必修4平面向量zst

必修4平面向量一．基本概念1.向量： ．2.平行向量： ．3.相等向量：b a =⇔ ；相反向量：b a-=⇔4.两个非零向量a 、的夹角：作 =a ； =b ； 叫做a 与b的夹角。

5.坐标表示：i 、j分别是 ，若=a则 叫做a的坐标。

6.向量a 在方向上的投影：设θ为a 、的夹角，则一． 基本运算：三、基本定理、公式：1． 平面向量基本定理：若1e 与2e，则对平面内的任意一个向量a，一对实数1λ、2λ；使得=a____________________ 2． 向量的模：a＝ ＝ ；a 与b夹角：=θcos _________ = _____________3． 向量平行：a ∥b⇔_________________ ⇔__________________ ；向量垂直：a ⊥b⇔_________________ ⇔_________________4． 中点坐标公式：_________________ 四、复习题1、在下列命题中，正确命题的个数为 ．①a ·0＝0；②0·a＝０；③（→a ·→b ）→c =→a （→b ·→c ）+=-，则0=b ；⑤→a ·→b -→b ·→a =→0；⑥1===→→→c b a ，且→a ∥→b ，→b ∥→c ，则→a 与→c 是模相等且同向或反向的两个向量⑦ a ·b ＝０，则a 与b中至少有一个为0； 2、化简下列各式：（1）)(CD AB -－)(BD AC -= ；（2）MP MN -－QM QN += ； （3）BA CO BO OC OA -+++= ． （4）)(++)(++=__________3．已知平面内三点A （-1，0），B （x ，6），P （3，4），且−→−AP =λ−→−PB ，x 和λ的值分别为( )A ．-7，2B ．5，2C ．-7，52 D ．5，524、向量，6=10=-的取值范围是 ．56=8=10=-=+ ． 6、已知=1e +2e ，=２1e －2e ，则向量+2与2－（ ）ABM CA 、一定共线B 、一定不共线C 、仅当1e 与2e 共线时共线D 、仅当1e =2e 时共线7、已知OA＝1e ，OB ＝2e1==．∠AOB ＝︒1205=， 且平分∠AOB ，用1e ，2e 表示= ． 8、已知∆ABC 顶点A （―1，12-），B （2，3）及重心坐标G （1，12），则顶点C 的坐标为__________9．已知O （0，0）和A （6，3）两点，若点P 在直线OA 上，且2PA OP =，又P 是线段OB 的中点，则点B 的坐标是1032==，且4=⋅，则向量b 在向量a 上的投影为 ．11、已知|a |=3，|b |=4，且|a －b ，则a 与b的夹角为 ．12．已知|→a |=|→b |，→a⊥→b ，且（→a +→b ）⊥（k →a -→b ），则k 的值是( )A ．1B ．-1C ．0D ．-213．已知(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为_____________________14、ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知sin 1B =，向量()a b =，，q (12)=，.若q p //，则C ∠角的大小为（ ） Ａ6πＢ3π Ｃ2π Ｄ32π 15、已知点O （0，0），A （1，2），B （4，5）,P 为一动点，及AB t OA OP +=， （1）t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？（2）四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由。

16．在四边形ABCD 中，AD ‖BC ，AC ⊥BD ，已知−→−AB =6→i +→j ，−→−BC =x →i +y →j ，−→−CD =-2→i -3→j ，(→i ，→j 分别是x ，y 轴方向上的单位向量），求x ，y （x ，y ∈ R ）的值.17、如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且 BN =31BD ，求证：M 、N 、C 三点共线．18.已知点A （4，1），B （-2，7），P 是直线AB 是一点，且||2||AP PB =，求P 的坐标。

19. 已知：→a 、→b 、→c 是同一平面内的三个向量，其中→a =（1，2） （1）若|→c |=25，且→c ‖→a，求→c 的坐标（2）若|→b |=25，且→a +2→b 与2→a -→b 垂直，求→a 与→b 的夹角θ.20．已知向量33(cos,sin )22=x x a ,(cos ,sin )22=-x x b ,且x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦（1）求a ·b 及+a b ；（2）若()2λ=∙-+f x a b a b 的最小值为32-，求λ的值参考答案一、基本概念：1、向量：既有大小又有方向的量叫向量．2.平行向量：若非零向量,a b 方向相同或相反，则//a b ；规定零向量与任一向量平行3、向量相等：b a =⇔ 模相等，方向相同；相反向量：b a-=⇔模相等，方向相反4、两个非零向量a 、的夹角：做=a ；=b ；AOB ∠叫做a 与b的夹角。

5、坐标表示：i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，若=ay x +，则()y x ,叫做的坐标。

6.向量a 在b 方向上的投影：设θ为a 、b 的夹角，则cos a θ为a 在b 方向上的投影三、基本定理、公式：1、平面向量基本定理：若1e 与2e 不共线，则对平面内的任意一个向量a，有且只有一对实数1λ、2λ；使得=a2211e e λλ+。

2、向量的模：a＝22y x +；非零向量a 与b 的夹角：=θcos 222221212121y x y x y y x x +++=3、向量平行：a ∥b⇔b a λ=⇔1221y x y x =； 向量垂直：a ⊥b ⇔0=⋅⇔02121=+y y x x4、中点坐标公式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x ；四、复习题1、2；2、（1）0； （2）PM ； （3）0； （4）AC ；3、B ；4、［4，16］；5、10；6、C ；7、1255e e +；8、(2，-1)；9、(4，2)； 10、2； 11、120°； 12、A ； 13、503λλ>-≠且； 14、A 15、（1）设P （x ，y ），则（x,y ）=(3t+1,3t+2)23t =-时，P 在x 轴上；13t =-时，P 在y 轴上；当P 在第二象限时，3102132033t t t +<⎧⇒-<<-⎨+>⎩（2）若四边形OABP 为平行四边形，则(3,3)OP AB ==,又t +=，即（3,3）=(3t+1,3t+2)，3231t t =⎧∴⎨=⎩，矛盾；所以四边形OABP 不能为平行四边形16、(6,1),(,),(2,3)(6,1),(4,2),(2,3)(6)(2)(1)(3)0//(4)(2)026,13AB BC x y CD AC x y AD x y BD x y AC BD x x y y AD BC x y x y x x y y −−→===--∴=++=+-=--⊥⇒+-++-=⇒+--===-⎧⎧∴⎨⎨=-=⎩⎩或17、a 1a 21111111a a ()2323633//AB AD bMC MB BC bMN MB BN BD b a a b MC MC MNM M N C ===+=+=+=+=+-=+=∴∴设，又有公共点，、、三点共线18、P(0,5)或P(－8，13)19. （1）设→c =（x ，y ），则|→c |=25，又→c ‖→a ，则2x=y2244c 24c 24x x y y ==-⎧⎧∴⎨⎨==-⎩⎩∴==或（，）或（-，-）（2）→a +2→b 与2→a -→b 垂直22(2)(2)2320a b a b a a b b ∴+-=+-=∵|→b |=25，a →=52a b ∴=-5cos 1θ-∴==- ∴→a 与→b 的夹角θ为135°20． （1）a b ∴=cos 2x ，a b +=2cos x（2）λ=12。