结构力学龙驭球力法
结构力学
1．杆件结构——这类结构是由杆件所组成。杆件的几何特征是横截面尺寸要比长度小得多。梁、拱、桁架、刚架是杆件结构的典型形式。
当我们拿到了一个结构对它进行几何组成分析时，我们一般可以遵循这样的步骤来进行：
首先，我们可以试着利用结构几何组成的四个规律（即三个规则或称为：“三角形规律”）来对这个结构进行分析，1、三根支杆，只看本身，四根支杆，基础算刚片；2、尽可能去掉二元体，扩大刚片，等效替换，简化结构；3、利用“两刚片规则”；4、利用“三刚片规则”（顺藤摸瓜法）；
其次，从结构的概念——建筑物和工程设施中承受、传递荷载而其骨架作用的部分成为工程结构、简称结构。我们可以看出结构在民用和军用设施中都是无处不在的，我院作为全军工程兵的最高学府，工程兵的八大专业：桥梁、道路、渡河、地雷、爆破、筑城、伪装、机械，有四大专业：桥梁、道路、爆破、筑城是直接构筑在结构力学之上的，其他的四个专业也都与结构力学密不可分。
（3） 三个虚铰在无限远处
三刚片分别用三对任意方向的平行链杆相联结，均为瞬变体系。
对于一般按照三角形规律组成的体系，以上的步骤就可以奏效，但我们知道，满足三角形规律只是结构几何不变的必要条件，即结构还可以按其它组成规律组成几何不变体系，上述方法如若不行；第二步，计算一下结构的计算自由度W。引入计算自由度W，可以根据W得到一些关于自由度S和多余约束n的定性结论。
作题练习，是学习结构力学的重要环节。不作一定数量的习题，就很难对基本概念和方法又深入的理解，也很难培养好的计算能力。但是作题也要避免各种盲目性。举例如下：
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(静定结构位移计算虚力法)【圣才出品】
第5章静定结构位移计算的虚力法
5.1 复习笔记
本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位移进行求解。
遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论，在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变形公式的求解变得更加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等定理。
一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）
表5-1-1 虚力法求刚体体系的位移
图5-1-1
二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）
表5-1-2 虚力法求静定结构的位移
表5-1-3 广义位移分类
三、两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）
表5-1-4 两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力
四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）
表5-1-5 荷载作用时静定结构的弹性位移计算
五、图乘法（见表5-1-6）
表5-1-6 图乘法
图5-1-2 六、温度改变时静定结构位移计算（见表5-1-7）。
《结构力学》_龙驭球_第6章_力法(1)
X2=1
l M2 图
1 l l l l3 12 21 l (l l ) EI 2 2 EI
l
l
l
l
ql 2 2
EI
EI
原结构
X1=1
l
1、力法方程：
基本体系
M1 图 l
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
3
l
1 l l 2l 5l 2、系数和自 11 ( ) 2 ( l l l ) 由项的计算： EI 2 3 3EI
解方程得： X 1 ql 2
X2=1
A
1
M2图
(
1 2 1 X 2 ql 4 3k 4
E1 I1 k) E2 I 2
1 2
1 3k 4
1 2 1 X 1 ql 2 3k 4 3. 讨论 1）当k = 0
即 E1 I1 很小或 E2 I2 很大
ql X1 8
11 X 1 12 X 2 1P 0 21 X 1 22 X 2 2 P 0
3
q=1kN/m
3m
q=1kN/m
FP = 3kN 4 2I I 2I 2 1
3m 3m
FP = 3kN
18
27
9
M P kN m
3m
X1
11
X2
6
6
§6-3 超静定刚架和排架
计算超静定刚架和排架位移时，通常忽略轴力和剪力的影响，只考虑弯 矩的影响，使计算简化。 例6-1：求图示刚架 M 图。 q q C X1 B
结构力学(龙驭球)第八章
第八章 位移法总结
(2) 利用与位移相应的隔离体的平衡条件建立平衡方程； (3) 解方程求出结点位移； (4)将结点位移代入杆端力方程从而求出杆端内力。
2.基本体系法 基本体系法是利用附加约束的基本原理建立位移法典 型方程。 步骤： (1) 确定基本未知量。将原结构有角位移和线位移的 结点分别加上阻止转动的刚臂和阻止移动的支座链杆，附 加刚臂和附加支座链杆数之和即为位移法的基本未知量； (2) 由附加约束上约束力为零的条件，建立位移法方程 kijj+Fi p=0 (i,j=1,2,…,n)； (3) 在基本结构上分别绘制在各附加约束分别产生单 位位移Δj =1下的弯矩图 M 及荷载作用下的弯矩图MP j
BB3= ⊿B sin45°= ⊿2
第八章 位移法总结
A
(b ) F B C F
2 EI l
1P
l/ 2
(c)
2P
k
M
P
F 4i k F (2) 作M2图。由以上叙述可知BC 杆两端有相对侧移BB3 ， EI 2 因此在图f中 l (d ) 6(e ) i
B
2 EI l l/ 2 M
1 1 F /5 6 A 3 F /5 6 B
(b ) F B l/ 2 C F B
(c ) F C D 3 F /2 8
(d )
解：本题中刚架ECFHG是基本部分，CBA是附属部 分。首先求附属部分：由于C点无水平和竖向线位移，故 可将CBA化为图b的结构，用位移法计算，弯矩图如图c所 示。
第八章 位移法总结
(4) 从材料性质看，只能用于弹性材料。
第八章 位移法总结
2、位移法基本未知量的选取原则 位移法的基本未知量的数目等于独立结点角位移数 加上独立结点线位移数。 (1) 独立的结点角位移数目的确定：为使结点不发生 角位移，需要在结点施加附加刚臂，附加刚臂数等于全 部刚结点和半铰结点的结点转角数目。但需注意：铰结 点的角位移不作为基本未知量。例如图a中，A为刚结点， B为半铰结点，故有两个独立角位移；而图b中B为刚结 点，A为铰结点，故只取B 点转角为独立角位移。
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第6章力法一、选择题1．图6-1所示结构的弯矩图轮廓是（选项见图）（）。
[浙江大学2012研]图6-1【答案】A【解析】B项，将支座位移分成正对称和反对称两种情况来分析，在Δ/2正对称位移作用下，弯矩图为0；在Δ/2反对称位移作用下，弯矩图为反对称。
CD两项，根据竖杆的弯矩图判断出CD两项的两柱都有水平方向的剪力且方向相同，但由于原结构上无荷载作用，不满足∑=0F。
x2．设图6-2所示结构在荷载作用下，横梁跨中产生正弯矩。
现欲使横梁跨中产生负弯矩，应采用的方法是（）。
[哈尔滨工业大学2012研]A．减小加劲杆刚度及增大横梁刚度B．增大加劲杆刚度及减小横梁刚度C．增加横梁刚度D．减小加劲杆刚度图6-2【答案】B【解析】本题关键在于中间的竖杆。
当竖杆EA→0时，相当于没有竖杆，这时水平杆为简支梁，跨中弯矩为正弯矩；当竖杆EA→∞时，相当于刚性支座杆，这时水平杆为双跨梁，跨中弯矩为负弯矩。
因此增大劲杆刚度会使跨中产生负弯矩；同样如果减小横梁刚度，也就相当于劲杆的刚度相对增加了。
3．图6-3（a）、（b）所示两结构（EI＝常数），右端支座均沉降Δ＝1，两支座弯矩关系为（）。
[西南交通大学2009研]A．M B＞M DB．M B＝M DC．M B＜M DD．MB＝－M D图6-3【答案】C【解析】画出6-3（a）、（b）两图对应的图及支座位移引起的位移图，分别见图6-3（c）、（d）、（e）、（f），对应的力法方程分别为δ11X1＋Δ1C＝0和。
两式系数的关系为：，[因为图乘时图6-3（c）中斜杆的长度大于图6-3（e）中相应直杆的长度]，因此，而，所以M B＜M D。
二、填空题1．原结构及温度变化（E 1I1，）下的M图如图6-4所示，若材料的有关特性改为（E2I2，），且/＝1.063，E1I1/E2I2＝1.947，以外侧受拉为正，则M B＝________。
[天津大学2008研]图6-4【答案】61.84kN·m【解析】根据已知条件得：，因此M B缩小为原来的2.07倍，即M B2＝128/2.07＝61.84kN·m。
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（b）如图 7-2-3 所示。
图 7-2-2
图 7-2-3 ①当α≠0 时，结点 A、B、C、E、F、G 有转角，AB、FG 有水平位移，C、E 点有两个 水平位移，所以基本未知量有 10 个，分别是θA、θB、θC、θE、θF、θG、ΔA、ΔG、ΔC、ΔE。 ②当α＝0 时，结点 A、B、C、E、F、G 有转角，AB、FG 有水平位移，CDE 有水平位 移，D 点有竖向位移，所以基本未知量有 10 个，分别是θA、θB、θC、θE、θF、θG、ΔA、Δ G、ΔC、ΔVD。 （c）如图 7-2-4 所示。 ①当不考虑轴向变形时，结点 A、B、C 有转角，整体有一个水平位移，所以基本未知 量有 4 个，分别是θA、θB、θC、Δ。
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②当考虑轴向变形时，A、B、C 三个结点都有独立的转角、竖向位移、水平位移，所 以基本未知量有 9 个，分别是θA、θB、θC、ΔA、ΔB、ΔC、ΔVA、ΔVB、ΔVC。
图 7-2-4 （d）如图 7-2-5 所示。 ①当α≠0 时，结点 B、C 有转角，D 结点有独立的竖向位移，所以基本未知量有θA、θ B、ΔV。 ②当α＝0 时，结点 B、C 有转角，虽然 D 结点有位移，但不是独立的，所以基本未知 量有θA、θB。
图 7-1-8 反对称荷载作用下奇数跨对称结构的半结构选取方法 图 7-1-9 对称荷载作用下偶数跨对称结构的半结构选取方法
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图 7-1-10 反对称荷载作用下偶数跨对称结构的半结构选取方法 7.2 课后习题详解
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第5章静定结构位移计算的虚力法
5.1复习笔记
本章重点介绍了虚力法的原理以及如何运用虚力法对不同结构在各种荷载作用下的指定位移进行求解。
遵循“化整为零、积零为整”的思想，对结构的局部位移公式进行了分项讨论，在虚力法的指导下叠加组成了结构的整体变形公式，随后将虚力法升华到了对广义单位荷载的设定以及对广义位移的求解；通过引入图乘法，结构的弯矩变形公式的求解变得更加快捷且精确；最后介绍了温度影响下结构的位移求解并归纳了线性变形体系的四个互等定理。
一、虚力法求刚体体系的位移（见表5-1-1）
表5-1-1虚力法求刚体体系的位移
二、虚力法求静定结构的位移（见表5-1-2）
表5-1-2虚力法求静定结构的位移
表5-1-3广义位移分类
三、两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力（见表5-1-4）
表5-1-4两个对偶解法——虚力法求位移、虚位移法求内力
四、荷载作用时静定结构的弹性位移计算（见表5-1-5）
表5-1-5荷载作用时静定结构的弹性位移计算。
龙驭球《结构力学Ⅰ》(第4版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(位移法)【圣才出品】
第7章位移法7.1 复习笔记本章重点介绍了位移法的原理以及如何运用位移对超静定结构在各种荷载作用下的内力和位移进行求解。
位移法和力法像一幅对联，是超静定结构分析中的两个基本方法。
力法通过撤除多余约束达到简化计算的目的，而位移法通过添加约束达到此目的。
此外，二者对偶关系总结如下：力法：虚设单位力——求结构柔度——利用变形协调——求解未知约束力——算出结构内力。
位移法：虚设单位位移——求结构刚度——利用受力平衡——求解未知位移——算出结构内力。
两种方法殊途同归，在结构计算中应该综合考虑结构特点和求解目标选取合理的手法，使结构计算更加方便、快捷、准确。
一、位移法的基本概念（见表7-1-1）表7-1-1 位移法的基本概念二、杆件单元的形常数和载常数——位移法的前期工作采用位移法对刚架的等截面杆件进行分析时，杆件端部弯矩受两方面影响：①杆端位移产生的杆端弯矩——形常数；②外荷载产生的固端弯矩——载常数。
1．由杆端位移求杆端内力——形常数（见表7-1-2）表7-1-2 由杆端位移求杆端内力——形常数图7-1-12．由荷载求固端内力——载常数荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力，称为固端弯矩和固端剪力。
由于它们是只与荷载形式有关的常数，所以又称载常数，不同支座形式下杆件的固端弯矩和剪力值见表7-1-3。
表7-1-3 等截面杆件的固端弯矩和剪力三、位移法解无侧移刚架（见表7-1-4）表7-1-4 位移法解无侧移刚架四、位移法解有侧移刚架（表7-1-5）表7-1-5 位移法解有侧移刚架图7-1-2五、位移法的基本体系（见表7-1-6）表7-1-6 位移法的基本体系图7-1-3图7-1-4图7-1-5图7-1-6六、位移法解对称结构（见表7-1-7）表7-1-7 位移法解对称结构。
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⑶ 求系数和自由项，解方程
X2=1 5m
1 5m M2 图, FR2
11
125 3EI
m3
22
500 3EI
m3
12
21
125 2EI
m3
X1=1 5m
X2=1
1
1 X3=1
1 5m
5m M1 图, FR1
5m 1 5m M2 图, FR2
33
10 EI
13
31
25 2EI
m2
1 M3 图, FR3
23
32
75 2EI
m2
1P
F R1i
Ci
(1 0.02m 5m 0.03rad )
0.13m
2P
F R2i
⑶ 内力仅由多余未知力产生 ⑷ 内力与EI 的绝对值有关
例6-11： 试求图 (a) 所示结构在支座位移作用下的弯矩图。
(a)
X2 X3 X1
X1=1
0.01m 5 m
0.03rad
0.02m 5 m
(b) 基本体系
1 5m
5m M1 图, FR1
5m 解法一：⑴ 选择基本体系。3次超静定。
⑵ 建立力法方程。
)
(
l 2
l 4
)
ql 2 12
A
ql 4
()
384EI
ql2
A1
y
2
ql2
24
1
C
y1
A2 l/4
3）单位荷载加在基本体系II上
q
X1
ql 2 12
12
A
A2 A1 C
ql2
A
B
C
基本体系 II
X2
ql 2
l/2
A
y2
24
y1
1 C
CV
1 EI
(
2 3
l 2
ql 2 8
)
(3 8
l 2
)
(
0.6 2
⑷ 求未知力
X1
1t
11
6800
EI 432
15.74EI ()
⑸ 作弯矩图 M MX1
当杆件有温差时，弯矩的受拉边出现在降温面，升温面产生压应力。
超静定结构在温度变化或支座移动作用下，杆件内力与杆件抗弯刚度EI 成正比。
§6-9 超静定结构的位移计算
对于某超静定结构，所选取的各种基本体系在外因（荷载、温度变化、 支座移动）以及未知力X共同作用下，其内力和变形与原结构完全相同。所以 求原结构的位移就转化为求基本体系的位移。
(
2 3
l 2
ql 2 8
)
(
5 8
l 8
3 8
l 8
)
ql 4 384EI
()
A
y1 C y2
l/8
ql2 12
B M图 l/8
B M图
2) 单位荷载加在基本体系I上
ql2
q
12
A
B
A
C
X1
ql 2 12
基本体系I
X1
ql 2 12
CV
1 EI
2(
2 3
l 2
ql 2 8
)
(
5 8
l 4
⑶ 求系数和自由项
X3=1
M3 图, FR3
11
500 3EI
m3
22
125 3EI
m3
33
10 EI
12
21
125 2EI
m3
13
31
75 2EI
m2
23
32
25 2EI
m2
代入方程，解得
X1
0.48EI 125
,
X2
0.06EI 125
,
X3
0.42EI 25
2、温度内力的计算
t1
AM
讨论:
⑴ 自由项的意义
⑵ 内力仅由多余未知力产生
M M1X1 M2X2
⑶ 内力与EI 的绝对值有关
例6-12：如图示刚架，混凝土浇筑时温度为15。Ｃ，到冬季时室外温度为-35 。 Ｃ,室内保持不变，求M 图。各杆EI 相同，线膨胀系数为α。
-35℃ -35℃
6m -50℃ -50℃
-35℃
h
X1 1
1
h
1
1
l
l
1
F R1
h
lபைடு நூலகம்
X2 1
1
F R2
l
2c
b a
11 X 1 12 X 2 1c 0
21 X 1
22 X 2
2c
ic F R i c
1c
1 a
h l
b
a
hb l
2c
1 b l
b l
1c “c”
M M1X1 M2X2
讨论: ⑴ 等号右端可以不等于零 ⑵ 自由项的意义
5m
1
1
X1
X2
X3 基本体系
⑵ 建立力法方程。
X1=1 M1 图, FR1
X2=1 M2 图, FR2
11 X1 12 X 2 13 X 3 1C 0.02 21 X1 22 X 2 23 X 3 2C 0.01 31 X1 32 X 2 33 X 3 3C 0.03
l 2
ql 2 12
)
(
1 2
l 2
)
ql 4 384EI
()
ql2 12
B M图
B M图
ql2 12
B M图
M图
2、支座移动
图 (a) 所示结构的M 图已求出，见图(b)。欲求截面B的转角 B。
3EI
l2
A
EI, l
B
A
BA
EI, l
B
(a) B
t1
t1
t1 t2
t1 t2
t1 t2
建立力法方程
X1 X2
2t 1t
11 X 1 12 X 2 1t 0 21 X 1 22 X 2 2t 0
画出 M 1, M 2 , F N1, F N 2 图， 计算系数和自由项。
计算自由项： 1t , 2t
it
toAN
t h
用力法求出超静定结构的内力后，欲求某截面的位移，则单位荷载可以
加在任选的基本体系上，即超静定结构的位移计算可以在任选的基本体系上
进行。
1、荷载作用
例7-6：求梁中点竖向位移ΔCV，EI为常数。 ql2
q
A
B
C
l/2
l/2
12
A
A2 A1 C
ql2
解：1) 单位荷载加在原结构上
l/8
24
1
CV
2 EI
11
1 EI
(2
63 3
68 6)
1 EI
(144
288)
432 EI
-50℃
6
6 94.4
94.4
FN 1
-50℃ -50℃
0℃
X1
基本体系
M1, F N
X1= 1
M 图 (EIα)
1t
()
t
h
Mdx
t0
F N dx
50 (2 1 6 6 68) (25) (1) 8] 6800
15oC 400
600 8m
-50℃ 0℃
基本体系
6 X1
FN 1
M1, F N
6 X1= 1
解：⑴ 温度改变值： t1 35 15 50C t | 50 0 | 50C
⑵ 力法方程
11 X1 1t 0
t2 15 15 0C t0 (50 0) / 2 25C
⑶ 求系数和自由项
Ci
(1 0.01m 5m 0.03rad )
0.16m
3P (1 0.03rad) 0.03rad
0.06
代入方程，解得
X1
0.48EI 125
m2
X2
0.06EI 125
m2
X3 0
⑷ 作弯矩图。 M M1X1 M 2 X2 M 3X3
0.42
M 图 (EI/m)
解法二：⑴ 选择基本体系。 5m 5m