4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
一、基础知识
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
S(α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.
C(α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.
T(α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan βZkk,2,,
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C(α±β)同名相乘，符号反；S(α±β)异名相乘，符号同；T(α±β)分子同，分母反.
2．二倍角公式
S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2αZkkk，且42
二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．
二、常用结论
(1)降幂公式：cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2.
(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)2222cos,sinbaabab
三、考点解析
考点一 三角函数公式的直接应用 例、(1)已知sin α＝35，α∈,2，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( )
A．－211 B.211 C.112 D．－112
(2)若sin()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
【知识要点】
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)():sin()sincoscoscosS；
(2)():cos()coscossinsinC；
(3)()tantan:tan()1tantanT.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)(2):sin22sincosSα；
(2)2222(2):cos2cossin2cos112sinC；
(3)(2)22tan:tan21tanT.
3．常用的公式变形
(1)tantantan()(1tantan)；
(2)221cos21cos2cos,sin22；
(3)221sin2(sincos),1sin2(sincos),sincos2sin()4.
4．函数()sincos(,fxaxbxab为常数),可以化为2222()sin()cos(),fxabxabx其中()可由,ab的值唯一确定．
两个技巧
(1)拆角、拼角技巧：(2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等．
考向一 三角函数式的化简与求值
化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等.
[例1] 求值：①0000cos15sin15cos15sin15； ②00sin50(13tan10)；③2cos10sin20.cos20
练习： 1．(1)已知3sin,(,),52则cos22sin()4________.
(2)已知为锐角，5cos,5则tan(2)4( )
A．3 B．17 C．43 D．7 2．已知41,(0,),sin,tan(),253求cos的值．
新高考数学一轮复习考点知识归类讲义 第24讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1 / 27 第24讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ．
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sin_αsinβ．
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cos_αsinβ．
S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ．
T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan βα，β，α＋β≠π2＋kπ，k∈Z.
T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan βα，β，α－β≠π2＋kπ，k∈Z.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2α：sin 2α＝2sinαcosα．
C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α．
T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2αα≠π4＋kπ2，且α≠kπ＋π2，k∈Z.
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➢ 考点1 公式的直接应用
[名师点睛]
应用三角公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．
(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．
(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．
[典例]
1．（2022·福建厦门·模拟预测）已知,0,，且cos21tan2sin2，则cos（ ）
A．45B．35C．35D．45
2．（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）若3sin,(,)52，则sin()3=（ ）
A．33410B．33410
C．34310D．34310
3．（2022·江苏·高三专题练习）已知2sincoscos24，且sin0，则tan6的值为（ ）
两角和与差倍角半角公式
两角和与差倍角半角公式
一、两角和与差公式：
两角和公式可以将两个角的三角函数之和表示为一个角的三角函数。具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角和公式：
1. 正弦和：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
2. 余弦和：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
3. 正切和：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)
类似地，两角差公式可以将两个角的三角函数之差表示为一个角的三角函数。具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角差公式：
1. 正弦差：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
2. 余弦差：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B
3. 正切差：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)
这些公式的推导可以通过欧拉公式和三角函数的定义推导得到。
二、倍角公式：
倍角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。具体来说，对于任意角A，有以下倍角公式：
1. 正弦倍角：sin(2A) = 2sin A cos A
2. 余弦倍角：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1
- 2sin^2 A
3. 正切倍角：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A) 倍角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
三、半角公式：
半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。具体来说，对于任意角A，有以下半角公式：
1. 正弦半角：sin(A/2) = ±√((1 - cos A) / 2)
2. 余弦半角：cos(A/2) = ±√((1 + cos A) / 2)
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习.docx
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
【知识要点】
1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1) S(Q±0): sin(a±0) = sinacos0土cosacos0 ；
(2) C("±0): cos(a ± 0) = cos a cos 0 干 sin a sin 0 ；
tan a ± tan 0
1 + tan a tan 0
2. 二倍角的正弦.余弦、正切公式
(1) 片幺)：sin2o = 2sinacosa a ；
(2) C3): cos2a = cos2 a-sin2 a = 2cos2 a-\ = 1-2sin2 a ；
3. 常用的公式变形 (1) tan a 土 tan (3 = tan(a ± /?)(! + tan a tan 0)；
⑵ cos2 a = 1 + COs2Qr,sin2 a =「心次；
2 2
(3) 1+sin 26r = (sin a+cos 6Z)2,1 - sin 2a = (sin a - cos a)2 ,sina±cosa = 42sin(a±—). 4
4.函数/(x) = <7sinx+/>cosx(a,b 为常数)，可以化为 f (x) = yja2 +b2 sin(x +(p) = ^la2 +b2 cos(x-0),其 中0(&)可由a,b的值唯一确定.
两个技巧
.…①拆角亠拼饬技巧丄…②化磯技也…切.化弦二二O勺-代携签.…
考向一三角函数式的化简与求值
化简的方法：眩切互化，异名化同名，异角化同和；降幕或升幕等.
②抽50°(1 + 的510。)；③2coE-sin2(T cos 20
1. (1)己知sina = -,aE (—,/r),则 - 皿" ---------
5 2 V2sin(6^ + -) 4
C. -- D・-7⑶乙±0): tan(a±0) =
⑶ : tan 2a = 2 tan a
高考大一轮总复习4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式
1 §4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角公式
考纲展示►
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．
2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．
3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
考点1 三角函数公式的基本应用
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝________________；
cos(α∓β)＝________________；
tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.
答案：sin αcos β±cos αsin β
cos αcos β±sin αsin β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝________________；
cos 2α＝______________＝______________＝______________；
tan 2α＝2tan α1－tan2α.
答案：2sin αcos α cos2α－sin2α 2cos2α－1
1－2sin2α
(1)[教材习题改编]计算：sin 108°cos 42°－cos 72°sin 42°＝________.
答案：12
(2)[教材习题改编]已知cos α＝－35，α∈π2，π，则sinα＋π3的值是________．
答案：4－3310
解析：因为cos α＝－35，α∈π2，π，所以sin α＝45，所以sinα＋π3＝sin αcosπ3＋cos
αsinπ3＝45×12＋－35×32＝4－3310.
公式使用中的误区：角的范围；公式的结构．
(1)若函数f(α)＝tan α＋21－2tan α，则α满足2tan α≠1，且α≠________.
答案：kπ＋π2(k∈Z)
解析：要使函数f(α)＝tan α＋21－2tan α有意义，则1－2tan α≠0，tan α有意义，所以2tan α≠1，则α≠kπ＋π2(k∈Z)．
2020届高三理数一轮讲义：4.3-两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含答案)
第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)＝tan α±tan β
1∓tan αtan β.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin__αcos__α.
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
tan 2α＝2tan α
1－tan2α.
3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)
其中tan φ＝b
a或f(α)＝a2＋b2·cos(α－φ)
其中tan φ＝a
b.
[微点提醒]
1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cos2α＝1＋cos 2α
2，sin2α＝1－cos 2α
2.
3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝2sin
α±π
4.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( )
(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( )
(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－
tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )
2.若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin
α＋π4等于( )
A.
－2
10
B.2
10 C.
－72
10
D.72
10
3. tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.
考点06 诱导公式及恒等变换(新高考地区专用)(解析版)
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考点06 诱导公式及恒等变换
一．三角函数的诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) －α π－α π＋α π2－α π2＋α
正弦 sin α
－sin α sin α －sin α cos α cos α
余弦 cos α cos α －cos α
－cos α sin α －sin α
正切 tan α －tan α －tan α tan α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限
二．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β
tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β
三．二倍角公式
（1）sin 2α＝2sin αcos α ↔12sin 2α＝sin αcos α
（2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
222212cos1cos2cos1cos 2212sin1cos2sin1c=22=os ＋＝（＋）－＝（－）
（3）tan 2α＝2tan α1－tan2α
知识理解 2 / 22
考向一 诱导公式
【例1】（2020·四川射洪中学高三月考（理））已知角的终边经过点12,5P.
（1）求sin，cos；
（2）求cos2cos2sin2cosf的值.
【答案】（1）5sin13，12cos13；（2）2919.
【解析】（1）由题意可得：13OP，
高一-三角函数的和差公式与二倍角 含答案
1 哈佛北大精英创立 课程主题： 三角函数的和差公式与二倍角
教学内容
知识精讲
知识梳理
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β；
(2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；
(3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；
(4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；
(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；
(6)T(α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝2tan α1－tan2α.
3．有关公式的逆用、变形等
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)tantan1；
(2)cos2α＝1＋cos 2α2，sin2α＝1－cos 2α2；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝2sin4a.
4．函数f(α)＝acos α＋bsin α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝a2＋b2sin(α＋φ)或f(α)＝a2＋b2cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一确定．
高二数学上学期知识点
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1 / 8 高二数学上学期知识点
第一部分：三角恒等变换
1.两角和与差正弦、余弦、正切公式：)sin(sincoscossin)cos(sinsincoscos)(tgtgtgtgtg1
注意正用、逆用、变形用.例如：tanA+tanB=tan<1tanAtanB>
2.二倍角公式：sin2=cossin2,cos2=22sincos=1cos22=2sin21
tan2=2tan1tan2.3.升幂公式是：2cos2cos122sin2cos12.
4．降幂公式是：22cos1sin222cos1cos2.
5.万能公式：sin=2tan12tan22cos=2tan12tan122tan=2tan12tan22
6.三角函数恒等变形的基本策略：〔1〕常值代换：特别是用"1〞的代换,如1=cos2θ+sin2θ
〔2〕项的分拆与角的配凑.如分拆项：sin2x+2cos2x=+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=〔α+β〕－β,β=2－2等.〔3〕降次与升次.2sin2cos12,22cos2sinsin1,sin α ,cos α可凑倍角公式；22cos2sinsin1等．〔4〕化弦〔切〕法.将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦〔切〕.注意函数关系,尽量异名化同名、异角化同角.〔5〕引入辅助角.asinθ+bcosθ=22basin,所在象限由a、b的符号确定,角的值由tan=ab确定.
7．注意点：三角函数式化简的目标：项数尽可能少,三角函数名称尽可能少,角尽可能小和少,次数尽可能低,分母尽可能不含三角式,尽可能不带根号,能求出值的求出值．
第二部分：解三角形