如何从一次函数图象上获取信息
2023年中考数学《函数图像的信息获取和判断的秒杀方法》专项题型解析
2023年中考数学《函数图像的信息获取和判断的秒杀方法》专项题型解析◆题型一：函数图像的判断判断函数的图像并不需要把每段函数的解析式完整的求出来！秒杀方法：1.判断一次函数关系:只要判断出结果的未知数的次数，并不需要把解析数求出来，当次数是1时即为一次函数，然后通过k判断结果；2.判断二次函数关系：一般在求面积的时候，会有两个含未知数的式子相乘，即结果为二次函数关系，然后通过该二次项系数的正负判断函数的开口方向即可；3.判断反比例函数关系：只要判断出结果的未知数是不是在分母里即可。
【例1】如图，在矩形ABCD中，AB=2cm,BC=4√3cm,E是AD的中点，连接BE，CE．点P 从点B出发，以√3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s 的速度沿BE-EC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）【答案】D【解析】由题意得：BE=4cm，bc=4√3cm，则Q从B到E需要4s，从E到C需要4s，共8s；P从B到C需要4s。
①当Q在线段BE上运动时，如图，作QF⊥BC，BP=t，QF=12BQ=√32t，则y=12⋅BF⋅QF，即可得函数为二次函数，且二次项系数＞0，开口向上，排除AC；②4s时，P到达终点，不再运动；点Q依然在运动，所以面积公式里只有一个变量，则对应函数为一次函数，因此选D。
1．（2013·湖南衡阳·中考真题）如图所示，半径为的圆和边长为的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为，圆与正方形重叠部分阴影部分的面积为S，则S与的函数关系式的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】观察图形，在运动过程中，S随的变化情况，得到开始随时间的增大而增大，当圆在正方形内时改变，而重合面积等于圆的面积不变，再运动，随的增大而减小，根据以上结论判断即可．【详解】解：∵半径为的圆沿水平线从左向右匀速穿过正方形，开始至完全进入正方形S随时间的增大而增大，∴选项A、D错误；∵当圆在正方形内时，改变，重合面积等于圆的面积，S不变，再运动，S随的增大而减小，∴选项C错误，选项B正确；故选：B．【点睛】本题主要考查动图形问题的函数图象，熟练掌握函数图象形状变化与两图形重合部分形状、大小变化的关系，是解决此题的关键．2．（2022·青海西宁·统考中考真题）如图，△ABC中，BC=6，BC边上的高为3，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且EF∥BC．设点E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】过点A向BC作AH⊥BC于点H，所以根据相似三角形的性质可求出EF，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：过点A向BC作AH⊥BC于点H，根据相似比可知：，即，解得：EF=2（3-x），则△DEF的面积y=×2（3-x）x=-x2+3x=-(x-)2+，故y关于x的函数图象是一个开口向下、顶点坐标为(，)的抛物线．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键．3．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF 为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解．【详解】过点C作CM⊥AB于N，，在等腰中，，，①当时，如图，，，，∴，y随x的增大而增大；②当时，如图，，∴当时，y是一个定值为1；③当时，如图，，，,当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0，结合ABCD选项的图象，故选：B．【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键．4．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形是边长为的正方形，点E，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，连接，点P从点E出发沿运动，同时点Q从点B出发沿运动，两点运动速度均为，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为，连接，的面积为，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，∴直线EO垂直BC，∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，∴S=；当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边，中点，点O为正方形的中心，∴直线OF∥BC，∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，∴S=；故选D．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．5．（2022·广西河池·统考中考真题）东东用仪器匀速向如图容器中注水，直到注满为止．用t表示注水时间，y表示水面的高度，下列图象适合表示y与t的对应关系的是()A．B．C．D．【答案】C【分析】根据题目中的图形可知，刚开始水面上升比较慢，紧接着水面上升较快，最后阶段水面上升最快，从而可以解答本题．【详解】因为对边的圆柱底面半径较大，所以刚开始水面上升比较慢，中间部分的圆柱底面半径较小，故水面上升较快，上部的圆柱的底面半径最小，所以水面上升最快，故适合表示y与t的对应关系的是选项C．故选：C．【点睛】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．6．（2022·山东潍坊·中考真题）如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】分0≤x≤1，1<x<2，2≤x≤3三种情况讨论，利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G，∵∠A=60°，AE=AF=x，∴AG=x，由勾股定理得FG=x，∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线；当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H，∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1，∴AH=，由勾股定理得DH=，∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段；当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I，∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x，同理求得EI=(3-x)，∴y= AB×DH -CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线；观察四个选项，只有选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查了利用分类讨论的思想求动点问题的函数图象；也考查了平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式以及一次函数和二次函数的图象．7．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段匀速运动，当点P运动到点B时，停止运动，过点P作交于点Q，将沿直线折叠得到，设动点P的运动时间为t秒，与重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由题意易得，，则有，进而可分当点P在AB中点的左侧时和在AB中点的右侧时，然后分类求解即可．【详解】解：∵，∴，由题意知：，∴，由折叠的性质可得：，当点P与AB中点重合时，则有，当点P在AB中点的左侧时，即，∴与重叠部分的面积为；当点P在AB中点的右侧时，即，如图所示：由折叠性质可得：，，∴，∴，∴，∴与重叠部分的面积为；综上所述：能反映与重叠部分的面积S与t之间函数关系的图象只有D选项；故选D．【点睛】本题主要考查二次函数的图象及三角函数，熟练掌握二次函数的图象及三角函数是解题的关键．8．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，边长分别为1和2的两个正方形，其中有一条边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形的面积为，小正方形与大正方形重叠部分的面积为，若，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，③小正方形穿出大正方形，分别求出S，可得答案．【详解】解：根据题意，设小正方形运动的速度为v，由于v分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-vt×1=4-vt（vt≤1）；②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3；③小正方形穿出大正方形，S=2×2-（1×1-vt）=3+vt（vt≤1）．分析选项可得，A符合，C中面积减少太多，不符合．故选：A．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而综合可得整体得变化情况．9．（2022·浙江台州·统考中考真题）吴老师家、公园、学校依次在同一条直线上，家到公园、公园到学校的距离分别为400m，600m．他从家出发匀速步行8min到公园后，停留4min，然后匀速步行6min到学校，设吴老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x（单位：min），则下列表示y与x之间函数关系的图象中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据吴老师离公园的距离以及所用时间可判断．【详解】解：吴老师家出发匀速步行8min到公园，表示从(0，400)运动到(8，0)；在公园，停留4min，然后匀速步行6min到学校，表示从(12，0)运动到(18，600)；故选：C．【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是正确理解函数图象表示的意义，明白各个过程对应的函数图象．10．（2021·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，是等边三角形，，点M从点C出发沿CB方向以的速度匀速运动到点B，同时点N从点C出发沿射线CA方向以的速度匀速运动，当点M停止运动时，点N也随之停止．过点M作交AB于点P，连接MN，NP，作关于直线MP对称的，设运动时间为ts，与重叠部分的面积为，则能表示S与t之间函数关系的大致图象为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】首先求出当点落在AB上时，t的值，分或两种情形，分别求出S的解析式，可得结论．【详解】解：如图1中，当点落在AB上时，取CN的中点T，连接MT．，，，，是等边三角形，，是等边三角形，，，，，，，，是等边三角形，，，，，四边形CMPN是平行四边形，，，，如图2中，当时，过点M作于K，则，．如图3中，当时，，观察图象可知，选项A符合题意，故选：A．【点睛】本题考查动点问题，等边三角形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．11．（2022·山东济宁·三模）如图，在正方形中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意，分三段（，，）分别求解与的解析式，从而求解．【详解】解：当时，分别在线段，此时，，为二次函数，图象为开口向上的抛物线；当时，分别在线段，此时，底边上的高为，，为一次函数，图象为直线；当时，分别在线段，此时，底边上的高为，，为二次函数，图象为开口向下的抛物线；结合选项，只有B选项符合题意，故选：B【点睛】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．12．（2022·甘肃平凉·校考二模）如图，在中，，点以每秒的速度从点出发，沿折线运动，到点停止，过点作，垂足为，的长与点的运动时间秒的函数图像如图所示，当点运动秒时，的长是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据图可判断，，则可确定时的值，利用的值，可求出．【详解】解：由图可得，，，当时，如图所示：此时，故B，，．故选：B．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据图得到、的长度，此题难度一般．13．（2022·广东深圳·深圳市海滨中学校考模拟预测）如图①，已知Rt△ABC的斜边BC和正方形DEFG的边DE都在直线l上（BC＜DE），且点C与点D重合，△ABC沿直线l向右匀速平移，当点B与点D重合时，△ABC停止运动，设DG被△ABC截得的线段长y与△ABC平移的距离x之间的函数图像如图②，则当x＝3时，△ABC和正方形DEFG重合部分的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】过点A作AH⊥BC于点H，由图形可知，当点H和点D重合时，DG被截得的线段长最长，即CH=1；当点B和点D重合时，BC=4，由此可解△ABC；画出当x=3时的图形，利用相似可得出结论．【详解】解：如图①，过点A作AH⊥BC于点H，∴∠AHB=∠AHC=∠BAC=，∴∠ABH+∠BAH=∠BAH+∠HAC=，∴∠ABH=∠HAC，∴△ABH∽△CAH，∴AH：HC=BH：AH，结合图①可知，当点H和点D重合时，DG被截得的线段长最长，即CH=1；当点B和点D重合时，由函数图像可得：BC=4，∴BH=3，∴AH：1=3：AH，即（负值舍去），当x=3时，，如图②，∴设与DG的交点为M，由，则，∴，∴1：3=MD：，即，∴故选：C．【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及相似三角形的性质与判定，解题关键是得出BC和DM的长．14．（2022·青海·统考一模）如图，在△ABC中，AC＝BC，有一动点P从点A出发，沿A→C→B→A匀速运动．则CP的长度s与时间t之间的关系用图象描述大致是()A．B．C．D．【答案】D【分析】该题属于分段函数，根据图象需要得出：点在边上时，随的增大而减小；当点在边上时，随的增大而增大；当点在线段上时，随的增大而减小；当点在线段上时，随的增大而增大．【详解】解：如图，过点作于点．在中，，．①点在边上时，随的增大而减小．故A、B错误，不符合题意；②当点在边上时，随的增大而增大；③当点在线段上时，随的增大而减小，点与点重合时，最小，但是不等于零．故C错误，不符合题意；④当点在线段上时，随的增大而增大．故D正确，符合题意．故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象的含义，即会识图．15．（2021·宁夏银川·统考一模）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】依题意，可以知道路程先逐渐变大，再保持不变，然后逐渐变小直至为0．则可以作出判断．【详解】解：由题意可以看出点P在从O到A过程中，s随t的增大而增大；点P在上时，s等于半圆O的半径，即s随t的增大而保持不变；点P从B到O的过程中，s随t的增大而逐渐减少直至为0．只有选项C符合实际情况．故选：C．【点睛】此题考查了函数图像的识别，应抓住s随t变化的本质特征：从0开始增大，到达边线后不变，然后到达B点后开始减小直到0．16．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图1，在中，，，．点D从A 点出发，沿线段AB向终点B运动．过点D作AB的垂线，与的直角边AC（或BC）相交于点E．设线段AD的长为a（cm），线段DE的长为h（cm）．(1)为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：变量a（cm）0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4变量h（cm）0 0.5 1 1.5 2 1.5 1 0.5 0在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2．根据探究的结果，解答下列问题：①当时，________；当时，________．②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来．③下列说法正确的是________．（填“A”或“B”）A．变量h是以a为自变量的函数B．变量a是以h为自变量的函数(2)如图3，记线段DE与的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积为s．①分别求出当和时，s关于a的函数表达式；②当时，求a的值．【答案】(1)①1.5；1或3；②见解析；③A(2)①当时，；当时，；②或【分析】（1）①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值即可填写，②图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来即可；③根据函数的定义即可判断；（2）①如图，当时，，得到阴影部分是三角形ADE的面积:；当时，，得到阴影部分的面积是三角形BDE的面积：．②当时，令，解得a；当时，令，解得a即可求解；（1）解：①根据题意，对照变量h和变量a对应的数值，当时， 1.5；当时，1或3．故答案为：1.5；1或3；②连线如图2-1、图2-2所示：③根据函数的定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量，所以变是h是以a为自变量的函数，故A选项符合，故选：A.（2）①如图3，当时，，∴阴影部分的面积：；当时，，∴阴影部分的面积：．∴当时，；当时，．②当时，令，解得或（不符合题意，舍去）．当时，令，解得或（不符合题意，含去）．∴当时，或．【点睛】本题考查了函数图像，写函数关系式，理解函数的定义以及表示方法，会根据三角形的面积公式得出函数关系式是解题的关键．◆题型二：根据已知图像获取相关信息把图像和运动情况结合起来，了解每一个转折点，每条线的具体含义。
4.4《一次函数图像的应用》 北师大版八年级数学上册课件
想一想
(1).一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ (2). 摩托车每行驶100千米消耗多少升? (3). 油箱中的剩余油量小于1升时将自 动报警.行驶多少千米后,摩托车将自动报警?
(1)当 y=0时, x=500,因此一箱汽油可 供摩托车行驶500千米.
(2).x从100增加到200时, y从8减少到6,减少了2, 因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油.
V/万米3
t/天
想一想
(1).干旱持续10天,蓄水量为多少?连续 干旱23天呢?
分析：干旱10天求蓄水量就是已知自变量 t=10求对应的因变量的值-----数
体现在图象上就是找一个点，使点的横坐 标是10，对应在图象上找到此点纵坐标的 值（10，V）--------形
答：持续干旱10天，储水量时1000万 立方米；持续干旱23天，储水量是750 万立方米。
V/万米3
（10，1000） （23，750）
t/天
(2).蓄水量小于400 万立方米时,将发生 严重的干旱 警报.干旱多少天后将发出 干旱警报? 干旱40天后将发出干旱警报
V/万米3
（40，400）
t/天
(3).按照这个规律,预计持续干旱多少天 水库将干涸? 60天后水库将干涸
V/万米3
60 t/天
作业布置
（100，8） （200，6）
(3).当y=1时,x=450,因此行驶了450千米 后,摩托车将自动报警.
（450，1）
如何解答实际情景函数图象的信息？
1：理解横纵坐标分别表示的的实际意义
2：分析已知（看已知的是自变量还是因 变量），通过做x轴或y轴的垂线，在图象 上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐 标的值读出要求的值
第07讲一次函数-—图象与性质(教案)
-一次函数图象的变换与识别
4.练习与巩固
-判断一次函数的增减性
-根据斜率和截距绘制一次函数图象
-解答与一次函数相关的问题，运用图象分析解决实际问题
二、核心素养目标
1.培养学生的数感与符号意识，通过一次函数的学习，使学生能够理解数学符号表示的实际意义，提高运用符号进行表达和交流的能力。
-图象的变换：难点在于掌握一次函数图象的平移、压缩、拉伸等变换规律，以及这些变换对斜率和截距的影响。
-例如：当一次函数图象进行平移时，斜率k保持不变，截距b发生变化，学生需要理解这种变换背后的数学原理。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《一次函数—图象与性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体以固定速度移动的情况？”（如骑自行车匀速前进）。这个问题与我们将要学习的一次函数密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索一次函数图象与性质的奥秘。
2.教学难点
-一次函数图象的理解：难点在于理解一次函数图象的几何意义，如何从图象中获取信息，以及如何将实际问题转化为一次函数图象。
-例如：学生可能难以理解图象上某点的坐标如何对应实际问题中的具体情境。
-一次函数性质的深入理解：难点在于理解斜率和截距对一次函数图象的精确影响，以及如何通过性质预测图象的形态。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率和截距这两个重点。对于难点部分，如斜率的意义和截距的物理含义，我会通过举例和图象分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一次函数相关的实际问题，如物体的匀速运动。
八年级数学下第二十一章一次函数21.4一次函数的应用21.4.2建立一次函数模型解双函数应用
感悟新知
3 某工厂有甲、乙两个净化水池，容积都是480 m3.注 知2－练 满乙池的水得到净化可以使用时，甲池未净化的水已 有192 m3.此时，乙池以10 m3/h的速度将水放出使用， 而甲池仍以8 m3/h的速度注水.设乙池放水为x h 时， 甲、乙两池中的水量用y m3表示.
(1)分别写出甲、乙两池中的水量y关于x的函数关系式及 自变量x的取值范围，并在同一直角坐标系中画出这 两个函数的图像.
A
14
20
B
10
8
感悟新知
(1)设从甲仓库运送到A港口的物资为x吨，求总费用y( 知2－讲 元)与x(吨)之间的函数关系式，并写出x的取值范围.
(2)求出最低总费用，并说明总费用最低时的调配方案.
导引：(1)第一步，先用含x的式子表示出从甲仓库运往B港口的物资的 吨数，以及从乙仓库运往A、B两港口的物资吨数；第二步， 根据运输的总费用等于四条运输路线的费用总和，便可求出总 费用y(元)与x(吨)之间的函数关系式；第三步，根据问题的实 际意义列出不等式组，即可求得x的取值范围． (2)根据一次函数的增减性及自变量的取值范围，即可确定总费 用最低时的物资调配方案和最低总费用．
知1－练
感悟新知
3. 【中考·葫芦岛】甲、乙两车从A城出发前往B城， 在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y(km)与 行驶时间t(h)的函数图像如图所示，下列说法正确 的有( D )
①甲车的速度为50 km/h ②乙车用了3 h到达B城 ③甲车出发4 h时，乙车追上甲车 ④乙车出发后经过1 h或3 h两车相距50 km A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二十一章 一次函数
21.4 一次函数的应用
第2课时 建立一次函数模型 解双函数应用
一次函数的函数图像与函数表达式关系解析
一次函数的函数图像与函数表达式关系解析一次函数，又称为线性函数，是数学中最简单的一类函数。
它的函数图像是一条直线，具有如下的一般形式：y = ax + b，其中 a 和 b 是常数，而 x 则是自变量。
本文将对一次函数的函数图像与函数表达式之间的关系进行解析，并探讨一次函数在实际问题中的应用。
1. 函数图像解析一次函数的图像是一条直线，通过确定两个点即可绘制出该直线。
其中，常数 b 决定了直线在 y 轴上的截距，而常数 a 决定了直线的斜率。
当 a = 0 时，该直线与 x 轴平行，函数图像为一条水平直线；当 a≠ 0 时，函数图像为一条斜直线。
斜率 a 的正负决定了函数图像的斜向，正斜率表示直线向上倾斜，负斜率表示直线向下倾斜。
2. 函数表达式解析对于一次函数 y = ax + b，一般常用的表达式形式有两种：斜截式和点斜式。
- 斜截式：y = ax + b 中，a 表示斜率，b 表示 y 轴截距。
斜截式适用于已知斜率和截距的情况，通过代入斜率和截距的值，可以直接得到函数表达式。
- 点斜式：y - y₁ = a(x - x₁) 中，a 表示斜率，(x₁, y₁) 表示直线上的任意一点坐标。
点斜式适用于已知直线上一点的坐标和斜率的情况，通过代入点的坐标和斜率的值，可以得到函数表达式。
3. 一次函数的应用一次函数在实际问题中有着广泛的应用，例如：- 经济学中的成本函数和收入函数：将不同产量下的成本或收入与产量之间建立一次函数关系，从而进行经济分析和决策。
- 物理学中的速度函数和位移函数：将物体的位移或速度与时间之间建立一次函数关系，用于求解物体的运动轨迹和速度变化。
- 工程学中的线性传感器：通过线性传感器将输入信号与输出信号建立一次函数关系，实现对信号的测量和处理等功能。
通过以上的解析可以看出，一次函数的函数图像与函数表达式之间存在着紧密的关系。
函数图像的特征可以通过函数表达式的斜率和截距来确定，而函数表达式可以通过图像上的两个点或已知直线上一点的坐标和斜率来确定。
根据函数图像求函数解析式
例题：已知一次函数的图象经过点(1,-1)与（2，－3）. 求这个一次函数的解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 把x=1,y=-1；x=2,y=-3 分别代入上式得： k+b=-1 2k+b=-3
因为图象过（1，-1） 与（2，-3）点，所以 这两点的坐标必适合解 析式Fra bibliotek解方程组得
教学难点
如何用待定系数法求函数解析式
一、创设情景，提出问题
1、复习：
你能画出y=2x，y=-2x，y=2x+1和 y=-2x+3的图象吗？通过复习一次函数
图像，明确一次函数图像是一条直线，确 定画出两点就可以了
2.引入新课
在上节课中我们学习了画出一次函数的图 象及有关性质；我们今天要根据给出信息，求出 函数的表达式。
k=-2 b=+1
∴这个一次函数的解析式为y=-2x+1
例题：已知一次函数的图象经过点(1,-1)与（2，－3）.求这个一
次函数的解析式．
象这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析 式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫 做待定系数法.
你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗？
1.设出函数解析式y=kx+b
x 2， y2 2.选取满足条件的两定点 x1，y1 ，
3 将两点代入解析式方程 4.求出k，b，写出解析式
①若y=kx的图象经过(1，2)点，求函数解析式
3. 已知一次函数 y=kx+b 当x=-1时， y的值为4, 求k的值
解：把x=-1,y=4代入y=kx+2得：4=-k+2，解得 k=-2
——待定系数法
茂名市公馆一中
一次函数的图象教案6篇
一次函数的图象教案6篇（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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一次函数解析式、图像性质
个性化教学辅导教案⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x 取不同的值，y 的取值可以相同．例如:函数2(3)y x =-中，2x =时，1y =；4x =时，1y =2.一次函数：形如y=kx+b (k ≠0, k, b 为常数)的函数。
注意：（1）k ≠0,否则自变量x 的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx ，y 叫x 的正比例函数。
3.正比例正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注意：①注意k 是常数，k≠0的条件，当k=0时，无论x 为何值，y 的值都为0，所以它不是正比例函数。
②自变量x 的指数只能为1 新知识概要函数图象的概念：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
注意：函数解析式与函数图象的关系（1）满足函数解析式的有序实数对为坐标的点一定在函数图象上； （2）函数图象上点的坐标满足函数解析式． 图象：一次函数的图象是一条直线，（1）两个常有的特殊点：与y 轴交于（0，b ）；与x 轴交于（-，0）（2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。
3、性质：(1)图象的位置:(2)增减性：对于一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0），当k﹥0时，y随x的增大而增大；当k﹤0时，y随x的增大而减小。
同步练习1.下列函数中，y随x的增大而增大的是（ C ）A. y=–3xB. y= –0.5x+1C. y= x– 4D. y= –2x-72. 一次函数y=(a+1)x+5中，y的值随x的值增大而减小，则a满足________ .（a< –1）3. 对于函数y=5x+6,y的值随x的值减小而______（减小）4. 已知A(-1, y1), B(3, y2), C(-5, y3)是一次函数 y=-2x+b图象上的三点，用“<”连接y1, y2, y3为_________ .求一次函数解析式的方法求函数解析式的方法主要有三种(1)由已知函数推导或推证(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。
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如何从一次函数图象上获取信息
安徽张雷
从函数图象获取信息,主要从图象上的坐标获取数据,由自变量值求出相应的函数值;由相应的函数值为求出自变量值.利用从图象上的某些点的坐标提供的数据进行分析、处理,可以获取图象所表示的函数关系的丰富信息,解答各种相关问题.函数图象信息题已成为中考命题的热点.下面分类予以说明.
1. 从一个一次函数图象获取信息的要点
在坐标系中给出一个一次函数图象,即一条直线（或一线段、一射线）,利用所给的特殊点的坐标,读取其中所要表达的信息,即由自变量值求出相应的函数值;由相应的函数值求出自变量值.通过对图象上某些点的坐标提供的数据,进行分析、处理,可以获取图象所表示的函数关系的丰富信息,解答各种相关问题.一般会出现在纯函数图象、行程问题、产量问题等题目中,要理解好图象与轴轴的交点所表达的实际含义. 用表格表示如下:
例1.某公司市场营销部的营销员的个人月收入与该营销员每月的销量成一次函数关系，其图象如图所示. 根据图象提供的信息，解答下列问题：
⑴求出营销人员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件(x≥0)之间的函数关
系式；
⑵已知该公司营销员李平5月份的销售量为1.2万件，求李平5月份的收入.
【分析】本题由“图”可以识“数”,这是研究函数的的重要方法.通过图象上的特殊点的坐标,求解出函数关系式,再由关系式求解相应的问题. 解:(1)依已知条件可设所求的函数关系式为y ＝kx ＋b
因为函数图象过(0,400)和(2,1600)两点,所以 b =400,2k ＋b =1600,
解这个方程，得 k =600. 故所求的函数关系式为y ＝600x ＋400 (2)当x ＝1.2时，y ＝600×1.2＋400＝1120(元) 即李平5月份的收入为1120元.
2.从二个一次函数图象获取信息的要点
在同一坐标系中,同时出现二个一次函数的图象,即两条直线,利用所给图象的位置关 系,交点坐标,与x 轴、y 轴交点坐标,读取其中所要表达的信息,一般出现在用来比较产量、速
例3.如图，1l 表示神风摩托车厂一天的销售收入与摩托车销售量的关系；2l 表示摩托车厂一天的销售成本与销售量的关系。
(1)写出销售收入与销售量之间的函数关系式； (2)写出销售成本与销售量之间的函数关系式；
(3)当一天的销售量为多少辆时，销售收入等于销售成本；
(4)当一天的销售超过多少辆时，工厂才能获利？（利润=收入-成本）
【分析】首先从y 轴知两直线经过(0,2);(0,4),由图象知两直线的交点为(4,4),利用待定系数法可求两函数关系式.
解:（1）设y kx =,因为直线过(4,4),则4=6k ,k =1,所以y =x ;
（2）设y k x b =+,因为直线过（0，2）、（4，4）两点,所以2y kx =+又442k =+,所以1
2
k =
所以1
22
y x =
+ （3）由图像知，当4x =时，销售收入等于销售成本或1
22
x x =
+∴4x = （4）由图像知：当4x >时，工厂才能获利
例4 东风商场文具部的某种毛笔每支售价25元，书法练习本每本售价5元．•该商场为了促销制定了两种优惠方案供顾客选择． 甲：买一支毛笔赠送一本书法练习本． 乙：按购买金额打九折付款．
某校欲为校书法兴趣组购买这种毛笔10支，书法练习本x （x ≤10）本．如何选择方案购买呢？
【分析】本题具有一定的开放性.根据题目提供的条件,可确定出两种优惠方案,实际所花费金额y 元与书法练习本x 之间的关系式,结合函数的关系式,自变量的取值范围,利用函数图象,可直观予以解决. 解：方法一
分别根据题意写出甲、乙两种方案的实际金额y 元与书法练习本x 本之间的关系式： y 甲=（x -10）×5+25×10=5x +200 y 乙=（10×25+5x ）×0．9=4．5x +225
在同一直角坐标系中画出两个函数图象：
解方程组5200,4.5250.y x y x =+⎧⎨
=+⎩ 得50,
450.x y =⎧⎨=⎩
所以两直线交于点（50，450）．
由图象很容易看到：
当10<x <50时 y 甲<y 乙， 当x =50时 y 甲=y 乙， 当x >50时 y 甲>y 乙．
所以我建议：如果购买书法练习本少于50本时选择方案甲；如果购买书法练习本等于50本时选择哪种方案无区别；如果购买书法练习本多于50本时则要选择方案乙．这样的购买方法最省钱．
方法二：如果方案乙与方案甲实际付金额差为y 元，购买书法练习本数为x 本，•则y 与x 的关系式为：
y=-0.5x+25．
在坐标系中画出图象：
计算出直线y=-0.5x+25与x轴的交点为（50，0）．
由图象可知：
当x<50时y>0选方案甲省钱，
当x=50时y=0选方案甲、乙无区别，
当x>50时y<0选方案乙省钱．
与方法一有同样的结论．
【说明】利用图象来分析问题、解决问题形象直观,在同一坐标系内,两图象的交点表示对同一x值,两函数值相等;图象在上面的函数值大,下面的函数值小.认识这些有助于解决两函数图象有交点的问题.
3.折线图象型
这类问题由于变量的取值范围不同，函数图象呈现出不同状态（若干条折线形），由此我们可以确定出不同的函数解析式，解这类问题的关键是把握所给图象是"上升线、水平线、下降线"的内涵（即从左到右，图形是上升趋势，还是下降趋势，还是一水平线段）以及转折点的纵横坐标的数值，然后结合函数的性质予以解决.
例5 小明在暑期社会实践活动中，以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，余下的每千克降价0.4元，全部售完。
销售金额与售出西瓜的千克数之间的关系如图所示。
请你根据图像提供的信息完成以下问题：
(1)求降价前销售金额y(元)与售出西瓜x(千克)之间的
函数关系式。
(2)小明从批发市场共购进多少千克西瓜?
(3)小明这次卖瓜赚了多少钱?
【分析】这类函数又称分段函数,其特点是在自变量不同的范围内,函数的关系式不同,图象也不同.应注意两函数的转折点的坐标,它起到承上启下的功能.
解:（1）设函数关系未y=kx, 则k=64
1.6,
40
所以y=1.6x.
（2）由（1）知,降价前西瓜售价每千克1.6元,所以降价0.4元西瓜每千克售价1.2元,所以降价后销售的西瓜为（76－64）÷1.2=10（千克）,所以小明从批发市场共购进50千克西瓜. （3）76－（50×0.8）=36（元）, 即小明这次卖瓜赚了36元.
【说明】从图象中获取信息,将实际问题与图象结合起来,是近年来的中考热点问题,也是新课标的要求.
例6 （宁夏）
春、秋季节，由于冷空气的入侵，地面气温急剧下降到0℃以下的天气现象称为“霜冻”．由
霜冻导致植物生长受到影响或破坏的现象称为霜冻灾害． 某种植物在气温是0℃以下持续时间超过3小时，即遭受霜冻灾害，需采取预防措施．下图是气象台某天发布的该地区气象信息，预报了次日0时～8时气温随时间变化情况，其中
0时～5时，5时～8时的图象分别满足一次函数关系．
断次日是否需要采取防霜冻措施，并说明理由．
【分析】：本题应注意题干与图形相结合，首先应认真观察图形，仔细看图，抓住关键点（如图像中的转折点，虚线指示的点等），把握所给图象转折的具体内涵，利用有关数据求解出相应的函数关系式。
进而结合题意求解出相应的问题。
解：设0时～5时的函数关系式为y b kx +=1,将（0，3）、（5，-3）分别代入上式得 b =3,k =－
56,所以y 35
6
1+-=x ; 设5时～8时的函数关系式为y b kx +=2,将（8，5）、（5，-3）分别代入上式得 5k +b =-3 解之得k =349,38
-=b ,所以y 2849
,33
x =-
8k +b =5
当y 1,y 2分别为0时，x 849,2511==
x ,而x 21x -=49529 3.828
-=>所以需要采取防霜冻措施
【说明】解这类问题的关键：首先弄清函数图像上的特殊点的意义——即横坐标与纵坐标的意义，其次结合图像的特点，要学会将图像上的特殊点的坐标转换成数学语言，构建数学模型，最后作答。
)。