第四章.水文统计基础知识

概率密度函数:
平均概率密度：
随机变量落在区间(x, x+x)的概率与该区
F ( x ) F ( x x ) x 变量落在区间(x, x+x)平均概率。
间长度的比值
称作随机
当 x 0，取极限得：
F ( x ) F ( x Δx ) F ( x Δx ) F ( x ) lim lim Δx 0 Δx 0 Δx Δx F ( x ) f ( x )
a. 反映位置特征参数
平均数 x/ 数学期望
对于离散型随机变量：
离散型随机变量的平均数是以概率为权重的 加权平均值。
对于连续的随机变量：
E ( x ) x f ( x )dx
b a
(8 5)
式中，a、b 分别为随机变量 X 取值的上下 限。 数学期望或平均数代表整个随机变量的总 水平的高低，它为分布的中心。
1.随机变量
用以表示随机试验结果的一个数量(事先
是未知的)，由于它事先不能确定，是随机的， 称为随机变量。水文现象中的随机变量，一般 指某个水文特征值(如年径流量、年降雨量、
洪峰流量等)。
统计学中几个概念：
总体
在统计数学中，把某种随机变量所取数值的 全体，称为总体。 如年径流量的总体数是无穷的。

E ( x x )2
(8-6)
值愈大，分布愈分散； 值愈小，分布愈集中。
2 2> 1
x
变差系数（离差系数，离势系数〕
对于均值不同的二个系 列，用均方差来比较其 离散程度就不合适，则 要采用均方差和均值的 比来表示：
变差系数对密 度函数的影响
f(x)
CV1
CV E( x) x
在实际问题中，随机变量的分布函数不易确
定，或有时不一定需要用完整的形式来说明随机变 量，而只要知道其主要特征就可以。随机变量的分 布函数和密度函数中都包含一些参数（如均值、变 差系数、偏态系数），而这些参数能反映随机变量 分布的特点：如有的分布集中，有的分布分散，有 的分布对称，有的分布非对称，等等。在统计学中 用以表示随机变量这些分布特征的某些数值，称之 为随机变量统计参数。
f(x)
M0(x)
x
连续的随机变量的众数
中位数
，记为Me(x)
把概率密度分布分为二个相等部分的数。
对于离散型的随机变量：
将所有变量的可能取值按大小次序排列，
位置居中的数字。
对于连续的随机变量 中位数满足：
Me ( x )

a
f ( x )dx
b
f(x)
1 f ( x )dx 2 Me ( x )
CV值愈大，分布愈分散； CV 值愈小，分布愈集中。
CV2 CV2> CV1 x
c. 反映对称特征的参数:
E ( X x )3 偏态系数（偏差系数) C s 3
f(x)
偏态系数对密度函数的影响
Cs=0 Cs>0 Cs<0
x
若不对称： CS > 0 , 称为正偏； CS < 0 , 称为负偏。
4.水文中常用的概率分布曲线
(1).正态分布
1 f ( x) e 2
( x x )2 2 2
x
(8-9)
式中， x：平均数； ：标准差。
许多随机变量如水文测量误差、抽样误差 等一般服从正态分布。
正态分布曲线的特点： a. 单峰，只有一个众数； b. 对于平均数对称, Cs= 0； c. 曲线二端趋于±∞ ，
4.1水文统计的意义

水文现象的特性
水文现象是一种自然现象，它具有必然性的一面， 也具有偶然性的一面。 1、必然现象是指事物在发展、变化中必然会出 现的现象；水文学中称水文现象的这种必然性为 确定性。(成因分析方法) 2、偶然现象是指事物在发展、变化中可能出现 也可能不出现的现象，偶然现象也称随机现象； 偶然现象仍然是有规律的，一般称为统计规律。 (概率论和数理统计分析方法)
4.2概率的基本概念

事件

在概率论中, 对随机现象的观测叫做随机试验, 随 机试验的结果称为事件。事件可以分为必然事件、 不可能事件和随机事件三种。 事件有两种属性： 数量性质：直接测量的量或计算的量，如 年降雨量，年径流量... 属性性质: 直接观测到的现象，如天气的 雨天和晴天，婴儿性别，钱币 的正面和背面 ...
一般将这种对应关系称作随机变量的概率分布规 律，简称为分布律。可以用以下的分布图形表示：
P
X
x1 x2 x3 x4 … … xn
离散型随机变量概率分布图
对于连续型随机变量：
由于它的所有可能取值有无限个，而取个别值 的概率为零，故无法研究个别值的概率。水文学上 习惯研究随机变量的取值等于或大于某个值的概率， 表示为：
P(X x) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
某站年雨量概率分布曲线 由图中可知， X=900，相应的 P(X x)=0.15，说明 大于900mm降雨的可能性为15%；同理，大于500 mm 降雨的可能性为60%
由概率的加法定理：
随机变量X落在(x ，x+ x) 的概率可用下式表示:
2.随机变量的概率分布
对于离散型随机变量：
随机变量的取某一可能值的机会有的大有的小， 即随机变量取值都有一定的概率与之相对应，可表 示为： P ( X x1 ) P1
P ( X x 2 ) P2 P ( X x n ) Pn
上式中P1, P2, … Pn 表示随机变量X 取值x1, x2, … xn 所对应的概率。
第四章 水文统计基础知识
六、水文统计学

随机变量及其分布参数 水文中常用的概率分布曲线


统计参数估计方法
无片估计和抽样误差
相关分析
水文时间序列分析



研究对象:频率计算，相关分析 研究内容： 频率计算，包括随机变量及其概率分布、水文 频率曲线、水文频率计算适线法。 相关分析，包括两变量直线相关、两变量曲线 相关、复相关。 研究目的： 从已知资料寻求河川径流变化规律，一方面可 用成因分析的方法从径流形成的角度去研究径流 的变化规律；另一方面，就是用水文统计（数理 统计）的方法，去寻求水文现象的统计规律。研 究河川径流的统计变化规律，预估径流未来的变 化趋势，以满足水利水电工程规划、设计、施工 和运行管理的需要。
系:
F ( x ) P ( X x ) f ( x )dx
x

可见，随机变量的二个函数：
f(x) 密度函数，反映随机变量X落入dx 区 间的平均概率； F(x) 分布函数，反映随机变量X超过某 个值 x 的概率。 这两个函数能完整地描述随机变量的分布 规律。
3.随机变量统计参数(分布参数)
并以x 轴为渐近线;
d.
f (x)



f ( x )dx 1
x x x
(2).皮尔逊 Ⅲ 型分布 概率密度函数表达式：
式中， a, b 分别为随机
变量 X 取值的上下限
1/2 1/2
a
Me(x)
b
x
b. 反映离散特征参数
该参数用以反映随机变量分布离散程度(相对于 随机变量分布中心即平均值的差距)的指标，通常有 以下几种：
标准差（均方差) (Standard deviation)f(x)1来自标准差对密度 函数的影响
P
P(X x)
P(X>x+ x)
x x+ x
X
P(X x)=P(X > x+x)+P(x+ x > X x) P(x+ x > X x)= P(X x)-P(X > x+x) =F(x)-F(x+ x)
60%-15% = 45%
(8-1)
则，降雨量落在900和500mm的可能性为:
称 f(x)为概率密度函数，简称密度函数。 而密度函数的几何曲线称作密度曲线。
f(x)
密度曲线
f(xi) dx xi
F ( x ) f ( x )dx
x
x
F(x)
分布曲线
x
通过密度函数f(x)可求出随机变量X落在(x ~
x+dx)区间即dx上的概率= f(x)dx，称之为概率
元素，即为图中的阴影面积； 通过密度函数f(x)可求出随机变量 X 概率分 布函数F(x)，其与密度函数f(x) 有如下的数学关
样本
从总体中不带主观成分任意抽取的一部分，
称为样本。样本所包含的项数，称为样本容量。
如实测的水文资料是有限的，是一样本。
随机变量的表示:
它是指随机试验结果的一个数量。在水文
学中，常用大写字母表示，记作X，而随机变
量的可能取的值记作x，即：
X = x1, X = x2, X = xn
P( X x)
它是x的函数，称作随机变量X 的分布函数， 记作F(x), 即
F(x)=P(Xx)
表示随机变量X 大于或等于值 x 的概率，其 几何曲线称作随机变量的概率分布曲线（水文学 上通常称累计频率曲线，简称频率曲线）。
年降雨量(mm)
900 500
F ( x ) P( X x )

概率

为了比较某随机事件出现（或不出现)的可能性 大小，必然赋予一种量化的（以数量表示)指标， 这个数量指标就是事件的概率。
简单(古典)的随机事件的概率定义用下式表示：
m P ( A) n
式中 ，P(A) ：一定条件下随机事件A的概率；