对边平行且一组对3、平行四边形的面积（1） 如图1，()()==ABCDS 平行四边形．即平行四边形S = × =ah (a 是平行四边形任何一边长，h必须是a 边与其对边的距离)．（2）如图2，EBCFABCDS S 平行四边形平行四边形．图1 图2（3）面积计算类型：练习：如图3、平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点O ，E 为AB 边中点，图中与△ADE 面积相等的三角形（不包括△ADE ）共有（ ）个．A 、3B 、4C 、5D 、64、三角形中位线——构造平行四边形(1) 定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．三角形中位线定理的作用：①位置关系：可以证明两条直线平行．②数量关系：可以证明线段的倍分关系．二、 典型例题平行四边形的概念、性质及相关计算例1、（2005 桂林）已知任意直线l 把A B C D 分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l 所在的位置需满足的条件是___ （只要填一个你认为合适的条件）．例2、 （2006 淮安课改）如图，平行四边形A B C D 中，A B 3=，5B C =，A C 的垂直平分线交A D 于E ，则C D E △的周长是（ ） Ａ．6 Ｂ．8 Ｃ．9 Ｄ．10例3、在M B N △中，6B M =，点A ，C ，D 分别在M B ，B N ，N M 上，四边形A B C D 为平行四边形，N D C M D A =∠∠，A B C D 的周长是（ ） Ａ．24 Ｂ．18 Ｃ．16 Ｄ．12例4、如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，AC+BD=18，BC=6，则△AOD 的周长为 ．1题 2题 3题 4题例5、（08山东潍坊）在平行四边形A B C D 中，点1A ，2A ，3A ，4A 和1C ，2C ，3C ，4C 分别是A B 和C D 的五等分点，点1B ，2B 和1D ，2D 分别是B C 和D A 的三等分点，已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形A B C D 的面积为（ ）A ．2B ．35C ．53D ．15例5 例6例6、 (2006 河北课改)如图，在A B C D 中，53A D A B ==，，A E 平分B A D ∠交B C 边于点E ，则线段B E EC ，的长度分别为（ ） Ａ．2和3 Ｂ．3和2 Ｃ．4和1 Ｄ．1和4例7、(2008年西宁市) 如图已知：平行四边形A B C D 中，B C D ∠的平分线C E 交边A D 于E ，A B C ∠的平分线B G 交C E 于F ，交A D 于G ． 求证：AE D G =．例8、（2006 长春课改）如图，在A B C D 中，E 为B C 边上一点，且A B A E =． （1）求证：A B C E A D △≌△．（2）若A E 平分D A B ∠，25EAC =∠，求A E D ∠的度数．A CD C A B MN OD CB A EC B A BCDE FGD 1D 2A 1 A 2 A 3 A 4B 1B 2C C C C BA B C E例9、（2005 黑龙江课改）如图，E 、F 是 ABCD 对角线BD 上的两点，请你添加一个适当的条件： ，使四边形AECF 是平行四边形．例10、（2005 山东）如图，在A B C D 中，对角线AC BD ，相交于点O ，E F ，是对角线A C 上的两点，当E F ，满足下列哪个条件时，四边形D E B F 不一定是平行四边形（ ）Ａ．O E O F =Ｂ．D E BF =Ｃ．A D E C B F ∠=∠ Ｄ．A B E C D F ∠=∠例11、（2006 南京课改）已知：如图，在A B C D 中，E F ，分别是A B C D ，的中点． 求证：（1）AFD C EB △≌△；（2）四边形AEC F 是平行四边形．例12、（2006黄冈）如图，D B A C ∥，且12D B A C =，E 是A C 的中点，求证：B C D E =．例13、(2008年湖州市) 如图，在A B C △中，D 是B C 边的中点，F E ，分别是A D 及其延长线上的点，C F BE ∥．（1）求证：B D E C D F △≌△．（2）请连结B F C E ，，试判断四边形B E C F 是何种特殊四边形，并说明理由．ED AＡ D EBC B A F ED CA BO F E例14（08西城一模） 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F. 若PE=PF ，且AP+AE=CP+CF. （1）求证：PA=PC ； （2）若AD=12，AB=15，60DAB ︒∠=，求四边形ABCD 的面积.例15、如图，E 、F 分别是ABCD 的边AD 、 BC 上的点，且AE=CF (1)求证：△ABE ≌△CDF ；(2)若M 、N 分别是BE 、DF 的中点，连接MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形？并证明例16、（2008年甘肃）如图，在ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE 的延长线与BC 的延长线相交于点F ．(1)求证：△ADE ≌△FCE ；(2)连结AC 、DF ，则四边形ACFD 是下列选项中的（ ）．A ．梯形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形例17、如图，四边形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，CE 、CF 交BD 于G 、H ，若G 、H 为BD 的三等分点，证明四边形ABCD 为平行四边形.HGEBC D PE F N M D C BF ADCFE例18、已知AD 是△ABC 的中线，E 为AC 上一点，连线BE 交AD 于F ，且AE ＝FE ，求证：AC ＝BF例19、六边形ABCDEF ，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°,AB=20,BC=40,CD=30,DE=25,求AF 和EF 的长三、能力训练1、 (2006 广东课改)如图所示，在A B C D 中，对角线AC BD ，交于点O ，下列式子中一定成立的是（ ） A ．A C B D ⊥ B ．O A O C = C ．A C B D = D ．AO O D =2、. (2006 河北)如图，在四边形A B C D 中，A B C D B C A D ==，，若110A =∠，则_____=C ∠．3、. (2006 佛山课改)如图，在平行四边形ABC D 中，A C B D ，相交于点O ．下列结论中正确的个数有（ ） 结论：①O A O C =，②B A D B C D ∠=∠，③A C B D ⊥，④180BAD ABC ∠+∠= ． Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．4个1题 2题 3题 4、不能判定四边形是平行四边形的条件是（ ）A 、AB=CD AD=BC ；B 、A B ∥CD AB=CDC 、AB=CD A D ∥BC ； D 、A B ∥CD A D ∥BC 5、（2005 天津）如图，在A B C D 中，EF AB ∥，G H A D ∥，EF 与GH 交于点O ，则该图中的平行四边形的个数共有 （ ） Ａ．7个 Ｂ．8个 Ｃ．9个 Ｄ．11个6、（08北京）ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE=2cm,则BC =______cm ．A C OA B C D O B CB ACD F EDBC7、在平行四边形ABCD 中, ∠B=110O,延长AD 至F,延长CD 至E,连接EF,则∠E+∠F=( )A 110OB 30OC 50O D70O5题 7题 8题8、（08湖南怀化）如图，在平行四边形ABCD 中，DB=DC 、 65=∠A ，CE ⊥BD 于E ，则=∠BCE ． 9、（08四川达州）如图，一个四边形花坛A B C D ，被两条线段M N EF ，分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是1234S S S S ，，，，若M N A B D C ∥∥，E F D A C B ∥∥，则有（ ）A ．14S S =B ．1423S S S S +=+C ．1423S S S S =D ．都不对9题 11题10、（2005宿迁）已知点(20)A ，、点B （12-，0）、点C （0，1），以A 、B 、C 三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在 （ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限11、如图,在等腰ABC Rt ∆中,AC=BC,以斜边AB 为一边作等边ABD ∆,使点C,D 在AB 的同侧;再以CD 为一边作等边CDE ∆,使点C,E 落在AD 的异侧.若AE=1,则CD 的长为（ ） 31-312- C 62-622-12、（2008年广东） 如图所示，已知等边三角形ABC 的边长为1，按图中所示的规律，用2008 个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是13、（2005 贵阳课改）在一次数学探究活动中，小强用两条直线把平行四边形A B C D 分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等．（1）根据小强的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有 组； （2）请在图９的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线； （３）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么特征？Ｄ Ｃ ＦＯＥＧＢ C AB ┅┅ 红 紫 白黄 D M AFE C N B Ａ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ ＢＡ ＤＢ14、（2005 四川泸州大纲）如图，在A B C D 中，两条对角线相交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是OA ，OB ，OC ，OD 的中点，以图中的任意四点（即点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，O 中的任意四点）为顶点画两种不同的平行四边形．第一种： 第二种：15、（2005 佛山课改）已知任意．．四边形A B C D ，且线段A B 、B C 、C D 、D A 、A C 、B D 的中点分别是E 、F 、G 、H 、P 、Q ．（1）若四边形A B C D 如图①，判断下列结论是否正确（正确的在括号里填“√”，错误的在括号里填“×”）．甲：顺次连接E F 、F G 、G H 、H E 一定得到平行四边形； （ ） 乙：顺次连接EQ 、Q G 、G P 、P E 一定得到平行四边形． （ ）（2）请选择甲、乙中的一个，证明你对它的判断．（3）若四边形A B C D 如图②，请你判断（1）中的两个结论是否成立？16、（2006 荆州课改）A B C D 中，2A B B C =，E 为D C 的中点，A E 与B C 延长相交于点F ． 求证：F FAB =∠∠． 17、（2006 贵阳课改）如图，在平行四边形A B C D 中，对角线A C ，B D 相交于点O ，AF BD ⊥，C E B D ⊥，垂足分别为F ，E ．（1）连接A E ，C F ，得四边形A F C E ．试判断四边形A F C E 的形状？（2）请证明你的结论．B F A O EA D E F CB BCD O F G HE · · · · B CD O F G H E· · · · 图② A D C B F B A D C H P 图① GQA E F D P A CH I GFEOA QB D 18、（2006 贵港）如图，ABCD ∥，A B C D =，点BEF D ，，，在同一直线上，B A E D C F =∠∠． （1）求证：A E C F =；（2）连结AF EC ，，试猜想四边形A E C F 是什么四边形，并证明你的结论．19、 （2005 浙江课改）如图，在平行四边形A B C D 中，B ∠，D∠的平分线分别交对边于点E F ，，交四边形的对角线A C 于点G H ，．求证：A H C G =．20、如图是某城市部分街道示意图，AF ∥BC ，EC ⊥BC ，BA ∥DE ，BD ∥AE ，EF ＝FC ，甲乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲的路线是B →A →E →F ，乙的路线是B →D →C →F ，两车速度相同，无耽误时间，谁先到F 站？21、在等边三角形ABC 内，有一动点P ，过P 作ED ∥AB ，HI ∥BC ，GF ∥AC ，已知等边三角形ABC 的边长为a ，请问：ED ＋HI ＋GF 的长度是否唯一定值，如果是，该定值为多少？22、平行四边形ABCD 中，△ACP 和△ACQ 是正三角形， 求证：四边形BPDG 是平行四边形A BC D E F A B D EG H F。
学而思寒假八年级尖子班讲义第5讲函数基本概念
数学故事抛硬币的概率硬币除了可以买东西，也可以用来解决各种争端．据说，遇到不可调解的分歧的时候，为了作出决定，人们的首选是猜拳，其次是抛硬币．足球场上开球方的决定，习惯上也用硬币决定的．然而，硬币正反不一样！如果硬币两面是完全一样的，显然掷出正面或者反面的可能性是均等的．我们常说，正反面出现的概率都是0.5．那么，这里的“概率”是什么意思呢？如果我们不停地投掷硬币，并记录下每次的结果，我们会发现正面出现的数量大约是全部的一半．投掷的次数越多，“出现正面”所占的比例就越接近0.5．这就是概率的含义：如果在许多次独立的试验中，某个特定的事件发生的比例会逐渐趋近一个特定的数值，那么这个数值就被称为这个特定事件的概率．我们可能觉得掷硬币时，正反面出现的概率是一样的，其实不然．由于设计的原因，硬币正反面的花纹是不一样的，从而也导致了重心与中心的微小偏差．以人民币一元硬币来说，正面是代表面额的1字，反面是菊花，重心稍微偏向反面；欧元就更麻烦了，不同的铸币厂会铸出不同的背面花纹，重心偏向也因这些花纹而异．由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有些偏差．幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，在日常生活中往往可以忽略不计．尽管可以忽略不计，但有没有办法修正这个偏差昵？换句话说，能不能找到一个方法，让有偏差的硬币产生无偏差的结果呢？假设某枚硬币掷出正面的概率是p，我们用以下的方法产生抛硬币的结果：掷两次硬币，如果两次的结果相反的话，取后掷出的为结果；否则重新掷两次．更具体地说，如果结果是“反正”的话，那就当作掷出了正面，如果是“正反”的话，那就当作反面，如果是“正正”或者“反反”的话，那就重新再来．这样的话，在一次尝试中，结果为正面和反面的概率都是p(1－p)，结果是完全公平的．正反抵消不容易掷100次硬币，正面和反面相差多少次昵？1000次昵？10000次呢？现实中的硬币，掷出正反面的概率略有偏差，但差别之小可以看作相同．你可能会觉得，掷出正面和反面的数目有很大概率是相等的．但事实如何？虽然根据概率论中的大数定律，正反面出现次数的比应该很接近1，但这不代表正反面数目刚好抵消的概率很大．打个不太恰当的比方，地铁相对来说是很准时的，但是要它一天提前或者延误的时间刚好抵消的话，还是相当困难的．尽管得到正面和反面的概率相同，但是要它们恰好相互抵消，这也需要一点运气．稍稍用点数学知识可以知道，掷2n交硬币，恰好有n次正面n次反面的概率大概是l/nπ．当n越来越大，这个概率越来越趋近0．也就是说，虽然正反面出现的概率相同，但是它们恰好相等的概率会随着硬币的总次数变低，最后越来越接近0．所以说，在表达数学问题时，一定要用精确的语言．意思上一点点微小的变动，也会产生截然不同的结果．我们说投掷硬时出现正面的概率是0.5，说的是在许许多多次投掷后，结果中正面所占的比例会非常接近0.5，投掷次数越多，比例越接近0.5．但这并不是说比例会非常凑巧地稳稳停在0.5．实际上，在很多情况下，这个比例会不停地在0.5周围浮动，但浮动的幅度会越来越小，也会越来越靠近0.5．某几次投掷之后正面恰好一半，这种情况发生的机会反而很小．领先中考培优课程5函数基本概念知识目标模块一函数的基本概念题型一函数的概念知识导航“万物皆变”——行星在宇宙中的位置随时间而变化，气温随海拔而变化，树高随树龄而变化……生活中，这种一个量随另一个量的变化而变化的现象大量存在．思考下面几个具体的例子：⑴电影票的售价为10元/张，第一场售出150张票，第二场售出205张票，第三场售出310张票，三场电影的票房收入各是多少元？设一场电影售出x张票，票房收入为y元，y 的值随x的变化而变化吗？⑵某地的手机通话费为0.2元/min，小明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为w元．w的值随t的变化而变化吗？⑶水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，圆面积为S，圆周率为π．S的值r 的变化而变化吗？我们引入下列概念：概念一：变量与常量变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量为变量常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量在⑴中，可以发现：x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应．例如，若x＝150，则y＝1500；若x＝205，则y＝2050；若x＝310，则y＝3100．在⑵中，可以发现：w和t是两个变量，每当t取定一个值时，w就有唯一确定的值与其对应．它们的关系式为w＝30－0.2t．据此可以算出t分别为50，100，120时，w分别为20，10，6．在⑶中，可以发现：r和S是两个变量，每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与之对应．它们的关系为S＝πr2．据此可以算出r分别为10cm，20cm，30cm时，S分别为100πcm2，400πcm2，900πcm2．我们引入下列概念：概念二：函数一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数，如果当x＝a时y ＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．特别的，自变量的取值范围是考试的重点，不仅仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义．概念三：解析式像w＝30－0.2t，S＝πr2这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方法，这种式子叫做函数的解析式．例11．下列变量之间，不是函数关系的是( )A ．长方形的长一定，其面积与宽B ．正方形的面积与周长C ．等腰三角形的面枳与底边的长D ．圆的面积与直径的长 2．下列关系中，能表示y 是x 的函数的有①y ＝2x ； ②y ＝x 2； ③y 2＝x ； ④y ＝|x |； ⑤|y |＝x ；⑥y ＝1x ．3．(2013年武汉二中八下期末)若函数y ＝x ＋8在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__________． 4．(2013年武昌区八上期末)某养鸡专业户计划用一段长为35米的竹篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场地，如图所示，墙长为20米，BC 边有一个宽为1米的木门(木门用其它材料做不占用竹篱笆)，设养鸡场AB 边的长为x 米，BC 边的长为y 米，BC 的长度不小于10米且不超过墙长，求y 关于x 的函数解析式及x 的取值范围练1．下列关系中，y 不是x 的函数的是( )．A ．y ＝x ＋1B ．y ＝2xC ．y ＝xD ．|y |＝x 2．函数y ＝x －3x+1的自变量x 的取值范围是_________． 3．已知一个长方形的周长为20cm ，设长方形的一条边长为x ，面积为y ，则y 与x 的函数关系为___________(写出x 的取值范围)．题型二 函数的图象有些问题中的函数关系很难列式子表示，但是可以用图象来直观反映，例如用心电图表示心脏部位的生物电流与时间的关系．即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观．函数图像：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．问题探究：画出函数y ＝x ＋1的图象．第一步：列表，在表格中给出一些自变量的值及其对应的函数值．第二步：描点，在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描墙AB CD出表格中数值对应的各点．第三步：连线，按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．练习：⑴画出函数y＝x2的图象．⑵画出函数y＝|x－1|的图象．例2⑴(2013年研口区八下期末)下列各曲线中，不表示y是x的函数关系的是( )⑵如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面图像中，能大致表示水的最大深度h 与时间t 之间的关系的是( )例3甲、乙两车从A 城出发前往B 城，在整个行程中，汽车离开A 城的距离y 与时刻t 的对应关系如图所示．⑴A ，B 两城相距多远？⑵哪辆车先出发？哪辆车先到B 城？ ⑶甲、乙两车的平均速度分别为多少？练(2012年江岸区八下期末)如图，李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，结果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y (千米)与行进时间t (小时)的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是()例4(2015年武汉中考)如图所示，购买一种苹果，所付款金额y (元)与购买量x (千克)之间的函数图象由线段OA 和射线AB 组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省________元．)))))A练(2011年武汉中考)一个装有进水管和出水管的容器，从某一时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，再打开出水管放水，至12分钟时，关停进水管．在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y (单位：升)与时间x (单位：分钟)之间的函数关系如图所示，关停进水管后，经过_________分钟，容器中的水恰好放完．拓(2012年武汉中考)甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人的距离y (米)与乙出发的时间t (秒)之间的关系如图所示，给出以下结论；①a ＝8；②b ＝92；③c ＝123．其中正确的是__________．函数的三种表示方法：⑴列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律．⑵解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示．⑶图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系．模块二 一次函数))秒) A题型一 正比例函数 知识导航 一、定义；一般地，形如y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数． 二、图像和性质 问题探究：在同一坐标系中画出下列正比例函数的图象． ⑴y ＝2x ；⑵y ＝13x ；⑶y ＝－1.5x ；⑷y ＝－4x .由图象可以发现下列规律：⑴四个函数都是经过______的直线．⑵y ＝2x 和y ＝13x 的图象经过第____________象限，从左到右______．(“上升”或“下降”)；y ＝－1.5x 和y ＝－4x 的图象经过第____________象限，从左到右______．(“上升”或“下降”)． 归纳总结：⑴正比例函数的图像是一条经过原点的直线，我们称它为直线y ＝kx (k ≠0)⑵当k >0时，直线y ＝kx 经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大； 当k <0时，直线y ＝kx 经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 却减小． ⑶由于两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象，一般地，过原点和点(1，k )(k 为常数，k ≠0)的直线，即正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图像． 例5用你认为最简单的方法画出下列函数的图象． ⑴y ＝32x ；⑵y ＝－3x ；⑶y ＝|x |.A练⑴下列函数中，一定是正比例函数的是( )A ．y ＝3x 2B ．y ＝－4xC ．3x ＋y ＝1D ．y ＝1x⑵下面给出的几个函数关系中，成正比例函数关系的是( )A ．正方体的体积与棱长B ．正方形的周长与边长C ．长方形的面积一定，它的长和宽D ．圆的面积和它的半径 ⑶关于函数y ＝x ＋5m －3是正比例函数，则m ＝_________．⑷正比例函数y ＝(3－m )x (脚为常数)，若y 随着x 的增大而增大，则m 的取值范围是____．题型二 一次函数 知识导航 一、定义一般地，形如y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 为常数)的函数，叫做一次函数． 注意：⑴k ≠0；⑵当b ＝0时，y ＝kx ，y 叫x 的正比例函数，故正比例函数是一种特殊的一次函数． 二、图像和性质问题探究一：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)和正比例函数y ＝kx (k ≠0)之间的关系． 在同一坐标系中画出函数y ＝－6x 和y ＝－6x ＋5的图象由图象可以发现下列规律：⑴这两个函数的图象形状都是_______，并且倾斜程度_____________．⑵函数y ＝－6x 象经过原点，函数y ＝－6x ＋5的图象与y 轴交于点_________．即它可以看作由直线y ＝－6x 向______平移________个单位长度而得到． 归纳总结：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象可以由直线y ＝kx 平移|b |个单位长度得到(当b >0时，向上平移；当b <0时，向下平移)一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象也是一条直线，称之为直线y ＝kx ＋b问题探究二：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的性质 在同一坐标系中画出下列函数的图象．⑴y ＝x ＋1；⑵y ＝－x ＋1；⑶y ＝2x ＋1；⑷y ＝－2x ＋1归纳总结：⑴当k >0时，直线y ＝kx＋b 从左向右上升，y 随x 的增大而增大 ⑵当k <0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右下降，y 随x 的增大而减小我们先通过观察发现图象(形)的规律，再根据这些规律得出关于数值大小的性质，这种数形结合的研究方法在数学学习中很重要． 三、图像和性质的深入探究⑴k 表示直线的倾斜程度，也即直线的斜率，如果两条直线(不重合)斜率相等，那么这两条直线平行．⑵b 表示直线与y 轴交点的纵坐标，也即直线在y 轴上的截距． ⑶k 、b 对一次函数y ＝kx ＋b 图像的控制例6⑴当m 为何值时，函数y ＝－(m －2)x m 2－3＋(m －4)是关于x 的一次函数？ ⑵(2016年武昌区八下期末)若一次函数y ＝(m －3)x ＋5的函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是_______． ⑶(2015年武汉二中八下期末)已知一次函数y ＝(m ＋4)x ＋2m －1的图象与y 轴交点在x 轴下方且y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是________． 练⑴当m 为何值时，函数y ＝(m ＋2)x |m |－1＋m －2是一次函数？ ⑵(2015年江汉区八下期末)点(3，y 1)，(1，y 2)在直线y ＝2x ＋1上，则y 1与y 2的大小关系为________． 例7⑴(2015年武昌区八下期末)一次函数y ＝kx －k (k <0)的图像大致是( )⑵(2014年江汉区八下期末)已知正比例函数y ＝kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大，则一次函数y ＝－x －k 的图象大致是( )练⑴若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a <b <c ，则函数y ＝cx ＋a 的图像可能是( )⑵直线y ＝mx ＋n 如图所示，化简：|m －n |－m 2．拓(2015年青山区八下期末)已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过一、二、四象限，则直线y ＝bx －k 的图象可能是( )例8⑴已知一次函数y ＝(m －3)x ＋2m －1的图象经过一、二、四象限，求m 的取值范围． ⑵已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象不经过第三象限，求k 、b 的取值范围练(2014年武汉二中八下期末)已知一次函数y ＝(m －4)x ＋2m ＋1的图象不过第三象限，求m 的取值范围．[课后作业]第5讲函数基本概念1．【2014二中期末】下列函数中，( )是一次函数。
金钥匙工作手册——一对一教务部话术篇
目录第一部分教务岗位工作话术2一、电话约访老师2二、如何面试老师3三、教师招聘的渠道6四、教师培训资料6第二部分班主任岗位工作话术9一、如何与家长进行第一次电话沟通9二、班主任不在时如何处理9三、家长问老师信息时，如何应对10四、课后第一次电话回访10五、家长质疑1对1的学习方式能否高学习成绩12六、学生成绩不提高13七、家长要求换老师14八、续费话术14九、引导学生、家长升级16十、跨年级的单价按照什么标准核算16十一、如何引导学生增加课时消耗17十二、如何引导停课学生复课17第一部分教务岗位工作话术为了统一员工工作标准、规范对客服务流程，培训部特整理并完善了教务部员工在岗位工作中的标准话术，供教务部新、老员工学习和使用。
话术标准一旦统一，教务部工作人员必须严格按照标准规范自己的工作语言，保证在与家长和老师的沟通过程中话术统一，积极树立金钥匙学校的良好企业形象。
一、电话约访老师教务：您好，请问您是教高中化学的王老师吗？老师：我是王老师。
教务：王老师，您好，我这里是北京金钥匙培训学校。
我是在赶集网上（或者说其他途径）看到您的个人信息。
我姓张，是金钥匙学校负责排课的教务老师。
请问您现在还有时间出来带化学课吗？老师：你们是哪个校区的？教务：我们是劲松校区的。
老师：我现在还有时间，你们那课时费能给多少？教务：王老师，您是一线老师吗？老师：我是北京109中学的。
教务：是这样的王老师，您需要先来我们这面试，我才能根据您的面试情况给您定课时费。
老师：你们定课时费的参考标准是什么？教务：王老师，我们给老师定课时费的最基本参考标准是一线和非一线。
一线老师中，又根据老师所在学校级别的不同课时费也有差别（非一线要根据教师职称及授课经历的不同）。
具体定多少，面谈时我需要看一下您的相关证件及专业知识掌握情况。
老师：我哪有时间去你那面试，有学生直接给我打电话吧。
教务：老师，您先别着急，我周二到周日下午13:00-17：00前都在办公室，您有时间随时10分钟 5分钟 5分钟可以过来，咱们聊一下，您也可以更多地了解金钥匙学校。
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x
第十讲 综合练习
例1、（06 张家界）若双曲线2
y x
=过两点()11y -，，()23y -，，则有1y ________2y （可填“>”、“=”、“<”）．
例2、（2007年内江）已知△ABC
的三边a b c ，
，满足：22|1022a b a ++=+，则△ABC 为（ ） A ．等腰三角形 B ．正三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形
例3、(06南通）如图，直线(0)y kx k =>与双曲线4
y x
=交于1122()()
A x y
B x y ，，，两点，则122127x y x y -的值等于 ．
例4、（2006兰州课改）如图，1P ，2P
，3P 是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得到三个三角形11PAO ，22P A O ，33P A O ，设它们的面积分别是1S ，2S ，3S 则（ ）． Ａ．123S S S <<
Ｂ．213S S S <<
Ｃ．132S S S <<
Ｄ．123S S S ==
例5、（08一模西城）.如图,若正方形OABC,ADEF 的顶点A 、D 、C 在坐标轴上， 点F 在AB 上，点B 、E 在函数1
y x
=
（0x >）的图象上，则点E 的坐标是（
）A.
11(,)22
B. 11(,)22
C.
33(
2
2+
D. 33(,22
-
例6、如图，△OPQ 是边长为2
的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则它的解析式是_______.
例7、如图：一次函数b ax y +=的图像与反比例函数x
k y =
的图像交于)n ,21
(B )1,(、m A 两点，且
5OA =．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式．
x 的取值范围．
练习：
1、（2006 兰州课改）已知一次函数132y x k =-的图象与反比例函数23
k y x
-=
的图象相交，其中一个交点的纵坐标为6．（1）求两个函数的解析式；（2）结合图象求出12y y <时，x 的取值范围．
2、（2006湖北课改）如图，直线112y x =+分别交x 轴，y 轴于点A C ，，点P 是直线AC 与双曲线k
y x =
在第一象限内的交点，PB x ⊥轴，垂足为点B ，APB △的面积为4．
（1）求点P 的坐标； （2）求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点
Q 的坐标．
y
例8、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 、E 在BC 上，且∠DAE=45°，求证：2
2
2
DE BE CD =+
例9、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC 的度数．
例10、将一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在x 轴上，OA=6，OC=10．
（1）如图1，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点，求E 点的坐标；
（2）如图2，在OA 、OC 边上选取适当的点E '、F ，将OF E '∆沿E 'F 折叠，使O 点落在AB 边上的点D '，过D '作G D '∥AO 交E 'F 于T 点，交OC 于G 点，求证：E A TG '=； （3）在（2）的条件下，设),(y x T ．①探求：y 与x 之间的函数关系
式；②指出变量x 的取值范围．
C
图1 图2。