裂项相消法求和(比赛课)
数列求和方法裂项相消法优质课教学课件
数列求和方法裂项相消法优质课教学课件
数列求和方法之一裂项相消法安阳县一中郭永锋最新考纲1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．命题透视数列求
和是高考的热点，主要涉及等差、等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和与并项法求和，题目呈现方式多样，在选择题、填空题中以考查
基础知识为主，在解答题中以考查错位相减法和裂项相消法求和为主，求解的关键是抓住通项公式的特征，正确变形，分清项数求和．本节重点
裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．类题通法1.使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去
了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．2.类题
通法(1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．如：类题通法1.裂项相消法求和是历年高考的重点，命题角度凸显灵活多变，在解题中要善
于利用裂项相消的基本思想，变换数列an的通项公式，达到求解目的．2.。
高考数学一轮复习-裂项相消法求和课件
归纳总结
若an (an b) qn
令：an A(n 1) B qn1 (An B) qn bn1 bn
Sn a1 a2 a3 an1 an Sn b2 b1 b3 b2 b4 b3 bn bn1 bn1 bn
bn1 b1
①
an
1 n(n
4n2 1
2n 1 2n 1
解：令an A(n 1) B 2n1 (An B) 2n
则an 2An 2A 2B 2n (An B) 2n
2An 2A 2B An B 2n An 2A B 2n
A1 2A B 0 A 1 B 2
an (n 1) 2 2n1 (n 2) 2n (n 1) 2n1 (n 2) 2n
第六章 数列
第四节 数列求和—裂项相消法
必备知识·整合
〔知识梳理〕
等差数列
1.通项公式：
2.前n项和公式：
等比数列
1.通项公式： 2.前n项和公式：
a1(1 qn ) q 1 1 q
(1).公式法（已知等差或等比或特殊数列） (2).分组求和法 (3).倒序相加法 (4).错位相减法 (5).裂项相消法
角度4 差比型
例题 已知an n 2n，求数列n bn1 bn
Sn a1 a2 a3 an1 an Sn b2 b1 b3 b2 b4 b3 bn bn1 bn1 bn
bn1 b1
(n 1) 2n1 2
1 1 an b an1 b
拓展2 混合型
(1)
n(n
1 1)(n
2)
1
2
1 n(n
1)
(n
1 1)(n
2)
(2) n 1 1 1 n2 (n 2)2 n2 (n 2)2
裂项相消法课件(微课堂)
寻找相邻项
在分式中寻找相邻的项，特别是那些 具有相反符号的项，它们是裂项相消 的关键。
裂项相消法的注意事项
验证因式
在应用裂项相消法之前，要确保 分母中的因式是正确的。错误的
因式会导致后续计算出错。
保持代数恒等性
在应用裂项相消法时，要确保等式 的两边在经过变换后仍然保持恒等， 即等式的两边在变换后具有相同的 值。
3
分数裂项相消法的练习题
如求$frac{1}{2} + frac{1}{6} + frac{1}{12} + frac{1}{20} + ldots$的和，可以通过裂项相消法 快速得出结果。
代数表达式的裂项相消法练习
代数表达式裂项相消法的原理
将代数表达式拆分成多个部分，使得在求和或求积的过程中某些项相互抵消，简化计算过 程。
消法快速得出结果。
06Biblioteka 总结与展望裂项相消法的总结
裂项相消法是一种重要的数学方 法，主要用于解决数列求和问题。
它通过将一个数列拆分成若干个 子数列，然后利用相邻子数列的 相消性质，简化了数列求和的过
程。
裂项相消法在数学中有着广泛的 应用，不仅在数列求和中有用， 还可以用于解决一些组合数学问
题。
裂项相消法的应用前景与展望
02
裂项相消法的原理
分数的裂项
01 分数裂项法
将一个分数拆分成两个或多个分数的和或差，以 便于计算。
02 常见裂项形式
如$frac{1}{n(n+1)}$可以拆分为$frac{1}{n}frac{1}{n+1}$。
03 裂项技巧
根据分数的分子和分母特点，选择合适的拆分方 式，简化计算。
30 数列求和-裂项相消法专题训练精选全文
可编辑修改精选全文完整版专题30数列求和-裂项相消法专题训练【方法总结】裂项相消法求和裂项相消法裂项相消法的基本思想就是把通项a n 分拆成a n ＝b n ＋k －b n (k ≥1，k ∈N *)的形式，从而在求和时达到某些项相消的目的，在解题时要善于根据这个基本思想变换数列{a n }的通项公式，使之符合裂项相消的条件．主要适用于⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1或⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋2(其中{a n }为等差数列)等形式的数列求和． 常用的裂项公式(1)若{a n }是等差数列，则1a n a n ＋1＝1d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1，1a n a n ＋2＝12d ⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋2； (2)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ； (3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (4)1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎡⎦⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)； (5)2n ＋1n 2(n ＋1)2＝1n 2－1(n ＋1)2(6)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ，1n ＋n ＋k ＝1k (n ＋k －n )； (7)log a ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n ； (8)2n (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12n ＋1－12n ＋1＋1，2n －k (2n ＋1)(2n ＋1＋1)＝12k ⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋1＋1； (9)n ＋2(n 2＋n )2n ＋1＝1n ·2n －1(n ＋1)2n ＋1； (10)k ·2k ＋1(k ＋1)(k ＋2)＝2k ＋2k ＋2－2k ＋1k ＋1； (11) (－1)n n (n －1)(n ＋1)＝(－1)n 12⎝⎛⎭⎫1n －1＋1n ＋1． 注意：(1)裂项系数取决于前后两项分母的差．(2)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．【高考真题】1．(2022·新高考Ⅰ)记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11, n n S a a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭是公差为13的等差数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：121112na a a +++<． 【题型突破】1．在数列{a n }中，a 1＝4，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n 2＋2n ．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ． 2．已知数列{a n }满足a 1＝12，且a n ＋1＝2a n 2＋a n． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列； (2)若b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n ．3．(2017·全国Ⅲ)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1的前n 项和． 4．(2015·全国Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 5．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1(n ＋2)2a 2n，求数列{b n }的前n 项和为T n ． 6．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1·a n ＝a n －a n ＋1．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝lg a n ＋2a n，求数列{b n }的前n 项和S n ． 7．已知数列{a n }，{b n }，其中a 1＝3，b 1＝－1，且满足a n ＝12(3a n －1－b n －1)，b n ＝－12(a n －1－3b n －1)，n ∈N *， n ≥2．(1)求证：数列{a n －b n }为等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n a n a n ＋1的前n 项和T n ． 8．(2018·天津)设{a n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为S n (n ∈N *)，{b n }是等差数列．已知a 1＝1， a 3＝a 2＋2，a 4＝b 3＋b 5，a 5＝b 4＋2b 6．(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设数列{S n }的前n 项和为T n (n ∈N *)，①求T n ；②证明：∑k ＝1n (T k ＋b k ＋2)b k (k ＋1)(k ＋2)＝2n ＋2n ＋2－2(n ∈N *)． 9．已知数列{a n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 2n －1＝a 2n ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝n a n a n ＋1(－1)n ，求数列{b n }的前n 项和T n ． 10．在等差数列{a n }中，已知a 6＝16，a 18＝36．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若________，求数列{b n }的前n 项和S n ．在①b n ＝4a n a n ＋1，②b n ＝(－1)n ·a n ，③b n ＝2a n ·a n 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解． 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11．在①b n ＝na n ，②b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，log 2a n ，n 为偶数，③b n ＝1(log 2a n ＋1)(log 2a n ＋2)这三个条件中任选一个，补充在下 面问题中，并解答．问题：已知数列{a n }是等比数列，且a 1＝1，其中a 1，a 2＋1，a 3＋1成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记________，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝9，a 2为整数，且S n ≤S 5．(1)求{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：T n ≤49． 13．在等比数列{a n }中，首项a 1＝8，数列{b n }满足b n ＝log 2a n (n ∈N *)，且b 1＋b 2＋b 3＝15．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{b n }的前n 项和为S n ，又设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：T n <34． 14．已知数列{a n }为等比数列，数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 1＝1，b 2＝a 1＋a 2，a 3＝2b 3－6．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：15≤T n <13． 15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，满足S 4＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1．(1)求{a n }的通项公式；(2)记b n ＝log 2()a n ·a n ＋1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：1T 1＋1T 2＋…＋1T n<2． 16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝32，2S n ＝(n ＋1)a n ＋1(n ≥2)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(a n ＋1)2(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：T n <710(n ∈N *)． 17．已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1前n 项的和，若λT n ≤a n ＋1对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值． 18．设函数f (x )＝23＋1x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (1a n －1)，n ∈N *，且n ≥2． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，设S n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1，若S n ≥3t 4n 恒成立，求实数t 的取值范围． 19．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 1＋12a 2＋13a 3＋ (1)a n ＝a n ＋1－1(n ∈N *)，数列{a n }的前n 项和为S n ． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1S n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m 10对所有n ∈N *都成立的最小正整数m ． 20．已知公差不为0的等差数列{a n }的首项a 1＝2，且a 1＋1，a 2＋1，a 4＋1成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，S n 是数列{b n }的前n 项和，求使S n <319成立的最大的正整数n ．。
裂项相消法求和(公开课)学案
姓名：___________ 班级：_____________数列求和（1）—— 裂项相消法目标：1 理解裂项相消法思想。
2 使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。
3 在自学与探究中体验数学方法的形成过程。
一、复习巩固 1 公式求和法： 2 倒序相加法：二、自学讨论学习以下例题，完成填空。
（限时8分钟） 思考与讨论：什么数列可用裂项相消法求和？ 如何裂项？你有好的方法吗？如何相消？你能发现其中的规律吗？ 利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？例一：n n S n n a 求已知,)1(1+=解：111)1(1+-=+=n n n n a nn n n a a a a a S +++++=∴-1321)1(1)1(1431321211++-++⨯+⨯+⨯=n n n n )111()111()4131()3121()211(+-+--++-+-+-=n n n n 1111+=+-=n nn 1+=∴n n S n裂项相消法求和的一般步骤：_________________________ _____________ ____________裂项： ○1你能证明111)1(1+-=+n n n n 吗？○2猜想：()21+n n =_____________________验证：=+-211n n ___________________ 结论：=+)2(1n n ____________________○3一般地； ()k n n +1=________________相消：怎么消？哪些项是不能消去的？变式训练：（1）()n 12S n n a n ，求已知+=（2）n n S n n a 求已知,)2(1+=三、增效练习（限时10分钟） 1、________,)12)(12(1=+-=n n S n n a 已知2、()()________32121751531=++++⨯+⨯n n3、已知()*56N n n a n ∈-=，13+=n n n a a b ，求n n b b b T +++= 214、已知数列{}n a 的各项如下：1，211+，3211++，…………，n++++ 3211。
高一数学数列公开课之裂项相消法
教学说明 重难点 概要 考点突破 题型一 裂项 例1 相消 练习1 练习2
题型二
课堂小结
例2
教学说明
教学目标
知识 目标 技能 目标
数列求和的方法之裂项相消法
裂项相消法的常见题型及解题思路
第2页
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教学说明
教学重难点
教学 重点 教学 难点
裂项相消法的常见题型及解题思路
第6页
n 1
1 n. 3
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考点突破 题型一 分式型
2 2a1 3a2 1, a3 9 a 2 a6 【典例1】等比数列{an } 的各项均为正数，
（1）求数列 {an }的通项公式； 1 { （2）设bn log 3 a1 log 3 a2 log 3 an，求数列 } 的前n项和 bn
解： （2）bn log 3 a1 log 3 a2 log 3 an
1 2 1 1 2 ( ) . 故 bn n(n 1) n n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 [( 1 ) ( ( )] 所以 . b1 b2 bn 2 2 3 n n 1 2n n 1
2 2 2 解： （1）设数列 {an }的公比为 q ，由 a3 9a2 a4 ，得 a3 9a4
1 1 q 所以 ，又由条件可知 q 0 ，故 q . 9 3 1 由 2a1 3a2 1，得 2a1 3a1q 1，得 a1 ， 3
2
故数列 {an }的通项公式为 an a1q
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考点突破 题型一 分式型
2 2a1 3a2 1, a3 9 a 2 a6 【典例1】等比数列{an } 的各项均为正数，
2024届高三数学二轮专题复习数列求和—裂项相消法教学设计
高三二轮复习数列求和—裂项相消法教学设计内容教学目的掌握裂项相消求和的使用环境及一般过程和思路.教学重点难点识别裂项相消求和的使用环境.如何裂项？如何相消？教学过程过程一、强调本微课学习内容，学习目标，重难点，易错点。
学习目标：掌握裂项相消求和的使用环境及一般过程和思路.学习重点：识别裂项相消求和的使用环境.学习难点：如何裂项？如何相消？易错点：裂项时忘记配平，相消时留下哪些项？过程二、通过熟悉的典型例子入手，引导学生回顾裂项相消的具体类型。
裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前n项和.看下面两个例子：)211(2121+-=+nnnn）（⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+-++⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=+++⨯+⨯+⨯211121121211......513141213112121......531421311nnnnnn）（()()))2)(1(1)1(1(21211++-+=++nnnnnnn()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+++⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯=++++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯)2)(1(12121)2)(1(1)1(1......43132132121121211......543143213211nnnnnnnnn过程三、因为是二轮专题复习，学生经过一轮的复习，对于裂项的方法有一定的理解，在此基础上直接点出裂项的四种基本类型，并强调裂项的常用方法为通分的逆运算，分母有理化，对数的运算等。
本质是恒等变形，运用化归与转化思想、等式思想。
等差型：1a n a n＋1＝1d(1a n－1a n＋1)，其中a n≠0，d≠0. . （通分的逆运算）指数型：（a－1）a n（a n＋b）（a n＋1＋b）＝1a n＋b－1a n＋1＋b. （通分的逆运算）无理型：1a＋b＝1a－b(a－b)(a>0，b>0). （分母有理化）对数型：log n a n ＋1a n＝log n a n ＋1－log n a n (a n >0). （对数的运算法则）过程四、对照四种类型，分别用4道典型例题进行讲解与说明，并敲掉裂项时要配平，求和相消时要注意消去哪些项，剩下哪些项。
经典研材料裂项相消法求和大全
经典研材料裂项相消法求和大全一、引言在研究材料的裂项性质时，求和是一个非常常见的操作。
而裂项相消法是一种常用的技巧，可以简化裂项求和的过程，并得到一个更加简洁的结果。
本篇文章将介绍一些经典的研材料裂项相消法求和的例子，希望可以帮助读者更好地理解和应用这一技巧。
二、裂项相消法求和的基本思路裂项相消法的基本思路是通过巧妙地加减项，使得一些项的系数相消，从而得到一个更简单的求和结果。
下面将介绍一些常用的裂项相消法。
三、具体示例1.例题一求和S=1-2+3-4+5-6+...+(-1)^n*n的值。
解：我们可以观察到这个求和式的两项之间有一定的规律。
可以发现，每两个相邻的项都是一正一负，并且绝对值递增。
因此，我们可以尝试将这两项相加进行简化。
S=(1-2)+(3-4)+(5-6)+...+[(-1)^(n-1)*n+(-1)^n*(n+1)]通过配对相加的方式，可以得到：S=-1+(-1)+(-1)+...+(-1)=-n因此，求和S的值为-n。
2.例题二求和S=1*2+2*3+3*4+...+(n-1)*n的值。
解：我们可以观察到这个求和式的每一项都是两个因数的乘积，并且这两个因数的差值为1、因此，我们可以尝试将这两项相减进行简化。
S=(1*2)+(2*3)+(3*4)+...+[(n-1)*n]通过配对相减的方式，可以得到：S=(2-1)+(3-2)+(4-3)+...+(n-(n-1))S=1+1+1+...+1=n-1因此，求和S的值为n-13.例题三求和S=1+3+6+10+15+...+n(n+1)/2的值。
解：我们可以观察到这个求和式的每一项都是一个等差数列的前n项和，而这个等差数列的公差为1、因此，我们可以尝试构造一个等差数列来进行简化。
S=1+3+6+10+15+...+n(n+1)/2将每一项用等差数列的前n项和来表示：S=(1+2+3+4+...+n)+(2+3+4+5+...+n)+(3+4+5+6+...+n)+...+(n(n+1)/2)可以观察到，每一项的相邻两项有很多项是相同的，只有前k项相同，后面的一些项就不同了。
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吗？
1 1 1 1 ( ) nn 2 2 n1 1 ( ) nn k k n n k
三、重难点点拨
• 相消 • 怎么消？ • 哪些项是不能消去的？
1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( )( ) 2 2 3 3 4 n 1 n n n 1
• 变式训练
2 已知an ，求S n nn 1
1 已知an , 求S n n(n 2)
三、增效练习
三、增效练习
四、能力提升
• 归纳
1 ________ an an 1
• 则：
1 1 1 Sn ________ a1 a2 a2 a3 an 1an
五、小结作业
裂项相消法求和：对于可拆成两项并前后项 相消的数列，我们通常采用裂项相消法求该数 列的和。
裂项相消法求和的一般步骤： 求通项——裂项——相消——求和。
·
谢谢聆听
一、复习巩固 • 1 公式求和法
解决等差、等比数列求和
• 2 分组求和法
解决“等差+等比”数列求和
• 3 错位相减法
解决“等差*等比”数列求和
数列求和（二）—— 裂项相消法
2014年5月28日
目标
1 理解裂项相消法的思想方法。 2 使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。 3 在自学与探究中体验数学方法的形成。
二、自学讨论（用时：8分钟）
• 学习例题，思考以下问题并与你的伙伴讨论：
• • • • 什么数列可用裂项相消法求和？ 如何裂项？你有好的方法吗？ 如何相消？你能发现其中的规律吗？ 利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？
三、重难点点拨
• 裂项 1 1 1 • 你能证明 n(n 1) n n 1 • 请填空：