《几何学悖论》PPT课件
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第二章 数学悖论 逻辑学悖论PPT课件
能成立的。
13
诡辩有三个特点： 第一，为错误的观点进行辩护； 第二，故意地、有意识地违反逻辑规律、规 则； 第三，似是而非、貌似正确，具有一定的欺骗 性。
诡辩的手法五花八门、不胜枚举。常见的有含
糊其词、模棱两可，偷换概念、偷换论题，虚假论
据，循环论证，以人为据（人身攻击），诉诸权威
等。
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两个大学生找到他们的逻辑学老师问道：“老 师，究竟什么叫诡辩呢？
的思统逻 辑中，三段论占有重要的地位。三段论是由 两个包含着共同项的性质命题推出一个新的 性质命题的推理，又称直言三段论。一个三 段论由三个性质命题所组成，其中前两个是 前提，另一个是结论。
例如：犯罪是触犯刑律的行为， 某人没有触犯刑律的行为， ——————————— 所以某人没有犯罪。
证明或反驳”的问题。 10
反驳是确定某一论证的论题虚假或指出其论 证不能成立的思维过程。
可以根据反驳中是否直接确定对方判断虚假而 将反驳分为直接反驳和间接反驳。直接反驳是引用 已知为正确的判断，直接确定某一判断的虚假性。 直接反驳可以从三个方面着手，即反驳论题、反驳 论据、反驳论证方式。反驳论据就是证明对方的论 据是虚伪的，从而推翻其论据。间接反驳是通过独 立证明与对方的论题或论据相矛盾或相反对的判断 是正确的，然后根据矛盾律由真推假，从而确定对
方的论题或论据的虚假性的反驳方法。
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谬误：
关于谬误有几种不同的解释，一种是泛指人们 在思想上和语言表达中所产生的逻辑错误，另一种 是指由违反逻辑规律和规则而产生的各种逻辑错误， 再一种是仅指由于违反论证规则而产生的各种逻辑 错误。
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所谓诡辩就是有意地把真理说成是错误， 把错误说成是真理的狡辩。用一句简单明了 的话来说，就是有意地颠倒是非，混淆黑白。 玩弄诡辩术的人，从表面上来看，似乎能言 善辩，道理很多。他们在写文章或讲话的时 候往往滔滔不绝，振振有词。他们每论证一 个问题，也总是可以拿出许多“根据”和 “理由”来。但是，这些根据和理由都是不
数学悖论PPT
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讨论
• 不足：生活中难以发现悖论 文献资料不足 在一些问题上面考虑的不够深刻 • 努力方向：上网查询，作报告，去图书馆 查找相关文献 询问相关研究人系列推理看起来好像无懈可击， 可是却导致逻辑上自相矛盾。
有些话，既是对的，又是错的； 有些事，既不是真的，也不是假的。
谢谢大家！
研究步骤
• 第一准备开题阶段：制定计划，撰写开题 报告。负责人：杨健 • 第二调查研究阶段：通过制作悖论图，文 献研究，网络收集资料等方法实施课题研 究。负责人：王继成 吴洋 • 第三总结报告阶段：分析资料，得出结论， 提出可行性建议；写出结题报告，做出展 板。负责人：王恒轩
例：钱包游戏：
• 史密斯教授和两个学生一道吃午饭。教授说： “我来告诉你们一个新游戏。把你们的钱包放在 桌子上，我来数里面的钱。钱少的人可以赢掉另 一个钱包中的所有钱。 • 学生甲想：“如果我的钱多，就会输掉我这些钱； 如果他的多，我就会赢多于我的钱。所以赢的要 比输的多，这个游戏对我有利。” • 同样的道理，学生乙也认为这个游戏对他有利。 • 这个游戏真的对双方都有利吗？
研究数学悖论的目的意义
1)激发学生对数学的学习或研究兴趣 2)促使学生更好地了解某些重要的数学思想 3)开发丰富多彩的数学学习活动 4)帮助学生洞察数学问题(包括悖论)的解决 过程 5)提高学生对现代数学所具有的美妙、多样、 甚至幽默性质的鉴赏力.
研究内容、方法
• 研究内容：生活中的数学悖论 • 研究方法：查阅文献、上网查阅资料、制 作数学悖论图
ห้องสมุดไป่ตู้ 关键词
• 数学悖论 • 科学理论体系 • 逻辑矛盾
背景说明
• 悖论是一个涉及数理科学、哲学、逻辑学、语义学等非常 广泛的论题，对科学发展意义不言而喻。从数学方面来看， 悖论对数学发展的影响是深刻的、巨大的。因而研究悖论 的概念、特征以及对数学发展的影响也就非常必要。 • 数学是一门有趣的学问，严谨中包含着各种各样有趣的 规律。从几条简简单单的公理出发，就可以推理出一整套 的体系。可就是这门严密可靠的学科，却也有着像孩子一 样顽皮的一面。这其中最好的体现，就是悖论的存在。 • 早在两千多年前的古希腊，人们就发现了让人难以解释 的矛盾，用正确的方法去证明一个命题，如果认为这个命 题成立，就会发现它的否定命题也成立。相反的，如果认 为这个命题的否定命题成立，又会发现这个命题成立。这 便使人们产生里难以解释的困惑。随着时光的流逝，越来 越多这样的问题被人们发现，于是，悖论就诞生了。
第一章 逻辑学悖论优秀课件
▪ 更为接近说谎者悖论的是下面这种自相矛盾的话“一切 规则都有例外”和“所有知识都值得怀疑。”
4．一句话和他的反话
▪ M：这句话有几个 字？
▪ 七个字。
▪ 显然原话错了！那 么它的反话就应该 是对的吧，是不是？
4．一句话和他的反话
▪ M：不对，这句语的反话正好是八个字。 所以，它像它原来的话一样是错的。我们 怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢？
2．说谎者悖论
▪ 学生们是否能够解释，为什么这类悖论采 用上述形式表达（即一句话谈的正是它本 身）就变得清晰起来？这是因为它消除了 说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真 话。
2．说谎者悖论
▪ 这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经 说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎， 就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想 了一会儿，就说：“不是。”
▪ 语句：“这句话是错的”。
5．发狂的计算机
▪ M：这台可怜的计算机发起狂来，不断地 打出对、错、对、错的结果，陷入了无休 止的反复中。
5．发狂的计算机
▪ 世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的 计算机，是在1947年由威廉·伯克哈特和 西奥多·卡林制选出来的，那时他们还在哈 佛大学学习。当他们让这台机器评价说谎 者悖论时，计算机便进入反复振荡状态， 陷入了来回倒腾的困境（见马丁·加德纳的 《逻辑机和逻辑图》）。
1．克里特人伊壁孟德
▪ 古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去 完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话 呢！
▪ 一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于 “说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。
▪ 有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱， 据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常 常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。
4．一句话和他的反话
▪ M：这句话有几个 字？
▪ 七个字。
▪ 显然原话错了！那 么它的反话就应该 是对的吧，是不是？
4．一句话和他的反话
▪ M：不对，这句语的反话正好是八个字。 所以，它像它原来的话一样是错的。我们 怎么才能解决这样奇怪的尴尬局面呢？
2．说谎者悖论
▪ 学生们是否能够解释，为什么这类悖论采 用上述形式表达（即一句话谈的正是它本 身）就变得清晰起来？这是因为它消除了 说谎者是否总是说谎，不说谎者总是说真 话。
2．说谎者悖论
▪ 这一悖论作这类变化是无穷的。例如，罗素曾经 说，他相信哲学家乔治·摩尔平生只有一次撒谎， 就是当某人问他：是否他总是说真话时，摩尔想 了一会儿，就说：“不是。”
▪ 语句：“这句话是错的”。
5．发狂的计算机
▪ M：这台可怜的计算机发起狂来，不断地 打出对、错、对、错的结果，陷入了无休 止的反复中。
5．发狂的计算机
▪ 世界上第一台用于解决真正的逻辑问题的 计算机，是在1947年由威廉·伯克哈特和 西奥多·卡林制选出来的，那时他们还在哈 佛大学学习。当他们让这台机器评价说谎 者悖论时，计算机便进入反复振荡状态， 陷入了来回倒腾的困境（见马丁·加德纳的 《逻辑机和逻辑图》）。
1．克里特人伊壁孟德
▪ 古希腊人曾为此大伤脑筋，怎么会一句话看上去 完美无缺，自身没有矛盾，却既是真话又是假话 呢！
▪ 一个斯多噶派哲学家，克利西帕斯写了六篇关于 “说谎者悖论”的论文，没有一篇成功。
▪ 有一位希腊诗人叫菲勒特斯，他的身体十分瘦弱， 据说他的鞋中常带着铅以免他被大风吹跑，他常 常担心自己会因思索这些悖论而过早地丧命。
悖论PPT
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组员：朱周慧，袁佳琪，陈雨 宁，郑琪琪，张羽，的正方形谜题是一种用于数学课的 视错觉，有助于我们对几何图形的思考。 两张图都用到了一些相似的形状，只不 过位置稍有不同。 • 解开谜题的关键在于图中的“三角形” 并非三角形，所有三角形的一条斜边都 是弯曲的。这些三角形的斜边看上去似 乎是条直线，但实际并不是。所以第一 个图形实际上占了32个格子。第二个图 形占了33个格子，包括“失踪”的正方 形在内。注意在蓝色红色斜边交界处的 网格点，如果将它与另一张图的对应交 界点比较，边缘稍稍溢出或者低于格点。 来自两张图重叠后溢出的斜边导致一个 非常细微的平行四边形，占据了刚好一 格大小的面积，恰洽是第二张图“消失” 的区域。
几何学悖论1：彭罗斯阶梯
彭罗斯阶梯
彭罗斯阶梯（Penrose stairs）是一个有名的几何学悖论，指的是一个始终向上或向下但却无限循环的阶梯，可以被视为彭罗斯三角形的一个变体，在此阶梯上永远无法找到最高的一点或者最低的一点。
彭罗斯阶梯由英国数学家罗杰·彭罗斯及其父亲遗传学家列昂尼德·彭罗斯于1958年提出。
彭罗斯阶梯不可能在三维空间内存在，但只要放入更高阶的空间，彭罗斯阶梯就可以很容易的实现。
如同麦比乌斯圈、克莱因瓶。
如下图所示。
在这个神奇的图中，人一直在沿着台阶往上走，但是却一直在同一个水平
面上打转转。
如果说帕特对存在着那样的不动点感到惊奇的话，那么他将对这样的台阶更为惊奇。
他可以永远地沿着它转圈，但却总是在向上攀登，而且一次又一次地回到他原来的位置！这可能吗？不可能！只是由于我们的眼睛受图画的迷惑而认为这种台阶是存在的.而这些不可能形体正是它在视觉上的类似产物。
这个“不可能台阶”是由英国遗传学家列昂尼尔·s·彭罗斯和他的儿子数学家罗杰尔·彭罗斯发明的，后者于1958年把它公布于众，人们常称这台阶为“彭罗斯台阶”。
荷兰画家莫里茨·埃舍尔对此深感兴趣，他在他的石版画“攀高和下行”中充分地利用了“彭罗斯台阶”。
几何学悖论(5)：兰迪先生的奇异地毯.doc
几何学悖论(5)：兰迪先生的奇异地毯M：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长宽都是13 分米的地毯，他想把它改成8分米宽21分米长的地毯。
M：兰迪先生拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔。
兰迪：奥马尔，我的朋友！我想让你把这块地毯裁成四块，再把它们缝在一起成为一块8分米X21分米的地毯。
奥马尔：很遗憾，兰迪先生。
您是个伟大的魔术家，可是您的算术竟这样差！13乘13是169, 8乘21是168.这怎么能办得到呢？兰迪：我亲爱的奥马尔！伟大的兰迪是从来不会错的。
劳您的驾把这块地毯裁成这样的四块。
M：奥马尔象他所说的那样做了。
过后兰迪先生把这四块重新摆一下，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块8分米x21分米的地毯。
奥马尔：这怎么可能呢？地毯面积由169分米2缩小到168分米2!那一平方分米哪里去了？M：几个月之后，兰迪先生又拿来一块长宽都是12分米的地毯。
兰迪：奥马尔，老伙计！我的电热器翻倒了，结果把这块美丽的地毯烧坏了。
把它剪裁一番再缝上，很容易就可去掉这个窟窿。
M：奥马尔表示怀疑，但他还是按兰迪所教的方法做To把裁好的几块缝在一起之后，它仍然是长宽各12分米但那个窟窿却消失了！奥马尔：兰迪先生，请讲一讲，你是怎么做的？补上这个窟窿的那一平方分米是从哪里来的？这个古老的故事是这样的令人惊奇和难以解释，值得我们化费一些时间动手按照所说的方法做一做。
我们在作图纸上画一个正方形。
把它剪成四块，重新安排一下，拼成一个长方形。
除非这个图做得很大并且作图和剪裁都搞得十准确，人们是不会发现拼接成的长方形在主对角线附近发生了微小的重叠。
正是沿对角线的这点不完美的叠合导致丢失了一个单位的面积。
如果学生们不相信这一点的话就让他们计算一下长方形对角线的斜率以及拼接前各片相应边的斜率，再把它们加以比较就会清楚了。
如果先画出上边所说的这个长方形，按图示把它剪成四块，再拼成正方形，这时这个正方形又会怎样呢？这是在课堂上学生们可能希望探讨的问题。
高中数学选修课《悖论》课件
诉 讼 悖 论
从前一个老律师立了一个规矩：跟他学习法律的 学生可以先不交纳学费。学成毕业后，徒弟如果打 赢了第一场官司就得支付学费，否则就可以免付学 费。数年后，他的一名弟子满师后的第一件事就是 和老律师打一场官司。 徒弟所打的主意是：如果我赢了，按照法官的判 决，我可以不付学费；如果我输了，那么按照老师的 规矩，我也可以不付学费。老律师也积极应诉，他打 的算盘是：如果我赢了，按法官的判决收回学费；反 之，如果我输了，那按我的规矩学生还是得付钱。
小说《唐· 吉诃德》里描写过一个残酷 的国王，在他所统治的国家有一条奇怪的 法律：每一个旅游者都要回答一个问题： “ 你来这里干什么？” 如果旅游者回答对 了，一切都好办；如果回答错了，旅游者 立刻会被绞死。 有一天，有个旅游者来到这个国家， 他答道：“我来这里是要被绞死。 ”这时， 卫兵慌了神，如果他们不把这人绞死，旅 游者就说错了，就得受绞刑。可是，如果 他们绞死旅游者，他就说对了，就不应该 绞死他。 为了做出决断，旅游者被送到国王那 里。国王苦苦想了好久，才说：“不管我 做出什么决定，都肯定要破坏这条法律。 我们还是宽大为怀算了，让这个人自由 吧。”
数学上的三次危机与悖论
第一次危机是古希腊时代关于无理数的争论 毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，即“宇宙一彻现象都能归结 为整数或整数之比” 希伯索斯在研究边长为1的正方形时，发现对角线与边长是不可 通约的，即不能用整数之比表示这个数。 无理数的发现与” 可通约“的信条想矛盾公开化，人们将这个矛 盾称为毕达哥拉斯悖论，它引起了第一次数学危机。 它促使人们进一步认识无理数，扩大了数域，为实数理论的创建 和发展作了奠基工作。 希腊人开始重视几何学的演绎推理，一门新的学科欧氏几何学诞 生，欧几里得《几何原本》的出现，标志着第一次数学危机的结束， 从此，几何学公理化与数理逻辑成为数学界关注的问题。
科学与逻辑方法论0710悖论ppt课件
2020/6/19
素朴集合论 概括规则：对于任一性质，所有具有该 性质的对象就构成一个集合。所有不具有该 性质的对象不属于该集合。 对任一性质P，存在唯一的集合A：对 任一对象a，a∈A iff P（a）
（ iff = if and only if = 当且仅当）
2020/6/19
两种性质：
自有性质：例如，“可理解”这种性质自身 是可理解的。因此，“可理解”是自有性质 。
2020/6/19
----- 塔斯基
一个认识共同体，被迫接受一个假句子 。这就是悖论。
这里被迫的含义是： 第一，假句子是明显的，因而是显然不 可接受的；第二，找不到得出假句子的推理 错在哪里；第三，找不到得出假句子的前提 错在哪里。
2020/6/19
因此，悖论具有以下本质特征： 第一，它相对于某个认识共同体而言。 第二，它是一个论证。 第三，它的前提是公认正确的背景知识 。 第四，它的推理在逻辑上无误。 第五，它的结论明显虚假（其中最为典 型的是自相矛盾）。
注意，第二、第三两点都是相对于认识共同 体而言的。
2020/6/19
关于佯悖
“理发师悖论” “以子之茅Biblioteka 攻子之盾”2020/6/19
“理发师悖论”是罗素悖论的俗 本或拟化形式。
为什么罗素悖论称为悖论，而“理 发师悖论”只是佯悖？
2020/6/19
逻辑学家为什么对悖论感兴趣？
悖论是对认识共同体的共识，即公认 正确的背景知识的挑战。
X（P（X） X（X））
（1）
读作：对于任一性质X，X具有性质P，当且仅 当X不具有性质X。这就形式地定义了非自有性质P 。
既然（1）式对任一性质X成立，其中自然包括 性质P。因此，由对（1）式作全称限定，即在（1 ）式中消去全称量词X，并用P替换X，得：
素朴集合论 概括规则：对于任一性质，所有具有该 性质的对象就构成一个集合。所有不具有该 性质的对象不属于该集合。 对任一性质P，存在唯一的集合A：对 任一对象a，a∈A iff P（a）
（ iff = if and only if = 当且仅当）
2020/6/19
两种性质：
自有性质：例如，“可理解”这种性质自身 是可理解的。因此，“可理解”是自有性质 。
2020/6/19
----- 塔斯基
一个认识共同体，被迫接受一个假句子 。这就是悖论。
这里被迫的含义是： 第一，假句子是明显的，因而是显然不 可接受的；第二，找不到得出假句子的推理 错在哪里；第三，找不到得出假句子的前提 错在哪里。
2020/6/19
因此，悖论具有以下本质特征： 第一，它相对于某个认识共同体而言。 第二，它是一个论证。 第三，它的前提是公认正确的背景知识 。 第四，它的推理在逻辑上无误。 第五，它的结论明显虚假（其中最为典 型的是自相矛盾）。
注意，第二、第三两点都是相对于认识共同 体而言的。
2020/6/19
关于佯悖
“理发师悖论” “以子之茅Biblioteka 攻子之盾”2020/6/19
“理发师悖论”是罗素悖论的俗 本或拟化形式。
为什么罗素悖论称为悖论，而“理 发师悖论”只是佯悖？
2020/6/19
逻辑学家为什么对悖论感兴趣？
悖论是对认识共同体的共识，即公认 正确的背景知识的挑战。
X（P（X） X（X））
（1）
读作：对于任一性质X，X具有性质P，当且仅 当X不具有性质X。这就形式地定义了非自有性质P 。
既然（1）式对任一性质X成立，其中自然包括 性质P。因此，由对（1）式作全称限定，即在（1 ）式中消去全称量词X，并用P替换X，得：
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女孩也这样做，她绕着
树横走，鼻子总是朝着
树，所以那男孩始终看
不到她。Βιβλιοθήκη 绕着一个姑娘转圈（续）他们这样绕树转
一圈后，都回到了原来
位置。
这时，男孩绕女孩
转了一圈吗？
◆观点一：当然啰！他既然绕着树转了一圈，就必 然绕着姑娘也转了一圈。 ◆观点二：瞎说！即使那里没有树，他也一直未能 看到女孩的后背。既然是绕着一个物体转一圈怎么 能看不到它的所有各面呢？ 这个古老的悖论一般是以猎人和松鼠的形式出 现。松鼠蹲在树桩上，猎人绕着树桩转的时候，松 鼠也一直在转，所以它总是面向猎人。当猎人绕树 转一圈后，他也绕松鼠转了一圈吗？
4．小立方块和女士
在这幅画中你 数到了多少个小立 方块？有六个？ ……，有七个？
这画中画 的是个年青姑
娘吗？
你看到是一 个老太太吗？
你在这幅画中 看到了什么？一个小 立方块放在—个房间
的一角？一个小立方
块贴附在一个大块的
外面？或许是一个大
立方块在一角上有个
立方形的洞？
5．不可逃遁的点
帕特先生沿着一条小 路向山顶进发。他早晨七 上 点动身，当晚七点到达山 山 顶。 他在山顶做了一夜的 考察工作，第二天早晨七 点沿同一条小路下山。 下 山
教学目的：
1.了解几何上的一些悖论；
2.对现代几何的内容有一些初步了解；
3.对形成悖论的原因有一定的认识。
1．绕着一个姑娘转圈
假如有两个小孩捉 迷藏，男孩在寻找女孩 藏身的地方。有一颗非 常粗大的树，足以遮挡 一个人的身体。 男孩：啊，梅蒂尔！ 你在树后藏着吗？
绕着一个姑娘转圈（续） 当这个男孩绕着树 转圈寻找女孩的时候，
晚上七点钟，他到达山 脚，遇到了他的拓扑学老师 克莱因夫人。 克莱因：你好，帕特！ 你可曾知道你今天下山时走 过这样一个地点，你通过这 点的时刻恰好与你昨天上山 时通过这点的时刻完全相同？ 帕特：您一定是在开我 的玩笑！这绝对不可能。我 走路时快时慢，有时还停下 来吃饭和休息。
镜子的魔力（续）
如果你侧着身子
对镜面站着，你身体
的左右轴线垂直于镜
面。这时你在镜中的
象脑袋还是在上面，
前面仍是在前面，但
是你却被左右颠倒了。
镜子的魔力（续）
当你面对镜子站着的 时候，你在镜中的象的脑 袋仍是在上面，你的左面 仍是在左面，可是你却被 前后颠倒了。你的象中左 手的位置和你走到镜面后 再转过身来时左手的位置 正好相反，因此我们说你 被左右颠倒了。
3．镜子的魔力
镜子是个奇妙的 东西。现么梯姆斯 （TIMOTHY）和丽贝卡 （REBECCA）正在一个 晚会上做客，晚会上 每个人都戴个名片。
镜子的魔力（续）
丽贝卡：多么奇怪的
镜子啊，梯姆！你看， 可是你的名字却一点
它把我的名字弄反了， 儿也没变！
镜子的魔力（续）
镜子好象只能使 左右颠倒，为什么它
2．月亮的不解之谜
月亮总是以同一 面朝向地球，当月球 它绕自己的轴旋转了
绕着地球转一圈以后。 吗？
月亮的不解之谜（续） 天文学家：作为一 个天文学家，我的回答 是肯定的。如果你站在 火星上，你就会看到每 当月球绕地球转一圈， 它就绕着自己的轴也转 一圈。
月亮的不解之谜（续） 学生：它怎么旋 转了呢，教授？如果 它旋转了，我们就会 看到它不同的各面， 可是我们看到的却总 是相同的那一面。
镜子的魔力（续）
在这幅画面中有 两个英语字单词，为 什么镜子只把其中的 一个词颠倒了？实际 上并非如此！另一词 DIXIDE也同样被颠倒 了，只不过它的对称 性使它倒过来以后看 起来仍和原来一样。
镜子的魔力（续）
你能猜出当两个镜 面垂直放置时会发生什 么现象吗？这时镜子里 的象将与平常镜中的象 不同，它是完全没有被 镜面颠倒的象！这位姑 娘此时所看到的她自己 正和别人所看到的她完 全一样 ！
一些很有知识的人都曾极认真地研究过这个简 单的问题，说起来这是很难使人相信的。奥古斯 都· 德莫尔干所著的《悖论集》一书的第一卷中， 对十九世纪出版的探讨这个问题的小册子作了评述， 这些小册子都是反对“月球旋转了”这一观点的。 一个伦敦的业余天文学家，叫做亨利· 皮瑞加 尔的人在这场争论中真可谓孜孜不倦，他的讣告中 有这样一段话:“在整个一生中，他在天文学上的主 要目标，是使别人相信月球并没有绕轴旋转。皮瑞 加尔撰写小册子、构造模型甚至写诗来证明自己的 论点，愿以英雄的豪爽来承担一切努力都毫无所得 而引起的一个又一个的失望。”
不能使上下也颠倒呢？
这难道不是很奇怪吗？
镜子的魔力（续）
实际上，只有当 一条线垂直于镜面时， 镜子才使这条线颠倒 过来。正因为这三个 小球在一条与镜面成 直角的线上，所以它 们在镜中象的顺序就 倒过来了。
镜子的魔力（续）
如果你站在用镜 子做的地板上，你身 体的上下轴线垂直于 镜面。这时你在镜中 的象前面仍是前面， 后面仍是后面，但是 你却上下颠倒了。
我们现在做一个与这个月球之谜紧密相关的 试验。
让我们准备两个大小相等的硬币， 让它们相
互外切地放在桌子上。一硬币沿着另一硬币的边缘
无滑动地滚动，滚动中保持边缘密切相切接触，这
样绕着不动的硬币转动一周以后，它本身旋转了几
圈？
这正像地球—月球那个问题一样，其答案也 依赖于观察者的位置。相对于固定的硬币来说，它 转了一圈，而相对于从上向下看的你来说，它旋转 了两圈。这也曾是个激烈争论的题目。《科学美国 人》杂志于一八六七年首次刊登这个问题，于是持 有两种尖锐对立观点的读者的信如洪水般地涌来。 读者很快就认识到了硬币问题与月球问题之 间的关系。那些坚持认为硬币只旋转一圈的人也同 样认为月球根本没有绕轴旋转，一位读者以激烈的 口气写道：“如果你抡着一只猫在你头上转圈，那 么它的脑袋、眼睛和脊椎骨都在绕着自己的轴旋转 吗……？转到第九圈猫就会死去吗？”
第五章 几何学悖论
对大多数人来说，甚至对大多数在中学及 大学学习过数学的学生来说，“几何”一词意味 着欧几里得平面几何，它是研究平面图形的性质， 而且我们对其中的一些性质是很熟悉的。在这里， 我们将按费利克斯· 克来因在一百多年前提出更 广义的观点来认识几何，这就是研究几何图形在 确定的一组变换群下保持不变的那些性质。拓扑 学作为几何学的一个分支，它是研究图形在连续 变形下不变的种种性质。