全称量词与存在量词及其否定
全称量词与存在量词及其否定
理论迁移 例1 写出下列全称命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数 （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆 （3）p：x∈Z，x2的个位数字不等于3.
（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不 是奇数； （2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶 点不共圆； （3）﹁p：x0∈Z，x02的个位数字等于3.
1)存在一个矩形不是平行四边形；x M,p(x)
3)x R, x 2 x 1 0
2
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看，全称命题的否定是称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 p : x M,p(x) 它的否定 p : x M,p(x)
（2）﹁p： x∈R，x2＋2x＋2≠0； 真命题
已知：对x R , x ax 1 0
2
恒成立，求a的取值范围.
变式：已知：对x R , 方程 cos x sin x 3 a 0有解，
2
求a的取值范围.
思考：
e 1 已知 f ( x) x , e 1
简记为:x M,p(x)
读作“存在一个x属于M，使P(x)成立”。
例1 判断下列特称命题的真假： 1）有一个实数x，使x2 +2x+3=0成立；
2）存在两个相交平面垂直同一条直线； 3）有些整数只有两个正因数.
理论迁移 例1 下列命题是全称命题还是特称命 题，并判断其真假. （1）任意实数的平方都是正数； 全称命题（假） （2）0乘以任何数都等于0； 全称命题（真） （3）有的老师既能教中学数学，也能 教中学物理； 特称命题（真）
全称量词与存在量词
全称量词命题与存在量词命题的否定新教材人教版高中必修第一册
素养达成
1.命题与命题的否定的真假判断 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能 _一__真__一__假___.
2.全称量词 命题的否定 命题的否定：改变量词，否定结论 全称量词命题p：∀x∈M，p(x)， 它的否定綈p：___x_∈__M_，__綈__p_(_x_)_. 全称量词命题的否定是_存__在__量__词__命题.
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课前预习
课堂互动
素养达成
规律方法 全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命 题可补上量词后进行否定.
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【训练1】 写出下列全称量词命题的否定： (1)每一个四边形的四个顶点共圆； (2)所有自然数的平方都是正数； (3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根； (4)对任意实数x，x2＋1≥0. 解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)綈p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根. (4)綈p：存在实数x，使得x2＋1<0.
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课前预习
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素养达成
4.命题“∀x≥0，x3＋x≥0”的否定是( )
A.∀x<0，x3＋x<0
B.∀x<0，x3＋x≥0
C.∃x≥0，x3＋x<0
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定
1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 学习目标1．通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．知识点 全称量词命题和存在量词命题的否定 p ¬p 结论 全称量词命题∀x ∈M ，p (x )□1∃x ∈M ，¬p (x ) 全称量词命题的否定是□2存在量词命题 存在量词命题∃x ∈M ，p (x ) □3∀x ∈M ，¬p (x ) 存在量词命题的否定是□4全称量词命题[微练1] 若命题p ：∃x >0，x 2－3x ＋2>0，则命题p 的否定为( )A ．∃x >0，x 2－3x ＋2≤0B ．∃x ≤0，x 2－3x ＋2≤0C ．∀x >0，x 2－3x ＋2≤0D ．∀x ≤0，x 2－3x ＋2≤0答案：C[微练2] 已知命题p ：∀n ∈N *，n 2>12n －1，则命题p 的否定为( ) A ．∃n ∈N *，n 2≤12n －1B ．∀n ∈N *，n 2<12n －1C ．∀n ∈N *，n 2≤12n －1D ．∃n ∈N *，n 2<12n －1答案：A题型一 全称量词命题的否定(链接教材P 29例3)写出下列全称量词命题的否定：(1)任何一个平行四边形的对边都平行；(2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解：(1)该命题的否定是存在一个平行四边形，它的对边不平行．(2)该命题的否定是∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．(3)该命题的否定是∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)该命题的否定是存在被5整除的整数，末位不是0.写全称量词命题的否定的两个关注点(1)写出全称量词命题的否定的关键是找出全称量词命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定．(2)有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”．题型二存在量词命题的否定(链接教材P30例4)写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：(1)某些梯形的对角线互相平分；(2)存在k∈R，函数y＝kx＋b随x值的增大而减小；(3)∃x，y∈Z，使得2x＋y＝3.[解](1)该命题的否定：任意一个梯形的对角线都不互相平分．命题的否定为真命题．(2)该命题的否定：对任意k∈R，函数y＝kx＋b不随x值的增大而减小．命题的否定为假命题．(3)该命题的否定：∀x，y∈Z，2x＋y≠3.当x＝0，y＝3时，2x＋y＝3，因此命题的否定是假命题．写存在量词命题的否定的两个关注点(1)存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词．即p ：∃x ∈M ，p (x )，它的否定：∀x ∈M ，¬p (x )．(2)存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后再否定．题型三 利用命题的否定求参数的取值范围已知命题p ：∀x ∈{x |－3≤x ≤2}，都有x ∈{x |a －4≤x ≤a ＋5}，且p的否定是假命题，求实数a 的取值范围．[解] 因为p 的否定是假命题，所以p 是真命题，又∀x ∈{x |－3≤x ≤2}，都有x ∈{x |a －4≤x ≤a ＋5}，所以{x |－3≤x ≤2}⊆{x |a －4≤x ≤a ＋5}，则⎩⎨⎧a －4≤－3，a ＋5≥2，解得－3≤a ≤1，即实数a 的取值范围是－3≤a ≤1.1．命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化；2．求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围．命题“存在x >1，使得2x ＋a <3”是假命题，求实数a 的取值范围．解：命题“存在x >1，使得2x ＋a <3”是假命题，所以此命题的否定“任意x >1，使得2x ＋a ≥3”是真命题，因为对任意x >1，都有2x ＋a >2＋a ，所以2＋a ≥3，即a ≥1.所以实数a 的取值范围是a ≥1.1．知识网络2．特别提醒(1)只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存在”．例如，“三角形存在外接圆”是全称量词命题，量词“所有的”被省略了，所以这个命题的否定是“有些三角形不存在外接圆”．(2)否定命题时，要注意特殊的词，如“全”“都”等．课时规范训练A基础巩固练1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是()A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0解析：C此全称量词命题的否定为∃x∈R，|x|＋x2<0.2．命题“∃x>0，2x2＝5x－1”的否定是()A．∀x>0，2x2≠5x－1B．∀x≤0，2x2＝5x－1C．∃x>0，2x2≠5x－1D．∃x≤0，2x2＝5x－1解析：A存在量词命题的否定是全称量词命题．3．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是()A．命题¬p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题解析：C命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故¬p是假命题，命题p也是全称量词命题，故选C．4．(多选题)关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是()A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0C．p是真命题，¬p是假命题D．p是假命题，¬p是真命题解析：AC命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，¬p是假命题．5．(多选题)对于下列命题的否定，说法正确的是()A．p：能被2整除的数是偶数；p的否定：存在一个能被2整除的数不是偶数B．p：有些矩形是正方形；p的否定：所有的矩形都不是正方形C．p：有的三角形为正三角形；p的否定：所有的三角形不都是正三角形D．p：∀n∈N，2n≤100；p的否定：∃n∈N，2n>100解析：ABD“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选项C错误，A、B、D正确．6．(多选题)下列四个命题中，其否定是假命题的有()A．有理数是实数B．有些四边形不是菱形C．∀x∈R，x2－2x>0D．∃x∈R，2x＋1为奇数解析：ABD由题意，有理数是实数的否定：有些有理数不是实数，是假命题．有些四边形不是菱形的否定：所有的四边形都是菱形，是假命题．∀x∈R，x2－2x>0的否定：∃x∈R，x2－2x≤0，是真命题．∃x∈R，2x＋1为奇数的否定：∀x∈R，2x＋1都不是奇数，是假命题．7．某中学开展小组合作学习模式，高一某班某组甲同学给组内乙同学出题如下：若命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．乙略加思索，反手给了甲一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的取值范围．你认为这两位同学题中m的取值范围是否一致？________．(填“是”“否”中的一个)解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中m的取值范围是一致的．答案：是8．若命题“存在x<2023，x>a”是假命题，则实数a的取值范围是________．解析：由于命题“存在x<2023，x>a”是假命题，因此其命题的否定“对任意x<2023，x≤a”是真命题．所以a≥2023.答案：{a|a≥2023}9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；(3)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；(4)∃x>1，x2－2x－3＝0.解：(1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0·x＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．(3)这个命题的否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，因为末位数字是0或5的整数都能被5整除，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．(4)这个命题的否定为“∀x>1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．B能力进阶练10．(多选题)对下列命题进行否定，得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有()A．∃x∈N，x＋1＜0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0解析：AC命题的否定是全称量词命题，则原命题为存在量词命题，故排除B选项．命题的否定为真命题，则原命题为假命题．又选项A、C中的命题为假命题，选项D中的命题为真命题，故选AC．11．若命题“∀x∈R，x2＋1>m”是真命题，则实数m的取值范围是() A．m≤1B．m<1C ．m ≥1D ．m >1解析：B ∵x 2＋1的最小值为1，∴m 的取值范围为{m |m <1}．12．设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则①∀x ∈Q ，有x ∈P ；②∀x ∉Q ，都有x ∉P ；③∃x ∉Q ，使得x ∈P ；④∃x ∈P ，使得x ∉Q .正确的表述是________．解析：因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以①、③、④说法错误，②正确． 答案：②13．已知任意0≤x 1≤3，存在14－m ≤x 2≤2，使得x 1≥x 2，则实数m 的取值范围是________．解析：任意0≤x 1≤3，存在14－m ≤x 2≤2，使得x 1≥x 2等价于(x 1)min ≥(x 2)min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m ≥14 C 探索创新练14．甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出了如下预测：甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中；乙说：我不会获奖，丙获奖；丙说：甲和丁中有一人获奖；丁说：乙的猜测是对的．成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符．已知有两人获奖，则获奖的是( )A ．甲和丁B ．甲和丙C ．乙和丙D ．乙和丁解析：D 易知乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不相符，若乙、丁的预测与结果相符，则甲、丙的预测与结果不相符，矛盾，故乙、丁的预测与结果不相符，从而获奖的是乙和丁，故选D．。
全称量词命题与存在量词命题的否定(新版教材)
全称量词命题与存在量词命题的否定基础知识1．命题的否定(1)定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“¬p”，读作“非p”或“p的否定”．(2)结论：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题；反之亦然．2．存在量词命题的否定1．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(C)A．∀x∈R，|x|＋x2<0B．∀x∈R，|x|＋x2≤0C．∃x∈R，|x|＋x2<0D．∃x∈R，|x|＋x2≥0解析：命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”是全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以命题的否定是∃x∈R，|x|＋x2<0.2．“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”的否定是(C)A．∀m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020B．∃m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 020C．∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020D．以上都不对解析：命题“∃m，n∈Z，使得m2＝n2＋2 020”是存在量词命题，其否定为全称量词命题，所以命题的否定是∀m，n∈Z，有m2≠n2＋2 020.3．设命题p：∀x∈(－1,1)，|x|<1，则¬p为(B)A．∃x∈(－1,1)，|x|<1B．∃x∈(－1,1)，|x|≥1C．∀x∈(－1,1)，|x|≥1D．∀x∉(－1,1)，|x|≥1解析：命题p是全称量词命题，其否定¬p为∃x∈(－1,1)，|x|≥1.4．设命题p ：有些三角形是直角三角形，则¬p 为__任意三角形不是直角三角形__. 解析：命题p 是存在量词命题，¬p 为任意三角形不是直角三角形． 5．命题“∃x <1使得x 2≥1”是__真__命题．(选填“真”或“假”)类型 存在量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■典例1 写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假． (1)p ：存在x ∈R,2x ＋1≥0； (2)q ：存在x ∈R ，x 2－x ＋14<0；(3)r ：有些分数不是有理数．思路探究：把存在量词改为全称量词，然后否定结论． 解析：(1)任意x ∈R,2x ＋1<0，为假命题． (2)任意x ∈R ，x 2－x ＋14≥0.因为x 2－x ＋14＝(x －12)2≥0，是真命题．(3)一切分数都是有理数，是真命题． 归纳提升：1.存在量词命题否定的步骤(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．(2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等． 2．存在量词命题否定的真假判断存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可． ┃┃对点训练__■1．将本例(2)改为：q ：存在x ∈R ，x 2－x －1<0，写出它的否定，并判断真假． 解析：任意x ∈R ，x 2－x －1≥0.因为x 2－x －1＝(x －12)2－54，所以不能判断其值大于等于零，为假命题．类型 全称量词命题的否定 ┃┃典例剖析__■典例2 写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)∀a ∈R ，方程x 2＋ax ＋2＝0有实数根；(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；(4)∀n∈N，n2≤2n.思路探究：把全称量词改为存在量词，然后否定结论．解析：(1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行．(2)∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根．(3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．(4)∃n∈N，n2>2n.归纳提升：1.全称量词命题否定的步骤(1)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．(2)否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．2．全称量词命题否定的真假判断方法全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可．┃┃对点训练__■2．写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)p：∀x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|≥2；(2)q：∀x∈R，x3＋1≠0；(3)r：所有分数都是有理数．解析：(1)¬p：∃x∈{－2，－1,0,1,2}，|x－2|<2.例如当x＝2时，|x－2|＝0<2，¬p是真命题．(2)¬q：∃x∈R，x3＋1＝0.例如当x＝－1时，x3＋1＝0，所以¬q是真命题．(3)¬r：存在一个分数不是有理数．由r是真命题可知¬r是假命题．易混易错警示写命题的否定时忽略隐含的量词┃┃典例剖析__■典例3写出下列命题的否定：(1)可以被5整除的数，末位数字是0；(2)能被3整除的数，也能被4整除．错因探究：本题易忽略命题中存在的隐含量词，如“可以被5整除的数”实际上含有全称量词“任何一个”，注意要在否定时改为“存在”．事实上，对于(1)，通常会错解为“可以被5整除的数，末位数字不是0”，而原命题为假命题，错解中命题的否定也是假命题，故此命题的否定错误；(2)的易错点与(1)相仿，易错解为“能被3整除的数，不能被4整除”．解析：(1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：存在可以被5整除的数，末位数字不是0.(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．误区警示：由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“∀x∈m，p(x)”的形式，再把它的否定写成“∃x∈M，¬p(x)”的形式．要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．学科核心素养全称量词命题、存在量词命题为假命题时求参数问题┃┃典例剖析__■已知命题p为假命题求参数的值或取值范围时，通常等价转化为¬p是真命题后，再求参数的值或取值范围．(1)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考查，一般在题目中会出现“恒成立”等词语．解决此类问题，可构造函数，利用数形结合法求参数范围(值)，也可用分离参数法求参数范围(值)．(2)存在量词命题为真命题求参数范围(值)的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常是假设存在满足条件的参数，然后分离参数，并利用条件求参数范围(值)．典例4已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围．思路探究：命题p的否定¬p一定为真命题，可以通过分离参数法，转化为不等式恒成立问题，通过求最值得出m的取值范围；也可以利用二次函数的图像和性质转化为Δ与0的关系，解不等式求解．解析：方法一：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，即m>－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，x∈R恒成立，设函数y＝－(x－1)2＋1，由二次函数的性质知，当x＝1时，y最大值＝1，∴m>y最大值＝1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．方法二：¬p：∀x∈R，x2－2x＋m>0，是真命题，设函数y＝x2－2x＋m，由二次函数的图像和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ<0，即4－4m<0，得m>1，即实数m的取值范围是(1，＋∞)．课堂检测·固双基1．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(C)A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1解析：命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．2．命题“对任意x∈R，都有x2＋2x＋3>0”的否定为(A)A．存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0B．对任意x∈R，都有x2＋2x＋3≤0C．存在x∈R，使得x2＋2x＋3>0D．不存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0解析：命题的否定为“存在x∈R，使得x2＋2x＋3≤0”．3．“∀x>0，x2＋1>|x＋1|”的否定是__∃x>0，使x2＋1≤|x＋1|__.解析：根据含有量词的命题的否定的规则，可以写出：∃x>0，使x2＋1≤|x＋1|.4．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，命题“对于任意a>0，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向上”的否定是__存在一个a>0，使二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像开口向下__. 5．写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假．(1)p：不论m取何实数，方程3x2－2x＋m＝0必有实数根；(2)q：存在一个实数x，使得x2＋x＋1≤0；(3)r：等圆的面积相等，周长相等．解析：(1)全称量词命题p：∀m∈R，方程3x2－2x＋m＝0有实数根，该命题的否定是存在量词命题，¬p：∃m∈R，使得方程3x2－2x＋m＝0没有实数根．当Δ<0，即m>13时，方程没有实数根，所以¬p是真命题．(2)命题q的否定是全称量词命题¬q：∀x∈R，x2＋x＋1>0.易知(x＋12)2＋34>0恒成立，所以¬q是一个真命题．(3)命题r的否定是¬r：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等．由平面几何知识知¬r是一个假命题．A级基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．命题“对任意x∈R，都有|x＋1|＋|x－2|≥3”的否定为(A)A．存在x∈R，使得|x＋1|＋|x－2|<3B ．对任意x ∈R ，都有|x ＋1|＋|x －2|<3C ．存在x ∈R ，使得|x ＋1|＋|x －2|≥3D ．不存在x ∈R ，使得|x ＋1|＋|x －2|<3解析：命题的否定为“存在x ∈R ，使得|x ＋1|＋|x －2|<3”．2．已知全集U ＝R ，A ⊆U ，B ⊆U ，如果p ：a ∈(A ∪B )，那么“¬p ”是( D ) A ．a ∈A B ．a ∈∁U BC ．a ∉(A ∩B )D ．a ∈[(∁U A )∩(∁U B )]解析：“p 或q ”的否定是“非p 且非q ”，所以“a ∈(A ∪B )”的否定为“a ∉A 且a ∉B ”，即“a ∈[(∁U A )∩(∁U B )]”．3．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥2x ＋1”的否定是( D ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1 C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <2x ＋1 D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <2x ＋1解析：将“∀x ∈R ”改为“∃x ∈R ”，“∃n ∈N *”改为“∀n ∈N *”，“ n ≥2x ＋1”改为“n <2x ＋1”即可．4．若x 是不为零的实数，则命题∀m ∈[0,1]，x ＋1x ≥2m 的否定形式是( D )A ．∀m ∈[0,1]，x ＋1x <2mB ．∃m ∈[0,1]，x ＋1x≥2mC ．∃m ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，x ＋1x ≥2mD ．∃m ∈[0,1]，x ＋1x<2m解析：∀m ∈[0,1]，x ＋1x ≥2m 的否定是∃m ∈[0,1]，x ＋1x <2m ，全称量词命题的否定是换量词，否结论，不改变条件．故选D ．5．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( C ) A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C ．[－1,2]D ．(－1,2)解析：依题意得：∀x 0∈R ，x 20＋2mx 0＋m ＋2≥0，Δ＝(2m )2－4(m ＋2)≤0解得：－1≤m ≤2，即m ∈[－1,2]． 二、填空题(每小题5分，共15分)6．“∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0”的否定是__∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0__.解析：这是一个存在量词命题，其否定为全称量词命题，故该命题的否定为∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0.7．静宁一中开展小组合作学习模式，高一某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求m 的取值范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题，求m 的取值范围．你认为，两位同学所出的题中m 的取值范围是否一致？__是__(填“是”或“否”)解析：原命题是假命题，则该命题的否定是真命题，所以两位同学所出的题中m 的取值范围是一致的．8．已知非空集合M ，P ，则下列条件中，能得到命题“M ⊆P ”是假命题的是__④__. ①∀x ∈M ，x ∉P ； ②∀x ∈P ，x ∈M ；③∃x 1∈M ，x 1∈P 且x 2∈M ，x 2∉P ； ④∃x ∈M ，x ∉P .解析：M ⊆P 等价于∀x ∈M ，x ∈P ，因为“M ⊆P ”是假命题，所以其否定为∃x ∈M ，x ∉P ，它是真命题，故能得到“M ⊆P ”是假命题的条件是∃x ∈M ，x ∉P .故只有④符合条件． 三、解答题(共20分)9．(10分)命题p ：存在x >a ，使得2x ＋a <3.若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围． 解析：命题p 为假命题，则¬p ：任意的x >a ，都有2x ＋a ≥3为真命题．由此可得2a ＋a ≥3，即a ≥1.所以实数a 的取值范围是[1，＋∞)．10．(10分)命题p 是“对任意实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”．其中a ，b 是常数． (1)写出命题p 的否定；(2)a ，b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？解析：(1)根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，¬p ：∃x ∈R ， 满足x －a ≤0且x －b >0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x －b >0，得b <x ≤a ，所以当a >b 时，命题p 的否定为真．。
全称量词命题与存在量词命题的否定
2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)“至多有一个”的否定为___至__少__有__两__个________．
(2) 已 知 命 题 p ： ∀ x∈[2 ， ＋ ∞ ) ， x2≥4 ， 则 它 的 否 定 是 _∃_x_∈__[_2_，__＋__∞__)_，__x_2<_4________.
(3)∃x∈R，|x＋1|≤1.
[解] (1)命题的否定为“任意一个奇数都能被3整除”．这个命题是假 命题，如5是奇数，但5不能被3整除．
(2)命题的否定为“任意一个三角形的三个内角不都是60°”．这个命 题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°.
(3) 命 题 的 否 定 为 “ ∀ x∈R ， |x ＋ 1|>1” ． 这 个 命 题 为 假 命 题 ， 如 x ＝ 0
[跟踪训练 2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假．
(1)有些实数的绝对值是正数；
(2)∃x∈R，x2＋x＋14<0； (3)至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.
解 (1)命题的否定为“所有实数的绝对值都不是正数”．这个命题是
假命题，如 2 的绝对值是正数．
(2)命题的否定为“∀x∈R，x2＋x＋14≥0”．
这个命题是真命题，因为当 x∈R 时，x2＋x＋14＝x＋122≥0. (3)命题的否定为“∀x∈R，x3＋1≠0”．这个命题是假命题，因为 x＝
1．对存在量词命题的否定及其特点的理解 存在量词命题的否定是一个全称量词命题，给出存在量词命题的否定 时既要改变存在量词，又要否定结论，所以找出存在量词，明确命题所提 供的结论是对存在量词命题否定的关键． 2．对全称量词命题的否定及其特点的理解 (1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否 定时既要改变全称量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确命题所 提供的结论是对全称量词命题否定的关键． (2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般先改写为含有全 称量词的命题，再写出命题的否定．
全称量词与存在量词及其否定
例2 写出下列特称命题的否定：
（1）p： ? x0∈R，x02＋2x0＋2≤0；
（2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有一个素数含有三个正因数 .
（1）﹁p：? x∈R，x2＋2x＋2＞0；
（2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形
（3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数.
例1 判断下列特称命题的真假： 1）有一个实数x，使x 2 +2x+3=0成立； 2）存在两个相交平面垂直同一条直线；
3）有些整数只有两个正因数.
理论迁移
例1 下列命题是全称命题还是特称命 题，并判断其真假 .
（1）任意实数的平方都是正数； 全称命题（假）
（2）0乘以任何数都等于 0； 全称命题（真）
? 做全称量词 ．用符号“ ”表示。
含有全称量词的命题，叫做 全称命题。
例如： 1）对任意 n ?Z, 2 n ? 1 是奇数。 2）所有的正方形都是矩形。
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的 取值范围 用M表示。 全称命题“对 M 中任意一个x， 有p(x )成立. 简记为: ? x ? M,p(x)
3)存在一个 x ? R, 使 2x ? 1 ? 3； 4)至少有一个 x ? Z , x能被 2和3整除。
短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常
叫做存在量词．用符? 号“ ”表示。
含有存在量词的命题，叫做 特称命题。
例如：
1）有一个素数不是奇数。 2）有的平行四边形是菱形。
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x 的取值范围用 M表示。 特称命题“存在 M 中的一个x ，使p(x )成立. 简记为: ? x ? M,p(x) 读作“存在一个x属于M，使P(x)成立”。
高一数学全称量词命题和存在量词命题的否定乐乐课堂
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摘要：
：
1.全称量词和存在量词的定义与用法
2.全称量词命题的否定
3.存在量词命题的否定
4.总结
正文：
在高中数学的学习中，我们经常会遇到全称量词和存在量词这两种量词。
它们分别用于表示全称命题和特称命题，是逻辑推理中不可或缺的组成部分。
下面我们将详细介绍全称量词命题和存在量词命题的否定。
首先，我们来回顾一下全称量词和存在量词的定义与用法。
全称量词通常用符号“”表示，存在量词通常用符号“”表示。
全称量词用于表示整体或全部的含义，例如“所有”、“每一个”等；存在量词则用于表示个别或者部分的含义，例如“存在一个”、“至少有一个”等。
接下来，我们来讨论全称量词命题的否定。
全称量词命题的否定可以通过对其量词和命题部分进行否定得到。
具体来说，全称量词命题的否定可以表示为“存在一个元素x 属于M，使得p(x) 不成立”。
例如，原命题“对于所有的x，x^2 大于0”的否定是“存在一个x，使得x^2 小于等于0”。
然后，我们再来看存在量词命题的否定。
与全称量词命题的否定类似，存在量词命题的否定也可以通过对量词和命题部分进行否定得到。
具体来说，存
在量词命题的否定可以表示为“对于所有的x 属于M，p(x) 都不成立”。
例如，原命题“存在一个x 属于R，使得x^2 等于1”的否定是“对于所有的x 属于R，x^2 都不等于1”。
综上所述，全称量词命题和存在量词命题的否定是逻辑推理中常见的概念，它们在解决实际问题中起着重要作用。
全称量词命题和存在量词命题的否定乐乐课堂
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摘要：
一、全称量词命题和存在量词命题的定义
二、全称量词命题和存在量词命题的否定规则
三、否定规则在实际问题中的应用
四、总结
正文：
一、全称量词命题和存在量词命题的定义
全称量词命题是指对集合A中的所有元素x都成立的命题，通常用“对于所有的x，P(x)”来表示。
存在量词命题是指集合A中至少存在一个元素x，使得P(x)成立，通常用“存在一个x，使得P(x)”来表示。
二、全称量词命题和存在量词命题的否定规则
对于全称量词命题的否定，我们需要将原命题中的“所有的”改为“存在一个不”，并将谓词P(x)取反。
即：对于所有的x，P(x)的否定是：存在一个x，使得非P(x)。
对于存在量词命题的否定，我们需要将原命题中的“存在一个”改为“所有的”，并将谓词P(x)取反。
即：存在一个x，使得P(x)的否定是：对于所有的x，非P(x)。
三、否定规则在实际问题中的应用
假设有一个全称量词命题：“对于所有的学生，努力学习可以获得好成绩。
”我们可以通过否定规则将其改写为存在量词命题的否定形式：“所有的学
生，不努力学习都会获得差成绩。
”
四、总结
全称量词命题和存在量词命题的否定规则可以帮助我们对命题进行改写，从而更好地理解和分析问题。
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写出下列命题的否定 1)有些实数的绝对值是正数；
x M,p(x)
2)某些平行四边形是菱形；
3)x R, x 2 1 0
否定: 1)所有实数的绝对值都不是正数; 2)每一个平行四边形都不是菱形; 3) x R, x 2 1 0
x M,p(x) x M,p(x)
（2）﹁p： x∈R，x2＋2x＋2≠0； 真命题
已知：对x R , x ax 1 0
2
恒成立，求a的取值范围.
变式：已知：对x R , 方程 cos x sin x 3 a 0有解，
2
求a的取值范围.
思考：
e 1 已知 f ( x) x , e 1
短语“所有的”“任意一个” 在逻辑中通常叫 做全称量词．用符号“ ”表示。 含有全称量词的命题，叫做全称命题。 例如：
等.
1 ）对任意 n , 2 n 1是奇数。 Z 2 ）所有的正方形都是矩形。
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 全称命题“对 M中任意一个x， 有p(x)成立. 简记为:x M,p(x)
读作“任意x属于M，有P(x)成立”。
例1 判断下列全称命题的真假： 1）所有的素数都是奇数；
2）x R, x 1 1; 2 3）对每一个无理数x，x 也是无理数.
2
想一想？？
下列语句是命题吗？ 1 ）与）， ）与4 ）之间 常见的存在量词还有 3 2 有什么关系？
“有些” “有一个” “对某个” “有 1)2 x 1 3； 2) x能被2和3整除； 的”等.
1)存在一个矩形不是平行四边形；x M,p(x)
3)x R, x 2 x 1 0
2
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论 全称命题 p : x M,p(x) 它的否定 p : x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
含有一个量词的特称命题的否定,有下面的 结论
特称命题 p : x M,p(x) 它的否定
p : x M,p(x)
例2 写出下列特称命题的否定： （1）p： x0∈R，x02＋2x0＋2≤0； （2）p：有的三角形是等边三角形； （3）p：有一个素数含有三个正因数.
（4）某些三角形的三内角都小于60°； 特称命题（假） （5）任何一个实数都有相反数. 全称命题（真）
例2 判断下列命题的真假. （1） x∈R，x2＞x； （2）x∈R，sinx＝cosxtanx； （3） x∈Q，x2－8＝0； （4）x∈R，x2＋x＋1＞0； （5）x∈R，sinx－cosx=2； （6） ，b∈R， b 2 ab a a
3)存在一个 x R, 使2 x 1 3； 4)至少有一个x Z , x能被2和3整除。
短语“存在一个”“至少一个” 在逻辑中通常 叫做存在量词．用符号“ ”表示。 含有存在量词的命题，叫做特称命题。
例如： 1 ）有一个素数不是奇数。 2 ）有的平行四边形是菱形。
通常，将含有变量x的语句用p(x)、q(x)、 r(x)表示，变量x的取值范围用M表示。 特称命题“存在 M中的一个x ，使p(x.4.3 含有一个量词的命题的否定
想一想？
写出下列命题的否定
1)所有的矩形都是平行四边形； x M,p(x)
2)每一个素数都是奇数； 2 3)x R, x 2 x 1 0 否定:
2)存在一个素数不是奇数；
x M,p(x) x M,p(x)
（1）﹁p： x∈R，x2＋2x＋2＞0；
（2）﹁p：所有的三角形都不是等边三角形
（3）﹁p：每一个素数都不含三个正因数.
例3 写出下列命题的否定，并判断 其真假： （1）p：任意两个等边三角形都相似 （2）p： x0∈R，x02＋2x0＋2＝0；
（1）﹁p：存在两个等边三角形，它们 不相似； 假命题
x
g ( x) x m x , (m 0)
若对x0 R ，总t0 ，使得 f ( x0 ) g (t0 ) 求m的取值范围.
理论迁移 例1 写出下列全称命题的否定： （1）p：所有能被3整除的整数都是奇数 （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆 （3）p：x∈Z，x2的个位数字不等于3.
（1）﹁p：存在一个能被3整除的整数不 是奇数； （2）﹁p：存在一个四边形，其四个顶 点不共圆； （3）﹁p：x0∈Z，x02的个位数字等于3.
简记为:x M,p(x)
读作“存在一个x属于M，使P(x)成立”。
例1 判断下列特称命题的真假： 1）有一个实数x，使x2 +2x+3=0成立；
2）存在两个相交平面垂直同一条直线； 3）有些整数只有两个正因数.
理论迁移 例1 下列命题是全称命题还是特称命 题，并判断其真假. （1）任意实数的平方都是正数； 全称命题（假） （2）0乘以任何数都等于0； 全称命题（真） （3）有的老师既能教中学数学，也能 教中学物理； 特称命题（真）
全称量词与存在量词
想一想？？ 常见的全称量词还有 ）与 ）之间有什么关系？ 下列语句是命题吗？ 3 2 4 1 ）与），
1) x “一切” “每一个” “任给” “所有的” 3 2)2 x 1 是整数 3)对所有的 x R, x 3 4)对任意一个x Z , 2 x 1是整数