逻辑联结词、量词专题

全国名校高中数学优质专题讲练汇编（附详解）
训练目标
(1)逻辑联结词的含义及应用；(2)量词及全称命题、特称命题的概念．
训练题型 (1)含逻辑联结词的命题的真假判断；(2)全称命题、特称命题的真假判断与否定；(3)和命题有关的求参数范围问题．
解题策略 (1)判断含逻辑联结词命题的真假，要先判断每个简单命题的真假；(2)含一个量词的命题的否定规律：改量词，否判断词；(3)和命题有关的参数范围问题，应
先求出每个简单命题为真时参数的范围，再根据每个命题的真假情况求解.
一、选择题
1．(优质试题·浙江)命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( )
A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)>n
B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)>n
C．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)>n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)>n0
2．(优质试题·肇庆统测)设a，b，c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，则a⊥b；命题q：
若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中假命题是( )
A．p∧q B．p∨q
C．(綈p)∨q D．(綈p)∨(綈q)
3．若“∃x∈[12，2]，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围为( )
A．(－∞，22] B．[22，3]
C．[－22，3] D．λ＝3
4．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0，若“p且q”为真
命题，则( )
A．a＝1或a≤－2 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．－2≤a≤1
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5．已知命题p：∃x0∈R，使sin x0＝52；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；
④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的命题是( )
A．②③ B．②④
C．③④ D．①②③
6．(优质试题·临夏期中)下列结论错误的是( )
A．命题“若p，则q”与命题“若綈q，则綈p”互为逆否命题
B．命题p：∀x∈[0,1]，ex≥1，命题q：∃x∈R，x2＋x＋1<0，则p∨q为真
C．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题
D．“若am27．(优质试题·葫芦岛期中)已知命题P：不等式lg[x(1－x)＋1]>0的解集为{x|0在△ABC中，“A>B”是“cos2A2＋π42



B

2＋π4
”成立的必要不充分条件，则( )

A．P真Q假 B．P∧Q为真
C．P∨Q为假 D．P假Q真
8．(优质试题·怀仁期中)已知命题p：∀x∈[－1,2]，函数f(x)＝x2－x的值大于0.若p∨q是真
命题，则命题q可以是( )
A．∃x∈(－1,1)，使得cos x<12
B．“－3C．直线x＝π6是曲线f(x)＝3sin 2x＋cos 2x的一条对称轴
D．若x∈(0,2)，则在曲线f(x)＝ex(x－2)上任意一点处的切线的斜率不小于－1
二、填空题
9．命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p可写为________________________．
10．给出以下命题：①∀x∈R，|x|>x；②∃α∈R，sin 3α＝3sin α；③∀x∈R，x>sin x；

④∃x∈(0，＋∞)，(12)x<(13)x，其中正确命题的序号有________．
11．(优质试题·石家庄质检)已知命题p：x2－3x－4≤0，命题q：x2－6x＋9－m
2
≤0，若
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綈q是綈p的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________________．
12．设命题p：函数f(x)＝lg(ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x
∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则实数a的取值
范围为__________.
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答案精析

1．D [由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.]
2．D [对于命题p，由平面向量数量积a·b＝0易得a⊥b，则命题p为真命题；对于命题q，
∵a，b，c为非零向量，则q为真命题，
故(綈p)∨(綈q)为假命题，故选D.]
3．A [设命题p：∃x∈[12，2]，使得2x2－λx＋1<0，由于命题p为假命题，所以綈p为真命

题，即∀x∈[12，2]，2x2－λx＋1≥0为真命题，即λ≤2x2＋1x＝2x＋1x在区间[12，2]上恒成立，所
以只需满足λ≤(2x＋1x)min(x∈[12，2])即可，2x＋1x≥22x·1x＝22，当且仅当2x＝1x，即x＝
2
2

∈[12，2]时等号成立，所以λ≤22，故选A.]

4．A [命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.
命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0真，
则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2，
又p且q为真命题，
所以a＝1或a≤－2.故选A.]
5．A [∵52>1，∴命题p是假命题，又∵x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34≥34>0，∴命题q是真命题，
由命题真假的真值表可以判断②③正确．]
6．D [命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以命题“若p，则q”与命题“若
綈q，则綈p”互为逆否命题，故A正确；命题p：∀x∈[0,1]，e
x
≥1，为真命题，命题q：∃x

∈R，x2＋x＋1<0，为假命题，则p∨q为真，故B正确；若p∨q为假命题，则p，q均为
假命题，故C正确；“若am2时，由a全国名校高中数学优质专题讲练汇编（附详解）
7．A [由命题P：不等式lg[x(1－x)＋1]>0，可知x(1－x)＋1>1，
∴0由命题Q知，若cos2A2＋π4即sin A>sin B，∴A>B；
反之，在三角形中，若A>B，
则必有sin A>sin B，
即cos2A2＋π48．C [对于命题p：函数f(x)＝x2－x＝x－122－14，则函数f(x)在－1，12上单调递减，在
12，2上单调递增，∴当x＝12时，取得最小值，f

1
2
＝－14<0，因此命题p是假命题．

若p∨q是真命题，则命题q必须是真命题．∀x∈(－1,1)，cos x∈(cos 1,1]，而cos 1>cos π3＝
1
2
，因此A是假命题；函数f(x)＝x＋log2x＋m在区间12，2上单调递增，若函数f(x)在此区

间上有零点，则f12·f(2)＝12－1＋m(2＋1＋m)<0，解得－3f(x)＝x＋log2x＋m在区间12，2上有零点”的充分不必要条件，因此B是假命题；
f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6，
当x＝π6时，sin2×π6＋π6＝sin π2＝1，因此直线x＝π6是曲线f(x)的一条对称轴，是真命题；曲
线f(x)＝ex(x－2)，f′(x)＝ex＋ex(x－2)＝ex(x－1)，当x∈(0,2)时，f′(x)>f′(0)＝－1，因此D是
假命题．]
9．∃x0∈(0，＋∞)，x0≤x0＋1
解析 因为p是綈p的否定，所以只需将全称命题变为特称命题，再对结论否定即可．
10．②
解析 当x≥0时，|x|＝x，①错；当α＝0时，sin 3α＝3sin α，②正确；当x＝－π2时，x③错；根据指数函数的图象可以判断，当x∈(0，＋∞)时，(12)x>(13)x，④错．故正确命题的