第2章 正投影基础
2第二章：正投影法基础
• 如图所示，已切圆 锥体的三面投影以 及圆锥面上一点A 的正面投影a‘，求 作它的水平投影a 和侧面投影a”。 • 解１ • 解２
• 3、圆球体 • 球是由球面围成的。球面可看作是圆(母线) 绕其作为轴线的直径旋转180度而成。 球的投影特点： 圆球体的三个投影都是直径相等的圆。如图 所示，正面投影是平行于v面的圆素线的投影，该 素线的水平投影和圆球的水平投影的横向中心线 重合，侧面投影和圆球的侧面投影的竖向中心线 重合。 • 圆球的水平投影的轮廓线是平行于H面的圆 素线的投影。 • 圆球的侧面投影轮廓线是平行于w面的圆的 素线的投影。 • 例１ 例２
• 直线与平面、平面与平面的相对位置，除 了直线位于平面上或两平面位于同一平面 上的特例外，只可能是平行或相交。垂直 是相交中的一个特例。 • 一、平行 • 二、相交 • 三、垂直
• 一、平行 • 1、特殊情况 A、当平面为投影面的垂直面时，只要直线的 投影与平面的具有积聚性的投影平行时，或直线 也为该投影面的垂直线，则直线与平面必定平行。 B、当两平面同为某一投影面的垂直面，只要 它们的积聚投影平行，则两面必定平行。
• 一般位置平面 当平面与三个投影面均倾斜时，称为一般位置 ∆ABC 平面，如图。图中用∆ABC来表示平面，投影因 得到三个三角形的投影，均为封闭线框，与 ∆ABC类似，但不反映∆ABC的实形，面积均比 ∆ABC小。一般位置平面的投影特性是：三个投 影仍是平面图形，与空间平面图形类似，且面积 缩小。
2.3.2 曲面立体的投影
• 曲面立体由曲面或曲面和平面所围成，工 程上常用的曲面立体(如图)有圆锥、圆柱、 圆球 • １、圆柱 • ２、圆锥 • ３、圆球
圆柱 圆柱面可以看作直线绕与它平行的轴线旋转而成。 该直线称为“母线”，它的任何位置称为“素线” • 1．圆柱体的投影特点 如图所示，圆柱的轴线是一条铅垂线，则圆 柱面上所有直素线都是铅垂线：圆柱面的水平投 影为一圆周，有积聚性，这个圆周上的任意点， 是圆柱面上相应位置素线的水平投影： 圆柱正面投影中左、右两轮廊线是圆柱面上最左、 最右素线的投影。它们把圆柱面分为前后两半， 前半可见，而后半不可见，是可见和不对见的分 界线。 • 例１ • 例２
第二章 正投影作图基础
二、直线的投影
1．直线的投影特性：
直线对投影面的位置有三种情况：
（1）直线平行于投影面（图2-21a）
（2）直线垂直于投影面（图2-21b） （3）直线倾斜于投影面（图2-21c）
2.直线在三投影面体系中的投影特性
1）投影面平行线——只平行于一个投影面，与另外两 个投影面倾斜的直线。
水平线 正平线 侧平线
称为圆柱面的素线。
图2－23 圆柱的三视图
四、圆锥
圆锥是由圆锥面和底面围成。圆锥面可看做是
由一条直母线绕与其相交的轴线回转而成。
图2－24 圆锥的三视图
五、圆球
圆球的表面可看做是由一条圆母线绕其直径回
转而成。
图2－25 球的三视图
六、基本体的尺寸标注
视图用来表达物体的形状，物体的大小则要由视图上 标注的尺寸数字来确定。
图2－23 判断直线与投影面的相对位置
三、平面的投影
1.平面的投影特性
平面对投影面的位置有以下三种情况： （1）平面平行于投影面 （2）平面垂直于投影面 （3）平面倾斜于投影面
2．平面在三投影面体系中的投影特性
1）投影面平行面——平行于一个投影面，垂直于另外 两个投影面的平面。
正平面
水平面
2）投影面垂直线
投影面垂直线——垂直于一个投影面，与另外两个 投影面平行的直线。
铅垂线 正垂线 侧垂线
3）一般位置直线
一般位置直线——既不平行也不垂直于任何一个投 影面，即与三个投影面都处于倾斜位置的直线。
三个投影均不反映实长；与投影轴的夹角不反映空间直 线对投影面的倾角。
【例2－5】分析正三棱锥各棱线和底边与投影面 的相对位置。
机械制图第2章正投影基础
为比原形状小的类似形。
E
L K
F
M
α
f
e
H
在该面上的投影长度 变短，ef=EFcosα。
l k
m H
在该面上的投影 △klm面积变小。
2.2 三视图的形成及其投影关系
2.2.1 视图的基本概念 2.2.2 三视图的形成 2.2.3 三视图之间的关系 2.2.4 三视图的作图方法与步骤
2.2.1 视图的基本概念
（3）投影面垂直线
投影面垂直线 投影特性:
正垂线 ——与V面垂直的直线
铅垂线 ——与H面垂直的直线
侧垂线 ——与W面垂直的直线
① 在垂直的投影面上的投影，积聚成一点。
② 在另外两个投影面上的投影，平行于投影轴 （与直线相平行的投影轴），且反映实长。
（3）投影面垂直线
正垂线
投影特性: ① a’b’积聚成一点。
(1)两点相对位置的确定
例2-3 如图所示，试判断点B相对于点A的空间位置 。
yA
yB
zB
zA
xA
xB
X坐标值确定两点的左右位置 大者为左，小者为右；XA<XB Y坐标值确定两点的前后位置
大者为前，小者为后；YA<YB
Z坐标值确定两点的上下位置 大者为上，小者为下；ZA>ZB 结论:
B 点在A点的左、前、下方。
直线按与投影面的相对位置不同分为三类： 一般位置直线
不平行于任一投影面的直线。
投影面平行线
与 的一 直个 线投 。影面平行，与特另殊二位个投置影直面线倾斜
投影面垂直线
与一个投影面垂直，与另二个投影面平行 的直线。
直线与H面、V面、W面的倾角，分 别用α、β、γ表示
第2章正投影法基础
W
Y
2.三视图的形成
主视图 左视图 俯视图
⒉ 三个投影面的展开及投影规律
上
主视
上 右
左
主视
后
左视 前
下 后 左
俯视
下 右
俯视
前
基本投影面的展开方法：V面不动，其它各投影面按图 中箭头所指方向转至与V面共面位置。
主视俯视长相等且对正 俯视左视宽相等且对应 主视左视高相等且平齐
长对正 宽相等 高平齐
a k● b a
●
k
b
a k● b
因k不在a b上， 故点K不在AB上。
还可应用定比定理来解答此题
二、 各种位置直线的投影特性
投影面平行线
统称特殊位置直线 平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
投影面垂直线
垂直于某一投影面而 与其余两投影面平行
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
b YH
投影面垂直线
铅垂线
a
b
●
正垂线
c(d)
●
侧垂线
e f e(f)
●
a b
d c
d c e f
a(b)
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性，积聚 为一个点。 ② 另外两个投影，反映线段实长；且垂直于相应的 投影轴。
例5：试过已知点A，作一长度为15mm的侧 垂线。
8
5 a
2.4
直线的投影
一、直线的投影特性 1.直线的投影
a ●
●
a
●
一般情况下，直线的投影仍为 直线。 两点确定一条直线，将两 点的同面投影用直线连接， 就得到直线的投影。
a●
●
第二章 正投影的基本知识
投影面平行面： 平行于某一个投影面的平面。
一般位置平面： 对三个投影面都倾斜的平面。
图2-33 平面相对于投影面的位置
c′
Z a″
c″ b″
(2)、投影面垂直面
a′ X a b b′
铅垂面
正垂面 侧垂面
YW
c
YH
投影面垂直面的投影特性
•在其垂直的投影面上的投影积聚成与该投影面内的 两根投影轴倾斜的直线；该直线与相邻投影轴的夹 角反映该平面对另两个投影面的倾角。 •另外两个投影面上的投影均为空间平面的类似形。
xA<xB
yA>yB
,
故A点在右，B点在左 ,
YW
故B点在后，A点在前
zA>zB
,
YH
故A点在上，B点在下
2.重影点 空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。 被挡住的投 影加( )
A、C为H面的重影点
a
● ●
a
c
c●
●
a (c )
●
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
d”
c”
d
结论：两直线不平行
2.相交 如果空间两直线相交，则它们的同面投 影必定相交，且交点符合点的投影规律；反之， 如果空间两直线的同面投影相交，且交点符合点 的投影规律，则这两直线在空间一定相交。
[例2-5]
判断两直线是否相交？
z
d'
可用两种方法判断： 方法一 分割线段成定比 方法二 画第三投影
Y
YH
2.投影面上的点
到某个投影面的距离（一个坐标值） 为零。
YW YH
Y
3.投影轴上的点 到某两个投影面的距离（二பைடு நூலகம்坐标值）
第二章 正投影基础
X
O
a
d2
b1
注：BD的实长=AC的实长。 BD的实长=AC的实长。 的实长=AC的实长
YBD /2
e
c
第二章 正投影基础
直线的投影（ 12页 2-2 直线的投影（第12页）
c’ b’ ZAB ZAC
c（d） （ ） c（b、d） （ 、 ） d’ 60° 60° a’
X
a
O
第二章 正投影基础
直线的投影（ 11页 2-2 直线的投影（第11页）
5、在直线段MN上取一点A，使其距H面为15mm， 在直线段MN上取一点A 使其距H面为15mm， MN上取一点 15mm 作出点A的两面投影。 作出点A的两面投影。
m’ ZMA a’ 15mm n’ m a n ZAN ZMA ZAN
X
O
第二章 正投影基础
直线的投影（ 12页 2-2 直线的投影（第12页）
6、已知正方形 ABCD的对角线AC的 的对角线AC ABCD的对角线AC的 两面投影，且顶点D 两面投影，且顶点D 距H面为10mm，试完 面为10mm， 10mm 成正方形的两面投影 两个答案）。 （两个答案）。
两直线的相对位置（ 13页 2-3 两直线的相对位置（第13页）
2、已知点M的正面投影，作直线MN∥AB， 已知点M的正面投影，作直线MN∥AB， MN 且使端点N 面和V面的距离均为20mm 20mm。 且使端点N距H面和V面的距离均为20mm。
a’ 20mm c’ n’
b’
m’
X
b 20mm c m n
4、已知ABCDE共面，试完成五边形的水平投影。 已知ABCDE共面，试完成五边形的水平投影。 ABCDE共面
第2章 正投影法基础
第2章正投影法 基础
正投影法基础
§2-1 投影法的基本概念
一、中心投影法 二、平行投影法 三、正投影法中平面和直线的投影特点
正投影法基础
一、投影方法
物体在投影面上的影像称投影， 获得投影的方法称投影法。
投射线
S
投射中心
A
空间点
投影
b
a 投影
空间点
B
投影面
正投影法基础
二、投影法的种类
V
水平投影面（简称水平面或H面） 侧立投影面（简称侧面或W面）
X
O
投影轴
OX轴 V面与H面的交线
OY轴 H面与W面的交线
Y
OZ轴 V面与W面的交线
正投影法基础
将物体置于三个相互垂直的投影面内
V
正投影法基础
二、三视图的形成
视图的概念
视图就是将物体向投影面投射所得的图形。
在V面中的投影称为正面投影—主视图；
正投影法基础
§2-3 立体表面几何元素的投影分析
一、立体上点的投影 二、立体上直线的投影
三、立体上平面的投影
正投影法基础
一、立体上点的投影
1.点在一个投影面上的投影 P
a A
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
P
b B1 B3 B2
正投影法基础
一、立体上点的投影
2. 点的三面投影 V Z a●
b
●
YH
B点在A点之前、 之右、之下。
重影点
A、C为H面的重影点
a
● ●
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
a c
c ●
第二章 正投影法基础
例题：判断下列直线的位置
a' b' a'
b' a b
b a
2、直线上点的投影
（1）点在直线上，则点的各个投影必定在该直 线的同面投影上；并且符合点的投影特性。 （2） 点在直线上，分割线段成定比。 ac:cb = a‘c‘:c‘b‘ = a‖c‖:c‖b‖ = AC:CB b‘ a‘
X Z
b‖
c‘
a
b
重影点：
A、C为H面的重影点
a
● ●
空间两点在某一投 影面上的投影重合为一 点时，则称此两点为该 投影面的重影点。
被挡住的投 影加( )
a c
c●
●
a (c )
●
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
二、直线的投影
1、各种位置直线的投影特性 作直线的投影实际上就是作直线两端点的投影。
正平线（∥Ｖ面）
●
O
X
ax
●
A
O
a
Y
●
H
Y
点的投影规律:
① aa⊥OX轴 ② aax=y=A到V面的距离 aax=z=A到H面的距离
4、点在三投影面体系中的投影
在V、H两面系基础上增加侧立投影面W，构成了三面投影系。 不动
Z
向右翻
Z
V
V
a
●
az
●
a
●
az
O
●
a
W
X
ax
A O
●
a W
X
ax a
●
ay
Y
a 向下翻
斜三棱锥
1.棱柱 ⑴ 棱柱的组成
由两个底面和若干侧棱面 组成。侧棱面与侧棱面的交线 叫侧棱线，侧棱线相互平行。
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第2章正投影基础本章提要本章主要介绍投影法的基本概念和构成物体的基本几何元素点、线、面的投影特性、作图原理和方法；直线与直线、直线与平面的相对位置关系。
为解决求直线的实长和平面的实形的问题，还介绍了点、线、面的变换投影面的方法。
2.1投影法及三视图的形成2.1.1投影法在日常生活中人们注意到，当太阳光或灯光照射物体时，墙壁上或地面上会出现物体的影子。
投影法就源自这种自然现象。
如图2-1所示，平面P为投影面，不属于投影面的定点S为投影中心。
过空间点A由投影中心可引直线SA，SA为投射线。
投射线SA与投影面P的交点a，称作空间点A在投影面P上的投影。
同理，点b是空间点B在投影面P上的投影（注：空间点以大写字母表示，其投影用相应的小写字母表示）。
由此可知，投影法是投射线通过物体向预定投影面进行投影而得到图形的方法。
图2-1投影法图图2-2中心投影法2.1.2投影法的分类投影法一般分为中心投影法和平行投影法两类。
1、中心投影法投射线从投影中心出发的投影法，称为中心投影法，所得到的投影称为中心投影，如图2-2所示，通过投影中心S作出△ABC在投影面P上的投影：投射线SA、SB、SC分别与投影面P交于点a、b、c，而△abc就是△ABC在投影面P上的投影。
在中心投影法中，△ABC的投影△abc的大小随投影中心S距离△ABC的远近或者△ABC 距离投影面P的远近而变化。
因此它不适合绘制机械图样。
但是，根据中心投影法绘制的直观图立体感较强，适用于绘制建筑物的外观图。
2、平行投影法投射线相互平行的投影法，称为平行投影法，所得到的投影称为平行投影。
根据投射线与投影面的相对位置，平行投影法又分为：斜投影法和正投影法。
（1）斜投影法投射线倾斜于投影面时称为斜投影法，所得到的投影称为斜投影，如图2-3所示。
（2）正投影法投射线垂直于投影面时称为正投影法，所得到的投影称为正投影，如图2-4所示。
绘制工程图样主要用正投影，今后如不作特别说明，“投影”即指“正投影”。
图2-3 斜投影图2-4 正投影2.1.3平行投影的基本性质1、类似性在平行投影中，直线的投影一般还是直线。
如图2-5所示，直线AB的投影仍为直线ab。
平面图形的投影一般仍为原图形的类似形，如图2-4所示，三角形的投影仍为三角形。
2、定比性若点在直线上，则点的投影必在该线的同面投影上，且该点分线段之比，投影后保持不变。
如图2-6所示，点K在直线AB上，则点K在投影面P上的投影必落在ab上，若点K 分AB成定比AK:KB，则点K的投影k亦分ab成相同比例，即ak:kb=AK:KB。
图2-5类似性图2-6定比性3、实形性当直线或平面平行于投影面时，其投影反映原直线或原平面图形的实形。
投影的这种性质，称为实形性，如图2-7所示。
4、积聚性当直线或平面与投影线平行时，其投影积聚成一点或直线。
如图2-8所示，这种投影性质称为投影的积聚性。
图2-7实形性图2-8积聚性5、平行性在空间互相平行的两直线其投影仍互相平行。
如图2-9所示，空间两直线AB∥CD，它们在P面上的投影ab∥cd。
图2-9平行性图2-10 三投影面体系的建立2.1.4三视图的形成一般机械工程图样大都是采用正投影法绘制的正投影图。
用正投影法所绘制的图形称为视图。
1、三投影面体系的建立如图2-10所示，三投影面体系由三个互相垂直的投影面组成。
其中V面称为正立投影面，简称正面；H面称为水平投影面，简称水平面；W面称为侧立投影面，简称侧面。
在三投影面体系中，两投影面的交线称为投影轴，V面与H面的交线为OX轴，H面与W面的交线为OY轴，V面与W面的交线为OZ轴。
三条投影轴的交点为原点O。
三个投影面把空间分成八个部分，称为八个分角。
分角分别为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ，如图2-10所示。
2、三视图的形成如图2-11（a）所示，将物体放在三投影面体系内，分别向三个投影面投影，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90º，W面绕OZ轴向右旋转90º，与V面处于同一平面上，如图2-11（b）和2-11（c）所示。
这样便得到的物体的三视图。
V面上的视图称为主视图，H面上的视图称为俯视图，W面上的视图称为左视图。
画图时，投影面的边框及投影轴不必画出，如图2-11（d）所示。
（a）（b）（c）（d）图2-11三视图的形成图2-12三视图中的相对位置关系3、三视图中的相对位置关系主视图反映左右、上下关系，俯视图反映左右、前后关系，左视图反映前后、上下关系如图2-12所示。
2.2点的投影点是最基本的几何元素，一切几何形体都可看成是点的集合。
因此，我们应从点的投影出发开始研究形体的投影。
2.2.1点在三投影面体系中的投影如图2-13（a）所示，第一分角内有一点A，将其分别向H、V、W面投影，得到水平投影a、正面投影aˊ和侧面投影a″。
移去空间点A，保持V面不动，将H面绕OX轴向下旋转90º，W面绕OZ轴向右旋转90º，H、W面与V面处于同一平面，即得到点A的三面投影图，如图2-13（b）所示。
图中OY轴被假想分为两条，随H面旋转的称为OY H轴，随W面旋转的称为OY W轴。
投影轴中不必画出投影面的边界，如图2-13（c）所示。
（a）（b）（c）图2-13 点在三投影面体系中的投影2.2.2点的直角坐标与三面投影规律如图2-10所示，若将三投影面体系当作直角坐标系，则投影面V、H、W相当于坐标面，投影轴OX、OY、OZ相当于坐标轴X、Y、Z，原点O相当于坐标原点O。
原点把每一个轴分成两部分，并规定：OX轴从O向左为正，向右为负；OY轴向前为正，向后为负；OZ轴向上为正，向下为负。
因此，第一分角内的点，其坐标值均为正。
如图2-13（b）所示，点A的三面投影与其坐标间的关系如下：1、空间点的任一投影，均反映了该点的某两个坐标值，即a(x A,y A), a＇(x A,z A), a″(y A, z A)。
2、空间点的每一个坐标值，反映了该点到某投影面的距离，即：x A=aa H Y=a′a Z =A到W面的距离；y A=aa X=a″a Z = A到V面的距离；z A=a′a X= a″a W Y= A到H面的距离。
由上可知，点A的任意两个投影反映了点的三个坐标值。
有了点A的一组坐标（x A， y A，z A），就能唯一确定该点的三面投影（a ，a′，a″）。
根据以上分析，可以得出点在三投影面体系中的投影规律：1、点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴；2、点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴；3、点的水平投影和侧面投影具有相同的y坐标。
2.2.3两点间的相对位置两点间的相对位置是指空间两点之间上下、左右、前后的位置关系。
根据两点的坐标，可判断空间两点间的相对位置。
两点中，x坐标值大的在左，；y坐标值大的在前；z坐标值大的在上。
图2-14（a）中，x A>x B，则点A在点B之左；y A>y B，则点A在点B之前；z A<z B，则点A在点B之下。
即点A在点B之左、前、下方，如图2-14（b）所示。
（a）（b）图2-14 两点间的相对位置2.2.4重影点属于同一条投射线上的点，在该投射线所垂直的投影面上的投影重合为一点。
空间的这些点，称为该投影面的重影点。
在图2-15（a）中，空间两点A、B属于对H面的一条投射线，则点A、B称为H面的重影点，其水平投影重合为一点a(b)。
同理，点C、D称为对V 面的重影点，其正面投影重合为一点c′(d′)。
（a）（b）图2-15 重影点当空间两点在某投影面上的投影重合时，其中必有一点的投影遮挡着另一点的投影，这就出现了重影点的可见性问题。
在图2-15（b）中，点A、B为H面的重影点，由于z A>z B，点A在点B的上方，故a可见，b不可见（点的不可见投影加括号表示）。
同理，点C、D为V面的重影点，由于y C>y D，点C在点D的前方，故c′可见，d′不可见。
显然，重影点是两个坐标值相等，第三个坐标值不等的空间点。
因此，判断重影点的可见性，是根据它们不等的唯一坐标值来确定的，即坐标值大的可见，坐标值小的不可见。
2.3直线的投影2.3.1直线的投影直线的投影一般仍为直线，特殊情况下，可积聚成一点。
（即前面2.1.3平行投影的基本性质中的类似性和积聚性）根据初等几何知识：两点确定一条直线。
我们用直线段的投影表示直线的投影，即作出直线段上两端点的投影，则两点的同面投影连线为直线的投影，如图2-16所示。
另外，已知直线上一点的投影和该直线的方向，也可画出该直线的投影。
（a）（b）（c）图2-16 直线的投影2.3.2各种位置直线及其投影特性根据直线相对投影面的位置不同，直线可分为三类：1、投影面平行线；2、投影面垂直线；3、一般位置直线。
前两类统称为特殊位置直线。
直线与其水平投影、正面投影、侧面投影的夹角，分别称为该直线对投影面H、V、W 的倾角，分别用α、β、γ表示。
1、投影面平行线及其投影特性平行于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的直线称为投影面平行线。
它又分为三种：（1）水平线（只∥H面）；（2）正平线（只∥V面）；（3）侧平线（只∥W面）。
（见表2-1所示）下面以水平线为例介绍其投影特性：1）水平线的正面投影平行OX轴，侧面投影平行于OY轴，且均小于实长。
因为AB上各点与H面等距，即z坐标相等，所以 a′b′∥OX,a″b″∥OY。
同时，a′b′=AB•cosß<AB，a″b″=AB•cosγ<AB。
2）水平线的水平投影反映直线实长。
因为ABba是矩形，ab∥AB，所以ab=AB。
3）水平线的水平投影与OX、OY轴的夹角分别反映该直线对V面、W面的倾角β、γ。
因为AB∥ab，a′b′∥OX，a″b″∥OY，所以ab与OX、OY的夹角即为AB对V面、W面的真实夹角β、γ。
同理，也可得出并可证明正平线和侧平线的投影特性。
由表2-1可概括出投影面平行线的投影特性：1）在它所不平行的两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，但不反映实长。
2）在它所平行的投影面上的投影反映实长，且与投影轴的夹角，分别反映该直线对另两个投影面的真实夹角。
垂直于一个投影面，而与另外两个投影面平行的直线，称为投影面垂直线。
它分为三种：（1）铅垂线（⊥H面）；（2）正垂线（⊥V面）；（3）侧垂线（⊥W面）（见表2-2所示）下面以铅垂线为例，介绍其投影特性：1）由于AB垂直H面，所以A、B两点对H面的投影积聚为一点；2）AB垂直H面，必平行V、W面，所以AB在V、W面上的投影均反映实长；3）直线AB垂直H面，必垂直OX、OY轴，所以a′b′⊥OX轴，a″b″⊥OY W轴。
同理，也可证明正垂线和侧垂线的投影特性。